国家教师资格考试-高中数学学科知识与教学能力.ppt

1、国家教师资格考试数学学科知识与教学能力数学学科知识与教学能力温州大学温州大学 黄友初黄友初大纲要求 高中：大学本科数学专业基础课程的知识是指：数学分析、高等代数、解析几何、概率论与数理统计等大学课程中与中学数学密切相关的内容，包括数列极限、函数极限、连续函数、一元函数微积分、向量及其运算、矩阵与变换等内容及概率与数理统计的基础知识。其内容要求是：准确掌握基本概念，熟练进行运算，并能够利用这些知识去解决中学数学的问题。初中：大学专科数学专业基础课程知识是指：数学分析、高等代数、解析几何、概率论与数理统计等大学专科数学课程中与中学数学密切相关的内容。其内容要求是：准确掌握基本概念，熟练进行运算，并

2、能够利用这些知识去解决中学数学的问题。函数与极限函数与极限求极限求极限：罗必塔法则、两个重要极限、无穷小量的等价替换、求分段函数的极限（用定义）、分母（分子）有理化；判断连续性判断连续性：一般为分段函数、判断间断点的类别。例例1 12723lim.49xxx求解解227723(23)(23)limlim49(49)(23)xxxxxxxx27771limlim(49)(23)(7)(23)xxxxxxx156 为为非非负负整整数数时时有有和和当当nmba,0,000 ,0,lim00110110mnmnmnbabxbxbaxaxannnmmmx当当当当当当方法：方法：以以分母分母中自变量的最高

3、次幂除分子中自变量的最高次幂除分子,分分母母,以分出无穷小以分出无穷小,然后再求极限然后再求极限.例例2 2).12111(lim222nnnnn 求求解解,11112222 nnnnnnnnnnnnnn111limlim2 又又,1 22111lim1limnnnnn ,1 由准则由准则1得得.1)12111(lim222 nnnnn例例3 3.)(333的的极极限限存存在在式式重重根根证证明明数数列列nxn 证证,1nnxx 显然显然 ;是单调递增的是单调递增的nx,331 x又又,3 kx假假定定kkxx 3133 ,3 ;是有界的是有界的nx.lim存在存在nnx,31nnxx ,32

4、1nnxx ),3(limlim21nnnnxx ,32AA 2131,2131 AA解解得得(舍去舍去).2131lim nnx1sinlim0 xxxexxx )11(limlim(1)bx cabxaex0lim(1)bcabxxaxe例例4 4解解1lim1xxxx121111limlim111xxxxxexxeex例例5 5.sintan,0:的三阶无穷小的三阶无穷小为为时时当当证明证明xxxx 解解30sintanlimxxxx)cos1sincos1(lim20 xxxxxx ,21.sintan的三阶无穷小的三阶无穷小为为xxx 2000cos1limsinlimcos1lim

5、xxxxxxxx xxxx193lim xxxxx111319lim xxxxx 313311lim9990 e例例6 6例例7 7.cos12tanlim20 xxx 求求解解.22tan,21cos1,02xxxxx 时时当当22021)2(limxxx 原式原式.8 若未定式的分子或分母为若干个因子的乘积，则若未定式的分子或分母为若干个因子的乘积，则可对其中的任意一个或几个无穷小因子作等价无可对其中的任意一个或几个无穷小因子作等价无穷小代换，而不会改变原式的极限穷小代换，而不会改变原式的极限1.跳跃间断点跳跃间断点.)(),0()0(,)(0000的的跳跳跃跃间间断断点点为为函函数数则则

6、称称点点但但存存在在右右极极限限都都处处左左在在点点如如果果xfxxfxfxxf 例例4 4.0,0,1,0,)(处处的的连连续续性性在在讨讨论论函函数数 xxxxxxf解解,0)00(f,1)00(f),00()00(ff.0为为函函数数的的跳跳跃跃间间断断点点 xoxy2.可去间断点可去间断点.)()(),()(lim,)(00000的的可可去去间间断断点点为为函函数数义义则则称称点点处处无无定定在在点点或或但但处处的的极极限限存存在在在在点点如如果果xfxxxfxfAxfxxfxx 例例5 5.1,1,11,10,1,2)(处的连续性处的连续性在在讨论函数讨论函数 xxxxxxxfoxy

7、112xy 1xy2 3.第二类间断点第二类间断点.)(,)(00的第二类间断点的第二类间断点为函数为函数则称点则称点在在右极限至少有一个不存右极限至少有一个不存处的左、处的左、在点在点如果如果xfxxxf例例6 6.0,0,0,1)(处的连续性处的连续性在在讨论函数讨论函数 xxxxxxf解解oxy,0)00(f,)00(f.1为函数的第二类间断点为函数的第二类间断点 x.断断点点这这种种情情况况称称为为无无穷穷间间例例8 8解解.lim111xxx 求求)1(xxxeln111lim 原式原式xxxe 1lnlim111lim1 xxe.1 e例例9 9解解.)(cotlimln10 xx

8、x 求求)(0,)(cot)ln(cotln1ln1xxxex 取对数得取对数得)ln(cotln1lim0 xxx xxxx1sin1cot1lim20 xxxxsincoslim0 ,1 .1 e原式原式导数与微分导数与微分复合函数求导、参数方程求导、取对数求导、隐函数求复合函数求导、参数方程求导、取对数求导、隐函数求导、拉格朗日中值定理、罗尔定理、柯西定理、函数的导、拉格朗日中值定理、罗尔定理、柯西定理、函数的极（最）值、凹凸性、曲率极（最）值、凹凸性、曲率0000()()()limxf xxf xfxx 0000()()lim()xf xk xf xkfxn xn 0000()()li

9、mlimxxxf xf xyxxx 分段函数的导数大多需要用定义来求。分段函数的导数大多需要用定义来求。例例1010.arcsin22222的的导导数数求求函函数数axaxaxy 解解)arcsin2()2(222 axaxaxy2222222222121xaaxaxxa .22xa )0(a例例1111.)2(21ln32的的导导数数求求函函数数 xxxy解解),2ln(31)1ln(212 xxy)2(31211212 xxxy)2(3112 xxx隐函数求导法则隐函数求导法则:用复合函数求导法则直接对方程两边求导用复合函数求导法则直接对方程两边求导.观察函数观察函数.,)4(1)1(si

10、n23xxxyexxxy 先在方程两边取对数先在方程两边取对数,然后利用隐函数的求导然后利用隐函数的求导方法求出导数方法求出导数.-对数求导法对数求导法例例1212,.xyxy已知函数求解解等式两边取对数得等式两边取对数得lnlnyxx两边求导得两边求导得11lnln1yxxxyx(ln1)(ln1)xyyxxx.,)()(定的函数定的函数称此为由参数方程所确称此为由参数方程所确间的函数关系间的函数关系与与确定确定若参数方程若参数方程xytytx dydydtdxdxdt例例1313解解.sincos33表示的函数的二阶导数表示的函数的二阶导数求由方程求由方程 taytaxdtdxdtdydx

11、dy)sin(cos3cossin322ttatta ttan )(22dxdydxddxyd)cos()tan(3 tatttatsincos3sec22 tatsin3sec4 近似公式 由以上分析我们可知，当由以上分析我们可知，当|x|很小时，很小时，ydy，即即0()yfxx 000()()()f xxf xfxx令令000()()()f xxf xfxx00 xxxxx x 得得000()()()()f xf xfxxx00 x 当时()(0)(0)f xffx例例14141.023求的近似值解解1.021 0.0233110.021.00673 例例1515ln1.01求的近似值解

12、解ln1.01ln(1 0.01)0.01例例16163求 8.02的近似值解解23338.028 1.00251.00250.002522(1)2.00167331+0.0025罗尔罗尔（R Rolleolle）定理）定理 如果函数如果函数)(xf在闭区间在闭区间 ,ba上连续上连续,在开区间在开区间),(ba内可导内可导,且在区间端点的函数且在区间端点的函数值相等，即值相等，即)()(bfaf,那末在那末在),(ba内至少有一点内至少有一点)(ba ,使得函数使得函数)(xf在该点的导数等于零，在该点的导数等于零，即即0)(f)1()2()3(例如例如,32)(2 xxxf).1)(3(x

13、x,3,1上连续上连续在在 ,)3,1(上上可可导导在在 ,0)3()1(ff且且)3,1(1(,1 取取.0)(f),1(2)(xxf一、罗尔一、罗尔(Rolle)(Rolle)定理定理二、拉格朗日(Lagrange)中值定理拉格朗日拉格朗日（LagrangeLagrange）中值定理）中值定理 如果函数如果函数 f(x)在在闭区间闭区间,ba上连续上连续,在开区间在开区间),(ba内可导内可导,那末在那末在),(ba内至少有一点内至少有一点)(ba ，使等式，使等式 )()()(abfafbf 成立成立.)1()2().()(:bfaf 去去掉掉了了与与罗罗尔尔定定理理相相比比条条件件中中

14、注注意意).()()(fabafbf结结论论亦亦可可写写成成三、柯西(Cauchy)中值定理柯西（柯西（CauchyCauchy）中值定理）中值定理 如果函数如果函数)(xf及及)(xF 在闭区间在闭区间,ba上连续上连续,在开区间在开区间),(ba内可导内可导,且且)(xF在在),(ba内每一点处均不为零，那末在内每一点处均不为零，那末在),(ba内内至少至少有一点有一点)(ba ,使等式使等式 )()()()()()(FfaFbFafbf 成立成立.例例1717.)1ln(1,0 xxxxx 时时证明当证明当证证),1ln()(xxf 设设,0)(上上满满足足拉拉氏氏定定理理的的条条件件在

15、在xxf)0(),0)()0()(xxffxf ,11)(,0)0(xxff 由上式得由上式得,1)1ln(xxx 0又又x 111,11111 x,11xxxx .)1ln(1xxxx 即即(0,1)2()(1)()0.ff例18：设f（x）在0,1上二阶可导，且f(0)=f(1)，证明存在使得解：令()()(1)()F xf xx xfx罗尔定理，因此在（0，1）内至少存在一点使得()0()(1)()0Fff()(1)()()(1)()0ffff 显然F(x)满足2()(1)()0ff 2()(1)()0ff泰勒泰勒(Taylor)(Taylor)中值定理中值定理泰勒泰勒(Taylor)(

16、Taylor)中值定理中值定理 如果函数如果函数)(xf在含有在含有0 x的某个开区间的某个开区间),(ba内具有直到内具有直到)1(n阶的导数阶的导数,则则当当x在在),(ba内时内时,)(xf可以表示为可以表示为)(0 xx 的一个的一个n次多项式与一个余项次多项式与一个余项)(xRn之和之和:)()(!)()(!2)()()()(00)(200000 xRxxnxfxxxfxxxfxfxfnnn 其中其中10)1()()!1()()(nnnxxnfxR(在0 x与与x之间之间).)(!)0(!2)0()0()0()()(2nnnxOxnfxfxffxf )10()!1()(!)0(!2)

17、0()0()0()(1)1()(2 nnnnxnxfxnfxfxffxf麦克劳林麦克劳林(Maclaurin)(Maclaurin)公式公式曲线凹凸的判定xyo)(xfy xyo)(xfy abAB递增递增)(xf abBA0 y递减递减)(xf 0 y定理定理.,)(,0)()2(;,)(,0)()1(),(,),(,)(上的图形是凸的上的图形是凸的在在则则上的图形是凹的上的图形是凹的在在则则内内若在若在一阶和二阶导数一阶和二阶导数内具有内具有在在上连续上连续在在如果如果baxfxfbaxfxfbababaxf ).(xss 单调增函数单调增函数),(yyxxN 设设如图，如图，NTMTMN

18、MN ,0时时当当 x22)()(yxMN xxy 2)(1,12dxy sMN ,ds22)()(dydxMT ,12dxy dyyNT ,0.12dxyds 故故,)(为单调增函数为单调增函数xss .12dxyds 故故弧微分公式弧微分公式NMTRA0 xxxx xyo)S S).M.MC0Myxo.sKMM 的平均曲率为的平均曲率为弧段弧段（设曲线设曲线C是光滑的，是光滑的，.0是是基基点点M,sMM （.切切线线转转角角为为MM定义定义sKs 0lim曲线曲线C在点在点M处的曲率处的曲率,lim0存存在在的的条条件件下下在在dsdss .dsdK 2、曲率的计算公式、曲率的计算公式注

19、意注意:(1)直线的曲率处处为零直线的曲率处处为零;(2)圆上各点处的曲率等于半径的倒数圆上各点处的曲率等于半径的倒数,且且半径越小曲率越大半径越小曲率越大.,)(二二阶阶可可导导设设xfy ,tany ,12dxyyd .)1(232yyk ,arctan y 有有.12dxyds .1,1 kk即即积分积分不定积分、定积分、定积分的应用不定积分、定积分、定积分的应用注意：换元法注意：换元法.11dxex 解解dxex 11dxeeexxx 11dxeexx 11dxeedxxx 1)1(11xxededx .)1ln(Cexx 23x xdx解解2221332x xdxxdx23xu令令得

20、得223xududx原式原式11322111122312uuduCuC将将x代替代替u得：得：322213(3)3x xdxxC例例 求求解解).0(122 adxax令令taxtan tdtadx2sec dxax221tdtata2secsec1 tdtsecln sectanttCtax22ax 22ln.xxaCaa 2,2t.duvuvudv 例例 求积分求积分.sin xdxex解解 xdxexsin xxdesin )(sinsinxdexexx xdxexexxcossin xxxdexecossin )coscos(sinxdexexexxx xdxexxexxsin)cos

21、(sin xdxexsin.)cos(sin2Cxxex 注意循环形式注意循环形式xyo)(xfy abxyo)(1xfy )(2xfy ab曲边梯形的面积曲边梯形的面积 badxxfA)(曲边梯形的面积曲边梯形的面积 badxxfxfA)()(12一、直角坐标系情形一、直角坐标系情形xxxx x 一一般般地地，如如果果旋旋转转体体是是由由连连续续曲曲线线)(xfy 、直直线线ax 、bx 及及x轴轴所所围围成成的的曲曲边边梯梯形形绕绕x轴轴旋旋转转一一周周而而成成的的立立体体，体体积积为为多多少少？取取积积分分变变量量为为x，,bax 在在,ba上上任任取取小小区区间间,dxxx，取取以以d

22、x为为底底的的窄窄边边梯梯形形绕绕x轴轴旋旋转转而而成成的的薄薄片片的的体体积积为为体体积积元元素素，dxxfdV2)(xdxx xyo旋转体的体积为旋转体的体积为dxxfVba2)()(xfy 类似地，如果旋转体是由连续曲线类似地，如果旋转体是由连续曲线)(yx 、直线、直线cy 、dy 及及y轴所围轴所围成的曲边梯形绕成的曲边梯形绕y轴旋转一周而成的立体，轴旋转一周而成的立体，体积为体积为xyo)(yx cddyy2)(dcVxoab二、平行截面面积为已知的立体的体积二、平行截面面积为已知的立体的体积xdxx 如果一个立体不是旋转体，但却知道该立如果一个立体不是旋转体，但却知道该立体上垂直

23、于一定轴的各个截面面积，那么，这体上垂直于一定轴的各个截面面积，那么，这个立体的体积也可用定积分来计算个立体的体积也可用定积分来计算.)(xA表表示示过过点点x且且垂垂直直于于x轴轴的的截截面面面面积积，)(xA为为x的已知连续函数的已知连续函数,)(dxxAdV .)(badxxAV立体体积立体体积级数级数级数的收敛与发散；级数的收敛与发散；幂函数的收敛半径、收敛区间、收敛域、和函数幂函数的收敛半径、收敛区间、收敛域、和函数且且),2,1(nvunn,若若 1nnv收敛收敛,则则 1nnu收敛；收敛；反之，若反之，若 1nnu发散，则发散，则 1nnv发散发散.均为正项级数，均为正项级数，和

24、和设设 11nnnnvu比较审敛法比较审敛法的极限形式:设1nnu与1nnv都是正项级数,如果则(1)当时,二级数有相同的敛散性;(2)当时，若收敛,则收敛;(3)当时,若1nnv发散,则1nnu发散;,limlvunnn l00 l l 1nnv 1nnu比值审敛法比值审敛法(达朗贝尔达朗贝尔 D DAlembertAlembert 判别法判别法)：设设 1nnu是是正正项项级级数数,如如果果)(lim1 数数或或nnnuu则则1 时时级级数数收收敛敛;1 时时级级数数发发散散;1 时时失失效效.交错级数及其审敛法定义:正、负项相间的级数称为交错级数.nnnnnnuu 111)1()1(或或

25、莱布尼茨定理莱布尼茨定理 如果交错级数满足条件如果交错级数满足条件:(),3,2,1(1 nuunn;(;()0lim nnu,则级数收敛则级数收敛,且其和且其和1us ,其余项其余项nr的绝对值的绝对值1 nnur.)0(nu其其中中任意项级数正项级数定义定义:若若 1nnu收敛收敛,则称则称 1nnu为绝对收敛为绝对收敛;若若 1nnu发散发散,而而 1nnu收敛收敛,则称则称 1nnu为条件收敛为条件收敛.nnnaa1lim 12lim nnn2,21 R,2121收敛收敛即即 x,)1,0(收收敛敛 x121(1)().2nnnnxn,0时时当当 x,11 nn级数为级数为,1时时当当

26、 x,)1(1 nnn级数为级数为发散收敛故收敛域为故收敛域为(0,1.(0,1.例例 求级数求级数 11)1(nnnnx的和函数的和函数.解,)1()(11 nnnnxxs,0)0(s显显然然两边积分得)1ln()(0 xdttsx 21)(xxxs,11x )11(x,1时时又又 x.1)1(11收收敛敛 nnn).1ln()1(11xnxnnn )11(x),1ln()(xxs )1ln()0()(xsxs 即即高等代数高等代数行列式、逆矩阵、初等变换、求秩、解方程、线性相行列式、逆矩阵、初等变换、求秩、解方程、线性相关和线性无关、二次型、特征值和特征向量关和线性无关、二次型、特征值和特

27、征向量59323122211211aaaaaa .312213332112322311aaaaaaaaa (1)(1)沙路法沙路法三阶行列式的计算三阶行列式的计算322113312312332211aaaaaaaaa D333231232221131211aaaaaaaaaD .列标列标行标行标333231232221131211aaaaaaaaaD 60333231232221131211aaaaaaaaa332211aaa.322311aaa 注意注意 红线上三元素的乘积冠以正号，蓝线上三红线上三元素的乘积冠以正号，蓝线上三元素的乘积冠以负号元素的乘积冠以负号说明说明1 对角线法则只适用于

28、二阶与三阶行列式对角线法则只适用于二阶与三阶行列式322113aaa 312312aaa 312213aaa 332112aaa 61例：1201201112301112求D=解：1201001052331111D1211523111 1325781003278(24 14)10 62例：已知 求3521110513132413D解：11121314AAAA11213141MMMM111213141111110513132413AAAA4112131411121314115211105013131413MMMMAAAA运算性质运算性质 ;1AAT ;2AAn ;3BAAB .BAAB 例 设A

29、为三阶矩阵 若已知|A|2 求|A|A2AT|解 (2)664|A|3|A2|AT|A|A2AT|A|3|A2AT|A|3|A|A|A|A|6 64定理定理1 1 矩阵矩阵 可逆的充要条件是可逆的充要条件是 ，且，且 ,11 AAAA0 A.的的伴伴随随矩矩阵阵为为矩矩阵阵其其中中AA 112111222212nnnnnnAAAAAAAAAA这里这里 是行列式是行列式|A|A|中中 元素的代数余子式元素的代数余子式（注意注意：不是余子式）。：不是余子式）。ijAija65 .,1111AAAA 且且亦亦可可逆逆则则可可逆逆若若逆矩阵的运算性质逆矩阵的运算性质 且且可可逆逆则则数数可可逆逆若若,

30、0,2AA 且且亦可逆亦可逆则则为同阶方阵且均可逆为同阶方阵且均可逆若若,3ABBA 1ABB1 1 A .111 AA 66例：设为三阶方阵，|A|=1/2，计算 1(3)2AA解：1111|2AAAA AAA 111111114(3)22(1/2)333AAAAAAA314|3A11111|12nnAAIAAAAIAA 1(3)2AA314128|327A 67证明证明,022 EAA由由 EEAA2 得得,0 AEEAA 212 EAA.,2,:,022并求它们的逆矩阵并求它们的逆矩阵都可逆都可逆证明证明满足方程满足方程设方阵设方阵EAAEAAA 例例.可可逆逆故故A1 A68022 E

31、AA又又由由 0432 EEAEA EEAEA 3412.EA可可逆逆故故2 EAEA34121 且且.43AE .211EAA 12 EA ,13412 EAEA69.,343122321 1 AA求求设设 解解例例 103620012520001321 100343010122001321EA122rr 133rr 21rr 23rr 70 11110001252001120121rr 23rr 111100563020231001312rr 325rr 312rr 325rr ）（22 r）（13 r.111253232311 A 11110025323010231001）（22 r）（

32、13 r71做做初初等等变变换换，对对矩矩阵阵 510231202231A例题例题,000031202231510231202231 显然，非零行的行数为显然，非零行的行数为2，.2 AR()()r Ar A b()()r Ar A b()()r Ar A b1、若2、若3、若，则该线性方程组无解。而且都等于n，则该线性方程组有且只有唯一组解。而且都小于n，则该线性方程组有无穷多组解。例：解方程组 12341234123423023550470 xxxxxxxxxxxx121312131213235507311073114171073110000A解：13423433441317731177x

33、xxxxxxxxx 12131013/71/7013/711/7013/711/70000000033447007xxxx取和112233441313117007xxxxxxxx 得和12(13,3,7,0),(1,11,0,7)即为方程的基础解系 方程的解为 112212,kkk kR，如果一个方程组的系数矩阵的秩为，那它的基础解系有个解向量。例：求解下列非齐次线性方程组：1234123412343133445980 xxxxxxxxxxxx解：对方程组的增广矩阵作如下初等变换：113111131111311313440467104671159800467100000A33510113112

34、4437137101012442440000000000 因此方程的系数矩阵的秩和增广矩阵的秩相等都等于24因此方程组有无穷多组解。由上面矩阵可将方程组化为：134134234234335533244424371137244424xxxxxxxxxxxx 得到方程组的一个特解:51,0,044对应齐次方程组的基础解系有422个，我们取 334410,01xxxx分别得到一组线性无关的基础解系：1122123344332437,241001xxxxxxxx 故方程组的解为 1 122Xkk12,k kR说明说明.,0.1言言的的特特征征值值问问题题是是对对方方阵阵而而特特征征向向量量 x 2.,

35、0,0.nAIA xIAA阶方阵 的特征值 就是使齐次线性方程组有非零解的值即满足方程的 都是矩阵 的特征值一、特征值与特征向量的概念.,1的特征向量的特征向量的对应于特征值的对应于特征值称为称为量量非零向非零向的特征值的特征值称为方阵称为方阵这样的数这样的数那末那末成立成立使关系式使关系式维非零列向量维非零列向量和和如果数如果数阶矩阵阶矩阵是是设设定义定义 AxAxAxxnnA 3.0IA1112121222120nnnnnnaaaaaaaaa次次方方程程为为未未知知数数的的一一元元称称以以n 0IA.的的为为A特征方程特征方程,次多项式次多项式的的它是它是n 记记 fIA称其称其.的的为为

36、方方阵阵A特征多项式特征多项式 则则有有的的特特征征值值为为阶阶方方阵阵设设,.4 21nijaAn ;)1(221121nnnaaa .)2(21An 例例 设设,314020112 A求求A A的特征值与特征向量的特征值与特征向量解解211020413IA ,2)1(2 02)1(2 令令.2,1321 的特征值为的特征值为得得A 由由解解方方程程时时当当.0,11 xEA,000010101414030111 EA,1011 p得基础解系得基础解系的的全全体体特特征征向向量量为为故故对对应应于于11 ).0(1 kpk 由由解解方方程程时时当当.02,232 xEA ,000000114

37、1140001142 EA得基础解系为：得基础解系为：,401,11032 pp :232的的全全部部特特征征向向量量为为所所以以对对应应于于 ).0,(323322不不同同时时为为kk pkpk 相似矩阵与相似变换.,.,111的的相相似似变变换换矩矩阵阵变变成成称称为为把把可可逆逆矩矩阵阵进进行行相相似似变变换换称称为为对对行行运运算算进进对对相相似似与与或或说说矩矩阵阵的的相相似似矩矩阵阵是是则则称称使使若若有有可可逆逆矩矩阵阵阶阶矩矩阵阵都都是是设设定定义义BAPAAPPABAABBAPPPnBA 定理定理：设是阶方阵，则相似于一个对角阵的充分必要条件是恰有个线性无关的特征向量。其中为

38、的个线性无关的特征向量拼成的矩阵，且这个对角阵主对角线上的个元素就是的特征值。推论推论：阶阵有个不同的特征值，则必相似于一个对角阵。阶矩阵与对角矩阵相似的充分必要条件是对于每一个重根，对应的特征矩阵的秩是。11nnBP APBP A P定义定义：设有n个变元 12,nx xx的二次多项式：21211 1121211(,)22nnnf x xxa xa x xa x x2222222nna xa x x2nnnna x称为是n个变元的实二次型。具有以下特点：1、每一项中变元的次数加起来都等于2。2、前面的系数等于，前面的系数等于 2ixiia()ijx x ij2ija3、都是实数。ija212

39、11 1121211221212222221122(,)nnnnnnnnnnnnnf x xxa xa x xa x xa x xa xa x xa x xa x xa x若把实二次型写成以下形式：因此上式的系数就是一个方阵，因为 ijjiaa是一个对称实方阵，系数矩阵为：111212122212nnnnnnaaaaaaAaaa111211212222121212(,)(,)nnnnnnnnnaaaxaaaxf x xxx Axx xxaaax同时，我们也可以把二次型写成矩阵形式：例：求实对称矩阵对应的二次型：11011021022A122123123211223331101(,)(,)102

40、221022xf x x xx x xxxx xx xxx 解：解析几何解析几何向量的点乘、叉乘，以及它们所表示的意义；向量的点乘、叉乘，以及它们所表示的意义；曲线方程、曲面方程；曲线方程、曲面方程；直线与直线的夹角、直线与平面的夹角、平面与平面的直线与直线的夹角、直线与平面的夹角、平面与平面的夹角。夹角。ab cos|baba ,Prcos|bjba ,Prcos|ajab ajbbabPr|.Pr|bjaa 数量积也称为数量积也称为“点积点积”、“内积内积”.结论结论 两向量的数量积等于其中一个向量的两向量的数量积等于其中一个向量的模和另一个向量在这向量的方向上的投影的模和另一个向量在这向

41、量的方向上的投影的乘积乘积.zzyyxxbabababa 222222coszyxzyxzzyyxxbbbaaabababa ba0 zzyyxxbababa例例 1 1 已知已知4,1,1 a，2,2,1 b，求，求（1）ba；（2）a与与b的夹角；的夹角；（3）a在在b上的投影上的投影.解解ba)1(2)4()2(111 .9 222222cos)2(zyxzyxzzyyxxbbbaaabababa ,21 ajbbabPr|)3(.3|Pr bbaajb .43 向量向量a与与b的的向量积向量积为为 bac sin|bac(其其中中 为为a与与b的的夹夹角角)定义定义c的的方方向向既既垂

42、垂直直于于a，又又垂垂直直于于b，指指向向符符合合右右手手系系.关于向量积的说明：关于向量积的说明：.0)1(aa)0sin0(ba)2(/.0 ba)0,0(ba向量积也称为向量积也称为“叉积叉积”、“外积外积”.可用三阶行列式表示可用三阶行列式表示zyxzyxbbbaaakjiba ba/zzyyxxbababa 由上式可推出由上式可推出补充补充|ba 表表示示以以a和和b为为邻邻边边的的平平行行四四边边形形的的面面积积.abbac 例例 4 4 在在顶顶点点为为)2,1,1(A、)2,6,5(B和和)1,3,1(C的的三三角角形形中中，求求AC边边上上的的高高BD.ABC解解D3,4,0

43、 AC0,5,4 AB三角形三角形ABC的面积为的面积为|21ABACS 22216121521 ,225|AC,5)3(422|21BDS|AC|521225BD .5|BDxozy0),(zyf),0(111zyM M),(zyxM设设1)1(zz （2）点点M到到z轴轴的的距距离离|122yyxd 旋转过程中的特征：旋转过程中的特征：如图如图将将 代入代入2211,yxyzz 0),(11 zyfd将将 代入代入2211,yxyzz 0),(11 zyf ,0,22 zyxfyoz坐坐标标面面上上的的已已知知曲曲线线0),(zyf绕绕z轴轴旋旋转转一一周周的的旋旋转转曲曲面面方方程程.得

44、方程得方程同理：同理：yoz坐标面上的已知曲线坐标面上的已知曲线0),(zyf绕绕y轴旋转一周的轴旋转一周的旋转曲面方程旋转曲面方程为为 .0,22 zxyf例例6 6 将下列各曲线绕对应的轴旋转一周，求将下列各曲线绕对应的轴旋转一周，求生成的旋转曲面的方程生成的旋转曲面的方程（1）双双曲曲线线12222 czax分分别别绕绕x轴轴和和z轴轴；绕绕x轴轴旋旋转转绕绕z轴旋转轴旋转122222 czyax122222 czayx旋转双曲面旋转双曲面（2）椭椭圆圆 012222xczay绕绕y轴轴和和z轴轴；绕绕y轴轴旋旋转转绕绕z轴旋转轴旋转122222 czxay122222 czayx旋转椭

45、球面旋转椭球面（3）抛抛物物线线 022xpzy绕绕z轴轴；pzyx222 旋转抛物面旋转抛物面从柱面方程看柱面的从柱面方程看柱面的特征特征：只只含含yx,而而缺缺z的的方方程程0),(yxF，在在空空间间直直角角坐坐标标系系中中表表示示母母线线平平行行于于z轴轴的的柱柱面面，其其准准线线为为xoy面面上上曲曲线线C.（其他类推）（其他类推）实实 例例12222 czby椭圆柱面椭圆柱面 /轴轴x12222 byax双曲柱面双曲柱面 /轴轴zpzx22 抛物柱面抛物柱面 /轴轴y 0),(0),(zyxGzyxF空间曲线的一般方程空间曲线的一般方程 曲线上的点都满足曲线上的点都满足方程，满足方

46、程的点都在方程，满足方程的点都在曲线上，不在曲线上的点曲线上，不在曲线上的点不能同时满足两个方程不能同时满足两个方程.xozy1S2SC空间曲线空间曲线C可看作空间两曲面的交线可看作空间两曲面的交线.特点特点：一、空间曲线的一般方程 )()()(tzztyytxx 当当给给定定1tt 时时，就就得得到到曲曲线线上上的的一一个个点点),(111zyx，随随着着参参数数的的变变化化可可得得到到曲曲线线上上的的全全部部点点.空间曲线的参数方程空间曲线的参数方程二、空间曲线的参数方程 0),(0),(zyxGzyxF消去变量消去变量z后得：后得：0),(yxH曲线关于曲线关于 的的投影柱面投影柱面xo

47、y设空间曲线的一般方程：设空间曲线的一般方程：以此空间曲线为准线，垂直于所投影的坐标面以此空间曲线为准线，垂直于所投影的坐标面.投影柱面的投影柱面的特征特征：三、空间曲线在坐标面上的投影xyzo0MM 如果一非零向量垂直如果一非零向量垂直于一平面，这向量就叫做于一平面，这向量就叫做该平面的该平面的法线向量法线向量法线向量的法线向量的特征特征：垂直于平面内的任一向量垂直于平面内的任一向量已知已知,CBAn ),(0000zyxM设平面上的任一点为设平面上的任一点为),(zyxMnMM 0必有必有00 nMM一、平面的点法式方程n,0000zzyyxxMM 0)()()(000 zzCyyBxxA

48、平面的点法式方程平面的点法式方程 平面上的点都满足上方程，不在平面上的平面上的点都满足上方程，不在平面上的点都不满足上方程，上方程称为平面的方程，点都不满足上方程，上方程称为平面的方程，平面称为方程的图形平面称为方程的图形其中法向量其中法向量,CBAn 已知点已知点).,(000zyx例例 1 1 求求过过三三点点)4,1,2(A、)2,3,1(B和和)3,2,0(C的的平平面面方方程程.解解6,4,3 AB1,3,2 AC取取ACABn ,1,9,14 所求平面方程为所求平面方程为,0)4()1(9)2(14 zyx化简得化简得.015914 zyx例例 2 2 求过点求过点)1,1,1(，

49、且垂直于平面，且垂直于平面7 zyx和和051223 zyx的平面方程的平面方程.,1,1,11 n12,2,32 n取法向量取法向量21nnn ,5,15,10,0)1(5)1(15)1(10 zyx化简得化简得.0632 zyx所求平面方程为所求平面方程为解解由平面的点法式方程由平面的点法式方程0)()()(000 zzCyyBxxA0)(000 CzByAxCzByAxD 0 DCzByAx平面的一般方程平面的一般方程法向量法向量.,CBAn 二、平面的一般方程平面一般方程的几种特殊情况：平面一般方程的几种特殊情况：,0)1(D平面通过坐标原点；平面通过坐标原点；,0)2(A ,0,0D

50、D平面通过平面通过 轴；轴；x平面平行于平面平行于 轴；轴；x,0)3(BA平面平行于平面平行于 坐标面；坐标面；xoy类似地可讨论类似地可讨论 情形情形.0,0 CBCA0,0 CB类似地可讨论类似地可讨论 情形情形.例例 3 3 设设平平面面过过原原点点及及点点)2,3,6(，且且与与平平面面824 zyx垂垂直直，求求此此平平面面方方程程.设平面为设平面为,0 DCzByAx由平面过原点知由平面过原点知,0 D由由平平面面过过点点)2,3,6(知知0236 CBA,2,1,4 n024 CBA,32CBA .0322 zyx所求平面方程为所求平面方程为解解例例 4 4 设设平平面面与与z