第3讲　绝对值不等式 （《金版教程》2021高考科学复习创新方案-理数）.ppt

1、金版教程金版教程20212021高考科学复习创新方案高考科学复习创新方案- -理数理数 （创新版）（创新版） 【精品课件精品课件】 第第3 3讲讲 绝对值不等式绝对值不等式 第十二章 选修4系列 考纲解读 1.理解绝对值意义及几何意义，能利用绝对值三角不 等式证明一些简单的绝对值不等式(重点) 2掌握|axb|c，|axb|c，|xa|xb|c 型不等式的解 法(难点) 考向预测 从近三年高考情况来看， 本讲是高考的热点内容 预 测 2021 年将会考查：绝对值不等式的解法；绝对值性质的应 用及最值；根据不等式恒成立求参数的取值范围以解答题的 形式呈现，属中档题型. 1 基础知识过关基础知识过

2、关 PART ONE 1.绝对值不等式 (1)定理 如果 a， b 是实数， 那么|ab|01 _， 当且仅当02 _时，等号成立 (2)如果 a，b，c 是实数，那么|ac|ab|bc|.当且仅当03 _时，等号成立，即 b 落在 a，c 之间 (3)由绝对值不等式定理还可以推得以下几个不等式 |a1a2an|a1|a2|an|. |a|b|a b|a|b|. |a|b| ab0 (ab)(bc)0 2绝对值不等式的解法 (1)形如|axb|cxd|的不等式， 可以利用两边平方的形式转化为 二次不等式求解 (2)绝对值不等式|x|a 与|x|0 a0 a0 |x|a x|02 _ x|x0

3、R |axb|c(c0)和|axb|c(c0)型不等式的解法 |axb|c03 _， |axb|c04 _ axa 或 x0) axbc 或 axbc(c0) 答案 (1) (2) (3) (4) 答案答案 1概念辨析 (1)不等式|x1|x2|c 的解集为 R，则 c0.( ) (3)|xa|xb|的几何意义是表示数轴上的点 x 到点 a，b 的距离 之和( ) (4)对|ab|a|b|当且仅当 ab0 时等号成立( ) 2小题热身 (1)设 a，b 为满足 ab|ab| B.|ab|ab| C|ab|a|b| D.|ab|a|b| 解析 ab|ab|. 答案答案 解析解析 (2)若不等式|

4、kx4|2 的解集为x|1x3，则实数 k_. 解析 由|kx4|22kx6.不等式的解集为x|1x3，k2. 2 解析解析 (3)函数 y|x3|x3|的最小值为_ 解析 因为|x3|x3|(x3)(x3)|6，当3x3 时，|x 3|x3|6，所以函数 y|x3|x3|的最小值为 6. 6 解析解析 (4)不等式|x1|x5|2 的解集是_ 解析 |x1|x5|表示数轴上对应的点 x 到 1 和 5 的距离之差而数 轴上满足|x1|x5|2 的点的数是 4，结合数轴可知，满足|x1|x 5|2 的解集是(，4) (，4) 解析解析 2 经典题型冲关经典题型冲关 PART TWO 1(201

5、9 全国卷)已知 f(x)|xa|x|x2| (xa) (1)当 a1 时，求不等式 f(x)0 的解集； (2)若 x(，1)时，f(x)0，求 a 的取值范围 题型题型 一一 解绝对值不等式解绝对值不等式 解 (1)当 a1 时，f(x)|x1|x|x2|(x1) 当 x1 时，f(x)2(x1)20； 当 x1 时，f(x)0. 所以，不等式 f(x)0 的解集为(，1) (2)因为 f(a)0，所以 a1. 当 a1， x(， 1)时， f(x)(ax)x(2x) (xa)2(ax)(x1)0. 所以，a 的取值范围是1，) 解解 解解 解 (1)解法一：令 2x10，x40 分别得

6、x1 2，x4.原不等式可化为： x2 或 1 2x2 或 x4， x52. 原不等式的解集为 x x5 3 . 2设函数 f(x)|2x1|x4|. (1)解不等式 f(x)2； (2)求函数 yf(x)的最小值 解解 解法二：f(x)|2x1|x4| x5，x1 2， 3x3，1 2x2 的解集为 x x5 3 . (2)由(1)的解法二知，f(x)min9 2. 解|xa|xb|c 或|xa|xb|c 的方法 (1)零点分段法 令每个含绝对值符号的代数式为零，并求出相应的根； 将这些根按从小到大排序并以这些根为端点把实数集分为若干 个区间； 由所分区间去掉绝对值符号组成若干个不等式，解这

7、些不等式， 求出解集； 取各个不等式解集的并集求得原不等式的解集 (2)利用|xa|xb|的几何意义 数轴上到点 x1a 和 x2b 的距离之和大于 c 的全体，|xa|x b|xa(xb)|ab|. (3)图象法：作出函数 y1|xa|xb|和 y2c 的图象，结合图象 求解见举例说明 2. 提醒：易出现解集不全的错误对于含绝对值的不等式，不论是 分段去绝对值号还是利用几何意义，都要不重不漏 解解 解 (1)不等式 f(x)5f(x3)，即|x1|x2|5，等价于 x2， x1x25， 解 得 2x3. 所以原不等式的解集为x|2x3 (2019 石家庄模拟)设函数 f(x)|x1|. (1

8、)求不等式 f(x)5f(x3)的解集； (2)已知关于 x 的不等式 2f(x)|xa|x4 在1，1上有解，求 实数 a 的取值范围 (2)当 x1,1时，不等式 2f(x)|xa|x4，即|xa|2x， 所以|xa|2x 在1,1上有解， 即2a22x 在1,1上有解， 解得2a4，所以实数 a 的取值范围为2,4 解解 角度 1 用绝对值不等式的性质求最值 1(1)对任意 x，yR，求|x1|x|y1|y1|的最小值； (2)对于实数 x，y，若|x1|1，|y2|1，求|x2y1|的最大值 题型 二 绝对值不等式性质的应用 解 (1)x，yR， |x1|x|(x1)x|1， 当且仅当

9、 0 x1 时等号成立， |y1|y1|(y1)(y1)|2， 当且仅当1y1 时等号成立， |x1|x|y1|y1|123， 当且仅当 0 x1，1y1 同时成立时等号成立， |x1|x|y1|y1|的最小值为 3. (2)|x2y1|(x1)2(y1)|x1|2(y2)2|12|y2| 25， 即|x2y1|的最大值为 5. 解解 角度 2 用绝对值不等式的性质证明不等式 2设 a0，|x1|a 3，|y2| a 3，求证：|2xy4|a. 证明 因为|x1|a 3，|y2| a 3， 所以|2xy4|2(x1)(y2)| 2|x1|y2|2a 3 a 3a. 即|2xy4|a. 证明证明

10、 1证明绝对值不等式的三种主要方法 (1)利用绝对值的定义去掉绝对值符号， 转化为普通不等式再证明 (2)利用三角不等式|a|b|a b|a|b|进行证明 (3)转化为函数问题，利用数形结合进行证明 2用绝对值不等式的性质求最值的方法 利用不等式|ab|a|b|(a，bR)和|ab|ac|cb|(a，b R)，通过确定适当的 a，b，利用整体思想或使函数、不等式中不含 变量，可以求最值 1已知 x，yR，且|xy|1 6，|xy| 1 4，求证：|x5y|1. 证明 |x5y|3(xy)2(xy)|， 由绝对值不等式的性质，得 |x5y|3(xy)2(xy)| |3(xy)|2(xy)|3|x

11、y|2|xy| 31 62 1 41. 即|x5y|1. 证明证明 解 (1)f(x)|x4|xa|a4|a， 解得 a2. (2)由(1)知，f(x)|x4|x2| 2x6，x2， 2，24. 解解 2已知函数 f(x)|x4|xa|(aR)的最小值为 a. (1)求实数 a 的值； (2)解不等式 f(x)5. 故当 x2 时，由2x65，得1 2x2， 当 24 时，由 2x65，得 41 的解集； (2)若 x(0,1)时不等式 f(x)x 成立，求 a 的取值范围 解 (1)当 a1 时，f(x)|x1|x1|， 即 f(x) 2，x1， 2x，1x1 的解集为 x x 1 2. 解

12、解 题型 三 与绝对值不等式有关的参数范围问题 (2)当 x(0,1)时|x1|ax1|x 成立等价于当 x(0,1)时|ax1|0，|ax1|1 的解集为 0x2 a，所以 2 a1，故 01 有解|xa|2x 有解2xxa2x 有 解3xa3，x1，3a1 有解，求 a 的取值范围 两招解不等式问题中的含参问题 (1)第一招是转化把存在性问题转化为求最值问题；不等式 的解集为 R 是指不等式的恒成立问题； 不等式的解集为的对立面也 是不等式的恒成立问题，此类问题都可转化为最值问题，即 f(x)f(x)max，f(x)a 恒成立a4. 当 x1 时，12x2x24，解得 x5 4； 当1x4

13、，无解； 解解 (2019 安徽省江南十校联考)设函数 f(x)lg (|2x1|2|x1|a) (1)当 a4 时，求函数 f(x)的定义域； (2)若函数 f(x)的定义域为 R，求实数 a 的取值范围 当 x1 2时，2x12x24，解得 x 3 4. 综上所述，函数 f(x)的定义域为 xx 3 4. (2)函数 f(x)的定义域为 R， 即|2x1|2|x1|a0 在 R 上恒成立， 即 a(|2x1|2|x1|)min. 因为|2x1|2|x1|2x1|2x2|(2x1)(2x2)|3， 所以 a3，即实数 a 的取值范围为(，3) 解解 3 课时作业课时作业 PART THREE

14、 1(2019 衡水模拟)已知函数 f(x)|x2|. (1)求不等式 f(x1)xf(x3)的解集； (2)若函数 g(x)log2f(x3)f(x)2a的值域为 R，求实数 a 的取值范 围 A组组 基础关基础关 解 (1)由已知不等式，得|x1|0，不等式又可化为 00 或 x1， x21. 解解 解得 211. 所以不等式 f(x1)xf(x3)的解集为( 21，) (2)设 h(x)f(x3)f(x)2a， 则 h(x)|x2|x1|2a. 因为|x2|x1|2a32a 当且仅当 x1,2时取等号，所以 h(x)min32a. 因为函数 g(x)log2f(x3)f(x)2a的值域为

15、 R， 所以 f(x3)f(x)2a0 有解，即|x2|x1|2a. 因为|x2|x1|3， 所以 2a3， 即 a3 2.所以实数 a 的取值范围是 3 2， . 解解 2(2019 湖北四地七校模拟)已知函数 f(x)|2x1|2xa|，g(x) x3. (1)当 a2 时，求不等式 f(x)g(x)的解集； (2)设 a1，且当 x a 2， 1 2 时，f(x)g(x)，求实数 a 的取值范 围 解 (1)当 a2 时，不等式 f(x)g(x)可化为|2x1|2x2|x30， 设函数 y|2x1|2x2|x3， 则 y 45x，x1， x，1x1 2， 3x2，x1 2， 令 y0，得

16、 0 x2 3， 原不等式的解集是x 0 x2 3 . 解解 (2)当 x a 2， 1 2 时，f(x)1a，不等式 f(x)g(x)可化为 1ax3， xa2 对 x a 2， 1 2 都成立，故a 2a2，即 a 4 3， 实数 a 的取值范围为 1，4 3 . 解解 3(2018 全国卷)设函数 f(x)|2x1|x1|. (1)画出 yf(x)的图象； (2)当 x0，)，f(x)axb，求 ab 的最小值 解 (1)f(x) 3x，x1 2， x2，1 2x0) 当 xa 时，xa4x，解得 xa 3，这与 xa0 相矛盾，故不成立 解解 4(2019 潍坊模拟)设函数 f(x)|

17、xa|x4 a(a0) (1)求证：f(x)4； (2)若不等式 f(x)x4 a4x 的解集为x|x2，求实数 a 的值 当 x0) 不等式|xa|4x(a0)的解集为x|x2 x2 是方程|xa|4x 的解， |2a|42，解得 a10 或 a6. a0，a10. 解解 1(2019 华中师范大学第一附中模拟)已知函数 f(x)|xa|x2|. (1)当 a1 时，求不等式 f(x)7 的解集； (2)若 f(x)|x4|x2a|的解集包含0,2，求实数 a 的取值范围 B组组 能力关能力关 解 (1)当 a1 时，f(x) 2x1，x1， 3，1x2， 2x1，x2. 当 x1 时，由

18、f(x)7 得2x17，解得 x3； 当1x2 时，f(x)7 无解； 当 x2 时，由 f(x)7 得 2x17，解得 x4. 所以 f(x)7 的解集为(，34，) 解解 (2)若 f(x)|x4|x2a|的解集包含0,2， 则|xa|x2a|x4|x2|在0,2上恒成立 所以当 x0,2时，|xa|x2a|x4|x2|2， 即(|xa|x2a|)max2 恒成立 又|xa|x2a|(xa)(x2a)|a|， 所以|a|2，故2a2. 所以实数 a 的取值范围是2,2 解解 解 (1)由|x1|2|5，得5|x1|25， 所以7|x1|3，解不等式得2x4， 所以原不等式的解集是x|2x4

19、 (2)因为对任意的 x1R，都有 x2R，使得 f(x1)g(x2)成立，所以y|y f(x)y|yg(x)，又 f(x)|2xa|2x3|(2xa)(2x3)|a3|， g(x)|x1|22，所以|a3|2，解得 a1 或 a5，所以实数 a 的 取值范围是a|a1 或 a5 解解 2已知函数 f(x)|2xa|2x3|，g(x)|x1|2. (1)解不等式：|g(x)|5； (2)若对任意的 x1R，都有 x2R，使得 f(x1)g(x2)成立，求实数 a 的取值范围 解 (1)由题意，得 f(x)f(x1)|x1|x2|. 因此只要解不等式|x1|x2|2. 当 x1 时，原不等式等价

20、于2x32，解得1 2x1； 当 1x2 时，原不等式等价于 12，解得 1x2； 解解 3(2019 安徽师大附中、马鞍山二中阶段测试)已知函数 f(x)|x 2|. (1)解不等式：f(x)f(x1)2； (2)若 a2 时，原不等式等价于 2x32，解得 2x5 2. 综上，原不等式的解集为 x 1 2 x5 2. (2)证明：由题意得 f(ax)af(x)|ax2|a|x2|ax2|2a ax|ax22aax|2a2|f(2a)，所以 f(ax)af(x)f(2a)成立 解解 解 (1)由题意，得 f(x) 3x，x1， x2，1 2x1， 3x，x1 2. 当 x1 时，由 f(x)

21、3 得 3x3，解得 x1； 解解 4(2019 武汉模拟)已知函数 f(x)|2x1|x1|. (1)求不等式 f(x)3 的解集； (2)若直线 yxa 与 yf(x)的图象所围成的多边形面积为9 2， 求实 数 a 的值 当1 2x1 时，由 f(x)3 得 x23，解得 x1， 这与1 2x2. 易得直线 yxa 与 yf(x)的图象交于两点 解解 C a 2， 3a 2 ，D a 4， 3a 4 ， 则|CD| 2 a 2 a 4 3 2 4 a， 平行线 AB 与 CD 间的距离 d|a2| 2 a2 2 ，|AB|3 2 2 ， 梯形 ABCD 的面积 S 3 2 2 3 2 4 a 2 a2 2 3 2 3 4a 2 (a2)9 2(a2)， 即(a2)(a2)12，a4. 故所求实数 a 的值为 4. 解解 本课结束本课结束