第5讲　古典概型 （《金版教程》2021高考科学复习创新方案-理数）.ppt

1、金版教程金版教程20212021高考科学复习创新方案高考科学复习创新方案- -理数理数 （创新版）（创新版） 【精品课件精品课件】 第第5 5讲讲 古典概型古典概型 第十章 计数原理、概率、 随机变量及其分布 考纲解读 1.理解古典概型及其概率计算公式，能计算一些随机事件包含 基本事件及其事件发生的概率(重点、难点) 2了解随机数意义，能运用模拟方法估计概率 考向预测 从近三年高考情况来看，本讲一直是高考的热点之一预测 2021 年将会考查：古典概型的基本计算； 古典概型与其他知识相结合题型以解答题为主，也可出选择题、填空 题，与实际背景相结合，试题难度中等. 1 基础知识过关基础知识过关 P

2、ART ONE 1.基本事件的特点 (1)任何两个基本事件都是01 _的 (2)任何事件(除不可能事件)都可以表示成02 _的和 2古典概型 具有以下两个特点的概率模型称为古典概率模型，简称古典概型 (1)有限性：试验中所有可能出现的基本事件01 _ (2)等可能性：每个基本事件出现的可能性02 _ 互斥 基本事件 只有有限个 相等 3如果一次试验中可能出现的结果有 n 个，而且所有结果出现的可能 性都相等， 那么每一个基本事件的概率都是01 _； 如果某个事件 A 包括 的结果有 m 个，那么事件 A 的概率 P(A)02 _. 4古典概型的概率公式 P(A)A包含的基本事件的个数 基本事件

3、的总数 . 1 n m n 答案 (1) (2) (3) (4) 答案答案 1概念辨析 (1)在一次试验中，其基本事件的发生一定是等可能的. ( ) (2)“在适宜条件下，种下一粒种子观察它是否发芽”属于古典概型， 其基本事件是“发芽与不发芽”( ) (3)掷一枚硬币两次，出现“两个正面”“一正一反”“两个反面”， 这三个结果是等可能事件( ) (4)从市场上出售的标准为 500 5 g 的袋装食盐中任取一袋测其重量， 属于古典概型( ) 2小题热身 (1)同时抛掷两枚骰子，则向上的点数之和是 7 的概率是( ) A.1 6 B.1 3 C.1 2 D.2 3 解析 记抛掷两枚骰子向上的点数分

4、别为 a，b，则可得到数组(a，b ) 共有 36 组， 其中满足 ab7 的共有 6 组， 分别为(1,6)， (2,5)， (3,4)， (4,3)， (5,2)，(6,1)，因此所求的概率为 P 6 36 1 6. 答案答案 解析解析 (2)从 1,2,3,4 这四个数字中，任取两个不同数字构成一个两位数，则这 个两位数大于 30 的概率为( ) A.1 2 B.1 3 C.1 4 D.1 5 解析 从 1,2,3,4 中任取两个不同的数字构成一个两位数，有 12,13,14,21,23,24,31,32,34,41,42,43，共 12 种等可能发生的结果，其中大于 30 的两位数有

5、31,32,34,41,42，43，共 6 个，所以这个两位数大于 30 的概 率 P 6 12 1 2. 答案答案 解析解析 (3)从 5 名医生(3 男 2 女)中随机等可能地选派两名医生，则恰选 1 名男 医生和 1 名女医生的概率为( ) A. 1 10 B.2 5 C.1 2 D.3 5 解析 从 5 名医生中选派两名医生的基本事件总数 nC2 510，恰选 1 名男医生和1名女医生的基本事件mC1 3C 1 26， 所以所求事件概率P 6 10 3 5.故选 D. 答案答案 解析解析 (4)将 2 本不同的数学书和 1 本语文书在书架上随机排成一行，则 2 本 数学书相邻的概率为(

6、 ) A.1 2 B.1 3 C.2 3 D.5 6 解析 所有可能的排列方法有 A3 36 种， 2 本数学书相邻的排列方法有 A 2 2 A 2 24 种(先排列数学书，再把两本数学书作为整体和语文书进行排 列)所以根据概率的计算公式，所求概率为4 6 2 3.故选 C. 答案答案 解析解析 2 经典题型冲关经典题型冲关 PART TWO 1(2017 全国卷)从分别写有 1,2,3,4,5 的 5 张卡片中随机抽取 1 张， 放回后再随机抽取 1 张，则抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的 数的概率为( ) A. 1 10 B.1 5 C. 3 10 D.2 5 题型一题型一 古典概

7、型的简单问题古典概型的简单问题 答案答案 解析 从 5 张卡片中随机抽取 1 张，放回后再随机抽取 1 张的情况如 图： 基本事件总数为 25，这 25 种基本事件发生的可能性是相等的第一张 卡片上的数大于第二张卡片上的数的事件数为 10，所求概率 P10 25 2 5. 故选 D. 解析解析 2将 A，B，C，D 这 4 名同学从左至右随机地排成一排，则“A 与 B 相邻且 A 与 C 之间恰好有 1 名同学”的概率是( ) A.1 2 B.1 4 C.1 6 D.1 8 解析 A，B，C，D 4 名同学排成一排有 A4 424 种排法当 A，C 之间 是 B 时，有 224 种排法，当 A

8、，C 之间是 D 时，有 2 种排法，所以所 求概率为42 24 1 4. 答案答案 解析解析 3 (2019 全国卷) 我国古代典籍 周易 用“卦”描述万物的变化 每 一“重卦”由从下到上排列的 6 个爻组成，爻分为阳爻“”和阴爻 “”，右图就是一重卦在所有重卦中随机取一重卦，则该重卦恰 有 3 个阳爻的概率是( ) A. 5 16 B.11 32 C.21 32 D.11 16 解析 在所有重卦中随机取一重卦，其基本事件总数 n2664，恰有 3 个阳爻的基本事件数为 C3 620，所以在所有重卦中随机取一重卦，该重 卦恰有 3 个阳爻的概率 P20 64 5 16.故选 A. 答案答案

9、解析解析 1求古典概型概率的步骤 (1)判断本试验的结果是否为等可能事件，设出所求事件 A； (2)分别求出基本事件的总数 n 与所求事件 A 中所包含的基本事件个数 m； (3)利用公式 P(A)m n ，求出事件 A 的概率 2基本事件个数的确定方法 方法 适用条件 列表法 此法适合于从多个元素中选定两个元素的试验，也可看成 是坐标法 树状图法 树状图是进行列举的一种常用方法，适合于有顺序的问题 及较复杂问题中基本事件数的探求 排列、组合法 当基本事件个数符合排列、组合模型时，可以用排列、组 合数公式直接计数 1(2019 湖南雅礼中学模拟)甲、乙两人各写一张贺年卡随意送给丙、 丁两人中的

10、一人，则甲、乙将贺年卡都送给丁的概率为( ) A.1 2 B.1 3 C.1 4 D.1 5 解析 所有的情况有(甲送给丙、乙送给丁)(甲送给丁，乙送给丙)(甲、 乙都送给丙)(甲、 乙都送给丁)共 4 种， 这 4 种情况发生的可能性是相等的 其 中甲、乙将贺年卡都送给丁的情况只有一种，所以甲、乙将贺年卡都送给 丁的概率是1 4. 答案答案 解析解析 2(2020 南昌模拟)2021 年广东新高考将实行 312 模式，即语文、 数学、英语必选，物理、历史二选一，政治、地理、化学、生物四选二， 共有 12 种选课模式今年高一的小明与小芳都准备选历史，假若他们都对 后面四科没有偏好，则他们选课相

11、同的概率为( ) A. 1 36 B. 1 16 C.1 8 D.1 6 解析 小明与小芳选课所有可能的结果有 C2 4C 2 4种，他们选课相同的结 果有 C2 4种，故所求的概率 P C2 4 C2 4C 2 4 1 6. 答案答案 解析解析 题型二题型二 古典概型的交汇问题古典概型的交汇问题 角度 1 古典概型与平面向量相结合 1设连续掷两次骰子得到的点数分别为 m，n，平面向量 a(m，n)， b(1，3) (1)求使得事件“ab”发生的概率； (2)求使得事件“|a|b|”发生的概率 解 由题意知，m1,2,3,4,5,6，n1,2,3,4,5,6，故(m，n)所有可能 的取法共有

12、36 种 (1)若 ab， 则有 m3n0， 即 m3n， 符合条件的(m， n)有(3,1)， (6,2)， 共 2 种，所以事件“ab”发生的概率为 2 36 1 18. (2)若|a|b|，则有 m2n210，符合条件的(m，n)有(1,1)，(1,2)，(1,3)， (2,1)，(2,2)，(3,1)，共 6 种，故所求概率为 6 36 1 6. 解解 角度 2 古典概型与函数、方程相结合 2(2019 武汉调研)将一枚质地均匀的骰子投掷两次，得到的点数依次 记为 a 和 b，则方程 ax2bx10 有实数解的概率是( ) A. 7 36 B.1 2 C.19 36 D. 5 18 答

13、案答案 解 析 投 掷 骰 子 两 次 ， 所 得 的 点 数 a 和 b 满 足 的 关 系 为 1a6，aN*， 1b6，bN*， a 和 b 的组合有 36 种，若方程 ax2bx10 有实 数解，则 b24a0，b24a. 当 b1 时，没有 a 符合条件；当 b2 时，a 可取 1；当 b3 时，a 可 取 1,2；当 b4 时，a 可取 1,2,3,4；当 b5 时，a 可取 1,2,3,4,5,6；当 b6 时，a 可取 1,2,3,4,5,6. 故满足条件的组合有 19 种，则方程 ax2bx10 有实数解的概率 P 19 36，故选 C. 解析解析 3(2019 辽宁省实验中

14、学模拟)设 a1,3,5,7，b2,4,6，则函数 f(x) loga bx 是增函数的概率为_ 解析 由已知条件，得a b的所有取值种数为 3412.当 a b1 时，f(x)为 增函数，符合此条件的a b有 3 2， 5 2， 7 2， 5 4， 7 4， 7 6，共 6 种，所以函数 f(x)loga b x 是增函数的概率为 6 12 1 2. 1 2 解析解析 角度 3 古典概型与几何问题结合 4将一颗骰子先后投掷两次分别得到点数 a，b，则直线 axby0 与 圆(x2)2y22 有公共点的概率为_ 7 12 解析 依题意，将一颗骰子先后投掷两次得到的点数所形成的数组(a， b)有

15、(1,1)，(1,2)，(1,3)，(6,6)，共 36 种等可能的结果，其中满足直线 axby0 与圆(x2)2y22 有公共点，即满足 2a a2b2 2，即 ab，则 当 a1 时，b1,2,3,4,5,6，共 6 种，当 a2 时，b2,3,4,5,6，共 5 种，同 理当 a3 时，有 4 种，当 a4 时，有 3 种，当 a5 时，有 2 种，当 a6 时，有 1 种，故共有 65432121(种)，因此所求的概率等于21 36 7 12. 解析解析 角度 4 古典概型与统计相结合 5(2019 绵阳模拟)目前有声书正受到越来越多人的喜爱某有声书 公司为了解用户使用情况，随机选取了

16、 100 名用户，统计出年龄分布和用 户付费金额(金额为整数)情况如下图 有声书公司将付费高于 20 元的用户定义为“爱付费用户”，将年龄在 30 岁及以下的用户定义为“年轻用户” 已知抽取的样本中有3 8的“年轻用 户”是“爱付费用户” (1)完成下面的 22 列联表，并据此资料，能否有 95%的把握认为用户 “爱付费”与其为“年轻用户”有关？ 爱付费用户 不爱付费用户 合计 年轻用户 非年轻用户 合计 (2)若公司采用分层抽样方法从“爱付费用户”中随机选取 5 人，再从 这 5 人中随机抽取 2 人进行访谈，求抽取的 2 人恰好都是“年轻用户”的 概率 P(K2k0) 0.05 0.025

17、 0.010 0.005 0.001 k0 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 K2 nadbc2 abcdacbd，nabcd. 解 (1)根据题意可得 22 列联表如下： 爱付费用户 不爱付费用户 合计 年轻用户 24 40 64 非年轻用户 6 30 36 合计 30 70 100 由表中数据可得 K2 nadbc2 abcdacbd 10024304062 30706436 4.763.841， 所以有 95%的把握认为“爱付费用户”和“年轻用户”有关 解解 (2)由分层抽样可知， 抽取的 5 人中有 4 人为“年轻用户”， 1 人为“非 年轻用户”，则从这

18、5 人中随机抽取 2 人的基本事件共有 C2 510 个其中 满足抽取的 2 人均是“年轻用户”的事件共有 C2 46 个所以从中抽取 2 人恰好都是“年轻用户”的概率为 P 6 10 3 5. 解解 1求解古典概型的交汇问题的步骤 (1)根据相关知识构建事件满足的条件 (2)根据条件列举所有符合的基本事件 (3)利用古典概型的概率计算公式求概率 2破解概率与统计图表综合问题的“三步曲” 1把一颗骰子投掷两次，观察出现的点数，并记第一次出现的点数为 a，第二次出现的点数为 b，向量 m(a，b)，n(1,2)，则向量 m 与向量 n 不共线的概率是( ) A.1 6 B.11 12 C. 1

19、12 D. 1 18 解析 易知所有基本事件有 36 个，若 mn，则a 1 b 2，即 b2a.所以 m 与 n 共线包含的基本事件为(1,2)，(2,4)，(3,6)，共 3 个，所以 m 与 n 不 共线的概率为 1 3 36 11 12. 答案答案 解析解析 2 已知函数 f(x)1 3x 3ax2b2x1， 若 a 是从 1,2,3 三个数中任取的一 个数，b 是从 0,1,2 三个数中任取的一个数，则该函数有两个极值点的概率 为( ) A.7 9 B.1 3 C.5 9 D.2 3 答案答案 解析 f(x)x22axb2， 要使函数 f(x)有两个极值点，则有 (2a)2 4b20

20、，即 a2b2.由题意知所有的基本事件有 9 个，即(1,0)，(1,1)，(1,2)， (2,0)，(2,1)，(2,2)，(3,0)，(3,1)，(3,2)，其中第一个数表示 a 的取值，第二 个数表示 b 的取值满足 a2b2的有 6 个基本事件，即(1,0)，(2,0)，(2,1)， (3,0)，(3,1)，(3,2)，所以所求事件的概率为6 9 2 3. 解析解析 3在集合 A2,3中随机取一个元素 m，在集合 B1,2,3中随机取 一个元素 n， 得到点 P(m， n)， 则点 P 在圆 x2y29 内部的概率为_ 解析 点 P(m，n)共有(2,1)，(2,2)，(2,3)，(3

21、,1)，(3,2)，(3,3)，6 种情 况，只有(2,1)，(2,2)这 2 个点在圆 x2y29 的内部，所求概率为2 6 1 3. 1 3 解析解析 4(2019 武威模拟)某市第三中学统计了高三年级学生的最近 20 次数 学周测成绩(满分 150 分)，现有甲、乙两位同学的 20 次成绩如茎叶图所示： (1)根据茎叶图求甲、乙两位同学成绩的中位数，并将同学乙的成绩的 频率分布直方图填充完整； (2)根据茎叶图比较甲、乙两位同学数学成绩的平均数及稳定程度(不要 求计算出具体值，给出结论即可)； (3)现从甲、乙两位同学的不低于 140 分的成绩中任意选出 2 个成绩， 记事件 A 为“其

22、中 2 个成绩分别属于不同的同学”， 求事件 A 发生的概率 解 (1)甲的成绩的中位数是 119， 乙的成绩的中位数是 128.乙成绩的频 率分布直方图如下图所示 解解 (2)从茎叶图可以看出，乙的成绩的平均数比甲的成绩的平均数高，乙 同学的成绩比甲同学的成绩更稳定集中 (3)甲同学的不低于 140 分的成绩有 2 个，乙同学的不低于 140 分的成 绩有 3 个，现从甲、乙两位同学的不低于 140 分的成绩中任意选出 2 个成 绩，共有 C2 510 种结果其中这 2 个成绩分属不同同学的情况共有 C 1 3C 1 2 6 种因此事件 A 发生的概率 P(A) 6 10 3 5. 解解 3

23、 课时作业课时作业 PART THREE 1 (2019 广西五市联考)在3,5和2,4两个集合中各取一个数组成一个 两位数，则这个数能被 5 整除的概率是( ) A.1 2 B.1 3 C.1 4 D.1 6 A组组 基础关基础关 解析 所有基本事件为 32,34,52,54,23,25,43,45，共 8 种，其中能被 5 整除的是 25,45，共 2 种，故这个数能被 5 整除的概率为2 8 1 4. 答案答案 解析解析 2从集合 A2，1,2中随机抽取一个数记为 a，从集合 B 1,1,3中随机抽取一个数记为 b，则直线 axyb0 不经过第四象限的 概率为( ) A.2 9 B.1

24、3 C.4 9 D.1 4 解析 (a，b)所有可能的结果为 339 种由 axyb0 得 yax b， 当 a0， b0 时， 直线不经过第四象限， 符合条件的(a， b)的结果为(2,1)， (2,3)，共 2 种，所以直线 axyb0 不经过第四象限的概率 P2 9，故选 A. 答案答案 解析解析 3(2019 武汉市高三调研)从装有 3 双不同鞋的柜子中，随机取 2 只， 则取出的 2 只鞋不成对的概率为( ) A.14 15 B.4 5 C.3 5 D.1 5 解析 从 3 双不同的鞋子中随机取 2 只，共有 C2 615 种可能结果，成 对的有 3 种结果，不成对的有 12 种结果

25、，所以所求概率 P12 15 4 5，故选 B. 答案答案 解析解析 4 (2019 沈阳模拟)我国古代有着辉煌的数学研究成果周髀算经九 章算术 海岛算经 孙子算经缉古算经等 10 部专著，有着十分 丰富多彩的内容，是了解我国古代数学的重要文献这 10 部专著中有 7 部 产生于魏晋南北朝时期某中学拟从这 10 部专著中选择 2 部作为“数学文 化”校本课程学习内容，则所选 2 部专著中至少有一部是魏晋南北朝时期 专著的概率为( ) A.14 15 B. 1 15 C.2 9 D.7 9 解析 设所选 2 部专著中至少有一部是魏晋南北朝时期专著为事件 A， 所以 P(A ) C2 3 C2 1

26、0 1 15，因此 P(A)1P(A )1 1 15 14 15. 答案答案 解析解析 5(2019 汉中二模)在一次数学考试中，4 位同学各自在选作题第 22 题 和第 23 题中任选一题作答，则至少有 1 人选作第 23 题的概率为( ) A. 5 16 B.3 8 C.7 8 D.15 16 解析 由题意，得基本事件总数 n2416，至少有 1 人选作第 23 题 的对立事件是无人选择第 23题， 至少有 1人选作第23题的概率 P1 1 16 15 16. 答案答案 解析解析 6(2019 合肥三模)若 a，b 是从集合1,1,2,3,4中随机选取的 2 个元 素，则使得函数 f(x)

27、x5axb是奇函数的概率为( ) A. 3 20 B. 3 10 C. 9 25 D.3 5 解析 从集合1,1,2,3,4中随机选取两个元素共有 A2 520 种，要使 得函数 f(x)x5axb是奇函数，a，b 必须都为奇数，共有 A2 36 种，则函数 f(x)x5axb是奇函数的概率为 P 6 20 3 10. 答案答案 解析解析 7已知集合 M1,2,3,4，N(a，b)|aM，bM，A 是集合 N 中 任意一点，O 为坐标原点，则直线 OA 与 yx21 有交点的概率是( ) A.1 2 B.1 3 C.1 4 D.1 8 解析 易知过点(0,0)与 yx21 相切的直线为 y2x

28、(斜率小于 0 的无 需考虑)， 集合N中共有16个元素， 其中使直线OA的斜率不小于2的有(1,2)， (1,3)，(1,4)，(2,4)，共 4 个，故所求的概率为 4 16 1 4.故选 C. 答案答案 解析解析 8从正方形四个顶点及其中心这 5 个点中，任取 2 个点，则这 2 个点 的距离不小于该正方形边长的概率为_ 解析 如图，从 A，B，C，D，O 这 5 个点中任取 2 个，共有 10 种取 法，满足两点间的距离不小于正方形边长的取法有(A，B)，(A，C)，(A， D)，(B，C)，(B，D)，(C，D)共 6 种，因此所求概率 P 6 10 3 5. 3 5 解析解析 9如

29、图所示是某市 2019 年 4 月 1 日至 14 日的空气质量指数趋势图， 空气质量指数(AQI)小于 100 表示空气质量优良，空气质量指数大于 200 表 示空气重度污染，某同志随机选择 4 月 1 日至 4 月 12 日中的某一天到达该 市，并停留 3 天 该同志到达当日空气质量重度污染的概率为_ 5 12 解析 某同志随机选择 4 月 1 日至 4 月 12 日中的某一天到达该市，并 停留 3 天，基本事件总数 n12,4 月 1 日至 4 月 12 日空气质量重度污染的 天数有 5 天，即该同志到达当日空气质量重度污染包含的基本事件个数 m 5，所以该同志到达当日空气质量重度污染的

30、概率 Pm n 5 12. 解析解析 10(2019 江苏苏州模拟)若 a，b0,1,2，则函数 f(x)ax22xb 有 零点的概率为_ 解析 a，b0,1,2，当函数 f(x)ax22xb 没有零点时，a0，且 44ab1， (a，b)有 3 种情况：(1,2)，(2,1)，(2,2) 基本事件总数 n339， 函数 f(x)ax22xb 有零点的概率为 P13 9 2 3. 2 3 解析解析 1如图，在三棱锥 SABC 中，SA平面 ABC，ABBC，现从该三 棱锥的 6 条棱中任选 2 条，则这 2 条棱互相垂直的概率为( ) A.1 3 B.1 4 C.2 5 D.2 9 B组组 能

31、力关能力关 答案答案 解析 由已知 SA平面 ABC，ABBC，可推得 SBBC，从该三棱锥 的 6 条棱中任选 2 条， 共有 15 种不同的选法， 其中互相垂直的 2 条棱有(SA， AB)，(SA，BC)，(SA，AC)，(SB，BC)，(AB，BC)，共 5 种情况，所以这 2 条棱互相垂直的概率 P 5 15 1 3. 解析解析 2 (2020 抚州摸底)大学生小明与另外 3 名大学生一起分配到某乡镇甲、 乙、丙 3 个村小学进行支教若每个村小学至少分配 1 名大学生，则小明 恰好分配到甲村小学的概率为( ) A. 1 12 B.1 2 C.1 3 D.1 6 解析 小明与另外 3

32、名大学生分配到甲、 乙、 丙 3 个村小学， 共有 C2 4A 3 3 种分配方法，其中小明恰好分配到甲村小学有 C1 3A 2 2C 2 3A 2 2种方法，所以小 明恰好分配到甲村小学的概率为C 1 3A 2 2C 2 3A 2 2 C2 4A 3 3 1 3. 答案答案 解析解析 3(2019 广州模拟)已知等差数列an，Sn为其前 n 项和，S4(其中 为圆周率)，a42a2，现从此数列的前 30 项中随机选取一个元素，则该元 素的余弦值为负数的概率为( ) A.14 30 B.15 30 C.16 30 D.17 30 答案答案 解析 Sn为等差数列an的前 n 项和，S4(其中 为

33、圆周率)，a4 2a2， S44a143 2 d， a13d2a1d， 解得 a1d 10， an 10(n1) 10 n 10， 前 30 项中，第 6 项至第 14 项和第 26 项至第 30 项的余弦值是负数， 现从此数列的前 30 项中随机选取一个元素，则该元素的余弦值为负数的概 率为 P14 30. 解析解析 4 某同学同时掷两颗骰子， 得到点数分别为 a， b， 则构成椭圆x 2 a2 y2 b2 1 且离心率 e 3 2 的概率是_ 解析 同时掷两颗骰子，得到的点数所形成的数组共有 36 种情况，当 ab 时，e 1b 2 a2 3 2 b a2b，符合 a2b 的情况有：当 b

34、1 时， 有 a3,4,5,6 四种情况；当 b2 时，有 a5,6 两种情况总共有 6 种情况， 则概率是 6 36 1 6.同理当 a 3 2 的概率也为1 6.综上可知 e 3 2 的概率为1 3. 1 3 解析解析 5(2019 郴州三模)某市环保部门对该市市民进行了一次垃圾分类知识 的网络问卷调查，每位市民仅有一次参加机会，通过随机抽样，得到参与 问卷调查的 100 人的得分(满分：100 分)数据，统计结果如表所示： 组别 40,50) 50,60) 60,70) 70,80) 80,90) 90,100 男 2 3 5 15 18 12 女 0 5 10 10 7 13 (1)若

35、规定问卷得分不低于 70 分的市民称为“环保关注者”， 请完成未 补全的 22 列联表，并判断能否在犯错误的概率不超过 0.05 的前提下，认 为是否为“环保关注者”与性别有关？ 非“环保关注者” 是“环保关注者” 总计 男 女 合计 (2)若问卷得分不低于 80 分的人称为“环保达人” 现在从本次调查的 “环保达人”中，利用分层抽样的方法随机抽取 5 名市民参与环保知识问 答，再从这 5 名市民中抽取 2 人参与座谈会，求抽取的 2 名市民中，既有 男“环保达人”，又有女“环保达人”的概率 附表及公式： P(K2k0) 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.0

36、01 k0 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 K2 nadbc2 abcdacbd，nabcd. 解 (1)由题意填写列联表如下： 非“环保关注者” 是“环保关注者” 总计 男 10 45 55 女 15 30 45 合计 25 75 100 根据表中数据，计算 K210045151030 2 25755545 3.0303.841，所以 不能在犯错误的概率不超过 0.05 的前提下，认为是否为“环保关注者”与 性别有关 解解 (2)由题意可知，利用分层抽样的方法，得男“环保达人”3 人，女“环 保达人”2 人从中抽取 2 人的所有情况为 C

37、2 510 种，其中既有男“环保 达人”，又有女“环保达人”的情况为 C1 3C 1 26 种故所求的概率为 P 6 10 3 5. 解解 C组组 素养关素养关 1(2019 上饶模拟)研究机构对某校学生往返校时间的统计资料表明： 该校学生居住地到学校的距离 x(单位：千米)和学生花费在上学路上的时间 y(单位：分钟)有如下关系 到学校的距离 x(千米) 1.8 2.6 3.1 4.3 5.5 6.1 花费的时间 y(分钟) 17.8 19.6 27.5 31.3 36.0 43.2 如果统计资料表明 y 与 x 有线性相关关系， (1)判断 y 与 x 是否有很强的线性相关性； (相关系数

38、r 的绝对值大于 0.75 时， 认为两个变量有很强的线性相关性， 精确到 0.01) (2)求线性回归方程y b xa (精确到 0.01)； (3)将y 0.75， y 与 x 有很强的线性相关性 解解 (2)依题意，得 x 3.9， y1 6 i1 6 yi29.23， i1 6 (xi x )(yi y)80.30， i1 6 (xi x )214.30， 所以b i1 6 xi x yi y i1 6 xi x 2 80.30 14.305.62. 又a y b x 29.235.623.97.31， 故线性回归方程为y 5.62x7.31. 解解 (3)由(2)可知， 当 x3.1

39、 时， y 324.73227， 所以满足y 27 的美丽数据共有 3 个，另 3 个不是美丽数据，则从 6 个数据 中任取 2 个，共有 C2 615 种情况，其中，抽取到的数据全部为美丽数据的 有 C2 33 种情况，所以从这 6 个数据y i中任取 2 个，抽取的 2 个数据全部为 美丽数据的概率为 P1 5. 解解 2(2019 淄博模拟)山东省高考改革试点方案规定：从 2020 年开 始，高考物理、化学等六门选考科目的考生原始成绩从高到低划分为 A， B ，B，C，C，D，D，E 八个等级，参照正态分布原则，确定各等级人 数所占比例分别为 3%,7%, 16%,24%,24%,16%

40、,7%,3%，选考科 目成绩计入考生总成绩时，将 A 至 E 等级内的考生原始成绩，依照等 比例转换法则，分别转换到91, 100， 81,90，71,80，61,70，51,60， 41,50，31,40，21,30八个分数区 间，得到考生的等级成绩 假设小明转换后的等级成绩为 x，则 6961 6158 70 x x61， x63.4563(四舍五入取整) 故小明最终成绩：63 分 某校 2017 级学生共 1000 人，以期末考试成绩为原始成绩转换了本校 的等级成绩，为学生合理选科提供依据，其中物理成绩获得等级 A 的学生 原始成绩统计如下 成绩 93 91 90 88 87 86 85

41、 84 83 82 人数 1 1 4 2 4 3 3 3 2 7 解 (1)设物理成绩获得等级 A 的学生原始成绩为 x，其等级成绩为 y， 由转换公式得93x x82 100y y91 ，解得 y 9 11(x82)91，原始成绩的 平均分为 x 85 1 30 181645234231303 (1)2(2)7(3)8523 3085.7786， 等级成绩的平均分为 y 9 11(8682)9194. 解解 (1)求物理获得等级 A 的学生等级成绩的平均分(四舍五入取整数)； (2)从物理原始成绩不小于 90 分的学生中任取 2 名同学， 求 2 名同学等 级成绩不相等的概率 (2)物理成绩不小于 90 分的学生共有 6 名其中 1 名原始成绩为 93 的 学生的等级成绩为 100,1 名原始成绩为 91， 由转换公式得其等级成绩为 98， 4 名原始成绩为 90，由转换公式得其等级成绩为 98，任取 2 名同学的所有 结果为 C2 615 种，等级分数不相等的情况为 155 种，由古典概型计算 公式得 2 名同学等级成绩不相等的概率 P 5 15 1 3. 解解 本课结束本课结束