人教版A版高中数学选修4-5配套全册完整课件.ppt

1、人教版人教版A版高中数学选修版高中数学选修4-5配套配套 全册完整课件全册完整课件 第一讲第一讲 不等式和绝对值不等式不等式和绝对值不等式 11 不等式不等式 11.1 不等式的基本性质不等式的基本性质 学习目标学习目标 1.理解实数大小与实数运算性质间的关理解实数大小与实数运算性质间的关 系系 2.理解不等式的性质理解不等式的性质，能用不等式的性质比较大小能用不等式的性质比较大小 和证明简单的不等式和证明简单的不等式(重点、难点重点、难点) 知识提炼知识提炼 梳理梳理 1实数的运算性质与大小顺序的关系实数的运算性质与大小顺序的关系 数轴上右边的点表示的数总大于左边的点所表示的数轴上右边的点表

2、示的数总大于左边的点所表示的 数数，从实数的减法和在数轴上的表示可知：从实数的减法和在数轴上的表示可知： abab0； abab0； abab0 温馨提示温馨提示 要比较两个实数的大小要比较两个实数的大小， 只要考查它们的只要考查它们的 差的符号差的符号 2不等式的基本性质不等式的基本性质 (1)对称性：如果对称性：如果 ab，那么那么 ba；如果；如果 ba，那么那么 ab. (2)传递性：如果传递性：如果 ab，且且 bc，那么那么 ac，即即 a b，bc ac. (3)加法：如果加法：如果 ab，那么那么 acbc，即即 ab a cbc. (移项法则移项法则)如果如果 abc，那么那

3、么 acb. (同向可加性同向可加性)如果如果 ab，且且 cd，那么那么 acb d. (4)乘法：如果乘法：如果 ab，c0，那么那么 acbc；如果；如果 ab， c0，那么那么 acbc. 推论：如果推论：如果 ab0，cd0，那那么么 acbd. (5)乘方：如果乘方：如果 ab0，那么那么 anbn(nN，n2) (6)开方：如果开方：如果 ab0，那么那么 n a n b(nN，n2) 温馨提示温馨提示 要注意不等式的性质是否可逆； 要注意不要注意不等式的性质是否可逆； 要注意不 等式成立的条件等式成立的条件 思考尝试思考尝试 夯基夯基 1思考判断思考判断(正确的打正确的打“”“

4、”，错误的打错误的打“”“”) (1)若若 ab，则则 acbc.( ) (2)若若 ac2bc2，则则 ab.( ) (3)若若 ab0，则则 a2abb2.( ) (4)若若 ab，1 a 1 b， ，则则 a0，b0.( ) 解析：解析：(1)未知未知 c 是正数、负数还是零是正数、负数还是零，因而判断因而判断 ac 与与 bc 大小缺乏依据大小缺乏依据，故该命题是假命题；故该命题是假命题； (2)由由 ac2bc2知知 c0，故故 c20， 所以所以 ab，故该命题是真命题；故该命题是真命题； (3) ab0 a0 a2ab， ab b0 abb2， 所以所以 a2abb2.故该命题为

5、真命题；故该命题为真命题； (4)ab ab0，1 a 1 b 1 a 1 b 0 ba ab 0. 因为因为 ab0，所以所以 ba0. 所以所以 ab0. 又又 ab，所以所以 a0，b0. 故该命题为真命题故该命题为真命题 答案：答案：(1) (2) (3) (4) 2已知已知 a0，1b0，则有则有( ) Aaabab2 Bab2aba Cabaab2 Dabab2a 解析：解析：由由1b0，可得可得 bb21， 又又 a0，所以有所以有 abab2a. 答案：答案：D 3若若 ab0，cd0，则一定有则一定有( ) A.a c b d B.a c b d C. a d b c D.a

6、 d b c 解析：解析：因为因为 cd0，所以所以cd0， 所以所以 0 1 c 1 d， ，即即 1 d 1 c 0. 又因为又因为 ab0， 所以所以 a d b c， ，所以所以a d b c. 答案：答案：D 4设设 xR，则则 x2 144与 与1 2的大小关系是 的大小关系是_ 解析：解析：当当 x0 时时， x2 1x4 01 2. 当当 x0 时时， x2 1x4 1 1 x2 x2 ， 所以所以 1 x2 x22， 所以所以 x2 1x4 1 2(当 当 x 1 时取等号时取等号) 综上所述综上所述 x2 1x4 1 2. 答案：答案： x2 1x4 1 2 5比较大小：比

7、较大小：(x5)(x7)_(x6)2. 解析：解析：因为因为(x5)(x7)(x6)2x212x35x2 12x3610， 所以所以(x5)(x7)(x6)2. 答案：答案： 类型类型 1 用比较法比较大小用比较法比较大小(自主研析自主研析) 典例典例 1 已知已知 x1， 比较比较 x31 与与 2x22x 的大小的大小 解：解：x31(2x22x)x32x22x1(x3x2) (x22x1)x2(x1)(x1)2(x1)(x2x1)(x 1) x1 2 2 3 4 . 因为因为 x1， 所以所以 x10. 又因为又因为 x1 2 2 3 4 0， 所以所以(x1) x1 2 2 3 4 0

8、， 所以所以 x312x22x. 归纳升华归纳升华 1比较大小有两种基本方法：作差法、作商法其比较大小有两种基本方法：作差法、作商法其 中作差法往往需要比较差与零的大小关系中作差法往往需要比较差与零的大小关系， 作商法需判断作商法需判断 商与商与 1 的大小关系的大小关系 2 作差比较法的步骤是：作差比较法的步骤是： (1)作差；作差； (2)变形；变形； (3)定号；定号； (4)下结论下结论 3用作差法比较用作差法比较两式的大小时两式的大小时，常采用因式分解、常采用因式分解、 配方、通分、分母有理化等技巧配方、通分、分母有理化等技巧，通过彻底的变形通过彻底的变形，从而从而 判断差式的值的正

9、负判断差式的值的正负，进而判断出两式的大小进而判断出两式的大小 变式训练变式训练 比较比较 x2x 与与 x2 的大小的大小 解：解：(x2x)(x2)x22x2(x1)21， 因为因为(x1)20， 所以所以(x1)210，即即(x2x)(x2)0. 所以所以 x2xx2. 类型类型 2 利用不等式的性质判断命题的真假利用不等式的性质判断命题的真假 典例典例 2 下列命题正确的是下列命题正确的是( ) 若若 ab，且且1 a 1 b， ，则则 ab0； 若若 ab，且且 acbc，则则 c0； 若若 ab0，且且c a c b， ，则则 c0； 若若 ab0，则则 abb2. A B C D

10、 解析：解析：中中，因为因为 ab，所以所以 ab0. 又因为又因为1 a 1 b， ， 所以所以1 b 1 a ab ab 0. 所以所以 ab0，故故正确正确 中中，因为因为 acbc， 所以所以 c(ab)0. 又因为又因为 ab，所以所以 ab0. 所以所以 c0，故故不正确不正确 因为因为c a c b， ， 所以所以c a c b 0，即即 c（ba） ab 0. 因为因为 ab0， 所以所以 ab0，ba0. 所以所以 c0.故故正确正确 因为因为 ab0，b0， 所以所以 abb2，故故不正确不正确 答案：答案：D 归纳升华归纳升华 1在利用不等式的性质判断命题真假时在利用不等

11、式的性质判断命题真假时，关键是依关键是依 据题设条件恰当地选取使用不等式的性质 否定命题的结据题设条件恰当地选取使用不等式的性质 否定命题的结 论论， 有时往往举反例 但要注意取值一定有时往往举反例 但要注意取值一定要遵循两个原则：要遵循两个原则： 一是满足题设条件；二是取值要简单一是满足题设条件；二是取值要简单，便于验证计算便于验证计算 2运用不等式的性质时运用不等式的性质时，一定要注意不等式成立的一定要注意不等式成立的 条件； 要弄清每一个性质成立的条件和结论条件； 要弄清每一个性质成立的条件和结论， 注意条件放注意条件放 宽或加强后宽或加强后，结论是否发生了变化结论是否发生了变化 变式训

12、练变式训练 判断下列命题的真假判断下列命题的真假 (1)若若 ab0，则则1 a 1 b； ； (2)若若|a|b，则则 a2b2； (3)若若 abc，则则 a|c|b|c|. 解：解：(1)因为因为 ab0，所以所以 ab0，所以所以 1 ab 0. 所以所以 a 1 ab b 1 ab， ，所以所以1 b 1 a. 所以所以(1)是真命题是真命题 (2)因为因为|a|b，取取 a1，b3，但但 a2b2， 所以所以(2)是假命题是假命题 (3)取取 ab0，c0，有有 a|c|b|c|0， 所以所以(3)是假命题是假命题 类型类型 3 求代数式的取值范围求代数式的取值范围 典例典例 3

13、已知已知 2 2， ，求求 2 ， 2 的取值的取值 范围范围 解：解：因为因为 2 2， ， 所以所以 2 2， ， 2 2， ， . 由由得得 ， 所以所以 2 2 2. 由由得得 2 2， ， 由由得得. 又又 ， 知知 0， 所以所以0， 所以所以 2 2 0. 归纳升华归纳升华 1求含有字母的数求含有字母的数(或代数式或代数式)的取值范围的取值范围，要注意要注意 题设中的条件题设中的条件，充分利用已知求解充分利用已知求解，否则易出错例如否则易出错例如， 若忽略若忽略 ，则会导致则会导致 2 的取值范围变大的取值范围变大 2利用不等式的基本性质求解利用不等式的基本性质求解，在变换过程中

14、要注在变换过程中要注 意熟练掌握、准确使用不等式的基本性质意熟练掌握、准确使用不等式的基本性质 变式训练变式训练 设设 0 2， ， 2 ，求求 2 3， ，sin cos 的取值范围的取值范围 解：解：由由 0 2， ，得得 02，0sin 1. 由由 2 ，得得 6 3 3， ，1cos 0. 所以所以 3 3 6， ，于是得于是得 3 2 3 5 6 ， 所以所以1sin cos 1. 类型类型 4 证明简单的不等式证明简单的不等式 【典例【典例 4】 已知已知 ab，ef，c0，求证：求证：fac ebc. 证明：证明：因为因为 ab，c0，所以所以 acbc，所以所以ac bc，又因

15、为又因为 ef，所以所以 facebc. 归纳升华归纳升华 1不等式的基本性质包括不等式的基本性质包括“单向性单向性”和和“双向性双向性” 两个方面 从应用的角度看两个方面 从应用的角度看， 单向性主要用于证明不等式单向性主要用于证明不等式， 双向性是解不等式的基础双向性是解不等式的基础，也用于证明不也用于证明不等式等式 2在众多的不等式性质中在众多的不等式性质中，乘乘(除除)法性质的应用最法性质的应用最 容易出错容易出错，所以在利用不等式的基本性质推证不等式时所以在利用不等式的基本性质推证不等式时， 要紧扣不等式的基本性质成立的条件要紧扣不等式的基本性质成立的条件，充分利用充分利用“单向单向

16、 性性”和和“双向性双向性”证明证明 变式训练变式训练 已知已知 cab0，求证：求证： a ca b cb. 证明：证明：因为因为 ab， 所以所以ab. 又又 cab0， 所以所以 0cacb. 所以所以 1 ca 1 cb 0. 又因为又因为 ab0， 所以所以 a ca b cb. 1不等关系与不等式不等关系与不等式 (1)不等关系强调的是关系不等关系强调的是关系，而不等式则是表示两者而不等式则是表示两者 不等关系的式子不等关系的式子，可用可用“ab”“”“ab”“ab” “” “ab” “ab”等式子表示不等关系可通过不等等式子表示不等关系可通过不等式来体现式来体现，离离 开不等式开

17、不等式，不等关系就无法体现不等关系就无法体现 (2)将不等关系熟练化为不等式是解决不等式应用题将不等关系熟练化为不等式是解决不等式应用题 的基础的基础，不可忽视不可忽视 2不等式的性质不等式的性质 对于不等式的性质对于不等式的性质，关键是正确理解和运用关键是正确理解和运用，要弄要弄 清每一个性质成立的条件和结论清每一个性质成立的条件和结论，注意条件放宽和加强注意条件放宽和加强 后后，结论是否发生了变化；运用不等式的性质时结论是否发生了变化；运用不等式的性质时，一定一定 要注意不等式成立的条件要注意不等式成立的条件，切不可用似乎、很显然的理切不可用似乎、很显然的理 由代替不等式的性质由代替不等式

18、的性质 特别提醒特别提醒： 在使用不等式的性质时： 在使用不等式的性质时， 一定要搞清它们一定要搞清它们 成立的前提条件成立的前提条件 3比较两个实数的大小比较两个实数的大小 要比较两个实数的大小要比较两个实数的大小，通常可以归结为判断它们通常可以归结为判断它们 的差的符号的差的符号(仅判断差的符号仅判断差的符号，至于确切至于确切值是多少无关紧值是多少无关紧 要要)在具体判断两个实数在具体判断两个实数(或代数式或代数式)的差的符号的过程的差的符号的过程 中中，常会涉及一些具体变形方法常会涉及一些具体变形方法，如：因式分解、配方如：因式分解、配方 法等法等 第一讲第一讲 不等式和绝对值不等式不等

19、式和绝对值不等式 1.1 不等式不等式 11.2 基本不等式基本不等式 学习目标学习目标 1.理解定理理解定理 1 和定理和定理 2(基本不等式基本不等式)(重重 点点) 2.掌握用基本不等式求一些函数的最值及实际的掌握用基本不等式求一些函数的最值及实际的 应用问题应用问题(重点、难点重点、难点) 3.了解两个正数的算术平均数了解两个正数的算术平均数 与几与几何平均数何平均数 知识提炼知识提炼 梳理梳理 1定理定理 1 如果如果 a，bR，那么那么 a2b22ab(当且仅当当且仅当 ab 时时 取取“”) 2定理定理 2 如果如果 a，b 是正数是正数，那么那么a b 2 ab(当且仅当当且仅

20、当 ab 时取时取“”) 温馨提示温馨提示 (1)基本不等式中注意基本不等式中注意 a，b 的限制条件；的限制条件； (2)“”成立的条件成立的条件 3重要结论重要结论 已知已知 x，y 都是正数都是正数，则：则： (1)如果积如果积 xy 是定值是定值 P，那么当那么当 xy 时时，和和 xy 有有 最小值最小值_； (2)如果和如果和 xy 是定值是定值 S，那么当那么当 xy 时时，积积 xy 有有 最大值最大值_ 2 p 1 4S 2 思考尝试思考尝试 夯基夯基 1思考判断思考判断(正确的打正确的打“”“”，错误的打错误的打“”“”) (1)x1 x的最小值是 的最小值是 2.( )

21、(2) x22 x21的最小值是 的最小值是 2.( ) (3)23x4 x的最小值是 的最小值是 2.( ) 解析：解析：(1)当当 x0 时时，x1 x 0，故故(1)错误；错误；(2)当当 x 0 时时， x22 x21 的最小值是的最小值是 2，(2)正确；正确；(3)x2 时时，2 3x4 x 6，故故(3)错误错误 答案：答案：(1) (2) (3) 2 “a0 且且 b0”是是“a b 2 ab”的的( ) A充分不必要条件充分不必要条件 B必要不充分条件必要不充分条件 C充要条件充要条件 D既不充分又不必要条件既不充分又不必要条件 解析：解析：由基本不等式知由基本不等式知，a0

22、 且且 b0 时时， 可得可得 ab 2 ab， 但但 ab 2 ab a0 且且 b0，如如 a1，b0. 所以所以“a0 且且 b0”是是“ ab 2 ab”的充分不必的充分不必 要条件要条件 答案：答案：A 3设设 a，b 是不相等的实数是不相等的实数，且且 ab2，则下列不则下列不 等式成立的是等式成立的是( ) Aab1a 2 b2 2 Baba 2 b2 2 C1aba 2 b2 2 Dab1a 2 b2 2 解析：解析：根据不等式根据不等式 a2b2 2 ab 2 ab和条件和条件 “a，b 是不相等的实数是不相等的实数”可选可选 D. 答案答案：D 4. 下列不等式的推导过程正

23、确的是下列不等式的推导过程正确的是_(填序填序 号号) 若若 a，bR，则则b a a b 2 b a a b 2； 若若 x0，则则 cos x 1 cos x 2 cos x 1 cos x 2； 若若 x0，则则 x4 x 2 x4 x 4； 若若 a，bR，且且 ab0，则则b a a b b a a b 2 b a a b 2. 解析：解析：在在中中，不能确定不能确定b a， ，a b， ，cos x 均为正数均为正数， 故不能使用基本不等式故不能使用基本不等式，故故错误；错误； 在在中中，x 与与4 x均为负数 均为负数，不能直接使用基本不等式不能直接使用基本不等式， 故故错误；错

24、误； 在在中中，将负数将负数b a与 与a b转化为正数 转化为正数b a， ，a b， ，然后再利然后再利 用基本不等式用基本不等式，故故正确正确 答案：答案： 5 若若x， y0， 且且x4y1， 则则xy的最大值是的最大值是_ 解析：解析：因为因为 x，y0，2x 4yx4y1，当且仅当当且仅当 x4y，即即 x1 2， ，y1 8时等号成立 时等号成立 所以所以 4xy1 2， ，即即 xy 1 16. 答案：答案： 1 16 类型类型 1 利用基本不等式证明不等式利用基本不等式证明不等式(自主研析自主研析) 典例典例 1 已知已知 a，b，c 是不全相等的正数是不全相等的正数，求证：

25、求证： a(b2c2)b(c2a2)c(a2b2)6abc. 证明：证明：因为因为 b2c22bc，a0， 所以所以 a(b2c2)2abc， 同理同理，b(c2a2)2abc， c(a2b2)2abc. 因为因为 a，b，c 不全相等不全相等， 所以所以式中至少有一个式子不能取等号式中至少有一个式子不能取等号 所以所以 a(b2c2)b(c2a2)c(a2b2)6abc. 归纳升华归纳升华 1证明不等式时证明不等式时，可依据求证式两端的式子结构可依据求证式两端的式子结构， 合理选择不等式及其变形不等式来证 重要不等式和基本合理选择不等式及其变形不等式来证 重要不等式和基本 不等式的结构特征是

26、： 左右两边的多项式次数相同不等式的结构特征是： 左右两边的多项式次数相同， 一边一边 是和一边是积是和一边是积， 字母的位置可以交换 当待证的不等式具字母的位置可以交换 当待证的不等式具 备以上条件时才可使用这两类不等式证明备以上条件时才可使用这两类不等式证明 2重要不等式和基本不等重要不等式和基本不等式有着多种变形形式式有着多种变形形式，在在 证明不等式时有着非常重要的作用如：若证明不等式时有着非常重要的作用如：若 a，b R，则则 ab a2b2 2 . 变式训练变式训练 已知已知 x，y0 且且 xy1.求证：求证： 11 x 11 y 9. 证 明 ：证 明 ： 11 x 11 y

27、（x1）（）（y1） xy （2xy）（）（2yx） xy 5xy2（x2y2） xy 5 2（x2y2） xy 52 2xy xy 9. 当且仅当当且仅当 xy1 2时取等号 时取等号 所以所以 11 x 11 y 9. 类型类型 2 利用基本不等式求利用基本不等式求最值最值(互动探究互动探究) 典例典例 2 (1)若若 x0，求求 f(x)4x16 x 的最小值是的最小值是 _； (2)设设 x0，y0 且且 2xy1，则则1 x 2 y的最小值是 的最小值是 _； (3)设设 x，y 是正实数是正实数，且且 xy6，则则 lg xlg y 的最的最 大值是大值是_ 解析：解析：(1)因为

28、因为 x0， 所以所以 f(x)4x16 x 24x 16 x 2 6416. 当且仅当当且仅当 4x16 x ，即即 x2 时时， “”成立成立 所以所以 f(x)的最小值是的最小值是 16. (2)1 x 2 y 1 x 2 y 1 1 x 2 y (2xy)44x y y x 42 4x y y x 8， 当且仅当当且仅当4x y y x时 时，等号成立等号成立 又因为又因为 2xy1，所以所以 x1 4， ，y1 2， ， 所以当所以当 x1 4， ，y1 2时 时，1 x 2 y取最小值 取最小值 8. (3)因为因为 x0，y0，所以所以 xy 2 xy，所以所以 xy xy 2

29、2 . lg xlg ylg xylg xy 2 2 lg 6 2 2 2lg 3， 当且仅当当且仅当 xy 时时，等号成立等号成立 又又 xy6，所以所以 x3，y3. 所以当所以当 x3，y3 时时，lg xlg y 取最大值取最大值 2lg 3. 答案：答案：(1)16 (2)8 (3)2lg 3 迁移探究迁移探究 (变换条件变换条件，改变问法改变问法) (1)若若 x0，求求 f(x)4x16 x 的最大值是的最大值是_ (2)已知已知 lg xlg y2，则则1 x 1 y的最小值为 的最小值为_ 解析：解析：(1)因为因为 x0，所以所以x0， f(x) 4x 16 x 4x 16

30、 x 2 （4x） 16 x 2 6416. 当且仅当当且仅当4x 16 x， ，即即 x2 时时， “”成立成立 所以所以 f(x)的最大值为的最大值为16. (2)因为因为 lg xlg y2，所以所以 lg(xy)2，所以所以 xy102. 所以所以1 x 1 y xy xy 2 xy xy 2 100 100 1 5， ，当且仅当当且仅当 xy 10 时时，等号成立等号成立 答案：答案：(1)16 (2)1 5 归纳升华归纳升华 1 使用基本不等式求最值使用基本不等式求最值， 必须同时满足三个条件：必须同时满足三个条件： 各项均为正数各项均为正数，其和或积为定值其和或积为定值，等号必须

31、成立等号必须成立，即即“一一 正、二定、三相等正、二定、三相等”在具体问题中在具体问题中， “定值定值”条件决定条件决定 着基本不等式应用的可行性着基本不等式应用的可行性，决定着成败决定着成败 2对于类似题型：已知对于类似题型：已知 a，b，c，d，x，y 大于大于 0， 若求若求 axby1，c x d y的最小值 的最小值，可以采用可以采用“乘常数乘常数，凑凑 倒数倒数”的变形技巧的变形技巧，然后利用均值不等式求其最值然后利用均值不等式求其最值 类型类型 3 利用不等式解应用题利用不等式解应用题(规范解答规范解答) 典例典例 3 (本小题满分本小题满分 10 分分)要制作一个容积为要制作一

32、个容积为 4 m3，高为高为 1 m 的无盖长方体容器已知该容器的底面造的无盖长方体容器已知该容器的底面造 价是每平方米价是每平方米 20 元元， 侧面造价侧面造价是每平方米是每平方米 10 元元， 求该容求该容 器的最低总造价器的最低总造价 审题指导：审题指导：设容器底面的长和宽分别为设容器底面的长和宽分别为 x，y，造价造价 为为 W，建立函数关系式然后利用基本不等式求出最值建立函数关系式然后利用基本不等式求出最值 即可即可 规范解答规范解答 设容器底面的长为设容器底面的长为 x，宽为宽为 y，总造价总造价 为为 W，(1 分分) 依题意知依题意知 xy4，即即 y4 x.(3 分 分)

33、所以总造价所以总造价 W20 xy2(xy) 1108080 x 20 x 20 x4 x 80，x (0，) 失分警示：失分警示：若漏掉此定义域则扣若漏掉此定义域则扣1分分. 所以所以 W20 x4 x 80202 x 4 x 80160， (8 分分) 当且仅当当且仅当 x4 x， ，即即 x2 时时， “”成立成立(9 分分) 所以最低总造价是所以最低总造价是 160 元元(10 分分) 归纳升华归纳升华 应用不等式解决问题时应用不等式解决问题时，关键是如何把等量关系、 不关键是如何把等量关系、 不 等量关系转化为不等式的问题来解决等量关系转化为不等式的问题来解决，要审清题意要审清题意，

34、尤其尤其 是带有说明的地方是带有说明的地方，再列出不等式或函再列出不等式或函数式数式，最后利用不，最后利用不 等式的知识求解等式的知识求解同时要注意未知数的取值范围同时要注意未知数的取值范围，如：时如：时 间应为正数间应为正数，人或某些物品数应是正整数等人或某些物品数应是正整数等，以免得出与以免得出与 实际不符的结论实际不符的结论 类题尝试类题尝试 某单位用木料制作如图所示的框架某单位用木料制作如图所示的框架，框框 架的下部是边长分别为架的下部是边长分别为 x，y(单位：单位：m)的矩形的矩形， 上部是等腰直角三角形上部是等腰直角三角形，要求框架围成的总面要求框架围成的总面 积为积为 8 m2

35、，则则 x，y 分别为多少可使用料最省分别为多少可使用料最省 ( 2取取 1.4)? 解：解：由题意得由题意得 xy1 2 2 2 x 2 8， 所以所以 y 8x 2 4 x 8 x x 4(0 x4 2) 于是框架用料长度为：于是框架用料长度为： l 2x 2y 2 2 2 x 3 2 2 x 16 x 216 3 2 2 464 2. 当当 3 2 2 x16 x ，即即 x 4 3 2 2 84 2时时，等号等号 成立成立，此时此时 x2.4，y2 2 2.8. 故当故当 x 为为 2.4 m，y 为为 2.8 m 时时，用料最省用料最省 1在公式在公式 a2b22ab 及及a b 2

36、 ab的应用中的应用中，应注应注 意三点：意三点： (1)a2b22ab 和和a b 2 ab成立的条件是不同的成立的条件是不同的， 前者只要求前者只要求 a，b 都是实数都是实数，而后者要求而后者要求 a，b 都为正数都为正数 (2)这两个公式都是带有等号的不等式这两个公式都是带有等号的不等式，因此因此，对定对定 理理“当当 a，bR 时时，a2b22ab，当且仅当当且仅当 ab 时等号时等号 成立成立”的含义要搞清楚它的含义是：的含义要搞清楚它的含义是： 当当 ab 时时，a2b22ab； 当当 a2b22ab 时时，ab； 当当 ab 时时，a2b22ab； 当当 a2b22ab 时时，

37、ab. (3)对基本不等式：对基本不等式：a，b 为正数为正数，则则a b 2 ab，当当 且仅当且仅当 ab 时等号成立时等号成立，作类似理解作类似理解 2利用基本不等式求最值必须满足条件：利用基本不等式求最值必须满足条件：函数中函数中 的相关项必须都是的相关项必须都是正数；正数；变形后各项的和或积有一个变形后各项的和或积有一个 必须是常数；必须是常数；当且仅当各项相等时，当且仅当各项相等时， “”号才能取号才能取 到到以上条件可简化为以上条件可简化为“一正、二定、三相等一正、二定、三相等”求函求函 数最值时数最值时，常将不满足上述条件的函数式进行常将不满足上述条件的函数式进行“拆拆”、 “

38、配配”等变形等变形，使其满足条件使其满足条件，进而求出最值有些题进而求出最值有些题 目目，尽管形式上是尽管形式上是 xp x型的式子 型的式子，即两数之积为常数即两数之积为常数， 但由于定义域的限但由于定义域的限制制，不能使等号成立不能使等号成立，如如 yx1 x (x5)的最小值的最小值，尽管尽管 x1 x 2，当当 x1 x时 时，但但 x1 时时 取取“”号号，而而 x1 不在其定义域不在其定义域5，)内内，因此不因此不 能使用基本不等式能使用基本不等式 3连续使用基本不等式连续使用基本不等式，要注意保证取等号条件的要注意保证取等号条件的 一致性一致性 第一讲第一讲 不等式和绝对值不等式

39、不等式和绝对值不等式 1.1 不等式不等式 11.3 三个正数的算术三个正数的算术 几何平均不等式几何平均不等式 学习目标学习目标 1.会用三项的平均值不等式证明一些简会用三项的平均值不等式证明一些简 单问题单问题(难点难点) 2.能够利用三项的平均值不等式求一些能够利用三项的平均值不等式求一些 特定函数的最值特定函数的最值，从而学会解决简单的应用问题从而学会解决简单的应用问题(重点重点) 知识提炼知识提炼梳理梳理 1三个正数的算术三个正数的算术几何平均不等式几何平均不等式 (1)如果如果 a1，a2，a3R ， ，则则a 1 a2a3 3 叫做这叫做这 3 个正个正 数的算术平均数数的算术平

40、均数， 3 a1a2a3叫做这三个正数的叫做这三个正数的几何平均数几何平均数 (2)定理定理 3：三个正数基本不等式：三个正数基本不等式： a1a2a3 3 3 a1a2a3.当且仅当当且仅当 a1a2a3时时，等号成立等号成立 语言表述：三个正数的语言表述：三个正数的算术算术平均数不小于它们的平均数不小于它们的几几 何何平均数平均数 2n 个正数的算术个正数的算术几何平均不等式几何平均不等式 (1)如果如果 a1，a2，anR ， ，n1 且且 nN*，则则 a1a2an n 叫做这叫做这 n 个正数的算术平均数个正数的算术平均数， n a1a2an 叫做这叫做这 n 个正数的个正数的几何平

41、均数几何平均数 (2)基本不等式：基本不等式：a 1 a2an n na1a2an(nN*， aiR ， ， 1in) 当且仅当 当且仅当 a1a2an时等号成立时等号成立 语言表述：语言表述： n 个正数的个正数的算术算术平均数不小于它们的平均数不小于它们的几何几何 平均数平均数 温馨提示温馨提示 两个定理的使用前提都是两个定理的使用前提都是“正数正数” 思考尝试思考尝试 夯基夯基 1思考判断思考判断(正确的打正确的打“”“”，错误的打错误的打“”“”) (1)如果如果 a，b，cR，那么那么a bc 3 3 abc.( ) (2)如果如果 a，b，cR ， ，那么那么a bc 3 3 ab

42、c，当且仅当且仅 当当 ab 或或 bc 时时，等号成立等号成立( ) (3)如果如果 a，b，cR ， ，那么那么 abc abc 3 3 ，当且当且 仅当仅当 abc 时时，等号成立等号成立( ) (4)如果如果 a1，a2，a3，an都是实数那么都是实数那么 a1a2 ann n a1a2an.( ) 解析：解析：(1)根据定理根据定理 3，只有在只有在 a，b，c 都是正数才成都是正数才成 立其他情况不一定成立立其他情况不一定成立，如如 a1，b1，c3， abc 3 1， 3 abc 3 3，故故(1)不正确不正确 (2)由定由定理理 3， 知等号成立的条件是知等号成立的条件是 ab

43、c.故故(2)不正不正 确确 (3)由定理由定理 3 知知(3)正确正确 (4)必须必须 a1，a2，an都是正数都是正数，命题才成立命题才成立 答案：答案：(1) (2) (3) (4) 2函数函数 yx2(15x) 0 x1 5 的最大值是的最大值是( ) A4 B. 2 15 C. 4 675 D.5 2 解析：解析：由由 0 x1 5得 得 15x0， yx2(15x)5 2 x x 2 5 2x 5 2 xx2 5 2x 3 3 4 675， ， 即可得出即可得出 C 正确正确 答案：答案：C 3若若 x0，则则 4x 9 x2的最小值是 的最小值是( ) A9 B3 3 36 C1

44、3 D不存在不存在 解析：解析：因为因为 x0，所以所以 4x 9 x2 2x2x 9 x2 3 3 36， 当且仅当当且仅当 2x 9 x2， ，即即 x 3 36 2 时时，等号成立等号成立 答案：答案：B 4. 若已知若已知 a13，a29，a327，则则 a1a2a3 3 _，3a1a2a3_ 解 析 ：解 析 ： a1a2a3 3 3927 3 13, 3 a1 a2 a3 3 39279. 答案：答案：13 9 5若若 x0，则则x 3 x 3 x 3 27 x3 _4. 解析：解析：因为因为 x0， 所以所以x 3 x 3 x 3 27 x3 4 4 x 3 x 3 x 3 27 x3 4. 答案：答案： 类型类型 1 利用定理利用定理 3 求函数的最值求函数的最值(自主研析自主研析) 典例典例 1 已知已知 xR ， ， 求函数求函数 yx(1x2)的最大值的最大值 解：解：因为因为 yx(1x2)， 所以所以 y2x2(1 x2)2 1 2 2x2(1 x2)(1 x2) 1 2 2x21x21x2 3