1、 江西省吉安市江西省吉安市 20182018- -20192019 学年高一（上）期末数学试卷学年高一（上）期末数学试卷 一、选择题（本大题共一、选择题（本大题共 1212 小题，共小题，共 60.060.0 分）分） 1.下列集合中与2，3是同一集合的是（ ） A. 2 , 3 B. 2,3 C. 3,2 D. 3,2 【答案】D 【解析】 【分析】 利用集合相等的定义直接求解 【详解】与2，3是同一集合的是3，2 故选：D 【点睛】本题考查同一集合的判断，考查集合相等的定义等基础知识，考查运算求解能力，是基 础题 2.函数 1 lnx f x x 的定义域为（ ） A. 0,11, B.
2、0,11, C. 0, D. 0, 【答案】B 【解析】 【分析】 根据函数 f（x）的解析式，求出使解析式有意义的自变量取值范围即可 【详解】函数 ln ( ) 1 x f x x ， 0 10 x x ， 解得 x0 且 x1， f（x）的定义域为（0，1）（1，+） 故选：B 【点睛】本题考查了根据解析式求函数定义域的应用问题，是基础题 3.在ABC中，A=30，a=4，b=5，那么满足条件的ABC（ ） A. 无解 B. 有一个解 C. 有两个解 D. 不能确定 【答案】C 【解析】 【分析】 根据余弦定理 a 2=b2+c2-2bccosA 的式子，代入题中数据化简得 c2-5 3c
3、+9=0，由根的判别式与韦 达定理得到该方程有两个不相等的正实数根，由此可得ABC 有两个解 【详解】在ABC 中，A=30，a=4，b=5， 由余弦定理 a 2=b2+c2-2bccosA，得 16=25+c 2-10ccos30，得 c2-5 3c+9=0（*） =（5 3） 2-419=390，且两根之和、两根之积都为正数， 方程（*）有两个不相等正实数根，即有两个边 c 满足题中的条件， 由此可得满足条件的ABC 有两个解 故选：C 【点睛】本题给出三角形的两条边和其中一边的对角，判断三角形解的个数着重考查了利用余 弦定理解三角形、一元二次方程根的判别式与韦达定理等知识，属于基础题 4
4、.已知角 是第四象限角，且满足 3 31 2 sincos ，则 tan（-）是（ ） A. 3 B. 3 C. 3 3 D. 3 3 【答案】A 【解析】 【分析】 直接利用三角函数的诱导公式以及同角三角函数基本关系式化简求解即可 详解】由 3 sin3cos1 2 ， 得-cos+3cos=1，即 1 cos 2 ， 角 是第四象限角， 2 3 sin1 cos 2 tan（-）=-tan= sin 3 cos 故选：A 【点睛】本题考查了三角函数的诱导公式，考查了同角三角函数基本关系式的应用，是基础题 5.已知 tan=3，则 2 1 6 2 cos cos =（ ） A. 2 B. 2
5、 C. 3 D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】 直接利用二倍角公式以及同角三角函数基本关系式化简求值即可 【详解】tan=3， 22222 2222 1 6cossin7costan737 2 cos2cossin1 tan1 3 故选：B 【点睛】本题考查了二倍角公式，考查了同角三角函数基本关系式的应用，是基础题 6.已知向量13a ，向量3bx，若向量b在向量a方向上的投影为3，则实数x 等于（ ） A. 3 B. 2 C. 2 D. 3 【答案】D 【解析】 【分析】 根据方向投影的概念列式： 3 a b a 可求得 x=-3 【 详 解 】 1, 3a ，1 32a ， 向 量b
6、在 向 量a方 向 上 的 投 影 为 133 3 2 a bx a ,解得 x=-3， 故选：D 【点睛】本题考查了平面向量数量积的性质及其运算，属基础题 7.若f（x）=2sin2x的最小正周期为T，将函数f（x）的图象向左平移 1 2 T，所得图象对应的函 数为（ ） A. 2sin2yx B. 2sin2yx C. 2cos2yx D. 2cos2yx 【答案】B 【解析】 【分析】 由三角函数的周期的公式得：T= 2 2 ，由函数图象的平移得：g（x）=2sin2（x+ 2 ）=-2sin2x， 得解 【详解】由 f（x）=2sin2x 可得：此函数的最小正周期为 T= 2 2 ，
7、将函数 f（x）的图象向左平移 1 2 T， 所得图象对应的函数为 g（x）=2sin2（x+ 2 ）=-2sin2x， 故选：B 【点睛】本题考查了三角函数的周期、函数图象的平移，属简单题 8.已知 1 2 5alog ，b=log827， 5 1 ( )c e ，则a，b，c的大小关系为（ ） A. acb B. bac C. cab D. abc 【答案】D 【解析】 【分析】 可以得出 1282 2 log 5log 5,log 27log 3 ，并且 5 22 1 log 5log 31,( )1 e ，从而得出 a，b，c 的大小关系 【详解】 12 2 log 5log 5 ，
8、2 82 2 log 27 log 27log 3 log 8 ，log25log231， 50 11 ( )( )1 ee ； abc 故选：D 【点睛】考查对数函数、指数函数的单调性，对数的换底公式，以及增函数和减函数的定义 9.已知向量a b， 满足3a ，4b ，14ab，则ab=（ ） A. 3 B. 5 C. 6 D. 7 【答案】C 【解析】 【分析】 根据向量的模即可求出 【详解】3,4,14abab， 22 2 2ababa b， 即 14=9+16+2a b， 2a b=-11 22 2 2ababa b=9+16+11=36， 6ab， 故选：C 【点睛】本题考查了向量的
9、模的计算，属于基础题 10.已知函数 2 32 m f xmm x（ ） 是幂函数，若f（x）为增函数，则m等于（ ） A. 1 3 B. 1 C. 1 D. 1 3 或 1 【答案】C 【解析】 【分析】 根据幂函数的定义与性质，即可求出 m 的值 【详解】函数 f（x）=（3m 2-2m）xm是幂函数， 则 3m 2-2m=1，解得 m=1 或 m=-1 3 ， 又 f（x）为增函数， 则 m=1 满足条件， 即 m 的值为 1 故选：C 【点睛】本题考查了幂函数的定义与性质的应用问题，是基础题 11.设正实数a，b满足 3 a=7b，下面成立的是（ ） A. 1 0 2 b a B. 1
10、 1 2 b a C. 12 b a D. 23 b a 【答案】B 【解析】 【分析】 设 3 a=7b=t， （t0） ，则 a=log 3t，b=log7t，从而 b a =log7tlogt3=log73，根据对数函数的单调性 即可比较 b a 与 1 2 和 1 的大小. 【详解】正实数 a，b 满足 3 a=7b， 设 3 a=7b=t， （t0） ，则 a=log 3t，b=log7t， b a =log7tlogt3= lglg3lg3 lg7lglg7 t t =log73， 777 1 log7=log 3log 71 2 b a 故选：B 【点睛】本题考查两数比值的范围的
11、求法，考查对数的性质、运算法则等基础知识，考查运算求 解能力，是基础题 12.已知定义在 R 上的奇函数 f（x）且满足 f（1+x）=-f（3-x） ，且 f（1）0，若函数 g（x）=x 6+f （1）cos4x-3 有且只有唯一的零点，则 f（2018）+f（2019）=（ ） A. 1 B. 1 C. 3 D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】 根据题意，由 f（1+x）=-f（3-x）变形可得 f（x）=-f（4-x） ，由函数的奇偶性可得 f（x）=-f （-x） ，综合可得-f（-x）=-f（4-x） ，即 f（x）=f（x+4） ，即函数 f（x）为周期为 4 的周期函数，据
12、 此可得 f （2） =f （-2） ， 且 f （-2） =-f （2） ， 分析可得 f （2） =-f （-2） =0； 对于 g （x） =x 6+f （1） cos4x-3， 由函数奇偶性的定义可得函数 g（x）为偶函数，结合函数零点个数分析可得 g（0）=f（1）-3=0，则 f （1）=3，结合 f（x）的周期性可得 f（2018）与 f（2019）的值，相加即可得答案 【详解】根据题意，函数 f（x）且满足 f（1+x）=-f（3-x） ，则有 f（x）=-f（4-x） ， 又由 f（x）为奇函数，则有 f（x）=-f（-x） ， 则有-f（-x）=-f（4-x） ，即 f（x
13、）=f（x+4） ， 即函数 f（x）为周期为 4 的周期函数， 则有 f（2）=f（-2） ，且 f（-2）=-f（2） ， 分析可得 f（2）=-f（-2）=0， 对于 g（x）=x 6+f（1）cos4x-3， 有 g（-x）=（-x） 6+f（1）cos4（-x）-3=x6+f（1）cos4x-3=g（x） ， 即函数 g（x）为偶函数， 若函数 g（x）=x 6+f（1）cos4x-3 有且只有唯一的零点， 则必有 g（0）=f（1）-3=0，则 f（1）=3， f（2018）=f（2+2016）=f（2）=0， f（2019）=f（3+2016）=f（3）=f（-1）=-f（1）=
14、-3， 则 f（2018）+f（2019）=-3； 故选：C 【点睛】本题考查函数周期性与奇偶性的应用，注意分析函数的周期，关键是求出 f（1）的值， 属于综合题 二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共 4 4 小题，共小题，共 20.020.0 分）分） 13.已知集合A=2，3，6，则集合A的真子集的个数是_ 【答案】7 【解析】 【分析】 根据含有 n 个元素的有限集合的真子集有2n个，容易得出集合 A 的真子集个数为 3 217 个， 得到结果 【详解】因为集合 A 中有 3 个元素，所以集合 A 的真子集有 3 217 个， 故答案为：7 【点睛】考查列举法的定义，真子集的概念，组
15、合的概念及组合数公式 14.已知函数 0 0 2 xx f x x sinx ， ， ，则 2 f f_ 【答案】1 【解析】 【分析】 推导出 f（ 2）= 2 ，从而 ff（ 2）=f（-）=sin( ) 2 ，由此能求出结果 【详解】函数 ,0 ( ) sin,0 2 x x f x x x ， f（ 2）= 2 ， ff（ 2）=f（-）=sin( ) 2 =-sin 2 =-1 故答案为：-1 【点睛】本题考查函数值求法，考查函数性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题 15.已知 32 1f xaxbx是定义在 2bb，上的偶函数，则a+b等于_ 【答案】0 【解析】 【分析】
16、根据题意， 由偶函数的定义域的性质可得 b+2+b=0， 解可得 b=-1， 进而可得 f （-x） =f （x） ， 即 （a-1） （-x） 3-（-x）2=（a-1）x3-x2，分析可得 a 的值，将 a、b 的值相加即可得答案 【详解】根据题意，已知 f（x）=（a-1）x 3+bx2是定义在b，2+b上的偶函数， 有 b+2+b=0，解可得 b=-1， 则 f（x）=（a-1）x 3-x2， 若 f（x）为-1，1上的偶函数，则有 f（-x）=f（x） ， 即（a-1） （-x） 3-（-x）2=（a-1）x3-x2， 分析可得：a=1， 则 a+b=0； 故答案为：0 【点睛】本题
17、考查函数的奇偶性的定义以及性质，关键是掌握函数奇偶性的定义 16.已知向量125125asincos，7575bcossin， 2 34 50cmnn， 若 ac，则b与c的夹角为_ 【答案】70 【解析】 【分析】 由向量共线的运算得： c a =（sin125，cos125） （0） ，由平面向量数量积及其 夹角、两角和差的正弦 cos= b c b c = (sin125 cos75cos125 sin75 ) =-sin200=cos70，由 0，180，即可得解 【详解】因为(sin125 ,cos125 ),(cos75 ,sin75 )ab， 2 (34,5)(0)cmnn 又a
18、 c ， 则不妨设c a =（sin125，cos125） （0） ， 设与的夹角为 ，则 cos= b c b c = (sin125 cos75cos125 sin75 ) =-sin200=cos70，由 0，180，所 以 =70， 故答案为：70 【点睛】平面向量数量积及其夹角、两角和差的正弦，属中档题 三、解答题（本大题共三、解答题（本大题共 6 6 小题，共小题，共 70.070.0 分）分） 17.已知全集U=R，A=x|2x10，集合B是函数 2 96yxlgx的定义域 （1）求集合B； （2）求AUB 【答案】 （1） |336x xx或； （2） |23610 xxx或
19、【解析】 【分析】 （1）求函数 y 的定义域即可得出集合 B； （2）根据补集与交集的定义，计算即可 【详解】 （1）由函数 2 96yxlgx，则 2 90 60 x x ， 解得 33 6 xx x 或 ， 集合 B=x|x-3 或 3x6； （2）由全集 U=R， UB=x|-3x3 或 x6， 又 A=x|2x10， AUB=x|2x3 或 6x10 【点睛】本题考查了求函数的定义域和集合的运算问题，是基础题 18.已知函数 2 3 230 22 m f xsin xmcos xmn m （1）求函数f（x）的单调递减区间； （2）设0 2 x ，f（x）的最小值是1 3 ，最大值是
20、 3，求实数m，n的值 【答案】 （1） 7 , 1212 kkkZ ； （2）2,1mn 【解析】 【分析】 （1）利用边角公式结合辅助角公式进行化简，结合单调性的性质进行求解即可； （2）求出角的范围，结合函数的单调性和最值关系建立方程进行求解即可 【详解】 （1） 2 3 230 22 m f xsin xmcos xmn m = 2 m sin2x+ 3 2 m（2cos 2x-1）+n =m（ 1 2 sin2x+ 3 2 cos2x）+n =msin（2x+ 3 ）+n， m0， 由 2k+ 2 2x+ 3 2k+ 3 2 ，kZ， 即 k+ 12 xk+ 7 12 ，kZ， 即函
21、数的单调递减区间为k+ 12 ，k+ 7 12 ，kZ （2）当 x0 2 ，时，2x+ 3 3 ， 4 3 ， 则- 3 2 sin（2x+ 3 ）1， f（x）的最小值是1 3 ，最大值是 3， f（x）的最大值为 m+n=3，最小值为 3 2 m+n=1-3， 得 m=2，n=1 【点睛】本题主要考查三角函数的图象和性质，利用倍角公式以及辅助角公式将函数化简为 f（x） =Asin（x+）是解决本题的关键 19.设, a b是两个不共线的非零向量 （1）设OA a b ，OB tb ， 1 ()() 4 OCab tR，那么当实数 t 为何值时，A，B，C 三点 共线； （2）若|2a
22、，2b 且a与b的夹角为 60，那么实数 x 为何值时2axb的值最小？最 小值为多少？ 【答案】 （1） 12 , 43 t； （2） 9 2 【解析】 【分析】 （1）由 A，B，C 三点共线知：存在实数 使=+（1-），代入， 可得 =，t=； （2）=|cos60=， |-2x| 2=2+4x22-4x =2+16x 2-4 =16x 2-4 +4，利用二次函数求最值可得 【详解】 （1）由A，B，C三点共线知：存在实数 使OC=OA+（1-）OB， 则 1 4 （a+b）=（a-b）+（1-）tb 则 = 1 4 ，t= 2 3 ， （2）ab=|a|b|cos60= 2， |a-2
23、xb| 2=a2+4x2b2-4xa b=2+16x 2-4 2x =16x 2-4 2x+4， 当x=- 4 2 2 16 = 2 8 时，|a-2xb|的最小值为 9 2 【点睛】本题考查了平面向量数量积的性质及其运算，属中档题 20.已知函数f（x）= 331 33(1) a xx a xx （xR） （1）证明：当a3 时，f（x）在R上是减函数； （2）若函数f（x）存在两个零点，求a的取值范围 【答案】 （1）见解析； （2）0,3 【解析】 【分析】 （1）根据题意，由分段函数的解析式依次分析 f（x）的两段函数的单调性以及最值，结合函数单 调性的定义分析可得答案； （2）根据题
24、意，函数的解析式变形可得 f（x）=3|x-1|-a，分析可得若函数 f（x）存在两个零点， 即函数 f（x）=3|x-1|与函数 y=ax 有 2 个不同的交点，结合函数 y=3|x-1|的图象分析可得答案 【详解】 （1）证明：根据题意，函数 f（x）= 33,1 33,(1) a xx f x a xx ， 若 a3，则当 x1 时，f（x）=（3-a）x-3，有（3-a）0， 此时 f（x）为减函数，且 f（x）f（1）=-a， 当 x1 时，f（x）=-（3+a）x+3，有-（3+a）0， 此时 f（x）为减函数，且 f（x）f（1）=-a， 故当 a3 时，f（x）为减函数； （2
25、）根据题意，f（x）= 33 33 xa xa =3|x-1|-a， 若函数 f（x）存在两个零点， 即函数 f（x）=3|x-1|与函数 y=ax 有 2 个不同的交点， 则有 0a3， 即 a取值范围为（0，3） 【点睛】本题考查分段函数的解析式的应用，涉及分段函数的单调性，属于基础题 21.已知在平面直角坐标系中，点A，B，C的坐标分别为A（cos，sin） ，B（2，0） ，C（0，2） ， （0，） （1）若ABAC，求 的值； （2）若 1 3 AB AC ，求 2 22 1 sinsin tan 的值 【答案】 （1） 4 ； （2） 5 9 【解析】 【分析】 （1）先求出和，
26、然后根据向量模的坐标公式列式可解得 tan=1，再得 =； （2）根据=-可得 sin2=-，再根据原式=sin2=- 【详解】 （1）AB=（2-cos，-sin） ，AC=（-cos，2-cos） ， 由|AB|=|AC|得|AB| 2=| AC| 2， 5-4cos=5-4sin，即 tan=1， 又 （0，） ，= 4 （2）ABAC=（2-cos） （-cos）+（-sin） （2-sin） =cos 2-2cos+sin2-2sin =2-2（sin+cos）=- 1 3 ， sin+cos= 2 3 ，sin2=（sin+cos） 2-1=-5 9 ， 2 22 1 sinsin
27、 tan = 2sin cossincos sincos =sin2=- 5 9 【点睛】本题考查了平面向量数量积的性质及其运算，以及三角函数化简求值问题，属中档题 22.已知 f（x） 是定义在 R 上的奇函数且 f （-2）=-3， 当 x0 时，f（x）=a x-1， 其中 a0 且 a1 （1）求 33 22 ff 的值； （2）求函数f（x）的解析式； （3）已知 g（x）=log2x，若对任意的x11，4，存在 2 2 2 6x ，使得 f（mx1）+1g（x2） （其 中 m0）成立，求实数m的取值范围 【答案】 （1）0； （2） 21,0 21,(0) x x x f xx
28、； （3） 2 log 3 1，） 【解析】 【分析】 （1）根据题意，由奇函数的性质可得=0，即可得答案； （2）根据题意，由函数的奇偶性可得 f（2）=3，结合函数的解析式可得 f（2）=a 2-1=3，解可得 a=2， 解可得当 x0 时，f （x）=2 x-1， 当 x0 时， 结合函数的奇偶性与解析式分析可得 f （x） =-f（-x） =-2 -x+1，综合可得答案； （3）根据题意，由函数的解析式分析可得 x11，4时，f（mx1）的取值范围和当时， g（x2）的取值范围，结合题意可得 2 m ，解可得 m 的取值范围，即可得答案 【详解】 （1）根据题意，f（x）为奇函数，即有
29、f（x）+f（-x）=0， 则 33 22 ff =0， （2）根据题意，f（x）是定义在R上的奇函数且f（-2）=-3，则f（2）=3， 又由当x0 时，f（x）=a x-1，则 f（2）=a 2-1=3，解可得 a=2， 则当x0 时，f（x）=2 x-1， 当x0 时，-x0，f（-x）=2 -x-1， 则f（x）=-f（-x）=-2 -x+1， 故f（x）= 21,0 21,(0)? x x x x ； （3）任意的x11，4，当m0，有mx10，则f（mx1）+1= 1 2mx， 则有 2 mf（mx 1）+12 4m， 当 2 2 2 6x ，时，则g（x2）=log2x2，则有 3 2 g（m）1+log23， 若对任意的x11，4，存在 2 2 2 6x ，使得f（mx1）+1g（x2） ， 则有 2 m3 2 ，解可得mlog23-1， 即m的取值范围为log23-1，+） 【点睛】本题考查函数的奇偶性的性质以及应用，涉及函数的最值问题，属于基础题
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