2024年中考数学二轮题型突破题型9 二次函数综合题 类型9 二次函数与菱形有关的问题（专题训练）（教师版）.docx

1、类型九 二次函数与菱形有关的问题（专题训练）1（2023四川达州统考中考真题）如图，抛物线过点(1)求抛物线的解析式；(2)设点是直线上方抛物线上一点，求出的最大面积及此时点的坐标；(3)若点是抛物线对称轴上一动点，点为坐标平面内一点，是否存在以为边，点为顶点的四边形是菱形，若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由【答案】(1)；(2)的最大面积为，；(3)存在，或或，见解析【分析】（1）利用待定系数法代入求解即可；（2）利用待定系数法先确定直线的解析式为，设点，过点P作轴于点D，交于点E，得出，然后得出三角形面积的函数即可得出结果；（3）分两种情况进行分析：若为菱形的边长，利用菱形的

2、性质求解即可【详解】（1）解：将点代入解析式得：，解得：，抛物线的解析式为；（2）设直线的解析式为，将点B、C代入得：，解得：，直线的解析式为，设点，过点P作轴于点D，交于点E，如图所示：，当时，的最大面积为，（3）存在，或或或，证明如下：，抛物线的解析式为，对称轴为：，设点，若为菱形的边长，菱形，则，即，解得：，；若为菱形的边长，菱形，则，即，解得：，；综上可得：或或，【点睛】题目主要考查二次函数的综合应用，包括待定系数法确定函数解析式，三角形面积问题及特殊四边形问题，全等三角形的判定和性质等，理解题意，综合运用这些知识点是解题关键2（2023四川广安统考中考真题）如图，二次函数的图象交轴于

3、点，交轴于点，点的坐标为，对称轴是直线，点是轴上一动点，轴，交直线于点，交抛物线于点(1)求这个二次函数的解析式(2)若点在线段上运动（点与点、点不重合），求四边形面积的最大值，并求出此时点的坐标(3)若点在轴上运动，则在轴上是否存在点，使以、为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出所有满足条件的点的坐标；若不存在，请说明理由【答案】(1)；(2)最大值为，此时；(3)或或【分析】（1）先根据二次函数对称轴公式求出，再把代入二次函数解析式中进行求解即可；（2）先求出，则，求出直线的解析式为，设，则，则；再由得到，故当时，最大，最大值为，此时点P的坐标为；（3）分如图3-1，图3-2，图3-3，

4、图3-4，图3-5，图3-6所示，为对角线和边，利用菱形的性质进行列式求解即可【详解】（1）解：二次函数的对称轴为直线，二次函数经过点，即，二次函数解析式为；（2）解：二次函数经过点，且对称轴为直线，二次函数与y轴交于点C，；设直线的解析式为，直线的解析式为，设，则，；， ，当时，最大，最大值为，此时点P的坐标为；（3）解：设，则，轴，轴，即，是以、为顶点的菱形的边；如图3-1所示，当为对角线时，是等腰直角三角形，轴，轴，即轴，点C与点N关于抛物线对称轴对称，点N的坐标为，； 如图3-2所示，当为边时，则，解得或（舍去），；如图3-3所示，当为边时，则，同理可得，解得或（舍去），；如图3-4所

5、示，当为边时，则，同理可得，解得（舍去）或（舍去）；如图3-5所示，当为对角线时，轴，轴，这与题意相矛盾，此种情形不存在如图3-6所示，当为对角线时，设交于S，轴，这与三角形内角和为180度矛盾，此种情况不存在；综上所述，或或【点睛】本题主要考查了二次函数综合，一次函数与几何综合，菱形的性质，勾股定理，求二次函数解析式等等，利用分类讨论的思想求解是解题的关键3（2023江苏扬州统考中考真题）在平面直角坐标系中，已知点A在y轴正半轴上(1)如果四个点中恰有三个点在二次函数（a为常数，且）的图象上_；如图1，已知菱形的顶点B、C、D在该二次函数的图象上，且轴，求菱形的边长；如图2，已知正方形的顶点

6、B、D在该二次函数的图象上，点B、D在y轴的同侧，且点B在点D的左侧，设点B、D的横坐标分别为m、n，试探究是否为定值如果是，求出这个值；如果不是，请说明理由(2)已知正方形的顶点B、D在二次函数（a为常数，且）的图象上，点B在点D的左侧，设点B、D的横坐标分别为m、n，直接写出m、n满足的等量关系式【答案】(1)1；是，值为1；(2)或【分析】（1）当，可知不在二次函数图象上，将代入，求解值即可；由知，二次函数解析式为，设菱形的边长为，则，由菱形的性质得，则轴，根据，即，计算求出满足要求的解即可；如图2，连接、交点为，过作轴于，过作于，由正方形的性质可知，为、的中点，则，证明，则，由题意知，

7、则，设，则，则，即，计算求解即可1；（2）由题意知，分当在轴右侧时，当在轴左侧时，当在轴左侧，在轴右侧时，三种情况求解；当在轴右侧时，同理（1），由题意知，则，设，则，则，即，解得；当在轴左侧时，求解过程同（2）；当在轴左侧，在轴右侧时，且不垂直于轴时，同理可求，当在轴左侧，在轴右侧时，且垂直于轴时，由正方形、二次函数的性质可得，【详解】（1）解：当，不在二次函数图象上，将代入，解得，故答案为：1；解：由知，二次函数解析式为，设菱形的边长为，则，由菱形的性质得，轴，解得（舍去），（舍去），菱形的边长为；解：如图2，连接、交点为，过作轴于，过作于，由正方形的性质可知，为、的中点，由题意知，则，设

8、，则，点B、D在y轴的同侧，且点B在点D的左侧，是定值，值为1；（2）解：由题意知，分当在轴右侧时，当在轴左侧时，当在轴左侧，在轴右侧时，三种情况求解；当在轴右侧时，同理（1），由题意知，则，设，则，化简得，；当在轴左侧时，同理可求；当在轴左侧，在轴右侧时，且不垂直于轴时，同理可求，当在轴左侧，在轴右侧时，且垂直于轴时，由正方形、二次函数的性质可得，；综上所述，或【点睛】本题考查了二次函数解析式，二次函数的图象与性质，二次函数与几何综合，正方形、菱形的性质，全等三角形的判定与性质解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用4（2023湖南统考中考真题）如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过点和点，且

9、与直线交于两点（点在点的右侧），点为直线上的一动点，设点的横坐标为(1)求抛物线的解析式(2)过点作轴的垂线，与拋物线交于点若，求面积的最大值(3)抛物线与轴交于点，点为平面直角坐标系上一点，若以为顶点的四边形是菱形，请求出所有满足条件的点的坐标【答案】(1)；(2)；(3)点为或或或或【分析】（1）待定系数法求解析式即可求解；（2）根据题意，联立抛物线与直线，求得点的横坐标，表示出的长，根据二次函数的性质求得的最大值，根据即可求解；（3）根据题意，分别求得，当为对角线时，当为边时，分，根据勾股定理即可求解【详解】（1）解：抛物线经过点和点，解得：，抛物线解析式为：；（2）解：抛物线与直线交于

10、两点，（点在点的右侧）联立，解得：或，点为直线上的一动点，设点的横坐标为则，当时，取得最大值为，当取得最大值时，最大，面积的最大值；（3）抛物线与轴交于点，当时，即，,，当为对角线时，解得：，的中点重合，解得：，当为边时，当四边形为菱形，解得：或，或，或，由的中点重合，或，解得：或，或，当时；如图所示，即四边形是菱形，点的坐标即为四边形为菱形时，的坐标，点为或，综上所述，点为或或或或【点睛】本题考查了二次函数的性质，面积问题，菱形的性质与判定，勾股定理，熟练掌握二次函数的性质，细心的计算是解题的关键5.（2022湖南湘潭）已知抛物线(1)如图，若抛物线图象与轴交于点，与轴交点连接求该抛物线所表

11、示的二次函数表达式；若点是抛物线上一动点（与点不重合），过点作轴于点，与线段交于点是否存在点使得点是线段的三等分点？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由(2)如图，直线与轴交于点，同时与抛物线交于点，以线段为边作菱形，使点落在轴的正半轴上，若该抛物线与线段没有交点，求的取值范围【答案】(1)，存在，点P坐标为(2，-3)或（，-），理由见解析(2)b【分析】（1）直接用待定系数法求解；先求出直线AB的解析式，设点M(m，m-3)点P（m，m2-2m-3）若点是线段的三等分点，则或，代入求解即可；（2）先用待定系数法求出n的值，再利用勾股定理求出CD的长为5，因为四边形CDFE是菱形，由

12、此得出点E的坐标再根据该抛物线与线段没有交点，分两种情况（CE在抛物线内和CE在抛物线右侧）进行讨论，求出b的取值范围(1)解：把，代入，得，解得：，解：存在，理由如下， 设直线AB的解析式为y=kx+b，把， 代入，得，解得，直线AB的解析式为y=x-3，设点M(m，m-3)、点P（m，m2-2m-3）若点是线段的三等分点，则或，即或，解得：m=2或m=或m=3，经检验，m=3是原方程的增根，故舍去，m=2或m=点P坐标为(2，-3)或（，-）(2)解：把点D（-3，0）代入直线，解得n=4，直线，当x=0时，y=4，即点C（0，4）CD=5，四边形CDFE是菱形，CE=EF=DF=CD=5

13、，点E（5，4）点在抛物线上，（-3）2-3b+c=0，c=3b-9，该抛物线与线段没有交点，分情况讨论当CE在抛物线内时52+5b+3b-94解得：b4解得：b综上所述，b【点睛】此题考查了二次函数和一次函数以及图形的综合，解题的关键是数形结合和分情况讨论6（2021湖南中考真题）如图，在直角坐标系中，二次函数的图象与x轴相交于点和点，与y轴交于点C（1）求的值；（2）点为抛物线上的动点，过P作x轴的垂线交直线于点Q当时，求当P点到直线的距离最大时m的值；是否存在m，使得以点为顶点的四边形是菱形，若不存在，请说明理由；若存在，请求出m的值【答案】（1）b=，c=；（2）；不存在，理由见解析【

14、分析】（1）将A（-1，0），B（3，0）代入y=x2+bx+c，可求出答案；（2）设点P（m，m2-2m-3），则点Q（m，m），再利用二次函数的性质即可求解；分情况讨论，利用菱形的性质即可得出结论【详解】解：（1）抛物线y=-x2+bx+c与x轴交于点A（-1，0），B（3，0），解得：，b=，c=；（2）由（1）得，抛物线的函数表达式为：y=x2，设点P（m，m2-2m-3），则点Q（m，m），0m3，PQ=m-( m2-2m-3)=-m2+3m+3=-+，-10，当时，PQ有最大值，最大值为；抛物线的函数表达式为：y=x2-2x-3，C（0，-3），OB=OC=3，由题意，点P（m，m

15、2-2m-3），则点Q（m，m），PQOC，当OC为菱形的边，则PQ=OC=3，当点Q在点P上方时，PQ=，即，解得或，当时，点P与点O重合，菱形不存在，当时，点P与点B重合，此时BC=，菱形也不存在；当点Q在点P下方时，若点Q在第三象限，如图，COQ=45，根据菱形的性质COQ=POQ=45，则点P与点A重合，此时OA=1OC=3，菱形不存在，若点Q在第一象限，如图，同理，菱形不存在，综上，不存在以点O、C、P、Q为顶点的四边形是菱形【点睛】本题是二次函数综合题，考查的是二次函数的性质，菱形的判定和性质等知识，其中，熟练掌握方程的思想方法和分类讨论的思想方法是解题的关键7.（2021湖北恩施

16、土家族苗族自治州中考真题）如图，在平面直角坐标系中，四边形为正方形，点，在轴上，抛物线经过点，两点，且与直线交于另一点（1）求抛物线的解析式；（2）为抛物线对称轴上一点，为平面直角坐标系中的一点，是否存在以点，为顶点的四边形是以为边的菱形若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由；（3）为轴上一点，过点作抛物线对称轴的垂线，垂足为，连接，探究是否存在最小值若存在，请求出这个最小值及点的坐标；若不存在，请说明理由【答案】（1）；（2）存在以点，为顶点的四边形是以为边的菱形，点的坐标为或或或；（3）存在最小值，最小值为，此时点M的坐标为【分析】（1）由题意易得，进而可得，则有，然后把点B、D代入

17、求解即可；（2）设点，当以点，为顶点的四边形是以为边的菱形时，则根据菱形的性质可分当时，当时，然后根据两点距离公式可进行分类求解即可；（3）由题意可得如图所示的图象，连接OM、DM，由题意易得DM=EM，四边形BOMP是平行四边形，进而可得OM=BP，则有，若使的值为最小，即为最小，则有当点D、M、O三点共线时，的值为最小，然后问题可求解【详解】解：（1）四边形为正方形，OB=1，把点B、D坐标代入得：，解得：，抛物线的解析式为；（2）由（1）可得，抛物线解析式为，则有抛物线的对称轴为直线，点D与点E关于抛物线的对称轴对称，由两点距离公式可得，设点，当以点，为顶点的四边形是以为边的菱形时，则根

18、据菱形的性质可分：当时，如图所示：由两点距离公式可得，即，解得：，点F的坐标为或；当时，如图所示：由两点距离公式可得，即，解得：，点F的坐标为或；综上所述：当以点，为顶点的四边形是以为边的菱形，点的坐标为或或或；（3）由题意可得如图所示：连接OM、DM，由（2）可知点D与点E关于抛物线的对称轴对称，DM=EM，过点作抛物线对称轴的垂线，垂足为，四边形BOMP是平行四边形，OM=BP，若使的值为最小，即为最小，当点D、M、O三点共线时，的值为最小，此时OD与抛物线对称轴的交点为M，如图所示：，的最小值为，即的最小值为，设线段OD的解析式为，代入点D的坐标得：，线段OD的解析式为，【点睛】本题主要

19、考查二次函数的综合、菱形的性质及轴对称的性质，熟练掌握二次函数的综合、菱形的性质及轴对称的性质是解题的关键8.（2021山西中考真题）如图，抛物线与轴交于，两点（点在点的左侧），与轴交于点，连接，（1）求，三点的坐标并直接写出直线，的函数表达式；（2）点是直线下方抛物线上的一个动点，过点作的平行线，交线段于点试探究：在直线上是否存在点，使得以点，为顶点的四边形为菱形，若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由；设抛物线的对称轴与直线交于点，与直线交于点当时，请直接写出的长【答案】（1）点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为，直线的函数表达式为：；直线的函数表达式为：；（2）存在，点的坐标为或；【分

20、析】（1）分别令和时即可求解，三点的坐标，然后再进行求解直线，的函数表达式即可；（2）设点的坐标为，其中，由题意易得，当时，以，为顶点的四边形是平行四边形，进而可根据菱形的性质分当时，是菱形，当时，是菱形，然后分别求解即可；由题意可作图，则由题意可得抛物线的对称轴为直线，由（1）可得直线的函数表达式为：；直线的函数表达式为：，点的坐标为，点的坐标为，进而可得，设点，然后可求得直线l的解析式为，则可求得点，所以就有，最后根据面积公式及两点距离公式可进行求解【详解】解：（1）当时，解得，点在点的左侧，点的坐标为，点的坐标为，当时，点的坐标为，设直线的函数表达式为，代入点A、C的坐标得：，解得：，直

21、线的函数表达式为：同理可得直线的函数表达式为：；（2）存在设点的坐标为，其中，点，点的坐标分别为，当时，以，为顶点的四边形是平行四边形，当时，是菱形，如图所示：，解得，（舍去），点的坐标为，点的坐标为；当时，是菱形，如图所示：，解，得，（舍去），点的坐标为，点的坐标为；综上所述，存在点，使得以，为顶点的四边形为菱形，且点的坐标为或；由题意可得如图所示：由题意可得抛物线的对称轴为直线，由（1）可得直线的函数表达式为：；直线的函数表达式为：，点的坐标为，点的坐标为，点，设点，设直线l的解析式为，把点M的坐标代入得：，解得：，直线l的解析式为，联立直线l与直线AC的解析式得：，解得：，点，点是直线下

22、方抛物线上的一个动点，且，点M在点N的上方才有可能，解得：（不符合题意，舍去），由两点距离公式可得【点睛】本题主要考查二次函数的综合及菱形的性质，熟练掌握二次函数的综合及菱形的性质是解题的关键9.（2021内蒙古）如图，抛物线交x轴于，两点，交y轴于点C，动点P在抛物线的对称轴上（1）求抛物线的解析式；（2）当以P，B，C为顶点的三角形周长最小时，求点P的坐标及的周长；（3）若点Q是平面直角坐标系内的任意一点，是否存在点Q，使得以A，C，P，Q为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出所有符合条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由【答案】(1) ；(2) P点坐标为(1,2)，的周长最小值为；(

23、3) Q点坐标存在，为(2，2)或(4，)或(4，)或(，)或(，)【分析】(1)将，代入即可求解；(2)连接BP、CP、AP，由二次函数对称性可知，BP=AP，得到BP+CP=AP+CP，当C、P、A三点共线时，PBC的周长最小，由此求出AC解析式，将P点横坐标代入解析式中即可求解；(3)设P点坐标为(1，t)，Q点坐标为(m，n)，按AC为对角线，AP为对角线，AQ为对角线分三种情况讨论即可求解【详解】解：(1)将，代入二次函数表达式中， ，解得，二次函数的表达式为：；(2)连接BP、CP、AP，如下图所示： 由二次函数对称性可知，BP=AP，BP+CP=AP+CP， BC为定直线，当C、

24、P、A三点共线时，有最小值为，此时的周长也最小，设直线AC的解析式为：，代入，解得，直线AC的解析式为：，二次函数的对称轴为，代入，得到，P点坐标为(1,2)，此时的周长最小值=；(3)设P点坐标为(1，t)，Q点坐标为(m，n)，分类讨论：情况一：AC为菱形对角线时，另一对角线为PQ，此时由菱形对角互相平分知：AC的中点也必定是PQ的中点，由菱形对角线互相垂直知：， ，解得，P点坐标为(1，1)，对应的Q点坐标为(2，2)；情况二：AP为菱形对角线时，另一对角线为CQ，同理有：，解得或，P点坐标为(1，)或(1，)，对应的Q点坐标为(4，)或(4，)； 情况三：AQ为菱形对角线时，另一对角线

25、为CP，设P点坐标为(1，t)，Q点坐标为(m，n)，同理有：，解得或，P点坐标为(1，)或(1，)，对应的Q点坐标为(-2，)或(-2，)； 纵上所示，Q点坐标存在，为(2，2)或(4，)或(4，)或(，)或(，)【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数对称性求线段最值问题及菱形的存在性问题，本题第三问难度大一些，熟练掌握各图形的性质是解决本题的关键10.（2020重庆）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线yx2+bx+c与直线AB相交于A，B两点，其中A（3，4），B（0，1）（1）求该抛物线的函数表达式；（2）点P为直线AB下方抛物线上的任意一点，连接PA，PB，求PAB面

26、积的最大值；（3）将该抛物线向右平移2个单位长度得到抛物线ya1x2+b1x+c1（a10），平移后的抛物线与原抛物线相交于点C，点D为原抛物线对称轴上的一点，在平面直角坐标系中是否存在点E，使以点B，C，D，E为顶点的四边形为菱形，若存在，请直接写出点E的坐标；若不存在，请说明理由【分析】（1）将点A、B的坐标代入抛物线表达式，即可求解；（2）PAB面积S=12PH（xBxA）=12（x1x24x+1）（0+3）=32x292x，即可求解；（3）分BC为菱形的边、菱形的的对角线两种情况，分别求解即可【解析】（1）将点A、B的坐标代入抛物线表达式得4=93b+cc=1，解得b=4c=1，故抛物

27、线的表达式为：yx2+4x1；（2）设直线AB的表达式为：ykx+t，则4=3k+tt=1，解得k=1t=1，故直线AB的表达式为：yx1，过点P作y轴的平行线交AB于点H，设点P（x，x2+4x1），则H（x，x1），PAB面积S=12PH（xBxA）=12（x1x24x+1）（0+3）=32x292x，320，故S有最大值，当x=32时，S的最大值为278；（3）抛物线的表达式为：yx2+4x1（x+2）25，则平移后的抛物线表达式为：yx25，联立上述两式并解得：x=1y=4，故点C（1，4）；设点D（2，m）、点E（s，t），而点B、C的坐标分别为（0，1）、（1，4）；当BC为菱形的

28、边时，点C向右平移1个单位向上平移3个单位得到B，同样D（E）向右平移1个单位向上平移3个单位得到E（D），即2+1s且m+3t或21s且m3t，当点D在E的下方时，则BEBC，即s2+（t+1）212+32，当点D在E的上方时，则BDBC，即22+（m+1）212+32，联立并解得：s1，t2或4（舍去4），故点E（1，3）；联立并解得：s1，t46，故点E（1，4+6）或（1，46）；当BC为菱形的的对角线时，则由中点公式得：1s2且41m+t，此时，BDBE，即22+（m+1）2s2+（t+1）2，联立并解得：s1，t3，故点E（1，3），综上，点E的坐标为：（1，2）或（3，4+6）或（3，46）或（1，3）