第1讲　坐标系 （《金版教程》2021高考科学复习创新方案-理数）.ppt

1、金版教程金版教程20212021高考科学复习创新方案高考科学复习创新方案- -理数理数 （创新版）（创新版） 【精品课件精品课件】 第第1 1讲讲 坐标系坐标系 第十二章 选修4系列 考纲解读 1.了解坐标系的作用，掌握平面直角坐标系中的伸缩 变换 2了解极坐标的基本概念，能在极坐标系中用极坐标表示点的位 置，能进行极坐标和直角坐标的互化(重点) 3能在极坐标系中给出简单图形(如过极点的直线、过极点或圆心 为极点的圆)的方程(难点) 考向预测 从近三年高考情况来看，本讲是高考中的必考内 容预测 2021 年将会考查：极坐标与直角坐标的转化，极坐标方 程化为直角坐标方程， 要特别注意图象的伸缩变

2、换 题型为解答题， 属中、低档题型. 1 基础知识过关基础知识过关 PART ONE 1.伸缩变换 设点 P(x，y)是平面直角坐标系中的任意一点，在变换 ： 01 _的作用下，点 P(x，y)对应到点 P(x，y)，称 为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换，简称伸缩变换 xx0， yy0 2极坐标 一般地，不作特殊说明时，我们认为 0， 可取任意实数 3极坐标与直角坐标的互化 设 M 是平面内任意一点，它的直角坐标是(x，y)，极坐标是(，)， 则它们之间的关系为： x01 _， y02 _； 203 _， tan04 _. cos sin x2y2 y xx0 1概念辨析 (1)平面直角坐标系

3、内的点与坐标能建立一一对应关系，在极坐标 系中点与坐标也是一一对应关系( ) (2)点 P 的直角坐标为( 2， 2)，那么它的极坐标可表示为 2，3 4 .( ) (3)过极点作倾斜角为 的直线的极坐标方程可表示为 或 .( ) (4)圆心在极轴上的点(a,0)处，且过极点 O 的圆的极坐标方程为 2asin.( ) 答案 (1) (2) (3) (4) 答案答案 2小题热身 (1)设平面内伸缩变换的坐标表达式为 x1 2x， y3y， 则在这一坐标变换 下正弦曲线 ysinx 的方程变为( ) Ay1 3sin2x B.y3sin1 2x Cy1 3sin x 2 D.y3sin2x 答案

4、答案 解析 由已知得 x2x， y1 3y 代入 ysinx，得1 3ysin2x，即 y 3sin2x，所以 ysinx 的方程变为 y3sin2x. 解析解析 (2)在极坐标系中 A 2， 3 ，B 4，2 3 两点间的距离为_ 解析 解法一：(数形结合)在极坐标系中，A，B 两 点如图所示， |AB|OA|OB|6. 解法二：A 2， 3 ，B 4，2 3 的直角坐标为 A(1， 3)， B(2,2 3)，|AB| 2122 3 326. 6 解析解析 (3)曲线 C1： 6与曲线 C2：sin 6 3 2 的交点坐标为_ 解析 将 6代入 sin 6 3 2 ，得 sin 3 3 2

5、，所以 1，所以曲 线 C1与曲线 C2的交点坐标为 1， 6 . 1， 6 解析解析 (4)在极坐标系中，圆 2cos 的垂直于极轴的两条切线方程分别为 _ 解析 圆 2cos 与极轴的交点的极坐标为(0,0)和(2,0)过这两个点 垂直于极轴的两条直线即为所求，它们的方程分别为 2(R)和 cos 2. 2(R)和 cos2 解析解析 2 经典题型冲关经典题型冲关 PART TWO 在同一平面直角坐标系中，求一个伸缩变换，使得圆 x2y21 变换为 椭圆x 2 9 y 2 4 1. 题型题型 一一 平面直角坐标系中的伸缩变换平面直角坐标系中的伸缩变换 解 设伸缩变换为 xx0， yy0，

6、由题知 2x2 9 2y2 4 1， 即 3 2x2 2 2y21.与 x2y21 比较系数， 解解 得 3 21， 2 21， 故 3， 2， 所以伸缩变换为 x3x， y2y， 即先使圆 x2y21 上的点的纵坐标不变，将圆上的点的横坐标伸长到 原来的 3 倍，得到椭圆x 2 9 y21，再将该椭圆上点的横坐标不变，纵坐标 伸长到原来的 2 倍，得到椭圆x 2 9 y 2 4 1. 解解 伸缩变换后方程的求法 平面上的曲线 yf(x)在变换 ： xx0， yy0 的作用下的变换 方程的求法是将 xx ， yy 代入 yf(x)，得y f x ，整理之后得 到 yh(x)，即为所求变换之后的

7、方程见举例说明 提醒：应用伸缩变换时，要分清变换前的点的坐标(x，y)与变换后 的坐标(x，y). 解解 解 由题意， 把变换公式代入曲线y3sin x 6 得3y3sin 2x 6 ， 整理得 ysin 2x 6 ，故 f(x)sin 2x 6 .所以 yf(x)的最小正周期为2 2 . 若函数 yf(x)的图象在伸缩变换 ： x2x， y3y 的作用下得到曲 线的方程为 y3sin x 6 ，求函数 yf(x)的最小正周期 以直角坐标系中的原点 O 为极点， x 轴正半轴为极轴的极坐标系中， 已 知曲线 C 的极坐标方程为 2 1sin. (1)将曲线 C 的极坐标方程化为直角坐标方程；

8、(2)过极点 O 作直线 l 交曲线 C 于点 P，Q，若|OP|3|OQ|，求直线 l 的极坐标方程 题型题型 二二 极坐标与直角坐标的互化极坐标与直角坐标的互化 解 (1) x2y2，siny， 2 1sin可化为 sin2， 曲线的直角坐标方程为 x24y4. (2)设直线 l 的极坐标方程为 0(R)， 根据题意 2 1sin03 2 1sin0， 解得 0 6或 0 5 6 ， 直线 l 的极坐标方程为 6(R)或 5 6 (R) 解解 1求曲线的极坐标方程的步骤 (1)建立适当的极坐标系，设 P(，)是曲线上任意一点 (2)由曲线上的点所适合的条件，列出曲线上任意一点的极径 和 极

9、角 之间的关系式 (3)将列出的关系式进行整理、化简，得出曲线的极坐标方程 2极坐标方程与直角坐标方程的互化 (1)直角坐标方程化为极坐标方程：将公式 xcos 及 ysin 直 接代入直角坐标方程并化简即可 (2)极坐标方程化为直角坐标方程：通过变形，构造出形如 cos， sin，2的形式，再应用公式进行代换其中方程的两边同乘以(或同 除以) 及方程两边平方是常用的变形技巧 3极角的确定 由 tan 确定角 时，应根据点 P 所在象限取最小正角 (1)当 x0 时， 角才能由 tany x按上述方法确定 (2)当 x0 时，tan 没有意义，这时可分三种情况处理：当 x0，y0 时， 可取任

10、何值；当 x0，y0 时，可取 2；当 x0，y0， 为参数)，直线 C2：y 3 3 x，以坐标原点为极点，x 轴的 非负半轴为极轴建立极坐标系 (1)写出曲线 C1，直线 C2的极坐标方程； (2)直线 C3：5 6 (R)，设曲线 C1与直线 C2交于点 O，A，曲 线 C1与直线 C3交于点 O，B，OAB 的面积为 6 3，求实数 m 的值 解 (1)由题意消去曲线 C1的参数 ，得曲线 C1的普通方程为(xm)2 y2m2. xcos，ysin， 曲线 C1的极坐标方程为 2mcos. 直线 C2的极坐标方程为 6(R) (2)由 6， 2mcos， 得 A 3m， 6， A 3m

11、， 6 . 解解 由 5 6 ， 2mcos， 得 B 3m， 6， B 3m， 6 . SOAB1 2A |B | sinAOB6 3， 即1 23m3m sin 36 3，解得 m 28. 又 m0，m2 2. 解解 1(2020 贵州适应性测试)在以原点 O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的 极坐标系中，曲线 C1的极坐标方程为 4cos，曲线 C2的极坐标方程为 cos2sin. (1)求曲线 C2的直角坐标方程； (2)过原点且倾斜角为 6 4 的射线 l 与曲线 C1，C2分别相交于 A， B 两点(A，B 异于原点)，求|OA| |OB|的取值范围 B组组 能力关能力关 解 (1)

12、由曲线 C2的极坐标方程为 cos2sin， 两边同乘以 ，得 2cos2sin， 故曲线 C2的直角坐标方程为 x2y. 解解 (2)射线 l 的极坐标方程为 ， 6 4， 把射线 l 的极坐标方程代入曲线 C1的极坐标方程得 |OA|4cos， 把射线 l 的极坐标方程代入曲线 C2的极坐标方程得 |OB| sin cos2， |OA| |OB|4cos sin cos24tan. 60)在 曲线 C：4sin 上，直线 l 过点 A(4,0)且与 OM 垂直，垂足为 P.,(1) 当 0 3时，求 0 及 l 的极坐标方程；,(2)当 M 在 C 上运动且 P 在线段 OM 上时，求 P

13、 点轨迹的极坐标方程 经检验，点 P 2， 3 在曲线 cos 3 2 上， 所以，l 的极坐标方程为 cos 3 2. (2)设 P(，)，在 RtOAP 中，|OP|OA|cos4cos， 即 4cos. 因为 P 在线段 OM 上，且 APOM， 所以 的取值范围是 4， 2 . 所以，P 点轨迹的极坐标方程为 4cos， 4， 2 . 解解 3在平面直角坐标系 xOy 中，直线 C1：xy10，曲线 C2： xacos， y1asin ( 为参数，a0)，以坐标原点 O 为极点，以 x 轴的非负 半轴为极轴，建立极坐标系 (1)说明 C2是哪一种曲线，并将 C2的方程化为极坐标方程；

14、(2)曲线 C3的极坐标方程为 0(0)， 其中 tan02， 0 0， 2 ， 且曲线 C3分别交 C1，C2于 A，B 两点若|OB|3|OA| 5，求 a 的值 解 (1)由 xacos， y1asin 消去参数 ， 得 C2的普通方程为 x2(y1)2a2. C2是以(0,1)为圆心，a 为半径的圆 xcos，ysin， C2的极坐标方程为(cos)2(sin1)2a2， 即 C2的极坐标方程为 22sin1a20. 解解 (2)曲线 C3的极坐标方程为 0(0)，tan02，0 0， 2 ， 曲线 C3的直角坐标方程为 y2x(x0)，sin02 5 5 . 由 xy10， y2x，

15、 解得 x1 3， y2 3， A 1 3， 2 3 . |OA| 5 3 . |OB|3|OA| 5，|OB|2 5. 故点 B 的极坐标为(2 5，0)， 代入 22sin1a20，得 a 13. 解解 4(2019 全国卷)如图，在极坐标系 Ox 中，A(2,0)，B 2， 4 ， C 2，3 4 ， D(2， )， 弧AB ， BC ， CD 所在圆的圆心分别是(1,0)， 1， 2 ， (1，)，曲线 M1是弧AB ，曲线 M 2是弧BC ，曲线 M 3是弧CD . (1)分别写出 M1，M2，M3的极坐标方程； (2)曲线 M 由 M1，M2，M3构成，若点 P 在 M 上，且|OP| 3，求 P 的极坐标 解 (1)由题设可得，弧AB ，BC ，CD 所在圆的极坐标方程分别为 2cos，2sin，2cos， 所以 M1的极坐标方程为 2cos 0 4 ， M2的极坐标方程为 2sin 4 3 4 ， M3的极坐标方程为 2cos 3 4 . 解解 (2)设 P(，)，由题设及(1)知 若 0 4，则 2cos 3，解得 6； 若 4 3 4 ，则 2sin 3，解得 3或 2 3 ； 若3 4 ，则2cos 3，解得 5 6 . 综上，P 的极坐标为 3， 6 或 3， 3 或 3，2 3 或 3，5 6 . 解解 本课结束本课结束