2024年中考数学二轮题型突破题型9 二次函数综合题 类型6 二次函数与等腰三角形有关的问题（专题训练）（教师版）.docx

1、类型六 二次函数与等腰三角形有关的问题（专题训练）1（2023重庆统考中考真题）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，与轴交于点，其中，(1)求该抛物线的表达式；(2)点是直线下方抛物线上一动点，过点作于点，求的最大值及此时点的坐标；(3)在（2）的条件下，将该抛物线向右平移个单位，点为点的对应点，平移后的抛物线与轴交于点，为平移后的抛物线的对称轴上任意一点写出所有使得以为腰的是等腰三角形的点的坐标，并把求其中一个点的坐标的过程写出来【答案】(1)；(2)取得最大值为，；(3)点的坐标为或或【分析】（1）待定系数法求二次函数解析式即可求解；（2）直线的解析式为，过点作轴于点，交于点，设，

2、则，则，进而根据二次函数的性质即可求解；（3）根据平移的性质得出，对称轴为直线，点向右平移5个单位得到，勾股定理分别表示出，进而分类讨论即可求解【详解】（1）解：将点，代入得，解得：，抛物线解析式为：，（2）与轴交于点，当时，解得：，,设直线的解析式为，解得：直线的解析式为，如图所示，过点作轴于点，交于点，设，则，当时，取得最大值为，；（3）抛物线将该抛物线向右平移个单位，得到，对称轴为直线，点向右平移5个单位得到平移后的抛物线与轴交于点，令，则，,为平移后的抛物线的对称轴上任意一点则点的横坐标为，设，当时，解得：或，当时，解得：综上所述，点的坐标为或或【点睛】本题考查了二次函数综合问题，解直

3、角三角形，待定系数法求解析式，二次函数的平移，线段周长问题，特殊三角形问题，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键2（2023四川成都统考中考真题）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线经过点，与y轴交于点，直线与抛物线交于B，C两点(1)求抛物线的函数表达式；(2)若是以为腰的等腰三角形，求点B的坐标；(3)过点作y轴的垂线，交直线AB于点D，交直线AC于点E试探究：是否存在常数m，使得始终成立？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由【答案】(1)；(2)点B的坐标为或或；(3)存在，m的值为2或【分析】（1）利用待定系数法求解即可；（2）设，分和两种情况，分别根据等腰三角形性质和两点坐标距离公

4、式列方程求解即可；（3）先根据题意画出图形，设抛物线与直线的交点坐标为，联立抛物线和直线解析式，根据根与系数关系得到，利用待定系数法分别求得直线、的表达式为得到， ，过E作轴于Q，过D作轴于N，证明得到，整理可得到，进而求解即可【详解】（1）解：抛物线经过点，与y轴交于点，解得，抛物线的函数表达式为；（2）解：设，根据题意，是以为腰的等腰三角形，有两种情况：当时，点B和点P关于y轴对称，；当时，则，整理，得，解得，当时，则，当时，则，综上，满足题意的点B的坐标为或或；（3）解：存在常数m，使得根据题意，画出图形如下图，设抛物线与直线的交点坐标为，由得，；设直线的表达式为，则，解得，直线的表达式

5、为，令，由得，同理，可得直线的表达式为，则，过E作轴于Q，过D作轴于N，则，若，则，则，整理，得，即，将，代入，得，即，则或，解得，综上，存在常数m，使得，m的值为2或【点睛】本题是二次函数的综合题，主要考查了待定系数法求函数的解析式、等腰三角形的性质、一元二次方程根与系数关系、相似三角形的判定与性质、解一元二次方程、坐标与图形等知识，综合性强，难度较大，熟练掌握相关知识的联系与运用，添加辅助线构造相似三角形，并利用数形结合和分类讨论思想解决问题是解答的关键3（2023湖北随州统考中考真题）如图1，平面直角坐标系中，抛物线过点，和，连接，点为抛物线上一动点，过点作轴交直线于点，交轴于点(1)直

6、接写出抛物线和直线的解析式；(2)如图2，连接，当为等腰三角形时，求的值；(3)当点在运动过程中，在轴上是否存在点，使得以，为顶点的三角形与以，为顶点的三角形相似（其中点与点相对应），若存在，直接写出点和点的坐标；若不存在，请说明理由【答案】(1)抛物线：；直线：；(2)或或；(3)，或，或，【分析】（1）由题得抛物线的解析式为，将点代入求，进而得抛物线的解析式；设直线的解析式为，将点，的坐标代入求，进而得直线的解析式（2）由题得，分别求出，对等腰中相等的边进行分类讨论，进而列方程求解；（3）对点在点左侧或右侧进行分类讨论，设法表示出各线段的长度，利用相似三角形的相似比求解，进而可得，的坐标【

7、详解】（1）解：抛物线过点，抛物线的表达式为，将点代入上式，得，抛物线的表达式为，即设直线的表达式为，将点，代入上式，得，解得直线的表达式为（2）解：点在直线上，且，点的坐标为，当为等腰三角形时，若，则，即，解得若，则，即，解得或（舍去）若，则，即，解得（舍去）或综上，或或（3）解：点与点相对应，或若点在点左侧，则，当，即时，直线的表达式为，解得或（舍去），即，即，解得，当，即时，即，解得（舍去）或（舍去）若点在点右侧，则，当，即时，直线的表达式为，解得或（舍去），即，解得，当，即时，即，解得或（舍去），综上，或，或，【点睛】本题是二次函数的综合应用，考查了待定系数法求函数解析式，等腰三角形的

8、性质与判定，平面直角坐标系中两点距离的算法，相似三角形的性质与判定等，熟练掌握相关知识是解题的关键4.如图，已知抛物线与x轴交于点A（1，0）和B，与y轴交于点C，对称轴为（1）求抛物线的解析式；（2）如图1，若点P是线段BC上的一个动点（不与点B，C重合），过点P作y轴的平行线交抛物线于点Q，连接OQ当线段PQ长度最大时，判断四边形OCPQ的形状并说明理由（3）如图2，在（2）的条件下，D是OC的中点，过点Q的直线与抛物线交于点E，且在y轴上是否存在点F，使得为等腰三角形？若存在，求点F的坐标；若不存在，请说明理由【答案】（1）；（2）四边形OCPQ是平行四边形，理由见详解；（3）（0，）或

9、（0，1）或（0，-1）【分析】（1）设抛物线，根据待定系数法，即可求解；（2）先求出直线BC的解析式为：y=-x+4，设P（x，-x+4），则Q（x，），（0x4），得到PQ =，从而求出线段PQ长度最大值，进而即可得到结论；（3）过点Q作QMy轴，过点Q作QNy轴，过点E作ENx轴，交于点N，推出，从而得，进而求出E（5，4），设F（0，y），分三种情况讨论，即可求解【详解】解：（1）抛物线与x轴交于点A（1，0）和B，与y轴交于点C，对称轴为直线，B（4，0），C（0，4），设抛物线，把C（0，4）代入得：，解得：a=1，抛物线的解析式为：；（2）B（4，0），C（0，4），直线BC的解

10、析式为：y=-x+4，设P（x，-x+4），则Q（x，），（0x4），PQ=-x+4-()=，当x=2时，线段PQ长度最大=4，此时，PQ=CO，又PQCO，四边形OCPQ是平行四边形；（3）过点Q作QMy轴，过点Q作QNy轴，过点E作ENx轴，交于点N，由（2）得：Q（2，-2），D是OC的中点，D（0，2），QNy轴，又，即：，设E（x，），则，解得：，（舍去），E（5，4），设F（0，y），则，当BF=EF时，解得：，当BF=BE时，解得：或，当EF=BE时，无解，综上所述：点F的坐标为：（0，）或（0，1）或（0，-1） 【点睛】本题主要考查二次函数与平面几何的综合，掌握二次函数的性质

11、以及图像上点的坐标特征，添加辅助线，构造直角三角形，是解题的关键5.如图，抛物线与轴交于A(-1，0)，B(4，0)，与轴交于点C连接AC，BC，点P在抛物线上运动(1)求抛物线的表达式；(2)如图，若点P在第四象限，点Q在PA的延长线上，当CAQ=CBA45时，求点P的坐标；(3)如图，若点P在第一象限，直线AP交BC于点F，过点P作轴的垂线交BC于点H，当PFH为等腰三角形时，求线段PH的长【答案】（1）；（2）（6，-7）；（3）PH=或1.5或【分析】（1）根据待定系数法解答即可；（2）求得点C的坐标后先利用勾股定理的逆定理判断ACB=90，继而可得ACO=CBA，在x轴上取点E（2，

12、0），连接CE，易得OCE是等腰直角三角形，可得OCE=45，进一步可推出ACE=CAQ，可得CEPQ，然后利用待定系数法分别求出直线CE与PQ的解析式，再与抛物线的解析式联立方程组求解即可；（3）设直线AP交y轴于点G，如图，由题意可得若PFH为等腰三角形，则CFG也为等腰三角形，设G（0，m），求出直线AF和直线BC的解析式后，再解方程组求出点F的坐标，然后分三种情况求出m的值，再求出直线AP的解析式，进而可求出点P的坐标，于是问题可求解【详解】解：（1）把A(-1，0)，B(4，0)代入，得，解得：，抛物线的解析式是；（2）令x=0，则y=2，即C（0，2），AB2=25，ACB=90，

13、ACO+CAO=CBA+CAO=90，ACO=CBA，在x轴上取点E（2，0），连接CE，如图，则CE=OE=2，OCE=45，ACE=ACO+45=CBA+45=CAQ，CEPQ，C（0，2），E（2，0），直线CE的解析式为y=-x+2，设直线PQ的解析式为y=-x+n，把点A（-1，0）代入，可得n=-1，直线PQ的解析式为y=-x-1，解方程组，得或，点P的坐标是（6，-7）；（3）设直线AP交y轴于点G，如图，PHy轴，PHC=OCB，FPH=CGF，若PFH为等腰三角形，则CFG也为等腰三角形，C（0，2），B（4，0），直线BC的解析式为，设G（0，m），A（-1，0），直线AF

14、的解析式为y=mx+m，解方程组，得，点F的坐标是，当CG=CF时，解得：（舍去负值），此时直线AF的解析式为y=x+，解方程组，得或，点P的坐标是（，），此时点H的坐标是（，），PH=；当FG=FC时，解得m=或m=（舍）或m=2（舍），此时直线AF的解析式为y=x+，解方程组，得或，点P的坐标是（3，2），此时点H的坐标是（3，），PH=2-=1.5；当GF=GC时，解得或m=2（舍去），此时直线AF的解析式为y=x+，解方程组，得或，点P的坐标是（，），此时点H的坐标是（，），PH=；综上，PH=或1.5或【点睛】本题是二次函数的综合题，主要考查了待定系数法求二次函数的解析式、二次函数图

15、象上点的坐标特征、直线与抛物线的交点以及等腰三角形的判定和性质等知识，具有相当的难度，熟练掌握二次函数的图象和性质、灵活应用数形结合的思想是解题的关键6.如图，已知二次函数的图象经过点且与轴交于原点及点（1）求二次函数的表达式；（2）求顶点的坐标及直线的表达式；（3）判断的形状，试说明理由；（4）若点为上的动点，且的半径为，一动点从点出发，以每秒2个单位长度的速度沿线段匀速运动到点，再以每秒1个单位长度的速度沿线段匀速运动到点后停止运动，求点的运动时间的最小值【答案】（1）；（2），；（3）等腰直角三角形，理由见解析；（4）【分析】（1）根据已知条件，运用待定系数法直接列方程组求解即可；（2）

16、根据（1）中二次函数解析式，直接利用顶点坐标公式计算即可，再根据点A、B坐标求出AB解析式即可；（3）根据二次函数对称性可知为等腰三角形，再根据O、A、B三点坐标，求出三条线段的长，利用勾股定理验证即可；（4）根据题意可知动点的运动时间为，在上取点，使，可证明，根据相似三角形比例关系得，即，当、三点共线时，取得最小值，再根据等腰直角三角形的性质以及勾股定理进一步计算即可【详解】解：（1）二次函数的图象经过，且与轴交于原点及点，二次函数表达式可设为：将，代入得：解这个方程组得二次函数的函数表达式为（2）点为二次函数图像的顶点，顶点坐标为：，设直线的函数表达式为，则有：解之得：直线的函数表达式为（

17、3）是等腰直角三角形，过点作于点，易知其坐标为的三个顶点分别是，且满足是等腰直角三角形（4）如图，以为圆心，为半径作圆，则点在圆周上，依题意知：动点的运动时间为在上取点，使，连接，则在和中，满足：，从而得：显然当、三点共线时，取得最小值，过点作于点，由于，且为等腰直角三角形，则有，动点的运动时间的最小值为：【点睛】本题主要考查待定系数法求函数解析式，抛物线顶点坐标，等腰直角三角形的性质与判定，相似三角形的判定与性质等知识点，将运动时间的最小值转换为线段长度的最小值是解题的关键7.如图，已知抛物线与轴交于点，点，（点在点的左边），与轴交于点，点为抛物线的顶点，连接直线经过点，且与轴交于点（1）求

18、抛物线的解析式；（2）点是抛物线上的一点，当是以为腰的等腰三角形时，求点的坐标；（3）点为线段上的一点，点为线段上的一点，连接，并延长与线段交于点（点在第一象限）当且时，求出点的坐标【答案】（1）；（2）； ；（3）【分析】（1）直接利用待定系数法求出a、b的值即可得出抛物线解析式；（2）当时，根据抛物线对称性可求得N的坐标；当时，在的垂直平分线上，与抛物线产生两个交点，将两点坐标求出即可；（3）在上取一点，作的垂直平分线交轴于点，连接，则，在上点的右侧作，移动点，当时，点为所求，过点作垂直于轴于点，过点作垂直于轴于点，则，设，根据相似三角形性质列比例求解，解出点F的坐标即可【详解】（1）将代

19、入得：解得：抛物线的解析式（2）顶点当时，根据抛物线对称性，与重合 方法一：如图一当时，在的垂直平分线上如图的垂直平分线交于，交轴于点，与轴交点为，在中，是的中点，设，代入得，解得：，联立得，解得，方法二：如图二，过作轴垂线交轴于，过作交于，设，解得：，把代入， ，综上，（3）如图一，在上取一点，作的垂直平分线交轴于点，连接，则，在上点的右侧作，移动点，当时，点为所求过点作垂直于轴于点，过点作垂直于轴于点，设，在中，代入，解得代入得，【点睛】本题主要考查待定系数法求二次函数解析式，二次函数与几何图形综合，二次函数与一次函数综合，解直角三角形，相似三角形等知识点，题型难度大，属于中考压轴题8.已

20、知抛物线yax2+bx+c（a0）与x轴交于A、B两点（点A在点B的左边），与y轴交于点C（0，3），顶点D的坐标为（1，4）（1）求抛物线的解析式（2）在y轴上找一点E，使得EAC为等腰三角形，请直接写出点E的坐标（3）点P是x轴上的动点，点Q是抛物线上的动点，是否存在点P、Q，使得以点P、Q、B、D为顶点，BD为一边的四边形是平行四边形？若存在，请求出点P、Q坐标；若不存在，请说明理由【分析】（1）根据抛物线的顶点坐标设出抛物线的解析式，再将点C坐标代入求解，即可得出结论；（2）先求出点A，C坐标，设出点E坐标，表示出AE，CE，AC，再分三种情况建立方程求解即可；（3）利用平移先确定出点

21、Q的纵坐标，代入抛物线解析式求出点Q的横坐标，即可得出结论【解析】（1）抛物线的顶点为（1，4），设抛物线的解析式为ya（x1）24，将点C（0，3）代入抛物线ya（x1）24中，得a43，a1，抛物线的解析式为ya（x1）24x22x3；（2）由（1）知，抛物线的解析式为yx22x3，令y0，则x22x30，x1或x3，B（3，0），A（1，0），令x0，则y3，C（0，3），AC=10，设点E（0，m），则AE=m2+1，CE|m+3|，ACE是等腰三角形，当ACAE时，10=m2+1，m3或m3（点C的纵坐标，舍去），E（0，3），当ACCE时，10=|m+3|，m310，E（0，3+1

22、0）或（0，310），当AECE时，m2+1=|m+3|，m=43，E（0，43），即满足条件的点E的坐标为（0，3）、（0，3+10）、（0，310）、（0，43）；（3）如图，存在，D（1，4），将线段BD向上平移4个单位，再向右（或向左）平移适当的距离，使点B的对应点落在抛物线上，这样便存在点Q，此时点D的对应点就是点P，点Q的纵坐标为4，设Q（t，4），将点Q的坐标代入抛物线yx22x3中得，t22t34，t1+22或t122，Q（1+22，4）或（122，4），分别过点D，Q作x轴的垂线，垂足分别为F，G，抛物线yx22x3与x轴的右边的交点B的坐标为（3，0），且D（1，4），FB

23、PG312，点P的横坐标为（1+22）21+22或（122）2122，即P（1+22，0）、Q（1+22，4）或P（122，0）、Q（122，4）9. 如图，抛物线yax2+bx+4交x轴于A（3，0），B（4，0）两点，与y轴交于点C，AC，BCM为线段OB上的一个动点，过点M作PMx轴，交抛物线于点P，交BC于点Q（1）求抛物线的表达式；（2）过点P作PNBC，垂足为点N设M点的坐标为M（m，0），请用含m的代数式表示线段PN的长，并求出当m为何值时PN有最大值，最大值是多少？（3）试探究点M在运动过程中，是否存在这样的点Q，使得以A，C，Q为顶点的三角形是等腰三角形若存在，请求出此时点Q

24、的坐标；若不存在，请说明理由【分析】（1）将点A、B的坐标代入抛物线表达式，即可求解；（2）PNPQsin45=22（13m2+43m）=26（m2）2+223，即可求解；（3）分ACCQ、ACAQ、CQAQ三种情况，分别求解即可【解析】（1）将点A、B的坐标代入抛物线表达式得9a3b+4=016a+4b+4=0，解得a=13b=13，故抛物线的表达式为：y=13x2+13x+4；（2）由抛物线的表达式知，点C（0，4），由点B、C的坐标得，直线BC的表达式为：yx+4；设点M（m，0），则点P（m，13m2+13m+4），点Q（m，m+4），PQ=13m2+13m+4+m4=13m2+43m

25、，OBOC，故ABCOCB45，PQNBQM45，PNPQsin45=22（13m2+43m）=26（m2）2+223，260，故当m2时，PN有最大值为223；（3）存在，理由：点A、C的坐标分别为（3，0）、（0，4），则AC5，当ACCQ时，过点Q作QEy轴于点E，则CQ2CE2+EQ2，即m2+4（m+4）225，解得：m522（舍去负值），故点Q（522，8522）；当ACAQ时，则AQAC5，在RtAMQ中，由勾股定理得：m（3）2+（m+4）225，解得：m1或0（舍去0），故点Q（1，3）；当CQAQ时，则2m2m（3）2+（m+4）2，解得：m=252（舍去）；综上，点Q的坐

26、标为（1，3）或（522，8522）10.如图，抛物线与x轴交于点和点，与y轴交于点C，顶点为D，连接与抛物线的对称轴l交于点E（1）求抛物线的表达式；（2）点P是第一象限内抛物线上的动点，连接，当时，求点P的坐标；（3）点N是对称轴l右侧抛物线上的动点，在射线上是否存在点M，使得以点M，N，E为顶点的三角形与相似？若存在，求点M的坐标；若不存在，请说明理由【答案】（1）；（2）；（3）在射线上存在点M，使得以点M，N，E为顶点的三角形与相似，点M的坐标为：，或【解析】【分析】（1）直接将和点代入，解出a，b的值即可得出答案；（2）先求出点C的坐标及直线BC的解析式，再根据图及题意得出三角形P

27、BC的面积；过点P作PG轴，交轴于点G，交BC于点F，设，根据三角形PBC的面积列关于t的方程，解出t的值，即可得出点P的坐标；（3）由题意得出三角形BOC为等腰直角三角形，然后分MN=EM，MN=NE，NE=EM三种情况讨论结合图形得出边之间的关系，即可得出答案【详解】（1）抛物线过点和点抛物线解析式为：（2）当时，直线BC解析式为：过点P作PG轴，交轴于点G，交BC于点F设即（3）为等腰直角三角形抛物线的对称轴为点E的横坐标为3又点E在直线BC上点E的纵坐标为5设当MN=EM，,时解得或（舍去）此时点M的坐标为当ME=EN，时解得：或（舍去）此时点M的坐标为当MN=EN，时连接CM，易知当

28、N为C关于对称轴l的对称点时，此时四边形CMNE为正方形解得：（舍去）此时点M的坐标为在射线上存在点M，使得以点M，N，E为顶点的三角形与相似，点M的坐标为：，或【点睛】本题是一道综合题，涉及到二次函数的综合、相似三角形的判定及性质、等腰三角形的性质、勾股定理、正方形的性质等知识点，综合性比较强，解答类似题的关键是添加合适的辅助线11.已知直线与抛物线（b，c为常数，）的一个交点为，点是x轴正半轴上的动点（1）当直线与抛物线（b，c为常数，）的另一个交点为该抛物线的顶点E时，求k，b，c的值及抛物线顶点E的坐标；（2）在（1）的条件下，设该抛物线与y轴的交点为C，若点Q在抛物线上，且点Q的横坐

29、标为b，当时，求m的值；（3）点D在抛物线上，且点D的横坐标为，当的最小值多时，求b的值【答案】（1）-2，2，-3，；（2）3或7；（3）3【解析】【分析】（1）由题意可知直线经过，因而把代入直线即可求出k的值，然后把代入抛物线得出含b的代数式表达c，再根据直线与抛物线（b，c为常数，）的另一个交点得出抛物线的顶点坐标E，并代入直线，解方程即可求出b的值，代入即可求解；（2）由（1）可知直线的解析式是，抛物线的解析式为，根据题意使求出C的坐标，使求出Q的坐标，根据已知条件作图，延长EQ交x轴于点B，因为点D在y轴上且在直线上，所以令时求出点D的坐标，看图可知AO是ACE以CD为底的高，设E到

30、y轴的距离为，是CED以CD为底的高，因此可以求出，根据求出，设点E和Q所在直线的解析式为，求出点B的坐标，设点Q和点E到x轴的距离分别为，是EMB以MB为底的高，是BQM以MB为底的高，再根据求解，即可求出m的值；（3）将点D的横坐标代入抛物线（b，c为常数，），根据点A的坐标得到含b的代数式表达c，求出点D的纵坐标为，可知点D在第四象限，且在直线的右侧，取点，过点D作直线AN的垂线，垂足为G，DG与x轴相交于点M，过点D作QHx轴于点H，则点H，在RtMDH中，可知，由题意可知点，用含b的代数式表示m，因，可得方程，求解即可得出答案【详解】解：（1）直线经过，把代入直线，可得，解得；抛物线

31、（b，c为常数，）经过，把代入抛物线，可得，当直线与抛物线（b，c为常数，）的另一个交点为该抛物线的顶点E，顶点的坐标为，把代入直线，可得，解得，顶点的坐标为（2）由（1）可知直线的解析式是，抛物线的解析式为，抛物线与y轴的交点为C，令，C的坐标为，点Q在抛物线上，且点Q的横坐标为b，由（1）可知，Q的坐标为延长EQ交x轴于点B，如图1所示，D在y轴上，且在直线上，当时，点D的坐标为，AO是ACE以CD为底的高，设E到y轴的距离为，是CED以CD为底的高，设点E和Q所在直线的解析式为，把点E和点Q代入，解得：，该直线的解析式为，令，求得点B的坐标为设点Q和点E到x轴的距离分别为，是EMB以MB

32、为底的高，是BQM以MB为底的高，解得：或7，（3）点D在抛物线（b，c为常数，）上，且点D的横坐标为，在抛物线（b，c为常数，）上，即，可知点D在第四象限，且在直线的右侧，可取点，如图2，过点D作直线AN的垂线，垂足为G，DG与x轴相交于点M，得，则此时点M满足题意，过点D作QHx轴于点H，则点H，在RtMDH中，可知，点，解得：，【点睛】本题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法求解析式、二次函数的性质、等腰三角形的性质、三角形的面积公式等知识点，解题的关键是学会使用待定系数法求出抛物线的解析式12.如图，抛物线交x轴于两点，交y轴于点C直线经过点（1）求抛物线的解析式；（2）抛物线的对称

33、轴l与直线相交于点P，连接，判定的形状，并说明理由；（3）在直线上是否存在点M，使与直线的夹角等于的2倍？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由【答案】（1）；（2）的为直角三角形，理由见解析；（3）存在使与直线的夹角等于的2倍的点，且坐标为M1（），M2（，）【解析】【分析】（1）先根据直线经过点，即可确定B、C的坐标，然后用带定系数法解答即可；（2）先求出A、B的坐标结合抛物线的对称性，说明三角形APB为等腰三角形；再结合OB=OC得到ABP=45，进一步说明APB=90，则APC=90即可判定的形状；（3）作ANBC于N，NHx轴于H，作AC的垂直平分线交BC于M1，AC于E；然

34、后说明ANB为等腰直角三角形，进而确定N的坐标；再求出AC的解析式，进而确定M1E的解析式；然后联立直线BC和M1E的解析式即可求得M1的坐标；在直线BC上作点M1关于N点的对称点M2，利用中点坐标公式即可确定点M2的坐标【详解】解：（1）直线经过点当x=0时，可得y=5，即C的坐标为（0,5）当y=0时，可得x=5，即B的坐标为（5,0）解得该抛物线的解析式为（2）的为直角三角形，理由如下：解方程=0，则x1=1，x2=5A（1,0），B（5,0）抛物线的对称轴l为x=3APB为等腰三角形C的坐标为（5,0）, B的坐标为（5,0）OB=CO=5,即ABP=45ABP=45，APB=180-

35、45-45=90APC=180-90=90的为直角三角形；（3）如图：作ANBC于N，NHx轴于H，作AC的垂直平分线交BC于M1，AC于E，M1A=M1C，ACM1=CAM1AM1B=2ACBANB为等腰直角三角形.AH=BH=NH=2N（3，2）设AC的函数解析式为y=kx+bC(0，5),A(1，0) 解得b=5，k=-5AC的函数解析式为y=-5x+5设EM1的函数解析式为y=x+n点E的坐标为（）= +n，解得：n=EM1的函数解析式为y=x+ 解得 M1的坐标为（）；在直线BC上作点M1关于N点的对称点M2设M2（a，-a+5）则有：3=，解得a= -a+5=M2的坐标为（，）综上

36、，存在使与直线的夹角等于的2倍的点，且坐标为M1（），M2（，）【点睛】本题属于二次函数与几何的综合题，主要考查了待定系数法确定函数解析式、等腰直角三角形的判定与性质、一次函数图像、三角形外角等知识，考查知识点较多，综合应用所学知识成为解答本题的关键13.如图1所示，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点和点，与轴交于点（1）求抛物线的表达式；（2）如图2，将抛物线先向左平移1个单位，再向下平移3个单位，得到抛物线，若抛物线与抛物线相交于点，连接，求点的坐标；判断的形状，并说明理由；（3）在（2）的条件下，抛物线上是否存在点，使得为等腰直角三角形，若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由 【答

37、案】（1）；（2）点的坐标；是等腰直角三角形，理由见解析；（3）或【解析】【分析】（1）将点代入即可得；（2）先根据二次函数的平移规律得出抛物线的表达式，再联立两条抛物线的表达式求解即可得；先根据抛物线的表达式求出点B、C的坐标，再利用两点之间的距离公式分别求出BC、BD、CD的长，然后根据勾股定理的逆定理、等腰三角形的定义即可得；（3）设点P的坐标为，根据等腰直角三角形的定义分三种情况：当时，先根据等腰直角三角形的性质、线段中点的点坐标求出点P的坐标，再代入抛物线的表达式，检验点P是否在抛物线的表达式上即可；当时，先根据平行四边形的判定得出四边形BCDP是平行四边形，再根据点C至点B的平移方

38、式与点D至点P的平移方式相同可求出点P的坐标，然后代入抛物线的表达式，检验点P是否在抛物线的表达式上即可；当时，先根据等腰直角三角形的性质得出点P在在线段BD的垂直平分线上，再利用待定系数法求出BD的垂直平分线上所在直线的解析式，然后根据两点之间的距离公式和可求出点P的坐标，最后代入抛物线的表达式，检验点P是否在抛物线的表达式上即可【详解】（1）将点代入抛物线的表达式得：解得则抛物线的表达式为故抛物线的表达式为；（2）由二次函数的平移规律得：抛物线的表达式为即联立，解得则点的坐标为；对于当时，解得或则点B的坐标为当时，则点C的坐标为由两点之间的距离公式得：则，故是等腰直角三角形；（3）抛物线的

39、表达式为设点P的坐标为由题意，分以下三种情况：当时，为等腰直角三角形是等腰直角三角形，点D是CP的中点则，解得即点P的坐标为对于抛物线的表达式当时，即点在抛物线上，符合题意当时，为等腰直角三角形，四边形BCDP是平行四边形点C至点B的平移方式与点D至点P的平移方式相同点C至点B的平移方式为先向下平移4个单位长度，再向右平移2个单位长度即点P的坐标为对于抛物线的表达式当时，即点在抛物线上，符合题意当时，为等腰直角三角形则点P在线段BD的垂直平分线上设直线BD的解析式将点代入得：，解得则直线BD的解析式设BD的垂线平分线所在直线的解析式为点的中点的坐标为，即将点代入得：，解得则BD的垂线平分线所在

40、直线的解析式为因此有，即点P的坐标为由两点之间的距离公式得：又，为等腰直角三角形则解得或当时，即点P的坐标为当时，即点P的坐标为对于抛物线的表达式当时，即点不在抛物线上，不符合题意，舍去当时，即点不在抛物线上，不符合题意，舍去综上，符合条件的点P的坐标为或【点睛】本题考查了利用待定系数法求二次函数的解析式、二次函数图象的平移，点坐标的平移、等腰直角三角形的判定与性质等知识点，较难的是题（3），正确分三种情况，结合等腰直角三角形的性质是解题关键14.如图，抛物线交x轴于，两点，与y轴交于点C，AC，BCM为线段OB上的一个动点，过点M作轴，交抛物线于点P，交BC于点Q（1）求抛物线的表达式；（2

41、）过点P作，垂足为点N设M点的坐标为，请用含m的代数式表示线段PN的长，并求出当m为何值时PN有最大值，最大值是多少？（3）试探究点M在运动过程中，是否存在这样的点Q，使得以A，C，Q为顶点的三角形是等腰三角形若存在，请求出此时点Q的坐标；若不存在，请说明理由【答案】（1）；（2），当时，PN有最大值，最大值为 （3）满足条件的点Q有两个，坐标分别为：，【解析】【分析】（1）将点A、B的坐标代入解析式中求解即可；（2）由(1)求得点C坐标，利用待定系数法求得直线BC的解析式，然后用m表示出PN，再利用二次函数的性质即可求解；（3）分三种情况：AC=CQ；AC=AQ；CQ=AQ，分别求解即可【详解】解：（1）将，代入，得，解之，得所以，抛物线的表达式为 （2）由，得将点、代入，得，解之，得所以，直线BC的表达式为： 由，得， 当时，PN有最大值，最大值为 （3）存在，理由如下：由点，知当时，过Q作轴于点E，易得，由，得，（舍）此时，点； 当时，则在中，由勾股定理，得解之，得或（舍）此时，点； 当时，由，得（舍）综上知所述，可知满足条件的点Q有两个，坐标分别为：，【点睛】本题是一道二次函数与几何图形的综合题，解答的关键是认真审题，找出相关条件，运用待定系数法、数形结合法等解题方法确定解题思路，对相关信息进行推理、探究、发现和计算