第1讲　任意角和弧度制及任意角的三角函数 （《金版教程》2021高考科学复习创新方案-理数）.ppt

1、金版教程金版教程20212021高考科学复习创新方案高考科学复习创新方案- -理数理数 （创新版）（创新版） 【精品课件精品课件】 第第1 1讲讲 任意角和弧度制及任意角的任意角和弧度制及任意角的 三角函数三角函数 第三章 三角函数、解三角形 考纲解读考纲解读 1.了解任意角的概念及弧度制的概念，能进行弧度与了解任意角的概念及弧度制的概念，能进行弧度与 角度的互化角度的互化(重点重点) 2理解任意角的三角函数理解任意角的三角函数(正弦、余弦、正切正弦、余弦、正切)的定义，并能熟练的定义，并能熟练 运用基本知识与基本技能、转化与化归思想等运用基本知识与基本技能、转化与化归思想等(重点、难点重点、

2、难点) 考向预测考向预测 从近三年高考情况来看，本讲内容属于基础考查范从近三年高考情况来看，本讲内容属于基础考查范 围预测围预测 2021 年高考会考查三角函数的定义、根据终边上点的坐年高考会考查三角函数的定义、根据终边上点的坐 标求三角函数值或根据三角函数值求参数值常以客观题形标求三角函数值或根据三角函数值求参数值常以客观题形式考式考 查，属中、低档试题查，属中、低档试题. 1 基础知识过关基础知识过关 PART ONE 1.任意角的概念 (1)定义：角可以看成平面内的一条射线绕着01 从一个位置旋转 到另一个位置所成的图形 端点 (2)角的分类 正角 按02 方向旋转而成的角 负角 按03

3、 方向旋转而成的角 按旋 转方 向 零角 射线没有旋转 前提：角的顶点在原点，始边与 x 轴的非负半轴重合 象限角 角的终边在第几象限，这个角就是第 几象限角 按终 边位 置 其他 角的终边落在坐标轴上 逆时针 顺时针 (3)终边相同的角：所有与角 终边相同的角，连同角 在内，可构成 一个集合 S|k 360 ，kZ 2弧度制的定义和公式 (1)定义： 把长度等于01 长的弧所对的圆心角叫做 1 弧度的角 正 角的弧度数是一个正数，负角的弧度数是一个负数，零角的弧度数是 0. 半径 (2)公式 角 的弧度数公式 |02 (弧长用 l 表示) 角度与弧度的换算 1 03 rad， 1 rad04

4、 弧长公式 弧长 l05 扇形面积公式 S06 07 l r 180 180 |r 1 2lr 1 2|r 2 3任意角的三角函数 (1)定义：设 是一个任意角，它的终边与单位圆交于点 P(x，y)，那么 sin01 ，cos02 ，tan03 . (2)几何表示：三角函数线可以看作是三角函数的几何表示正弦线的 起点都在 x 轴上，余弦线的起点都是原点，正切线的起点都是(1,0)如图中 有向线段 MP，OM，AT 分别叫做角 的04 、05 和06 _ y x y x 正弦线 余弦线 正切线 1概念辨析 (1)锐角是第一象限的角，第一象限的角也都是锐角( ) (2)角 的三角函数值与其终边上点

5、 P 的位置无关( ) (3)不相等的角终边一定不相同( ) (4)借助三角函数线可知，若 为第一象限角，则 sincos1.( ) 答案 (1) (2) (3) (4) 答案答案 2小题热身 (1)下列与9 4 的终边相同的角的表达式中正确的是( ) A2k45 (kZ) Bk 360 9 4 (kZ) Ck 360 315 (kZ) Dk5 4 (kZ) 解析 角度制与弧度制不能混用， 排除 A，B；因为9 4 2 4，所以与 9 4 终边相同的角可表示为 k 360 45 (kZ)或 k 360 315 等，故选 C. 答案答案 解析解析 (2)若角 同时满足 sin0 且 tan0，则

6、角 的终边一定落在( ) A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 解析 因为 sin0，所以 的终边位于 x 轴的下方， 又因为 tan0，所 以角 的终边一定落在第四象限 答案答案 解析解析 (3)已知扇形的圆心角为 120 ，其弧长为 2，则此扇形的面积为 _ 解析 设此扇形的半径为 r，由题意得2 3 r2，所以 r3，所以此扇 形的面积为1 2233. 解析解析 3 (4)设角 的终边经过点 P(4，3)，那么 2cossin_. 解析 因为 r|OP|42325，所以 cos4 5，sin 3 5，所 以 2cossin24 5 3 5 11 5 . 11 5 解析解析 2

7、经典题型冲关经典题型冲关 PART TWO 1若角 的顶点为坐标原点，始边在 x 轴的非负半轴上，终边在直线 y 3x 上，则角 的取值集合是( ) A 2k 3，kZ B 2k2 3 ，kZ C k2 3 ，kZ D k 3，kZ 题型题型 一一 象限角与终边相同的角象限角与终边相同的角 答案答案 解析 因为直线y 3x的倾斜角是2 3 ，所以终边落在直线y 3x上的角的取 值集合为 k 3，kZ ，故选 D. 解析解析 2若角 是第二象限角，则 2是第_象限角 解析 因为角 是第二象限角， 所以 2k 22k，kZ， 所以 k 4 2k 2，kZ. 所以 2是第一或第三象限角 解析解析 一

8、或三 3设角 1350 ，2860 ，13 5 ，27 3 . (1)将 1，2用弧度制表示出来，并指出它们各自所在的象限； (2)将 1，2用角度制表示出来，并在720 0 之间找出与它们有相 同终边的所有角 解 (1)1350 350 180 35 18 2 18， 2860 860 180 43 9 47 9 ， 所以 1是第一象限角，2是第二象限角 解解 (2)13 5 3 5180 108 ，与 1 有相同终边的角 为 k 360 108 (kZ)， 由720 k 360 108 0 ，解得 k2 或 k1. 所以在720 0 之间与 1终边相同的角为612 ，252 ； 27 3

9、7 3180 420 360 60 . 与 2有相同终边的角为 k 360 60 (kZ)， 由720 k 360 60 0 ，解得 k0 或 k1. 所以在720 0 之间与 2终边相同的角为60 . 解解 1象限角的两种判断方法 (1)图象法：在平面直角坐标系中，作出已知角并根据象限角的定义直 接判断已知角是第几象限角 (2)转化法：先将已知角化为 k 360 (0 360 ，kZ)的形式，即找 出与已知角终边相同的角 ， 再由角 终边所在的象限判断已知角是第几象 限角如举例说明 3 中判断 1，2是第几象限角 2表示区间角的三个步骤 (1)先按逆时针方向找到区域的起始和终止边界 (2)按

10、由小到大分别标出起始和终止边界对应的360 360 范围内的 角 和 ，写出最简区间 (3)起始、终止边界对应角 ， 再加上 360 的整数倍，即得区间角集 合如举例说明 2 中角 的表示方法 1已知 是第二象限的角，则 180 是第_象限的角 解析解析 解析 的终边与的终边关于x轴对称， 的终边逆时针旋转180 得 180 的终边，所以由 是第二象限角可知，180 是第一象限角 一 2在720 0 范围内所有与 45 终边相同的角为_ 解析解析 解析 与 45 终边相同的角可表示为 k 360 45 (kZ)，当 k1 时，360 45 315 ；当 k2 时，720 45 675 ， 所以

11、在720 0 范围内所有与 45 终边相同的角为675 或315 . 675 或315 3已知角 的终边在如图所示阴影表示的范围内(不包括边界)，则角 用集合可表示为_ 解析解析 解析 在0,2)内，终边落在阴影部分的角的集合为 4， 5 6 ，所以所 求角的集合为 2k 42k 5 6 ，kZ . 2k 42k 5 6 ，kZ 1已知扇形的周长是 4 cm，则扇形面积最大时，扇形的圆心角的弧度 数是( ) A2 B1 C.1 2 D3 答案答案 题型题型 二二 弧度制、扇形的弧长及面积公式的应弧度制、扇形的弧长及面积公式的应用用 解析 解法一：设此扇形的半径为 r，弧长为 l，圆心角为 ，则

12、 2r l4，面积 S1 2rl 1 2r(42r)r 22r(r1)21，故当 r1 时 S 最大， 这时 l42r2.从而 l r 2 12. 解法二：设扇形圆心角的弧度数为 ， 弧长为 l，则 l2l 4.故 l 4 12 . 解析解析 又 S1 2lr l2 2 4 12 2 1 2 8 4 4 8 441. 当且仅当 4 ，即 2 时，S 取最大值 解析解析 2已知 2 弧度的圆心角所对的弦长为 1，那么这个圆心角所对的弧长 是_ 解析 如图所示，设半径为 R， 则 1 2 Rsin1，所以 R 1 2sin1， 弧长 lR2R 1 sin1. 解析解析 1 sin1 应用弧度制解决

13、问题的方法 (1)利用扇形的弧长和面积公式解题时，要注意角的单位必须是弧度 (2)求扇形面积最大值的问题时，常转化为二次函数的最值问题，利用 配方法使问题得到解决如举例说明 1. (3)在解决弧长问题和扇形面积问题时，要合理地利用圆心角所在的三 角形 1扇形弧长为 20 cm， 圆心角为 100 ， 则该扇形的面积为_ cm2. 解析 由弧长公式 l|r，得 r 20 100 180 36 (cm)， S 扇形1 2lr 1 220 36 360 (cm2) 解析解析 360 2一扇形是从一个圆中剪下的一部分，半径等于圆半径的2 3，面积等 于圆面积的 5 27，则扇形的弧长与圆周长之比为_

14、解析 扇形的半径为 R1，圆半径为 R， S 扇形1 2LR1，S 圆R 2，R 12 3R，S 扇形 5 27S 圆， 1 2LR1 5 27R 2，即1 2L 2 3R 5 27R 2， L5 9R，C 圆2R， L C圆 5 9R 2R 5 18. 解析解析 5 18 角度 1 利用三角函数的定义求值 1(2020 白银摸底)已知角 的顶点与原点重合，始边与 x 轴正半轴重 合，若 A(x,3)是角 终边上一点且 cos 10 10 ，则 x( ) A3 3 B3 3 C1 D1 题型题型 三三 任意角三角函数的定义及应用任意角三角函数的定义及应用 答案答案 解析 cos 10 10 0

15、 及 A(x,3)是角 终边上一点x0，由三角函数 的定义，得 x x29 10 10 ，解得 x1. 解析解析 解析 设 AOC，则点 A的坐标为(OAcos，OAsin)，由 cos 5 3 ，sin2cos21，以及 OAsin2.得到 sin 2 3 ，OA3.故得到 OAcos 5，即点 A 的横坐标为 5. 解析解析 2在平面直角坐标系 xOy 中，点 A 的纵坐标为 2，点 C 在 x 轴的正半 轴上，在AOC 中，若 cosAOC 5 3 ，则点 A 的横坐标为( ) A 5 B. 5 C3 D3 答案答案 解析 因为 22340 ， cos30 ， 所 以 sin2 cos3

16、 tan40. 解析解析 角度 2 三角函数值符号的判定 3sin2 cos3 tan4 的值( ) A小于 0 B大于 0 C等于 0 D不存在 答案答案 解析 如图，设 BOC1，由于 41 2，结合三角函 数线的定义有 cos1OC，sin1CB，tan1AD，结合几何 关系可得 cos1sin1tan1，即 bac. 解析解析 角度 3 三角函数线的应用 4设 asin1，bcos1，ctan1，则 a，b，c 的大小关系是( ) Aabc Bacb Cbac Dbca 答案答案 解析 2sinx10， sinx1 2.由三角函数线画出 x 满足条件的终边范围(如图阴影所示) xx 2

17、k 6x2k 5 6 ，kZ . 解析解析 5函数 y 2sinx1的定义域为_ x 2k 6x2k 5 6 ，kZ 1三角函数定义应用策略 (1)已知角 的终边与单位圆的交点坐标，可直接根据三角函数的定义 求解 (2)已知角 终边上一点 P 的坐标，则可先求出点 P 到原点的距离 r， 然后用三角函数的定义推广 siny r，cos x r，tan y x 求解 (3)已知角 的终边所在的直线方程，则可先设出终边上一点的坐标， 求出此点到原点的距离，然后用三角函数的定义的推广形式求解 (4)已知角 的某三角函数值(含参数)或角 终边上一点 P 的坐标 (含参数)，可根据三角函数的定义(或推广

18、形式)列方程求参数值如举 例说明 1. (5)已知角 的终边所在的直线方程或角 的大小，根据三角函数 的定义(或推广形式)可求角 终边上某特定点的坐标如举例说明 2. 2三角函数值符号的记忆口诀 一全正、二正弦、三正切、四余弦如举例说明 3. 3三角函数线的两个主要应用 (1)三角式比较大小如举例说明 4. (2)解三角不等式(方程)如举例说明 5. 1若 sin cos0，则角 是( ) A第一象限角 B第二象限角 C第三象限角 D第四象限角 解析 由tan sin0，得 1 cos0，cos0，又 sin cos0，所以 sincosx 成立的 x 的取值范围为_ 解析 如图所示，找出在(

19、0,2)内，使 sinxcosx 的 x 值，sin 4cos 4 2 2 ，sin5 4 cos5 4 2 2 .根据三 角函数线的变化规律标出满足题中条件的角 x 4， 5 4 . 解析解析 4， 5 4 3 课时作业课时作业 PART THREE 1集合集合 k 4 k 2， ，kZ 中的角所表示的范围中的角所表示的范围(阴影部分阴影部分) 是是( ) A组组 基础关基础关 解析 当 k2n(nZ)时，2n 42n 2，此时上式表示的范围 与 4 2表示的范围一样；当 k2n1(nZ)时，2n 5 4 2n 3 2 ，此时上式表示的范围与 5 4 3 2 表示的范围一样 答案答案 解析解

20、析 2点 P(cos2019 ，sin2019 )所在的象限是( ) A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 解析 因为 2019 360 5219 ，所以 2019 与 219 终边相同，是 第三象限角所以 cos2019 0，sin2019 0，所以点 P 在第三象限 答案答案 解析解析 3若 k 360 ，m 360 (k，mZ)，则角 与 的终边的位 置关系是( ) A重合 B关于原点对称 C关于 x 轴对称 D关于 y 轴对称 解析 与 的终边关于 x 轴对称， 与 终边相同， 与 终边 相同，所以 与 的终边关于 x 轴对称 答案答案 解析解析 4已知角 的终边上一点 P

21、的坐标为 sin2 3 ，cos2 3 ，则角 的最小正 值为( ) A.5 6 B.2 3 C.5 3 D.11 6 解析 由题意知点 P 在第四象限，根据三角函数的定义得 cos sin2 3 3 2 ，故 2k 6(kZ)，所以 的最小正值为 11 6 . 答案答案 解析解析 5若一圆弧长等于其所在圆的内接正三角形的边长，则其圆心角 (0)的弧度数为( ) A. 3 B. 2 C. 3 D. 2 解析 设圆的半径为 R，由题意可知，圆内接正三角形的边长为 3 R，所以圆弧长为 3R.所以该圆弧所对圆心角的弧度数为 3R R 3. 答案答案 解析解析 6已知 为第三象限角，则 tan 2的

22、值( ) A一定为正数 B一定为负数 C可能为正数，也可能为负数 D不存在 解析 因为 为第三象限角，所以 2k2k3 2 ，kZ.所以 k 2 2k 3 4 ，kZ.所以 2是第二或第四象限角所以 tan 20. 答案答案 解析解析 7(2018 北京高考)在平面直角坐标系中，AB ，CD ， EF ，GH 是圆 x2y21 上的四段弧(如图)，点 P 在其中一 段上，角 以 Ox 为始边，OP 为终边，若 tancossin， 则 P 所在的圆弧是( ) A. AB B. CD C. EF D. GH 解析 设点 P 的坐标为(x，y)，利用三角函数的定义可得 y xxy，所 以 x0，所

23、以 P 所在的圆弧是EF ，故选 C. 答案答案 解析解析 8已知角 的终边经过点(3a9，a2)，且 cos0，sin0，则实 数 a 的取值范围是_ 解析 cos0，sin0， 角 的终边落在第二象限或 y 轴的正半 轴上 3a90， a20， 2a3. (2,3 解析解析 9满足 cos1 2的角 的集合为_ 解析 由三角函数线画出满足条件的 x 的终边范围(如 图阴影所示)所以 2k2 3 2k4 3 ，kZ . 2k2 3 2k4 3 ，kZ 解析解析 10 分别以边长为 1 的正方形 ABCD 的顶点 B， C 为圆心， 1 为半径作圆弧 AC，BD 交于点 E，则曲边三角形 AB

24、E 的周长 为_ 解析 如图，连接 BE，EC.因为两圆半径都是 1，正方形 边长也是 1，所以BCE 为正三角形，圆心角 EBC， ECB 都是 3，lBE 31 3， EBA 2 3 6，lAE 61 6，所以曲边三角形 ABE 的周长是 1 3 61 2. 1 2 解析解析 1设 是第三象限角，且 cos 2 cos 2，则 2是( ) A第一象限角 B第二象限角 C第三象限角 D第四象限角 B组组 能力关能力关 解析 因为是第三象限角，所以 2k2k3 2 ，kZ，所以 k 2 2sin，那么下列命题成立的是( ) A若 ， 是第一象限的角，则 coscos B若 ， 是第二象限的角，

25、则 tantan C若 ， 是第三象限的角，则 coscos D若 ， 是第四象限的角，则 tantan 答案答案 解析 由三角函数线可知选 D. 解析解析 3九章算术是中国古代第一部数学专著，成于公元一世纪左右，系 统总结了战国、秦、汉时期的数学成就，其中方田一章中记载了计算弧田 (弧田就是由圆弧和其所对弦所围成弓形)的面积所用的经验公式： 弧田面积1 2 (弦矢矢矢)，公式中“弦”指圆弧所对弦长，“矢”等于半径长与圆心 到弦的距离之差， 按照上述经验公式计算所得弧田面积与其实际面积之间存在 误差，现有圆心角为2 3 ，弦长为 40 3 m 的弧田其实际面积与按照上述经验 公式计算出弧田的面

26、积之间的误差为(其中 3， 31.73)( ) A15 m2 B16 m2 C17 m2 D18 m2 答案答案 解析解析 解析 因为圆心角为 2 3 ，弦长为 40 3 m，所以圆心到弦的距离 为 20，半径为 40，因此根据经验公式计算出弧田的面积为 1 2(40 3 202020)400 3200，实际面积等于扇形面积减去三角形面 积，为 1 2 2 3 4021 22040 3 1600 3 400 3，因此两者之差为 1600 3 400 3(400 3200)16. 4顶点在原点，始边在 x 轴的正半轴上的角 ， 的终边与单位圆交于 A，B 两点，若 30 ，60 ，则弦 AB 的

27、长为_ 解析 由三角函数的定义得 A(cos30 ，sin30 )，B(cos60 ，sin60 )， 即 A 3 2 ，1 2 ，B 1 2， 3 2 . 所以|AB| 1 2 3 2 2 3 2 1 2 2 2 3 2 1 2 6 2 2 . 6 2 2 解析解析 5已知角 的终边经过点 P(x， 2)(x0)，且 cos 3 6 x，则 sin 1 tan的值是_ 6 6 5或 6 6 5 解析解析 解析 P(x， 2)(x0)， 点 P 到原点的距离 rx22.又 cos 3 6 x， cos x x22 3 6 x. x0， x 10. r2 3. 当 x 10时，P 点坐标为( 1

28、0， 2)， 由三角函数的定义，有 sin 2 2 3 6 6 ， 1 tan 10 2 5， sin 1 tan 6 6 5. 6.已知圆 O 与直线 l相切于点 A，点 P，Q 同时从 A 点出发，P 沿着 直线 l向右，Q 沿着圆周按逆时针以相同的速度运动，当 Q 运动到点 A 时，点 P 也停止运动，连接 OQ，OP(如图)，则阴影部分面积 S1，S2的大小 关系是_ S1S2 解析解析 解析 如图所示，因为直线 l与圆 O 相切，所以 OAAP，设AQ 的长为 l， 所以 S 扇形 AOQ1 2 l r 1 2 l OA，SAOP 1 2 OA AP， 因为 lAP，所以 S 扇形 AOQSAOP， 即 S 扇形 AOQS扇形 AOBSAOPS扇形 AOB， 所以 S1S2. 本课结束本课结束