河南省南阳市2018-2019学年高二数学上学期期末考试试题文含答案.doc

1、 河南省南阳市河南省南阳市 20182018- -20192019 学年高二上学期期末考试数学（文）试题学年高二上学期期末考试数学（文）试题 一、选择题（本大题共一、选择题（本大题共 1212 小题，共小题，共 60.060.0 分）分） 1.已知条件 p：，q：，则 p 是 q 的 A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 试题分析：根据充分必要条件的定义，分别证明其充分性和必要性，从而得到答案 解：由 x1，推出 1，p 是 q 的充分条件， 由 1，得0，解得：x0 或 x1不是必要条件， 故选：A 考点：必要条件、充分

2、条件与充要条件的判断 2.已知命题,总有,则为 A. ,使得 B. ,使得 C. ,总有 D. ,总有 【答案】B 【解析】 由全称性命题的否定是特称性命题，可知选 C. 3.已知为等差数列的前 n 项和，则等于 A. B. 36 C. 54 D. 108 【答案】B 【解析】 【分析】 由等差数列性质，利用等差数列前 n 项和公式得，由此能求出 结果 【详解】解：为等差数列的前 n 项和， 故选 B 【点睛】本题考查等差数列的前 n 项和的求法，考查等差数列的性质等基础知识，考查运算 求解能力，是基础题 4.函数在上的最大值和最小值分别是（ ） A. 2，-18 B. -18，-25 C.

3、2，-25 D. 2，-20 【答案】C 【解析】 由题意得， 令，解得或， 当时，函数单调递减，当时，函数单调递增， 所以函数的最小值为， 又，则，所以函数的最大值为，故选 C. 5.中国古代数学名著九章算术中有这样一个问题：今有牛、马、羊食人苗，苗主责之 栗五斗羊主曰：“我羊食半马”马主曰：“我马食半牛”今欲哀偿之，问各出几何？此 问题的译文是：今有牛、马、羊吃了别人的禾苗，禾苗的主人要求赔偿 5 斗栗羊主人说： “我羊所吃的禾苗只有马的一半”马主人说：“我马所吃的禾苗只有牛的一半”打算按 此比率偿还，他们各应偿还多少？已知牛、马、羊的主人各应偿还栗a升，b升，c升， 1 斗为 10 升，

4、则下列判断正确的是 A. a，b，c依次成公比为 2 的等比数列，且 B. a，b，c依次成公比为 2 的等比数列，且 C. a，b，c依次成公比为 的等比数列，且 D. a，b，c依次成公比为 的等比数列，且 【答案】D 【解析】 由条件知 ， ， 依次成公比为 的等比数列，三者之和为 50 升，根据等比数列的前n项和， 即故答案为D. 6.的内角 A， B， C 的对边分别为 a， b， c，若 a， b，c 成等比数列， 且，则 等于 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】 a，b，c 成等比数列，可得，又，可得，利用余弦定理即可得出答案 【详解】解：，b，c 成等比数列

5、， ， 又， ， 则， 故选 C 【点睛】本题考查了余弦定理、等比数列的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题 7.已知变量满足，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 如图： 可得当，时取得最大值 ，所以，故选 8.如图， 设抛物线的焦点为 ， 不经过焦点的直线上有三个不同的点 ， ， ， 其中点 ， 在抛物线上，点 在 轴上，则与的面积之比是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 ，故选 A. 考点：抛物线的标准方程及其性质 9.已知是可导函数，如图，直线是曲线在处的切线，令 ，是的导函数，则 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分

6、析】 由题意可得，求得 k，求出的导数，计算可得所求值 【详解】解：由直线是曲线在处的切线， 曲线过可得， 即有， 可得，则， 故选 B 【点睛】本题考查导数的几何意义，直线方程的运用，函数求导，考查方程思想和运算能力， 属于基础题 10.已知抛物线上一点到其焦点的距离为 5，双曲线的 左顶点为 ，若双曲线的一条渐近线与直线平行，则实数（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 试题分析：根据题意，抛物线上一点到其焦点的距离为 5，则点 到抛物线的准线的距离也为 5，即即抛物线的方程为 易得，即 M 的坐标为;双曲线的左顶点为 ，则 ，且 的坐标为其渐近线方程为,而， 又由若双曲线的

7、一条渐近线与直线平行，则有,选 A 考点：抛物线，双曲线的有关性质 【名师点睛】本题考查双曲线与抛物线的有关性质，属容易题；解题时需要牢记双曲线的渐 近线方程、顶点坐标等知识同时也要理解记忆抛物线的定义，解题时才能得心应手. 11.设直线与函数，的图象分别交于点 M，N，则当达到最小 值时，t 的值为 A. 1 B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】 先构造函数：设，再利用导数求函数的单调性及极值：由 ，即函数在为减函数，在为增函数，即 ，得解 【详解】解：设， 则， 当时，当时， 即函数在为减函数，在为增函数， 所以时取极小值即， 即当达到最小值时，t 的值为 1， 故选 A 【点

8、睛】本题考查了建立函数解析式，函数求导，利用导数求函数的最值，属中档题 12.已知椭圆 C：点 A，B 为长轴的两个端点，若在椭圆上存在点 P， 使，则离心率 e 的取值范围为 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】 由，可得： ，解不等式求解 【详解】解：，设，由 M 在椭圆上，则 所以， 可得：，解不等式得 故选 C 【点睛】本题考查了椭圆的标准方程及其性质、斜率计算公式、不等式的解法与性质，考查 了推理能力与计算能力，属于中档题 二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共 4 4 小题，共小题，共 20.020.0 分）分） 13.若，则的最小值是_ 【答案】 【解析】 【

9、分析】 由已知可知，然后利用基本不等式即可求解 【详解】解：， ， （当且仅当取等号） 故答案为 【点睛】本题主要考查了利用基本不等式求最值，解题的关键是配凑积为定值，属于基础试 题 14.函数的单调递增区间是_ 【答案】或 【解析】 【分析】 求的导函数，利用，可得函数的单调递增区间 【详解】解：由，得 令，可得 故函数的单调递增区间是 故答案为或. 【点睛】本题考查导数知识的运用，函数求导，考查函数的单调性，属于基础题 15.在数列中，“，又，则数列 的前 n 项和为_ 【答案】 【解析】 【分析】 运用等差数列的求和公式可得，可得 ，由数列的裂项相消求和，化简可得所求和 【详解】解：，

10、则， 可得数列的前 n 项和 故答案为 【点睛】本题考查数列的前 项和，首先运用数列的裂项法对项进行分解，然后重新组合，最 终达到求和目的，考查化简整理的运算能力，属于基础题 16.设、 分别为双曲线 C：的左右焦点， A 为双曲线的左顶点， 以 为直径的圆交双曲线某条渐近线于 M、N 两点，且满足，则该双曲线的离心 率为_ 【答案】 【解析】 如图，由已知条件知圆的方程为由，得， ，又， ， 即双曲线的离心率为， 故答案为. 【 方法点睛】本题主要考查双曲线的渐近线、离心率及简单性质，属于难题. 离心率的求解 在圆锥曲线的考查中是一个重点也是难点，一般求离心率有以下几种情况：直接求出， 从而

11、求出 ;构造的齐次式，求出 ;采用离心率的定义以及圆锥曲线的定义来求解;根 据圆锥曲线的统一定义求解本题中，根据题平面向量夹角的余弦公式，建立关于焦半径和 焦距的关系从而找出之间的关系，求出离心率 三、解答题（本大题共三、解答题（本大题共 6 6 小题，共小题，共 70.070.0 分）分） 17.已知，在中，a、b、c 分别为角 A、B、C 的对边，且 求角 A 的大小； 设的面积为，求 a 的取值范围 【答案】 （1）（2） 【解析】 【分析】 根据正弦定理，化简整理得，结合解出，从而可 得 A 的值 由三角形的面积公式， 从而解出， 再结合基本不等式求最值， 即可得到 a 的取值范围 【

12、详解】解： 由正弦定理可得：， 又， 可得：，又 ，的面积为， 解得：， 由余弦定理可得：，当且仅当 时等号成立 综上，边 a 的取值范围为 【点睛】本题考查了利用正余弦定理解三角形，三角形的面积公式和三角恒等变换及运用， 基本不等式求值域等知识，由函数值求角，要考虑角的范围，属于中档题 18.已知； 函数有两个零点 (1)若为假命题，求实数 的取值范围； (2)若为真命题， 为假命题，求实数 的取值范围 【答案】 （1）（2） 【解析】 试题分析： （1）若为假命题，则两个命题均为假命题，先求出为真时参数的范围再求补 集即可； （2）若为真命题，为假命题，则一真一假 试题解析： 若 为真，令

13、，问题转化为求函数的最小值， ，令，解得， 函数在上单调递减，在上单调递增， 故，故 若 为真，则，或 (1)若为假命题，则均为假命题，实数 的取值范围为 (2)若为真命题，为假命题，则一真一假 若 真 假，则实数 满足，即； 若 假 真，则实数 满足，即 综上所述，实数 的取值范围为 19.已知数列前 n 项和为，且 求数列的通项公式； 设，求数列的前 n 项和 【答案】 （1）（2） 【解析】 【分析】 运用数列的递推式：时，当时，结合等比数列的通项公 式，可得所求； 求得，运用数列的错位相减法求和，结合等比数列的求和 公式，计算可得所求和 【详解】解：，可得，即， 当时， 化为，所以为等

14、比数列， 则； ， 可得前 n 项和， ， 相减可得 ， 化简可得 【点睛】本题考查等比数列的定义、通项公式和求和公式的运用，考查数列的错位相减法求 和，考查化简整理的运算能力，属于中档题 20.已知抛物线 C：焦点为 F， 抛物线上一点 A 的横坐标为 2， 且 求此抛物线 C 的方程； 过点做直线交抛物线 C 于 A，B 两点，求证： 【答案】 （1）； （2）见解析. 【解析】 试题分析： （）设抛物线 C：，点，代入抛物线方程，运用向量的数量 积的坐标表示，计算即可求得 p=2，进而得到抛物线方程； （）讨论当直线 l 斜率不存在时， 求出 A，B 坐标，可得 OAOB；当直线 l 斜

15、率存在时，设 l：y=k（x-4） ，联立抛物线方程， 运用韦达定理，结合向量垂直的条件，化简整理即可得证 试题解析： （1）设，点，则有 ，所以抛物线 的方程为 （2）当直线 斜率不存在时，此时，解得 满足 当直线 斜率存在时，设， 联立方程 设，则 综上，成立 考点：抛物线的方程和性质 21.已知函数，. （1）求函数的极值； （2）当时，若直线 ：与曲线没有公共点，求 的取值范围. 【答案】 （1）当时，函数无极值；当时，有极小值为，无极大值. （2）. 【解析】 试题分析： （1）求得，可分和两种情况分类讨论，得出函数的单 调性，即可求得函数的极值； （2）当时，把直线 ：与曲线没有公

16、共点，等价于关于 的方程 在上没有实数解，即关于 的方程在上没有实 数解，即在上没有实数解，令，利用导数求得函数的单调性 与极值，即可求解实数 的取值范围. 试题解析： （1）定义域为，. 当时，为上的增函数，所以函数无极值. 当时，令，解得. 当，在上单调递减； 当，在上单调递增. 故在处取得极小值，且极小值为，无极小值. 综上，当时，函数无极值； 当时，有极小值为，无极大值. （2）当时， 直线 ：与曲线没有公共点，等价于关于 的方程 在上没有实数解，即关于 的方程在上没有实数解， 即在上没有实数解. 令，则有.令，解得， 当 变化时，的变化情况如下表： 且当时，；时，的最大值为 ；当时，

17、 从而的取值范围为. 所以当时，方程无实数解， 解得 的取值范围是. 点睛：本题主要考查了导数在函数中的综合应用问题，其中解答中涉及到利用导数研究函数 的单调性，利用导数求解函数的极值，以及函数与方程思想的应用，试题综合性较强，属于 中档试题，此类问题的解答中正确把握导数与函数性质的关系是解答关键，同时准确求解函 数的导数也是一个重要的环节. 22.已知椭圆 C：的离心率为 ，椭圆 C 的四个顶点围成的四边形的 面积为 求椭圆 C 的方程； 直线 l 与椭圆 C 交于，两个不同点，O 为坐标原点，若的面积为 ，证明：为定值 【答案】 （1）（2）见解析 【解析】 【分析】 由离心率为，由，解得

18、：，即可求得 椭圆 C 的方程； 直线 l 的斜率不存在时，P，Q 两点关于 x 轴对称，由三角形面积公式 即可求得和的值，可得的值，当直线斜率存在，设出直线方程代入椭 圆方程，利用及韦达定理求得和的关系，利用点到直线的距离公式和弦长 公式求得的面积，求得 m 和 k 的关系式，即可证明为定值. 【详解】解：椭圆 C：的焦点在 x 轴上，离心率为， 椭圆 C 的四个顶点围成的四边形的面积为，即， 由，解得：， 椭圆的标准方程为：； 证明：当直线轴时，的面积， 解得：， 故 当直线 l 的斜率存在时，设直线 l 的方程为， 联立可得：， ，即， 由韦达定理可知， 点 O 到直线 l 的距离为 则的面积 整理得：，满足，代入 综上为定值. 【点睛】本题考查求椭圆的标准方程，直线与椭圆的位置关系，弦长公式和点到直线的距离 公式及三角形面积公式的综合应用，考查计算能力，属于中档题