2024年中考数学二轮题型突破题型9 二次函数综合题 类型4 二次函数与角度有关的问题12题（专题训练）（教师版）.docx

1、题型九二次函数综合题 类型四 二次函数与角度有关的问题（专题训练）1（2023四川自贡统考中考真题）如图，抛物线与x轴交于，两点，与轴交于点(1)求抛物线解析式及，两点坐标；(2)以，为顶点的四边形是平行四边形，求点坐标；(3)该抛物线对称轴上是否存在点，使得，若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由【答案】(1)抛物线解析式为，；(2)或或；(3)【分析】（1）将点代入抛物线解析式，待定系数法求解析式，进而分别令，即可求得两点的坐标；（2）分三种情况讨论，当，为对角线时，根据中点坐标即可求解；（3）根据题意，作出图形，作交于点，为的中点，连接，则在上，根据等弧所对的圆周角相等，得出在上，进

2、而勾股定理，根据建立方程，求得点的坐标，进而得出的解析式，即可求解【详解】（1）解：抛物线与x轴交于，解得：，抛物线解析式为，当时，当时，解得：，（2），设，以，为顶点的四边形是平行四边形当为对角线时，解得：，；当为对角线时，解得：当为对角线时，解得：综上所述，以，为顶点的四边形是平行四边形，或或（3）解：如图所示，作交于点，为的中点，连接，是等腰直角三角形，在上，在上，设，则解得：（舍去）点设直线的解析式为解得：. 直线的解析式，抛物线对称轴为直线，当时，【点睛】本题考查了二次函数的综合运用，待定系数法求解析式，平行四边形的性质，圆周角角定理，勾股定理，求一次函数解析式，熟练掌握以上知识是解

3、题的关键2.已知抛物线与x轴相交于，两点，与y轴交于点C，点是x轴上的动点（1）求抛物线的解析式；（2）如图1，若，过点N作x轴的垂线交抛物线于点P，交直线于点G过点P作于点D，当n为何值时，；（3）如图2，将直线绕点B顺时针旋转，使它恰好经过线段的中点，然后将它向上平移个单位长度，得到直线_；当点N关于直线的对称点落在抛物线上时，求点N的坐标【答案】（1）；（2）；（3）；或【分析】（1）根据点的坐标，利用待定系数法即可得；（2）先根据抛物线的解析式可得点的坐标，再利用待定系数法可得直线的解析式，从而可得点的坐标，然后分别求出的长，最后根据全等三角形的性质可得，由此建立方程求解即可得；（3）

4、先利用待定系数法求出直线的解析式，再根据平移的性质可得直线的解析式，从而可得点的坐标，然后根据正切三角函数的定义即可得；先求出直线的解析式，再与直线的解析式联立求出它们的交点坐标，从而可得点的坐标，然后代入抛物线的解析式求解即可得【详解】解：（1）将点，代入得：，解得，则抛物线的解析式为；（2）由题意得：点的坐标为，对于二次函数，当时，即，设直线的解析式为，将点，代入得：，解得，则直线的解析式为，即，解得或（与不符，舍去），故当时，；（3）如图，设线段的中点为点，过点作轴的垂线，交直线于点，则点的坐标为，点的横坐标为3，设直线的解析式为，将点，代入得：，解得，则直线的解析式为，由平移的性质得：

5、直线的解析式为，当时，即，故答案为：；由题意得：，则设直线的解析式为，将点代入得：，解得，则直线的解析式为，联立，解得，即直线与直线的交点坐标为，设点的坐标为，则，解得，即，将点代入得：，整理得：，解得或，则点的坐标为或【点睛】本题考查了二次函数与一次函数的综合、全等三角形的性质、正切三角函数等知识点，熟练掌握待定系数法和二次函数的性质是解题关键3（2023全国统考中考真题）如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过点点，在此抛物线上，其横坐标分别为，连接，(1)求此抛物线的解析式(2)当点与此抛物线的顶点重合时，求的值(3)当的边与轴平行时，求点与点的纵坐标的差(4)设此抛物线在点与点之间部分（包

6、括点和点）的最高点与最低点的纵坐标的差为，在点与点之间部分（包括点和点）的最高点与最低点的纵坐标的差为当时，直接写出的值【答案】(1)；(2)；(3)点与点的纵坐标的差为或；(4)或【分析】（1）待定系数法求解析式即可求解；（2）化为顶点式，求得顶点坐标，进而根据点的横坐标为，即可求解；（3）分轴时，轴时分别根据抛物线的对称性求得的横坐标与的横坐标，进而代入抛物线解析式，求得纵坐标，即可求解；（4）分四种情况讨论，如图所示，当都在对称轴的左侧时，当在对称轴两侧时，当点在的右侧时，当的纵坐标小于时，分别求得，根据建立方程，解方程即可求解【详解】（1）解：抛物线经过点抛物线解析式为；（2）解：，顶

7、点坐标为，点与此抛物线的顶点重合，点的横坐标为，解得：；（3）轴时，点关于对称轴对称，则，点与点的纵坐标的差为；当轴时，则关于直线对称，则，；点与点的纵坐标的差为；综上所述，点与点的纵坐标的差为或；（4）如图所示，当都在对称轴的左侧时，则，即；解得：或（舍去）；当在对称轴两侧或其中一点在对称轴上时，则，即，则，解得：（舍去）或（舍去）；当点在的右侧且在直线上方时，即，解得：或（舍去）；当在直线上或下方时，即，解得：（舍去）或（舍去）综上所述，或【点睛】本题考查了二次函数的性质，待定系数法求解析式，顶点式，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键4.二次函数的图象经过点，与y轴交于点C，点P为第二象限

8、内抛物线上一点，连接、，交于点Q，过点P作轴于点D（1）求二次函数的表达式；（2）连接，当时，求直线的表达式；（3）请判断：是否有最大值，如有请求出有最大值时点P的坐标，如没有请说明理由【答案】（1）；（2）；（3）有最大值为，P点坐标为【分析】（1）将，代入中，列出关于a、b的二元一次方程组，求出a、b的值即可；（2）设与y轴交于点E，根据轴可知，当，即，由此推断为等腰三角形，设，则，所以，由勾股定理得，解出点E的坐标，用待定系数法确定出BP的函数解析式即可；（3）设与交于点N，过B作y轴的平行线与相交于点M由A、C两点坐标可得所在直线表达式，求得 M点坐标，则，由，可得，设，则，根据二次函

9、数性质求解即可【详解】解：（1）由题意可得：解得：，二次函数的表达式为；（2）设与y轴交于点E，轴，设，则，在中，由勾股定理得，解得，设所在直线表达式为解得直线的表达式为（3）设与交于点N过B作y轴的平行线与相交于点M由A、C两点坐标分别为，可得所在直线表达式为M点坐标为，由，可得，设，则，当时，有最大值0.8，此时P点坐标为【点睛】本题主要考查二次函数以及一次函数解析式的确定，函数图像的性质，相似三角形，勾股定理等知识点，熟练运用待定系数法求函数解析式是解题关键，本题综合性强，涉及知识面广，难度较大，属于中考压轴题5（2023浙江金华统考中考真题）如图，直线与轴，轴分别交于点，抛物线的顶点在

10、直线上，与轴的交点为，其中点的坐标为直线与直线相交于点(1)如图2，若抛物线经过原点求该抛物线的函数表达式；求的值(2)连接与能否相等？若能，求符合条件的点的横坐标；若不能，试说明理由【答案】(1)；(2)能，或或或【分析】（1）先求顶点的坐标，然后待定系数法求解析式即可求解；过点作于点设直线为，把代入，得，解得，直线为同理，直线为联立两直线解析式得出，根据，由平行线分线段成比例即可求解；（2）设点的坐标为，则点的坐标为如图2-1，当时，存在记，则过点作轴于点，则在中，进而得出点的横坐标为6如图2-2，当时，存在记过点作轴于点，则在中，得出点的横坐标为如图，当时，存在记过点作轴于点，则在中，得

11、出点的横坐标为如图2-4，当时，存在记过点作轴于点，则在中，得出点的横坐标为【详解】（1）解：，顶点的横坐标为1当时，点的坐标是设抛物线的函数表达式为，把代入，得，解得该抛物线的函数表达式为，即如图1，过点作于点设直线为，把代入，得，解得，直线为同理，直线为由解得，（2）设点的坐标为，则点的坐标为如图，当时，存在记，则为的外角，过点作轴于点，则在中，解得点的横坐标为6如图2-2，当时，存在记为的外角，过点作轴于点，则在中，解得点的横坐标为如图2-3，当时，存在记，过点作轴于点，则在中，解得点的横坐标为如图2-4，当时，存在记，过点作轴于点，则在中，解得点的横坐标为综上，点的横坐标为【点睛】本题

12、考查了二次函数综合运用，解直角三角形，平行线分线段成比例，熟练掌握以上知识，分类讨论是解题的关键6.如图，抛物线与x轴交于点A、B，与y轴交于点C，已知（1）求m的值和直线对应的函数表达式；（2）P为抛物线上一点，若，请直接写出点P的坐标；（3）Q为抛物线上一点，若，求点Q的坐标【答案】（1），；（2），；（3）【分析】（1）求出A，B的坐标，用待定系数法计算即可；（2）做点A关于BC的平行线，联立直线与抛物线的表达式可求出的坐标，设出直线与y轴的交点为G，将直线BC向下平移，平移的距离为GC的长度，可得到直线，联立方程组即可求出P；（3）取点，连接，过点作于点，过点作轴于点，过点作于点，得直

13、线对应的表达式为，即可求出结果；【详解】（1）将代入，化简得，则（舍）或，得：，则设直线对应的函数表达式为，将、代入可得，解得，则直线对应的函数表达式为（2）如图，过点A作BC，设直线与y轴的交点为G，将直线BC向下平移 GC个单位，得到直线，由（1）得直线BC的解析式为，直线AG的表达式为，联立，解得：（舍），或，由直线AG的表达式可得，直线的表达式为，联立，解得：，（3）如图，取点，连接，过点作于点，过点作轴于点，过点作于点，AD=CD，又，又，则，设，由，则，即，解之得，所以，又，可得直线对应的表达式为，设，代入，得，又，则所以【点睛】本题主要考查了二次函数综合题，结合一元二次方程求解是

14、解题的关键7（2023新疆统考中考真题）【建立模型】(1)如图，点是线段上的一点，垂足分别为，求证：；【类比迁移】(2)如图，一次函数的图象与轴交于点、与轴交于点，将线段绕点逆时针旋转得到、直线交轴于点求点的坐标；求直线的解析式；【拓展延伸】(3)如图，抛物线与轴交于，两点点在点的左侧，与轴交于点，已知点，连接抛物线上是否存在点，使得，若存在，求出点的横坐标【答案】（1）见解析； （2）；直线的解析式为；（3）或【分析】建立模型（1）根据题意得出，证明，即可得证；类比迁移 （2）过点作轴于点，同（1）的方法，证明，根据一次函数的图象与轴交于点、与轴交于点，求得，进而可得点的坐标；由，设直线的解

15、析式为，将点代入得直线的解析式为；拓展延伸（3）根据解析式求得，；当点在轴下方时，如图所示，连接，过点作于点，过点作轴于点，过点作，于点，证明，根据得出，设，则，求得点，进而求得直线的解析式，联立抛物线解析式即可求解；当点在轴的上方时，如图所示，过点作，于点，过点作轴，交轴于点，过点作于点，同的方法即可求解【详解】建立模型（1）证明：，又，；类比迁移（2）如图所示，过点作轴于点，将线段绕点逆时针旋转得到，又，一次函数的图象与轴交于点、与轴交于点，当时，即，当时，即，；，设直线的解析式为，将代入得：解得：直线的解析式为，（3）抛物线与轴交于，两点点在点的左侧，当时，解得：，；当点在轴下方时，如图

16、所示，连接，过点作于点，过点作轴于点，过点作，于点，设，则，解得：，设直线的解析式为，代入，得：，解得：，直线解析式为，联立，解得：（舍去），；当点在轴的上方时，如图所示，过点作于点，过点作轴，交轴于点，过点作于点，同理可得，设，则，解得：，设直线的解析式为，代入，得：，解得：，直线的解析式为，联立，解得：（舍去），综上所述，的横坐标为或【点睛】本题考查了二次函数综合运用，待定系数法求一次函数解析式，相似三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，旋转的性质等知识，熟练掌握以上知识是解题的关键8.如图，抛物线（其中）与x轴交于A、B两点，交y轴于点C（1）直接写出的度数和线段AB的长（用a表示

17、）；（2）若点D为的外心，且与的周长之比为，求此抛物线的解析式；（3）在（2）的前提下，试探究抛物线上是否存在一点P，使得？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由【答案】（1）OCA=45，AB= a+1；（2）；（3）存在，P1（，），P2（1，-2）【分析】（1）根据二次函数解析式可得A（a，0），C（0，-a），B（-1，0），即可得出OA=OB=a，OB=1，即可证明OCA是等腰直角三角形，可得OCA=45，根据线段的和差关系可表示AB的长；（2）如图，作ABC的外接圆D，根据等腰直角三角形的性质可得AC=，利用两点间距离公式可用a表示出BC的长，根据圆周角定理可得D=2OAC=

18、90，可得DBC是等腰直角三角形，即可证明DBCOCA，根据相似三角形周长之比等于相似比列方程求出a值即可得答案；（3）如图，过点D作DHAB于H，过点C作AC的垂线，交x轴于F，过点O作OGAC于G，连接AP交CF于E，可得OCF是等腰直角三角形，利用待定系数法可得直线CF的解析式，根据外心的定义及等腰直角三角形的性质可求出点D坐标，即可得出BH、DH的长，根据，BHD=ACE=90可证明BHDACE，根据相似三角形的性质可求出CE的长，根据两点间距离公式可得点E坐标，利用待定系数法可得直线AE解析式，联立直线AE与抛物线的解析式求出点P坐标即可得答案【详解】（1）抛物线（其中）与x轴交于A

19、、B两点，交y轴于点C当x=0时，y=-a，当y=0时，解得：，A（a，0），C（0，-a），B（-1，0），OB=1，OA=OC=a，OCA是等腰直角三角形，OCA=45，AB=OA+OB=a+1（2）如图，作ABC的外接圆D，点D为的外心，DB=DC，OCA是等腰直角三角形，OA=a，OAC=45，AC=，BDC和BAC是所对的圆心角和圆周角，BDC=2BAC=90，DBC=45，DBC=OAC，DBCOCA，与的周长之比为，即，解得：，经检验：是原方程的根，,a=2，抛物线解析式为：=（3）如图，过点D作DHAB于H，过点C作AC的垂线，交x轴于F，过点O作OGAC于G，连接AP交CF于

20、E，a=2，C（0，-2），A（2，0），AC=，OCA=45，OCF=45，OCF是等腰直角三角形，F（-2，0），设直线CF的解析式为y=kx+b，解得：，直线CF的解析式为，OCA是等腰直角三角形，OGAC，OG所在直线为AC的垂直平分线，点G为AC中点，点D为的外心，点D在直线OG上，A（2，0），C（0，-2），G（1，-1），设直线OG的解析式y=mx，m=-1，直线OG的解析式y=-x，点D为ABC的外心，点D在AB的垂直平分线上，点D的横坐标为=，把x=代入y=-x得y=-，D（，-），DH=，BH=1+=，BHD=ACE=90，BHDACE，即，解得：，点E在直线CF上，设点

21、E坐标为（n，-n-2），CE=，解得：，（，），（，），设直线AE1的解析式为y=k1x+b1，解得：，直线AE1的解析式为，同理：直线AE2的解析式为，联立直线AE1解析式与抛物线解析式得，解得：，（与点A重合，舍去），P1（，），联立直线AE2解析式与抛物线解析式得，解得：，（与点A重合，舍去），P2（1，-2）综上所述：存在点P，使得，点P坐标为P1（，），P2（1，-2）【点睛】本题考查二次函数的综合，考查了二次函数的性质、待定系数法求一次函数解析式、圆周角定理、等腰三角形的性质、相似三角形的判定与性质，熟练掌握相关性质及定理是解题关键9（2023内蒙古统考中考真题）如图，在平面直角

22、坐标系中，抛物线交轴于点，直线交抛物线于两点（点在点的左侧），交轴于点，交轴于点(1)求点的坐标；(2)是线段上一点，连接，且求证：是直角三角形；的平分线交线段于点是直线上方抛物线上一动点，当时，求点的坐标【答案】(1)，；(2)证明见解析，点的坐标为或【分析】（1）根据一次函数与坐标轴的交点及一次函数与二次函数的交点求解即可；（2）设然后利用勾股定理求解，过点作轴，垂足为再由等腰三角形及各角之间的关系即可证明；根据题意得出，设点的坐标为，根据题意得分两种情况分析：（i）当点在直线的左侧抛物线上时，（ii）当点在直线的右侧抛物线上时，求解即可【详解】（1）解：直线交轴于点，交轴于点，当时，当时

23、，直线交抛物线于两点，解得点在点的左侧，点的横坐标为3，当时，；（2）如图，抛物线交轴于点A，当时，,在中，由勾股定理得，设，是等腰直角三角形，过点作轴，垂足为，是等腰直角三角形，是直角三角形 平分轴，设点的坐标为，根据题意得（i）当点在直线的左侧抛物线上时，过点作轴，垂足为，在中，（舍去）当时，（ii）当点在直线的右侧抛物线上时，过点作轴，垂足为，在中，（舍去）当时，点的坐标为或【点睛】题目主要考查一次函数与二次函数综合问题，特殊三角形问题及解三角形，理解题意，作出相应辅助线，综合运用这些知识点是解题关键10.已知二次函数图象过点A（2，0），B（4，0），C（0，4）（1）求二次函数的解析

24、式（2）如图，当点P为AC的中点时，在线段PB上是否存在点M，使得BMC90？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由（3）点K在抛物线上，点D为AB的中点，直线KD与直线BC的夹角为锐角，且tan=53，求点K的坐标【分析】（1）设二次函数的解析式为ya（x+2）（x4），将点C坐标代入可求解；（2）利用中点坐标公式可求P（1，2），点Q（2，2），由勾股定理可求BC的长，由待定系数法可求PB解析式，设点M（c，25c+85），由两点距离公式可得（c2）2+（25c+852）28，可求c4或2429，即可求解；（3）过点D作DEBC于点E，设直线DK与BC交于点N，先求出DEBE=BD2

25、=322，由锐角三角函数可求NE=DEtan=9210，分DK与射线EC交于点N（m，4m）和DK与射线EB交于N（m，4m）两种情况讨论，求出直线DK解析式，联立方程组可求点K坐标【解析】（1）二次函数图象过点B（4，0），点A（2，0），设二次函数的解析式为ya（x+2）（x4），二次函数图象过点C（0，4），4a（0+2）（04），a=12，二次函数的解析式为y=12（x+2）（x4）=12x2+x+4；（2）存在，理由如下：如图1，取BC中点Q，连接MQ，点A（2，0），B（4，0），C（0，4），点P是AC中点，点Q是BC中点，P（1，2），点Q（2，2），BC=(40)2+(04)

26、2=42，设直线BP解析式为：ykx+b，由题意可得：2=k+b0=4k+b，解得：k=25b=85直线BP的解析式为：y=25x+85，BMC90点M在以BC为直径的圆上，设点M（c，25c+85），点Q是RtBCM的中点，MQ=12BC22，MQ28，（c2）2+（25c+852）28，c4或2429，当c4时，点B，点M重合，即c4，不合题意舍去，c=2429，则点M坐标（2429，5629），故线段PB上存在点M（2429，5629），使得BMC90；（3）如图2，过点D作DEBC于点E，设直线DK与BC交于点N，点A（2，0），B（4，0），C（0，4），点D是AB中点，点D（1，0

27、），OBOC4，AB6，BD3，OBC45，DEBC，EDBEBD45，DEBE=BD2=322，点B（4，0），C（0，4），直线BC解析式为：yx+4，设点E（n，n+4），n+4=32，n=52，点E（52，32），在RtDNE中，NE=DEtan=32253=9210，若DK与射线EC交于点N（m，4m），NEBNBE，9210=2（4m）322，m=85，点N（85，125），直线DK解析式为：y4x4，联立方程组可得：y=4x4y=12x2+x+4，解得：x1=2y1=4或x2=8y2=36，点K坐标为（2，4）或（8，36）；若DK与射线EB交于N（m，4m），NEBEBN，92

28、10=3222（4m），m=175，点N（175，35），直线DK解析式为：y=14x14，联立方程组可得：y=14x14y=12x2+x+4，解得：x3=3+1454y3=1+14516或x4=31454y4=114516，点K坐标为（3+1454，1+14516）或（31454，114516），综上所述：点K的坐标为（2，4）或（8，36）或（3+1454，1+14516）或（31454，114516）11（2023湖南岳阳统考中考真题）已知抛物线与轴交于两点，交轴于点(1)请求出抛物线的表达式(2)如图1，在轴上有一点，点在抛物线上，点为坐标平面内一点，是否存在点使得四边形为正方形？若存

29、在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由(3)如图2，将抛物线向右平移2个单位，得到抛物线，抛物线的顶点为，与轴正半轴交于点，抛物线上是否存在点，使得？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由【答案】(1)；(2)；(3)点的坐标为或【分析】（1）把代入，求出即可；（2）假设存在这样的正方形，过点E作于点R，过点F作轴于点I，证明可得故可得，；（3）先求得抛物线的解析式为，得出，运用待定系数法可得直线的解析式为，过点作轴于点，连接，设交直线于或，如图2，过点作轴交于点，交抛物线于点，连接，利用等腰直角三角形性质和三角函数定义可得，进而可求得点的坐标【详解】（1）抛物线与轴交于两点，交轴于点

30、，把代入，得，解得，解析式为：；（2）假设存在这样的正方形，如图，过点E作于点R，过点F作轴于点I， 四边形是正方形，又；同理可证明：；（3）解：抛物线上存在点，使得，抛物线的顶点坐标为，将抛物线向右平移2个单位，得到抛物线，抛物线的解析式为，抛物线的顶点为，与轴正半轴交于点，设直线的解析式为，把，代入得，解得：，直线的解析式为，过点作轴于点，连接，设交直线于或，如图2，过点作轴交于点，交抛物线于点，连接，则，是等腰直角三角形，是等腰直角三角形，即点与点重合时，；，点与点关于直线对称，；综上所述，抛物线上存在点，使得，点的坐标为或【点睛】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法求解析式，二次函数

31、的性质，全等三角形的判定与性质，正方形的性质等知识，运用数形结合思想解决问题是解题的关键12.如图，在平面直角坐标系xOy中，直线ykx+3分别交x轴、y轴于A，B两点，经过A，B两点的抛物线yx2+bx+c与x轴的正半轴相交于点C（1，0）（1）求抛物线的解析式；（2）若P为线段AB上一点，APOACB，求AP的长；（3）在（2）的条件下，设M是y轴上一点，试问：抛物线上是否存在点N，使得以A，P，M，N为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出点N的坐标；若不存在，请说明理由【分析】（1）利用待定系数法解决问题即可（2）求出AB，OA，AC，利用相似三角形的性质求解即可（3）分两种情形：PA

32、为平行四边形的边时，点M的横坐标可以为2，求出点M的坐标即可解决问题当AP为平行四边形的对角线时，点M的横坐标为4，求出点M的坐标即可解决问题【解析】（1）由题意抛物线经过B（0，3），C（1，0），c=31+b+c=0，解得b=2c=3，抛物线的解析式为yx22x+3（2）对于抛物线yx22x+3，令y0，解得x3或1，A（3，0），B（0，3），C（1，0），OAOB3OC1，AB32，APOACB，PAOCAB，PAOCAB，APAC=AOAB，AP4=332，AP22（3）由（2）可知，P（1，2），AP22，当AP为平行四边形的边时，点N的横坐标为2或2，N（2，3），N（2，5），当AP为平行四边形的对角线时，点N的横坐标为4，N（4，5），综上所述，满足条件的点N的坐标为（2，3）或（2，5）或（4，5）