《概率论与数理统计学习指导及习题解析》课件第4章.ppt

1、第 4 章随机变量的数字特征第一节知识梳理第一节知识梳理第二节重点解析第二节重点解析第三节典型例题第三节典型例题第四节习题全解第四节习题全解第一节第一节 知知 识识 梳梳 理理第二节第二节 重重 点点 解解 析析1.数学期望1)离散型随机变量的数学期望定义：设离散型随机变量的分布律为pk=PX=xk （k=1，2，）若kkkxp 则称为离散型随机变量X的数学期望，简称期望或均值，记为E(X)，即几个离散型随机变量的数学期望如下：（1）若X服从参数为p的01分布，则E(X)=p；（2）若Xb(n，b)，则E(X)=np；（3）若X()，则E(X)=。kkkx pkkkE Xx p2)连续型随机变

2、量的数学期望定义：设连续型随机变量X的密度函数为f(x)，若 则称积分的值为随机变量X的数学期望，记为E(X)，即 dx f xx dxf xx dE Xxf xx3)随机变量函数的数学期望定理1：设Y是随机变量X的函数Y=g(X)（g是连续函数），若X为离散型，其分布律为P(X=xk)=pk (k=1,2,3,)则若X为连续型，其密度为f(x),则1()kkkE Xg xp()dE Xg x f xx定理2：设Z是随机变量X和Y的函数Z=g(X，Y)（g是连续函数），则Z是一个一维随机变量。若(X,Y)为二维离散型，其联合分布律为P(X=xi,Y=yi)=pij (i,j=1,2,)则 11

3、(,)iiijjiE zg x y p若（X,Y）为二维连续型，其联合密度为f(x,y),则(,)(,)d dE zg x y f x yx y 4)数学期望的几个重要性质（1）设C是常数，则E(C)=C；（2）设X是一个随机变量，C是常数，则有E(CX)=CE(X)；（3）设X和Y是两个随机变量，则有E(X+Y)=E(X)+E(Y)；（4）设X和Y是两个相互独立的随机变量，则有E(XY)=E(X)E(Y)。2.方差 1)方差与标准差定义：设X是一个随机变量，若EXE(X)2存在，则称EXE(X)2为X的方差，记为D(X)或Var(X)，即D(X)=Var(X)=EXE(X)2定理：若随机变量

4、X的方差存在，则有D(X)=E(X2)E(X)22)方差的性质（1）设C是常数，则D(C)=0；（2）设X是一个随机变量，C是常数，则有D(CX)=C2D(X)；（3）设X和Y是两个随机变量，则有D(X+Y)=D(X)+D(Y)+2EXE(X)YE(Y)特别地，若X与Y相互独立，则有D(X+Y)=D(X)+D(Y)3.协方差和相关系数1)协方差和相关系数的概念与性质定义1：若EXE(X)YE(Y)存在，则称其为随机变量X与Y的协方差，记为Cov(X，Y)，即Cov(X，Y)=EXE(X)YE(Y)2)随机变量的相互独立与不相关的关系定义：若随机变量X与Y的相关系数XY=0，则称X与Y不相关。定

5、理：设随机变量X与Y的相关系数存在，若X与Y相互独立，则X与Y一定不相关。4.矩的概念定义：设X和Y是随机变量，若ak=E(Xk)(k=1，2，)存在，则称 ak 为 X 的 k 阶原点矩，简称 k 阶矩。若ck=EXE(X)k(k=2,3,)存在，则称ck为X的k阶中心矩。第三节第三节 典典 型型 例例 题题【例4.1】设随机变量X取非负整数值n0的概率为，已知E(X)=a，求A与B的值。解 因为pn是X的分布律，由!nnABpn00e1!nBnnBP XnAAn解得 A=eB又01e!1!nnBnnBA BE XnAABann因此A=ea，B=a【例4.2】设随机变量X的概率密度，求Emi

6、n(|X|，1)。21 1fxx解 min,1min,1dEXxf xx 11ddxxx f xxf xx12211111dd11xxxxxx12201221dd11xxxxx11ln22【例4.3】设二维连续型随机变量(X，Y)的联合密度函数为1sin,0,0,222 0,xyxyf x y其他且Z=cos(X+Y)，求E(Z)和D(Z)。解 cos,d dE Zxy f x yx y 22001cossind d2xyxyx y 201cos2cos 2d02xxx 2332012coscosd629D ZE Zxxx【例4.4】某箱装有100件产品，其中一、二和三等品分别为80件、10件

7、和10件，现从中随机抽取1件，记试求：（1）随机变量X1与X2的联合分布；（2）随机变量X1与X2的相关系数。1,1,2,30,iiXi抽到 等品其他解 （1）以Ai表示抽到i等品(i=1，2，3),于是P(A1)=0.8，P(A2)=0.1，P(A3)=0.1联合分布为PX1=0，X2=0=P(A3)=0.1，PX1=0，X2=1=P(A2)=0.1PX1=1，X2=0=P(A1)=0.8，PX1=1，X2=1=P()=0（2）因为E(X1)=0.8，E(X2)=0.1，所以D(X1)=E(X21)E(X1)2=0.80.82=0.16D(X2)=E(X22)E(X2)2=0.10.12=0

8、.09又因为E(X1X2)=000.1+010.1+100.8+110=0所以Cov(X1,X2)=E(X1X2)E(X1)E(X2)=00.80.1=0.08故1212Cov0.08230.160.09X XD XD X【例例4.5】点(X，Y)在以(0，0)、(1，0)和(0，1)为顶点的三角形D内服从均匀分布，试求X与Y的相关系数。解 由于三角形的面积为12，所以(X，Y)的联合密度函数为2,0,x yDfx y其他由对称性可知，Y的边缘密度函数与X的相同。又由于10121d3E Xxxx所以 13E Y 而且122201121d918D XE XE Xxxx同样 118D Y 所以 1

9、1001112dd191291121818xXYxxy yE XYE X E YD XD Y【例4.6】已知连续型随机变量X的密度函数为求E(X)与D(X)。2211e,xxf xx 解 方法一：直接法。由数学期望与方差的定义知 211dedxE Xxf xxxx221111ed1 edxxxxx211ed1xx 221dD XE XEXxf xx22111edxxx222111eded22 ttttt分部积分方法二：利用正态分布定义求解。由于期望为，方差为2的正态分布的概率密度为 所以把f(x)变形为2221e2 xx 2211221e122xf x易知，f(x)为的概率密度,因此有11,2

10、N1E X 12D X，【例4.7】袋中装有N只球，其中白球数为随机变量，只知道其数学期望为A，试求从该袋中摸一球得到白球的概率。解 摸一球为白球是与袋中有多少个白球紧密相关的，虽然袋中的白球为随机多个，但当已知袋中白球个数时，从袋中摸一球为白球的概率是易知的。要建立这一条件概率与要求问题的概率的桥梁，可采用全概率公式。记X为袋中的白球数，则由题设知由此，若令D=摸一球为白球，利用全概率公式知0NkAE XkP Xk0NkP DP D Xk P Xk001NNkkkAP Xkk P XkNNN【例4.8】设某产品每周需求量为Q，Q的可能取值为1、2、3、4、5（等可能取各值），生产每件产品成本

11、是c1=3元，每件产品售价c2=9元，没有售出的产品以每件c3=1元的费用存入仓库。问生产者每周生产多少件产品可使所期望的利润最大？解 设每周的产量为N，显然N5。每周利润为L，则21213,6,104,ccNQNNQNLc Qc NcNQQNQNQN所以 6104E LN P QNQNP QNNnNnNnNnN1155145110516261452525NNNNN 27NN令，得N=3.5又因为 d720dE LNN 22d20dE LN 所以当N=3.5时，E(L)达到最大值。【例4.9】设随机变量X与Y均服从标准正态分布N(0，1)，它们的相关系数为XY=12，Z1=aX，Z2=bX+c

12、Y，试求a、b、c的值，使D(Z1)=D(Z2)=1，且Z1与Z2不相关。解 由题意知221D ZD aXa D Xa2D ZD bXcY 222Cov,b D Xc D YbX cY 222XYbcbcD XD Y22bcbc所以a2=b2+c2+bc=1又因为12Cov,Cov,Z ZaX bXcYCov,Cov,abX XacX Y XYabacD XD Y102abac解得4.1 设随机变量X的分布律为说明X的数学期望不存在。第四节第四节 习习 题题 全全 解解1541,1,2,5kkkP Xkk 证明 只有当E(|X|)+时，随机变量X的数学期望才存在。因为级数11111545441

13、1455kkkkkkkkkkkkk是调和级数，发散,所以随机变量X的数学期望不存在。4.2 有3只球，4只盒子，盒子的编号为1、2、3、4，将球逐个独立、随机地放入4只盒子中去。以X表示其中至少有1只球的盒子的最小号码（例如X=3表示第1号、第2号盒子是空的，第3号盒子至少有1只球），试求E(X)。解 首先讨论X的分布律。X=1意味着1号盒子至少有1只球，其余放入24号盒子。若1号盒子中有k只球(k1)，则其余3k只球放入24号盒子。每只球放入1号盒子的概率为14，放入24号盒子的概率为34，所以33331133371144464kkkkP xC X=2意味着2号盒子至少有1只球，其余放入3号

14、或4号盒子。每只球放入2号盒子的概率为14，放入3号或4号盒子的概率为12，所以3333311232192444464kkkkP xC X=3意味着3号盒子至少有1只球，其余放入4号盒子。每只球放入3号盒子的概率为14，放入4号盒子的概率为14,所以333331112173444464kkkkP xC X=4意味着3只球均放入4号盒子。每只球放入4号盒子的概率为14，所以3114464P x故371971100251234646464646416E X 4.3 设随机变量X的分布律为求E(X)、E(X2)、E(3X2+5)。解 方法一：定义法，即先求Y=X2的分布律，再用定义求E(Y)=E(X

15、2)。Y的分布律为3110.40 0.4 1 0.20.2kkkE Xx p 则 E(Y)=E(X2)=00.4+10.6=0.6方法二:随机变量函数的数字特征法，即32222110.40 0.4 10.20.6kkkE Xx p 根据数学期望的性质知E(3X2+5)=3E(X2)+5=30.6+5=6.84.4 设随机变量X的密度函数为f(x)=e2|x|，求E(X)和E(X2)。解 根据数学期望定义知因为xe2|x|为奇函数,所以E(X)=0 2dedxE Xxf xxxx 2222220ded2edxxE Xx f xxxxxx22222000dee2 edxxxxxxx 2222200

16、0dee2 edxxxxxxx 222000deeedxxxxxx 2011e22x 4.6 设随机变量XU(a，b)，求E(2X)和E(e2X)。解 2222abEXE Xab 2222221eeded1ee e2bXxxababxaEf xxxbababa4.7 某工厂生产的某种设备的寿命X（以年计）服从指数分布，密度函数为工厂规定，出售的设备若在售出一年之内损坏可予以调换。假设工厂售出一台设备赢利100元，调换一台设备厂方需花费300元，试求厂方出售一台设备净赢利的数学期望。/41e,0,40,0 xxf xx解 设Y表示出售一台设备的净赢利，依题意，求E(Y)。首先建立Y与X的函数关系

17、，然后利用X的概率密度求E(Y)。工厂售出一台设备，其寿命X1年，可以赢利100元；若X0是常数,求E(X)和D(X)。解 利用定义和正态分布的数字特征计算,即2222/22/22021eded222xxxE Xxxxx 利用定义和指数分布的数字特征计算,即4.13 设随机变量服从几何分布，其分布律为PX=k=p(1p)k1 （k=1，2，）其中0p1是常数，求E(X)和D(X)。解 令1p=q，则 1111111kkkkkkkkE Xk ppkpqpqpq21111qppqpq211E XE X XXE X XE X1111111111kkkkkkk kpqpqpqppp22121qppqp

18、p所以22222211ppD XE XE Xppp4.15 设随机变量X的密度函数为试求：（1）常数a的值；（2）5P XE XD X解 （1）由得 d1f xx101d16aaxxx所以a=6。(2)由(1)知X的密度函数为从而 1201d61d2E Xxfxxxxx 122303d61d10E Xx f xxxxx2231110420D XE XE X所以1155220 01PXE XD XPXPX 1100d61 d1f xxx xx4.16 设随机变量X的分布函数为试确定常数A、B，并求E(X)和D(X)。解 由F(x)的连续性可知 1lim1xF xF 1lim1xF xF，即02A

19、B12AB，解得12A 1B，故X的分布函数为 因为所以 1211dd0 1E Xxfxxxxx 12222111dd2 1E Xx fxxxxx2212D XE XE X4.17 设随机变量X的密度函数为 已知E(X)=2，P1X3=34。求：（1）a、b、c的值；（2）随机变量Y=eX的数学期望和方差。解 （1）由得即 d1f xx2402dd1ax xcxbx2a+2b+6c=1 由得即 d2E Xxf xx24202dd2axxx cxbx8566233abc由 31313d4PXfxx即23123dd4ax xcxbx联立解得14a 1b 14c ，（2）eedXxE YEf xx2

20、40211ede1 d44xxx xxx 4202151eeee444xxxxxx24221111eee14244 222eedXxE YEf xx24220211ede1 d44xxx xxx 242222021191eeee816168xxxxxx84111ee16816 22228421111 eee1168164D YE YE Y2642221111eeeee142444.18 设二维随机变量(X，Y)的密度函数为验证:X与Y不相关，但X与Y不相互独立。221,2,20,xyf x y其他证明 因为22221,d dd d02RxyE XYxyfx yx yxyx y22221,d d

21、d d02RxyE Xxfx yx yxx y所以Cov(X，Y)=E(XY)E(X)E(Y)=0故XY=0，即X与Y不相关。又 211,22,d0,Xxxfxf x yy其他 211,22,d0,Yyyfyf x yx其他 所以fX(x)fY(y)f(x，y)故X与Y不相互独立。4.19 设二维随机变量(X，Y)的分布律为验证:X与Y不相关，但X与Y不相互独立。证明 X的边缘分布律为Y的边缘分布律为所以3231010888E X 3231010888E Y XY的分布律为所以所以故XY=0，即X与Y不相关。又因为 11,1118P XYP XP Y 4.20 二维随机变量(X，Y)的密度函数

22、为求A、E(X)、E(Y)、D(X)、D(Y)、Cov(X，Y)和XY。sin,0,0,220,Axyxyf x y其他 解 由可得2,d d1Rf x yx y 22000202sind ddsindxyAxyx yxAxyy 22220000sin dcos dcos dsin dAx xy yx xy y21A所以12A 222001,d ddsind2RE Xxfx yx yxxxyy222200001sin dcos dcos dsin d2xx xy yxx xy y1224 222001,d ddsind2RE Xyfx yx yxyxyy222200001sin dcos dc

23、os dsin d2x xyy yx xyy y1224 因为222222001,d ddsind2RE Xx f x yx yxxxyy22222200001sin dcos dcos dsin d2xx xy yxx xy y2282所以2222222824162D XE XE X 因为222222001,d ddsind2RE Yy fx yx yxyxyy22222200001sin dcos dcos dsin d2x xyy yx xyy y2282所以 2222222824162D YE YE Y 因为222001,d ddsind2RE XYxyfx yx yxxyxyy222

24、200001sin dcos dcos dsin d2xx xyy yxx xyy y12122所以 2Cov,11244216X YE XYE X E Y 222221Cov,21622162162816 832XYX YD XD Y 4.21 二维随机变量(X，Y)的密度函数为求A、E(X)、E(Y)、Cov(X，Y)、XY和D(X+Y)。解 由可得2,d d1Rf x yx y 222200000202sind ddddd 81xyAxyx yAx xyxy yA 所以18A 22222200001,d ddddd81287 836RE Xxf x yx yxxyx xy y 22222

25、200001,d ddddd81287 836RE Yyf x yx yx xy yxyy 222222200001,d ddddd81324 833RE XYxyf x yx yxxy yx xyy所以 4771Cov,36636X YE XYE X E Y 因为22222223200001,d ddddd81405 833RE Xx f x yx yxxyxxy y22222222300001,d ddddd81405 833RE Yy f x yx yx xyyxyy所以22257113636D XE XE X 22257113636D YE YE Y故 1Cov,13611111136

26、36XYX YD XD Y 2Cov,111115 23636369D XYD XD YX Y 4.23设随机变量X和Y相互独立，且都服从正态分布N(，2)。（1）设U=X+Y和V=XY（其中、是不为零的常数），求UV；（2）求max(X，Y)的数学期望；（3）求min(X，Y)的数学期望。解 （1）由题意知因为X和Y相互独立，所以D(XY)=D(X)+D(Y)=2D(X)+2D(Y)=(2+2)2所以 D(U)=D(V)=(2+2)2故 2222222222Cov,UVU VD UD V（2）因为X和Y相互独立，且都服从正态分布N(，2),所以XYN(0，22),于是22222 22 201

27、1ed2ed2222ttEXYtttt22222 2200112ed22e2 d2222tututtuu令2222002 222ede2uuuu由 可得1max,2X YXYXY 1max,2EX YE XE YEXY122（3）由可得1min,2X YXYXY 1min,2EX YE XE YEXY1224.24 设随机变量X和Y的二阶矩阵存在，试证明柯西-施瓦茨（Cauchy-Schwartz）不等式 E(XY)2E(X2)E(Y2)证明 设Z=X+tY（t+），则E(Z2)=E(X+tY)2=E(X2+2tXY+t2Y2)=E(X2)+2tE(XY)+t2E(Y2)由于E(Z2)0，所以t2E(Y2)+2tE(XY)+E(X2)=0关于t只有一个实根或无实根,故0,即4E(XY)24E(X2)E(Y2)0所以E(XY)2E(X2)E(Y2)