2025年山东济南中考数学一轮复习 教材考点复习 ——反比例函数的综合（二阶）.docx

1、2025年山东济南中考数学一轮复习 教材考点复习 反比例函数的综合（二阶） 学生版考法探究突破考法一反比例函数与一次函数相结合1.反比例函数与一次函数综合常涉及以下几个方面：（1）确定函数表达式：将一个交点坐标代入ykx可求k，再由反比例函数表达式确定另一个交点坐标，最后由两个交点坐标利用待定系数法可求得一次函数的表达式；（2）求几何图形面积：方法见提分微专题“反比例函数中的面积问题”；（3）求交点个数：将yk1xb与yk2x图象的交点个数问题转化为方程k1xbk2x的解的个数问题，会得到一个一元二次方程，利用b24ac具体进行判断求解.考法二反比例函数与几何图形相结合2.对于反比例函数与几何

2、图形的综合题，常涉及以下几个方面：（1）求反比例函数的表达式.（2）涉及求点的坐标时：求交点坐标，应与图象联系在一起，观察图象，得出该点的横坐标（或纵坐标）代入已知的表达式中即可求解；给出图形的面积求点的坐标，根据表达式，设出该点只含一个未知数的坐标，列出关于该图形面积的等式进行求解.题型分类过关类型一线段问题1.如图，反比例函数ykx（x0）与一次函数y2xm的图象交于点A（1，4），BCy轴于点D，分别交反比例函数与一次函数的图象于点B，C.（1）求反比例函数ykx与一次函数y2xm的表达式；2.（2023高新二模节选）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线l：y34xb与x，y轴分别交于点

3、A，B，与双曲线H：ykx交于点P2，92，直线xm分别与直线l和双曲线H交于点E，D.（1）求k和b的值；（2）当点E在线段AB上时，如果EDBO，求m的值.3.（2024长清二模节选）如图，一次函数yx8的图象与反比例函数ykx（x0）的图象交于A（a，6），B两点.（1）求此反比例函数的表达式及点B的坐标；（2）在y轴上存在点P，使得APBP的值最小，求APBP的最小值.类型二面积问题4.如图，一次函数ykxb的图象与反比例函数ymx的图象相交于A（1，4），B（a，1）两点.（1）求反比例函数和一次函数的表达式；（2）点P（n，0）在x轴负半轴上，连接AP，过点B作BQAP，交ymx的

4、图象于点Q，连接PQ.当BQAP时，若四边形APQB的面积为36，求n的值.5.（2023历城二模节选）如图1，在平面直角坐标系中，点A（2，0），点B（0，2），直线AB与反比例函数ykx（k0）的图象在第一象限相交于点C（a，4），（1）求反比例函数的表达式；（2）如图2，点D（4，0），连接CD，点E是反比例函数ykx（k0）图象第一象限内一点，且点E在点C的右侧，连接AE，CE，若ACE的面积与且ACD的面积相等，求点E的坐标.6.如图，在平面直角坐标系xOy中，四边形OABC为正方形，其中点A，C分别在x轴负半轴、y轴负半轴上，点B在第三象限内，点A（t，0），点P（1，2）在函数y

5、kx（k0，x0）的图象上.（1）求k的值；（2）连接BP，CP，记BCP的面积为S，设T2S2t2，求T的最大值.类型三几何变换7.如图，已知坐标轴上两点A（0，4），B（2，0），连接AB.过点B作BCAB，交反比例函数ykx在第一象限的图象于点C（a，1）.（1）求反比例函数ykx和直线OC的表达式；（2）将直线OC向上平移32个单位长度，得到直线l，求直线l与反比例函数图象的交点坐标.类型四角度问题8.（2023济阳一模节选）如图，已知点B坐标为（1，0），点C与点B关于原点对称，过点B作ABx轴，交反比例函数ykx（k0）的图象于点A，若ABC的面积为1.（1）求k的值；（2）如图2

6、，点D在第二象限，ACD是直角三角形，ACD90，tanADC13，求点D的坐标.类型五特殊四边形问题9.（2024市中模拟节选）如图1，已知点A（1，0），B（0，2），平行四边形ABCD的边AD与y轴交于点E，且E为AD的中点，双曲线ykx经过C，D两点.（1）求k的值；（2）点P在双曲线ykx上，点Q在y轴上，若以点A，B，P，Q为顶点的四边形是平行四边形，直接写出满足要求的所有点Q的坐标.类型六证明10.如图1，直线l与坐标轴的正半轴分别交于A，B两点，与反比例函数ykx（k0，x0）的图象交于C，D两点（点C在点D的左边），过点C作CEy轴于点E，过点D作DFx轴于点F，CE与DF交

7、于点G（4，3）.（1）当点D恰好是FG中点时，求此时点C的横坐标；（2）如图2，连接EF，求证：CDEF.达标演练检测1.如图，一次函数y1kxb（k0）的图象与反比例函数y2mx（m0）的图象相交于A（1，3），B（n，1）两点.（1）求一次函数和反比例函数的表达式；（2）根据图象，直接写出y1y2时，x的取值范围；（3）过点B作直线OB，交反比例函数图象于点C，连接AC，求ABC的面积.2.反比例函数ykx的图象既是一个轴对称图形，又是一个中心对称图形，我们可以利用这些性质解决问题：如图1，直线ynx与反比例函数y3x的图象分别交于第一、三象限的点B，D，已知点A（m，0），C（m，0）

8、.（1）判断四边形ABCD的形状，并证明你的结论；（2）如图2，当点B为（p，1）时，四边形ABCD是矩形，试求p和m的值.3.如图所示，直线y1kxb与反比例函数y2mx（x0）的图象交于点P（2，a），Q（8，1），与坐标轴交于A，B两点.（1）求一次函数与反比例函数的表达式；（2）观察图象，当x0时，直接写出不等式kxbmx的解集；（3）将直线y1kxb向下平移n个单位，若直线与反比例函数y2mx（x0）的图象有唯一交点，求n的值.4.如图，一次函数y1kxb（k0）与反比例函数y2mx（x0）的图象交于A（4，1），B12，a两点.（1）求这两个函数的表达式；（2）直接写出满足y1y2

9、0时x的取值范围；（3）如图1，点P在线段AB上，过点P作x轴的垂线，垂足为M，交函数y2mx（x0）的图象于点Q，若POQ的面积为3，求点P的坐标；（4）如图2，把直线AB沿y轴向下平移3个单位长度后与反比例函数的图象交于点C，D，此时设直线CD与x轴的交点为E，连接BC，BE，求BCE的面积.2025年山东济南中考数学一轮复习 教材考点复习 反比例函数的综合（二阶） 教师版考法探究突破考法一反比例函数与一次函数相结合1.反比例函数与一次函数综合常涉及以下几个方面：（1）确定函数表达式：将一个交点坐标代入ykx可求k，再由反比例函数表达式确定另一个交点坐标，最后由两个交点坐标利用待定系数法可

10、求得一次函数的表达式；（2）求几何图形面积：方法见提分微专题“反比例函数中的面积问题”；（3）求交点个数：将yk1xb与yk2x图象的交点个数问题转化为方程k1xbk2x的解的个数问题，会得到一个一元二次方程，利用b24ac具体进行判断求解.考法二反比例函数与几何图形相结合2.对于反比例函数与几何图形的综合题，常涉及以下几个方面：（1）求反比例函数的表达式.（2）涉及求点的坐标时：求交点坐标，应与图象联系在一起，观察图象，得出该点的横坐标（或纵坐标）代入已知的表达式中即可求解；给出图形的面积求点的坐标，根据表达式，设出该点只含一个未知数的坐标，列出关于该图形面积的等式进行求解.题型分类过关类型

11、一线段问题1.如图，反比例函数ykx（x0）与一次函数y2xm的图象交于点A（1，4），BCy轴于点D，分别交反比例函数与一次函数的图象于点B，C.（1）求反比例函数ykx与一次函数y2xm的表达式；解：反比例函数ykx（x0）的图象经过点A（1，4），k144，反比例函数的表达式为y4x.一次函数y2xm的图象经过点A（1，4），42（1）m，m2，一次函数的表达式为y2x2.（2）当OD1时，求线段BC的长.解：OD1，D（0，1），直线BC的表达式为y1.当y1时，14x，解得x4，点B的坐标为（4，1）.当y1时，12x2，解得x12，点C的坐标为 12，1，BC12（4）412.2.

12、（2023高新二模节选）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线l：y34xb与x，y轴分别交于点A，B，与双曲线H：ykx交于点P2，92，直线xm分别与直线l和双曲线H交于点E，D.（1）求k和b的值；（2）当点E在线段AB上时，如果EDBO，求m的值.解：（1）把点P2，92代入ykx，得92k2，解得k9.把点P2，92代入y34xb，得32b92，解得b3.（2）在直线y34x3中，令x0，得y3，B（0，3），OB3.令y0，得34x30，解得x4，A（4，0）.直线xm，分别与直线l和双曲线H交于点E，D，Em，34m3，Dm，9m.点E在线段AB上，4m0，ED34m39m，EDB

13、O，34m39m3，解得m23，m23（不符合题意，舍去），m的值为23.3.（2024长清二模节选）如图，一次函数yx8的图象与反比例函数ykx（x0）的图象交于A（a，6），B两点.（1）求此反比例函数的表达式及点B的坐标；（2）在y轴上存在点P，使得APBP的值最小，求APBP的最小值.解：（1）将A（a，6）代入yx8，得6a8，解得a2.A（2，6）.将A（2，6）代入ykx，得kxy12，反比例函数的表达式为y12x.联立yx+8，y12x，解得x12，y1=6，x26，y2=2.B（6，2）.综上，反比例函数的表达式为y12x，点B（6，2）.（2）作点A关于y轴的对称点A（2，

14、6），连接AB交y轴于点P，此时APBP的值最小.AB2(6）2（62）245，APBPAPBPAB45.类型二面积问题4.如图，一次函数ykxb的图象与反比例函数ymx的图象相交于A（1，4），B（a，1）两点.（1）求反比例函数和一次函数的表达式；（2）点P（n，0）在x轴负半轴上，连接AP，过点B作BQAP，交ymx的图象于点Q，连接PQ.当BQAP时，若四边形APQB的面积为36，求n的值.解：（1）点A（1，4）在反比例函数ymx的图象上，m144，即反比例函数的表达式为y4x.点B（a，1）在反比例函数y4x的图象上，14a，a4.点A（1，4），B（4，1）在一次函数ykxb的图

15、象上，4=kb，1=4kb，解得k1，b=3，yx3.（2）BQAP，BQAP，四边形APQB是平行四边形，点A到点P的平移规律是向左平移（1n）个单位长度，向下平移4个单位长度，点B（4，1）到点Q的平移规律也是向左平移（1n）个单位长度，向下平移4个单位长度，故Q（5n，5）.Q（5n，5）在函数y4x的图象上，545+n，解得n215，点P的坐标为215，0 .如图，设AB与x轴交于点C，连接PB.把y0代入yx3，解得x3，C（3，0），PC3 215 365，SAPB123654（1）18.四边形APQB为平行四边形，S四边形APQB2SAPB36，当n215时，符合题意.5.（20

16、23历城二模节选）如图1，在平面直角坐标系中，点A（2，0），点B（0，2），直线AB与反比例函数ykx（k0）的图象在第一象限相交于点C（a，4），（1）求反比例函数的表达式；（2）如图2，点D（4，0），连接CD，点E是反比例函数ykx（k0）图象第一象限内一点，且点E在点C的右侧，连接AE，CE，若ACE的面积与且ACD的面积相等，求点E的坐标.解：（1）设直线AB的表达式为ymxn，将点A（2，0），点B（0，2）代入，2mn=0，n=2，解得m=1，n=2，yx2，将C（a，4）代入yx2中，a24，解得a2，C（2，4）.将C（2，4）代入ykx，k8，反比例函数表达式为y8x.（

17、2）ACE的面积与且ACD的面积相等，E点在过D点且与AB平行的直线上.设过D点与直线AB平行的直线表达式为yxb，4b0，解得b4，yx4，联立方程组yx4，y8x，解得x=23+2，y=232或x=232，y232.点E在点C的右侧，E（232，232）.6.如图，在平面直角坐标系xOy中，四边形OABC为正方形，其中点A，C分别在x轴负半轴、y轴负半轴上，点B在第三象限内，点A（t，0），点P（1，2）在函数ykx（k0，x0）的图象上.（1）求k的值；（2）连接BP，CP，记BCP的面积为S，设T2S2t2，求T的最大值.解：（1）点P（1，2）在函数ykx（k0，x0）的图象上，2k

18、1，k2，即k的值为2.（2）点A（t，0）在x轴负半轴上，OAt.四边形OABC为正方形，OCBCOAt，BCx轴，BCP的面积为S12（t）（2t）12t2t，T2S2t2212t2t2t2t22t（t1）21.10，抛物线开口向下，当t1时，T有最大值，T的最大值是1.类型三几何变换7.如图，已知坐标轴上两点A（0，4），B（2，0），连接AB.过点B作BCAB，交反比例函数ykx在第一象限的图象于点C（a，1）.（1）求反比例函数ykx和直线OC的表达式；（2）将直线OC向上平移32个单位长度，得到直线l，求直线l与反比例函数图象的交点坐标.解：（1）如图，过点C作CDx轴于点D，则C

19、D1，CDB90.BCAB，ABC90，ABOCBD90，CDB90，BCDCBD90，BCDABO，ABOBCD，OAOBBDCD.A（0，4），B（2，0），C（a，1），OA4，OB2，CD1，42BD1，BD2，OD224，点C（4，1）.将点C（4，1）代入ykx中，可得k4，反比例函数的表达式为y4x.设直线OC的表达式为ymx，将点C（4，1）代入可得14m，解得m14，直线OC的表达式为y14x.（2）由题意得直线l的表达式为14x32，当两函数图象相交时，可得14x324x，解得x12，x28，代入反比例函数表达式，得x1=2，y1=2，x28，y212，直线l与反比例函数图

20、象的交点坐标为（2，2），8,12.类型四角度问题8.（2023济阳一模节选）如图，已知点B坐标为（1，0），点C与点B关于原点对称，过点B作ABx轴，交反比例函数ykx（k0）的图象于点A，若ABC的面积为1.（1）求k的值；（2）如图2，点D在第二象限，ACD是直角三角形，ACD90，tanADC13，求点D的坐标.解：（1）点B坐标为（1，0），点C与点B关于原点对称，则点C（1，0），则BC2.SABC12BCAB122AB1，解得AB1，即点A（1，1）.将点A的坐标代入反比例函数表达式，得k111.（2）过点D作DHx轴于点H.DCHACB90，ACBCAB90，DCHCAB.DH

21、CCBA90，DHCCBA，HDBCCHABDCAC1tanADC3，即HD2CH13，解得DH6，CH3，点D（4，6）.类型五特殊四边形问题9.（2024市中模拟节选）如图1，已知点A（1，0），B（0，2），平行四边形ABCD的边AD与y轴交于点E，且E为AD的中点，双曲线ykx经过C，D两点.（1）求k的值；（2）点P在双曲线ykx上，点Q在y轴上，若以点A，B，P，Q为顶点的四边形是平行四边形，直接写出满足要求的所有点Q的坐标.解：（1）A（1，0），B（0，2），E为AD的中点，xD1.设D（1，t），又DCAB，C（2，t2）.又C，D都在双曲线ykx上，1t2（t2），t4，k

22、4.（2）由（1）知k4，反比例函数的表达式为y4x.点P在双曲线y4x上，点Q在y轴上，设Q（0，y），Px，4x.当AB为边时：如图1，若四边形ABPQ为平行四边形，则1+x20，解得x1，此时P1（1，4），Q1（0，6）.如图2，若四边形ABQP为平行四边形，则点P的横坐标与点A的横坐标相同，即x1.此时P2（1，4），Q2（0，6）.如图3，当AB为对角线时，APBQ，且APBQ.点P的横坐标与点A的横坐标相同，即x1.P3（1，4），Q3（0，2）.故P1（1，4），Q1（0，6）；P2（1，4），Q2（0，6）；P3（1，4），Q3（0，2）.类型六证明10.如图1，直线l与坐标

23、轴的正半轴分别交于A，B两点，与反比例函数ykx（k0，x0）的图象交于C，D两点（点C在点D的左边），过点C作CEy轴于点E，过点D作DFx轴于点F，CE与DF交于点G（4，3）.（1）当点D恰好是FG中点时，求此时点C的横坐标；（2）如图2，连接EF，求证：CDEF.解：（1）当点D恰好是FG中点时，则点D4，32.将点D的坐标代入反比例函数表达式，得32k4，解得k6，即反比例函数的表达式为y6x.当y3时，则36x，解得x2，即此时点C的横坐标是2.（2）证明：设点D4，k4，C13k，3，则GD3k4，则GDGF314k31k12，同理可得CGGE1112kGDGF，CDEF.达标演

24、练检测1.如图，一次函数y1kxb（k0）的图象与反比例函数y2mx（m0）的图象相交于A（1，3），B（n，1）两点.（1）求一次函数和反比例函数的表达式；（2）根据图象，直接写出y1y2时，x的取值范围；（3）过点B作直线OB，交反比例函数图象于点C，连接AC，求ABC的面积.解：（1）将点A（1，3）代入反比例函数y2mx，得m3，反比例函数的表达式为y23x.点B在y23x图象上，n（1）3，n3，即B（3，1）.将A，B两点的坐标分别代入一次函数y1kxb，得kb=3，3kb1，解得k=1，b=2，一次函数表达式为y1x2.（2）3x0或x1.（3）如图，设直线y1x2与y轴相交于点

25、D，过点A作AMx轴于点M，过点C作CNx轴于点N，则D（0，2），.OD2.点B，C关于原点对称，C（3，1），MN312，CN1，ON3，SABCSBODS梯形ADOMS梯形AMNCSCON122312（23）112（13）212318，ABC的面积为8.2.反比例函数ykx的图象既是一个轴对称图形，又是一个中心对称图形，我们可以利用这些性质解决问题：如图1，直线ynx与反比例函数y3x的图象分别交于第一、三象限的点B，D，已知点A（m，0），C（m，0）.（1）判断四边形ABCD的形状，并证明你的结论；（2）如图2，当点B为（p，1）时，四边形ABCD是矩形，试求p和m的值.解：（1）四

26、边形ABCD是平行四边形，证明如下：反比例函数y3x是中心对称图形，且与正比例函数ynx交与点B，D，OBOD，A（m，0），C（m，0），OAOC，四边形ABCD是平行四边形.（2）点B（p，1）在y3x的图象上，13p，p3，过点B作BEx轴于点E，则OE3，BE1，在RtOBE中，由勾股定理得，OB（3）2122，四边形ABCD是矩形， OBOC2，C（m，0），m2.3.如图所示，直线y1kxb与反比例函数y2mx（x0）的图象交于点P（2，a），Q（8，1），与坐标轴交于A，B两点.（1）求一次函数与反比例函数的表达式；（2）观察图象，当x0时，直接写出不等式kxbmx的解集；（3）

27、将直线y1kxb向下平移n个单位，若直线与反比例函数y2mx（x0）的图象有唯一交点，求n的值.解：（1）把Q（8，1）代入y2mx，得m8，反比例函数的表达式为y28x.把点P（2，a）代入y28x，得2a8，解得a4.P（2，4）.把P（2，4），Q（8，1）分别代入y1kxb得2kb=4，8kb=1，解得k12，b5.一次函数的表达式为y112x5.（2）根据图象可得当0x2时，不等式kxbmx.当x8时，不等式kxbmx.故当x0时，不等式kxbmx的解集为0x2或x8.（3）将直线y112x5向下平移n个单位后，直线的表达式为y112x5n，直线y112x5n与反比例函数y28x（x

28、0）有唯一交点，方程12x5n8x有唯一解.整理，得x2（2n10）x160，（2n10）24160，解得n11，n29（舍去）.n的值为1.4.如图，一次函数y1kxb（k0）与反比例函数y2mx（x0）的图象交于A（4，1），B12，a两点.（1）求这两个函数的表达式；（2）直接写出满足y1y20时x的取值范围；（3）如图1，点P在线段AB上，过点P作x轴的垂线，垂足为M，交函数y2mx（x0）的图象于点Q，若POQ的面积为3，求点P的坐标；（4）如图2，把直线AB沿y轴向下平移3个单位长度后与反比例函数的图象交于点C，D，此时设直线CD与x轴的交点为E，连接BC，BE，求BCE的面积.解

29、：（1）反比例函数y2mx的图象经过点A（4，1），1m4，m4，反比例函数表达式为y24x（x0），把B12，a代入y24x，得a8，点B坐标为12，8.一次函数表达式y1kxb，经过A（4，1），B12，8，4kb=1，12kb=8，解得k2，b=9，一次函数表达式为y12x9.（2）12x4（3）由题意，设P（p，2p9）且12p4，Qp，4p，PQ2p94p，SPOQ122p+94pp3，解得p152，p22，P点坐标为52，4或（2，5）.（4）如图，延长BC交x轴于点F.将直线AB沿y轴向下平移3个单位长度后表达式为y2x932x6，联立y2x+6，y4x，解得x=2，y=2或x=1，y=4，C（1，4），D（2，2）设直线BC的表达式为ycxd（c0），把B，C的坐标代入得cd=4，12cd=8，解得c8，d=12，直线BC的表达式为y8x12.令y0，则08x12，解得x32，F32，0.设直线CD的表达式为yexf（e0）.把D，C的坐标代入得2ef=2，ef=4，解得e2，f=6，直线CD的表达式为y2x6.令y0，则02x6，解得x3，E（3，0），EF33232，SBCESBEFSCEF12328123243.