2025年山东济南中考数学一轮复习 教材考点复习 ——二次函数的图像与性质.docx

1、2025年山东济南中考数学一轮复习 教材考点复习 二次函数的图象与性质知识清单梳理知识点一二次函数的概念及表达式1.一般地，若两个变量x，y之间的对应关系可以表示成yax2bxc（a，b，c是常数，a0）的形式，则称y是x的二次函数.2.二次函数表达式的三种形式（1）一般式：yax2bxc（a，b，c为常数，a0）.（2）顶点式：ya（xh）2k（a，h，k为常数，a0），顶点坐标是（h，k）.（3）交点式：ya（xx1）（xx2），其中x1，x2是二次函数的图象与x轴交点的横坐标，a0.3.二次函数表达式的确定（1）抛物线过原点，可设为yax2bx，再代入图象上任意两点坐标求解；（2）已知顶

2、点（h，k）时，可设为顶点式ya（xh）2k，再代入图象上另一点坐标求解；（3）已知抛物线与x轴的两交点坐标为（x1，0），（x2，0）时，或已知对称轴及与x轴的一个交点（x1，0），利用对称轴可求出另外一个交点的坐标（x2，0），可设为交点式ya（xx1）（xx2），再代入图象上另一点坐标求解.知识点二二次函数的图象与性质4.二次函数yax2bxc（a，b，c为常数，a0）的图象和性质开口方向a0，开口向上a0，开口向下图象（草图）开口方向a0，开口向上a0，开口向下对称轴（1）直接运用公式x 求解；（2）配方法：将一般式化为顶点式ya（xh）2k，则对称轴为直线xh.注：还可利用xx1x2

3、2（其中x1，x2为关于对称轴对称的两点的横坐标）求解顶点坐标（1）直接运用顶点坐标公式 ， 求解；（2）运用配方法将一般式转化为顶点式ya（xh）2k，则顶点坐标为（h，k）；（3）将对称轴xx0代入函数表达式求得对应y0增减性a0时，在对称轴左侧，y随x的增大而 ；在对称轴右侧，y随x的增大而 . a0时，在对称轴左侧，y随x的增大而 ；在对称轴右侧，y随x的增大而 .最值a0时，y有最小值；当xb2a时，y的最小值为 a0时，y有最大值；当xb2a时，y的最大值为 5.二次函数图象的特征与a，b，c关系a的正负a0开口 a0开口 a，b的值b0对称轴为y轴a，b同号对称轴在y轴 a，b异

4、号对称轴在y轴 c的正负c0抛物线过原点c0抛物线与y轴交于 半轴c0抛物线与y轴交于 半轴b24ac的值b24ac0与x轴有唯一的交点（顶点）b24ac0与x轴有 交点b24ac0与x轴没有交点【技法总结】代数式的计算或判断代数式解题思路2abb2a与1比较2abb2a与1比较abc令x1，看纵坐标abc令x1，看纵坐标4a2bc令x2，看纵坐标4a2bc令x2，看纵坐标9a3bc令x3，看纵坐标9a3bc令x3，看纵坐标知识点三二次函数图象的平移6.从图象上考虑：二次函数图象平移的实质是图象上点坐标的整体平移（以研究顶点坐标为主），平移过程中a不变，因此可先求出其顶点坐标，根据顶点坐标的平

5、移求解即可.7.从表达式上考虑：二次函数图象平移规律如下表：平移前表达式平移方向（n0）平移后表达式ya（xh）2k向左平移n个单位 向右平移n个单位 向上平移n个单位 向下平移n个单位 【简记】二次函数图象要平移，先化顶点式；上加下减，左加右减.知识点四二次函数与方程、不等式的关系8.与方程的关系方程ax2bxc0（a0）的解是抛物线yax2bxc（a0）与x轴的交点的横坐标（以a0为例）：当b24ac0时，方程ax2bxc0（a0）有两个不相等的实数根：x1m，x2n抛物线yax2bxc（a0）与x轴有 个交点，横坐标分别是 当b24ac0时，方程ax2bxc0（a0）有两个相等的实数根：

6、x1x2z抛物线yax2bxc（a0）与x轴有一个交点，横坐标为z当b24ac0时，方程ax2bxc0（a0） 实数根抛物线yax2bxc（a0）与x轴 交点9.与不等式的关系（1）不等式ax2bxc0的解集抛物线位于x轴上方对应的点的横坐标的取值范围.（2）不等式ax2bxc0的解集抛物线位于x轴下方对应的点的横坐标的取值范围.高频考点过关考点一二次函数的图象与性质1.（2024商河一模）设二次函数yax2c（a，c是常数，a0），已知函数值y和自变量x的三对对应值如表所示，若方程ax2cm0的一个正实数根为5.则下列结论正确的是（ ）x324y0pqA.mp0B.mq0C.pm0D.qm0

7、2.（2022济南）抛物线yx22mxm22与y轴交于点C，过点C作直线l垂直于y轴，将抛物线在y轴右侧的部分沿直线l翻折，其余部分保持不变，组成图形G，M（m1，y1），N（m1，y2）为图形G上两点.若y1y2，则m的取值范围是（ ）A.m1或m0B.12m12C.0m2D.1m1考点二确定二次函数的表达式3.若二次函数yax22的图象经过P（1，3），Q（m，n）两点，则代数式n24m24n9的最小值为（ ）A.1B.2C.3D.44.如图，在平面直角坐标系中，二次函数yax2bxc的图象过点A（1，0），B（0，3），C（2，0），其对称轴与x轴交于点D.求二次函数的表达式及其顶点坐标

8、.考点三二次函数与方程、不等式的关系5.如图，抛物线y12x232x2与x轴交于A，B两点，点P（m，n）（n0）为抛物线上一个动点，当APB为钝角时，则m的取值范围（ ）A.1m0B.1m0或3m4C.0m3或m4D.m1或0m36.（2022槐荫一模）二次函数yax22ax3（a为常数，a0），当a1x2时二次函数的函数值y恒小于4，则a的取值范围为（ ）A.a18B.a1C.0a18或a0D.0a18或1a0 考点四二次函数的平移7.（2023高新二模）已知抛物线yx2mxm22与y轴交于点A，将该抛物线平移，使平移后的抛物线经过点A，且与x轴交于B（m2，0），C两点.若线段OABC1

9、，那么m的值为（ ）A.1B.1或2C.1D.2或2考点五二次函数的图象与系数a，b，c的关系8.（2024商河清华园模拟）约定：若函数图象上至少存在不同的两点关于原点对称，则把该函数称为“黄金函数”，其图象上关于原点对称的两点叫作一对“黄金点”.若点A（1，m），B（n，4）是关于x的“黄金函数”yax2bxc（a0）上的一对“黄金点”，且该函数的对称轴始终位于直线x2的右侧，有结论ac0；b4；14a12bc0；1a0.则正确的有（ ）A.1个B.2个C.3个D.4个9.（2024平阴一模）已知二次函数yax22x12（a为常数，且a0），下列结论：函数图象一定经过第一、二、四象限；函数图

10、象一定不经过第三象限；当x0时，y随x的增大而减小；当x0时，y随x的增大而增大.其中所有正确结论的序号是（ ）A.B.C.D.达标演练检测1.（2024平阴二模）二次函数yax2bxc的图象如图所示，则一次函数yaxc与反比例函数ycx在同一平面直角坐标系中的大致图象为（）A.B.C.D.2.已知二次函数yax2bxc（a0）的图象过点A（1，n），B（3，n），若点C（1，y1），D（0，y2），E（6，y3）也在该二次函数图象上，则下列结论正确的是（ ）A.y1y2y3B.y2y1y3C.y3y1y2D.y1y3y23.已知二次函数y（xh）21（h为常数），在自变量x的值满足1x3的情

11、况下，与其对应的函数值y的最小值为5，则h的值是（ ）A.1或5B.1或3C.1或3D.1或54.如图，反比例函数ykx的图象经过二次函数yax2bx图象的顶点12，m（m0），则有（ ）A.ab2kB.ab2kC.kb0D.ak05.（2024莱芜实验模拟）在平面直角坐标系中，已知点A（3，1），B（1，5），若二次函数ymx23x2（m0）与线段AB无交点，则m的取值范围是（ ）A.12m4 B.m43且m0C.12m43D.m4或m436.（2023长清一模）已知抛物线C：yax2bxc经过点（m，y1），（m1，y2），y2y12m1，当2x2时，在抛物线C上任取一点M，设点M的纵坐标

12、为t.若5t5，则c的取值范围是（ ）A.0c2B.72c92C.c5或c1D.3c47.（2024长清一模）定义：在平面直角坐标系中，点P（x，y）的横、纵坐标的绝对值之和叫作点P（x，y）的勾股值，记Pxy.若抛物线yax2bx1与直线yx只有一个交点C，已知点C在第一象限，且2C4，令t2b24a2 024，则t的取值范围为（ ）A.2 023t2 024B.2 020t2 021C.2 021t2 022D.2 022t2 0238.已知二次函数yax2bxc（a0）的部分图象如图所示，图象经过点（0，2），其对称轴为直线x1.下列结论：3ac0；若点（4，y1），（3，y2）均在二次

13、函数图象上，则y1y2；关于x的一元二次方程ax2bxc1有两个相等的实数根；满足ax2bxc2的x的取值范围为2x0.其中正确结论的个数为（ ）A.1个B.2个C.3个D.4个9.如图，在平面直角坐标系中，二次函数y14x2bxc的图象与坐标轴交于A，B，C三点，其中点A的坐标为（0，8），点B的坐标为（4，0）.求该二次函数的表达式及点C的坐标.2025年山东济南中考数学一轮复习 教材考点复习 二次函数的图象与性质 教师版知识清单梳理知识点一二次函数的概念及表达式1.一般地，若两个变量x，y之间的对应关系可以表示成yax2bxc（a，b，c是常数，a0）的形式，则称y是x的二次函数.2.二

14、次函数表达式的三种形式（1）一般式：yax2bxc（a，b，c为常数，a0）.（2）顶点式：ya（xh）2k（a，h，k为常数，a0），顶点坐标是（h，k）.（3）交点式：ya（xx1）（xx2），其中x1，x2是二次函数的图象与x轴交点的横坐标，a0.3.二次函数表达式的确定（1）抛物线过原点，可设为yax2bx，再代入图象上任意两点坐标求解；（2）已知顶点（h，k）时，可设为顶点式ya（xh）2k，再代入图象上另一点坐标求解；（3）已知抛物线与x轴的两交点坐标为（x1，0），（x2，0）时，或已知对称轴及与x轴的一个交点（x1，0），利用对称轴可求出另外一个交点的坐标（x2，0），可设为交

15、点式ya（xx1）（xx2），再代入图象上另一点坐标求解.知识点二二次函数的图象与性质4.二次函数yax2bxc（a，b，c为常数，a0）的图象和性质开口方向a0，开口向上a0，开口向下图象（草图）开口方向a0，开口向上a0，开口向下对称轴（1）直接运用公式xb2a求解；（2）配方法：将一般式化为顶点式ya（xh）2k，则对称轴为直线xh.注：还可利用xx1x22（其中x1，x2为关于对称轴对称的两点的横坐标）求解顶点坐标（1）直接运用顶点坐标公式b2a，4acb24a求解；（2）运用配方法将一般式转化为顶点式ya（xh）2k，则顶点坐标为（h，k）；（3）将对称轴xx0代入函数表达式求得对应

16、y0增减性a0时，在对称轴左侧，y随x的增大而减小；在对称轴右侧，y随x的增大而增大a0时，在对称轴左侧，y随x的增大而增大；在对称轴右侧，y随x的增大而减小最值a0时，y有最小值；当xb2a时，y的最小值为4acb24aa0时，y有最大值；当xb2a时，y的最大值为4acb24a5.二次函数图象的特征与a，b，c关系a的正负a0开口向上a0开口向下a，b的值b0对称轴为y轴a，b同号对称轴在y轴左侧a，b异号对称轴在y轴右侧c的正负c0抛物线过原点c0抛物线与y轴交于正半轴c0抛物线与y轴交于负半轴b24ac的值b24ac0与x轴有唯一的交点（顶点）b24ac0与x轴有两个交点b24ac0与

17、x轴没有交点【技法总结】代数式的计算或判断代数式解题思路2abb2a与1比较2abb2a与1比较abc令x1，看纵坐标abc令x1，看纵坐标4a2bc令x2，看纵坐标4a2bc令x2，看纵坐标9a3bc令x3，看纵坐标9a3bc令x3，看纵坐标知识点三二次函数图象的平移6.从图象上考虑：二次函数图象平移的实质是图象上点坐标的整体平移（以研究顶点坐标为主），平移过程中a不变，因此可先求出其顶点坐标，根据顶点坐标的平移求解即可.7.从表达式上考虑：二次函数图象平移规律如下表：平移前表达式平移方向（n0）平移后表达式ya（xh）2k向左平移n个单位ya（xhn）2k向右平移n个单位ya（xhn）2k

18、向上平移n个单位ya（xh）2kn向下平移n个单位ya（xh）2kn【简记】二次函数图象要平移，先化顶点式；上加下减，左加右减.知识点四二次函数与方程、不等式的关系8.与方程的关系方程ax2bxc0（a0）的解是抛物线yax2bxc（a0）与x轴的交点的横坐标（以a0为例）：当b24ac0时，方程ax2bxc0（a0）有两个不相等的实数根：x1m，x2n抛物线yax2bxc（a0）与x轴有两个交点，横坐标分别是m，n当b24ac0时，方程ax2bxc0（a0）有两个相等的实数根：x1x2z抛物线yax2bxc（a0）与x轴有一个交点，横坐标为z当b24ac0时，方程ax2bxc0（a0）无实数

19、根抛物线yax2bxc（a0）与x轴无交点9.与不等式的关系（1）不等式ax2bxc0的解集抛物线位于x轴上方对应的点的横坐标的取值范围.（2）不等式ax2bxc0的解集抛物线位于x轴下方对应的点的横坐标的取值范围.高频考点过关考点一二次函数的图象与性质1.（2024商河一模）设二次函数yax2c（a，c是常数，a0），已知函数值y和自变量x的三对对应值如表所示，若方程ax2cm0的一个正实数根为5.则下列结论正确的是（B）x324y0pqA.mp0B.mq0C.pm0D.qm02.（2022济南）抛物线yx22mxm22与y轴交于点C，过点C作直线l垂直于y轴，将抛物线在y轴右侧的部分沿直线

20、l翻折，其余部分保持不变，组成图形G，M（m1，y1），N（m1，y2）为图形G上两点.若y1y2，则m的取值范围是（D）A.m1或m0B.12m12C.0m2D.1m1考点二确定二次函数的表达式3.若二次函数yax22的图象经过P（1，3），Q（m，n）两点，则代数式n24m24n9的最小值为（A）A.1B.2C.3D.44.如图，在平面直角坐标系中，二次函数yax2bxc的图象过点A（1，0），B（0，3），C（2，0），其对称轴与x轴交于点D.求二次函数的表达式及其顶点坐标.解：设二次函数的表达式为ya（x1）（x2），将B（0，3）代入得a32，二次函数的表达式为y32（x1）（x2）

21、32x122938，二次函数的顶点坐标为12,938.考点三二次函数与方程、不等式的关系5.如图，抛物线y12x232x2与x轴交于A，B两点，点P（m，n）（n0）为抛物线上一个动点，当APB为钝角时，则m的取值范围（B）A.1m0B.1m0或3m4C.0m3或m4D.m1或0m36.（2022槐荫一模）二次函数yax22ax3（a为常数，a0），当a1x2时二次函数的函数值y恒小于4，则a的取值范围为（D）A.a18B.a1C.0a18或a0D.0a18或1a0 考点四二次函数的平移7.（2023高新二模）已知抛物线yx2mxm22与y轴交于点A，将该抛物线平移，使平移后的抛物线经过点A，

22、且与x轴交于B（m2，0），C两点.若线段OABC1，那么m的值为（D）A.1B.1或2C.1D.2或2考点五二次函数的图象与系数a，b，c的关系8.（2024商河清华园模拟）约定：若函数图象上至少存在不同的两点关于原点对称，则把该函数称为“黄金函数”，其图象上关于原点对称的两点叫作一对“黄金点”.若点A（1，m），B（n，4）是关于x的“黄金函数”yax2bxc（a0）上的一对“黄金点”，且该函数的对称轴始终位于直线x2的右侧，有结论ac0；b4；14a12bc0；1a0.则正确的有（C）A.1个B.2个C.3个D.4个9.（2024平阴一模）已知二次函数yax22x12（a为常数，且a0）

23、，下列结论：函数图象一定经过第一、二、四象限；函数图象一定不经过第三象限；当x0时，y随x的增大而减小；当x0时，y随x的增大而增大.其中所有正确结论的序号是（B）A.B.C.D.达标演练检测1.（2024平阴二模）二次函数yax2bxc的图象如图所示，则一次函数yaxc与反比例函数ycx在同一平面直角坐标系中的大致图象为（A）A.B.C.D.2.已知二次函数yax2bxc（a0）的图象过点A（1，n），B（3，n），若点C（1，y1），D（0，y2），E（6，y3）也在该二次函数图象上，则下列结论正确的是（B）A.y1y2y3B.y2y1y3C.y3y1y2D.y1y3y23.已知二次函数y

24、（xh）21（h为常数），在自变量x的值满足1x3的情况下，与其对应的函数值y的最小值为5，则h的值是（D）A.1或5B.1或3C.1或3D.1或54.如图，反比例函数ykx的图象经过二次函数yax2bx图象的顶点12，m（m0），则有（D）A.ab2kB.ab2kC.kb0D.ak05.（2024莱芜实验模拟）在平面直角坐标系中，已知点A（3，1），B（1，5），若二次函数ymx23x2（m0）与线段AB无交点，则m的取值范围是（B）A.12m4 B.m43且m0C.12m43D.m4或m436.（2023长清一模）已知抛物线C：yax2bxc经过点（m，y1），（m1，y2），y2y12m

25、1，当2x2时，在抛物线C上任取一点M，设点M的纵坐标为t.若5t5，则c的取值范围是（D）A.0c2B.72c92C.c5或c1D.3c47.（2024长清一模）定义：在平面直角坐标系中，点P（x，y）的横、纵坐标的绝对值之和叫作点P（x，y）的勾股值，记Pxy.若抛物线yax2bx1与直线yx只有一个交点C，已知点C在第一象限，且2C4，令t2b24a2 024，则t的取值范围为（D）A.2 023t2 024B.2 020t2 021C.2 021t2 022D.2 022t2 0238.已知二次函数yax2bxc（a0）的部分图象如图所示，图象经过点（0，2），其对称轴为直线x1.下列

26、结论：3ac0；若点（4，y1），（3，y2）均在二次函数图象上，则y1y2；关于x的一元二次方程ax2bxc1有两个相等的实数根；满足ax2bxc2的x的取值范围为2x0.其中正确结论的个数为（B）A.1个B.2个C.3个D.4个9.如图，在平面直角坐标系中，二次函数y14x2bxc的图象与坐标轴交于A，B，C三点，其中点A的坐标为（0，8），点B的坐标为（4，0）.求该二次函数的表达式及点C的坐标.解：二次函数y14x2bxc过A（0，8），B（4，0）两点，14(4）24bc=0，c=8，解得b=1，c=8.二次函数的表达式为y14x2x8，当y0时，解得x14，x28，所以C点坐标为（8，0）.