第2讲二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题 （《金版教程》2021高考科学复习创新方案-理数）.ppt

1、金版教程金版教程20212021高考科学复习创新方案高考科学复习创新方案- -理数理数 （创新版）（创新版） 【精品课件精品课件】 第第2 2讲讲 二元一次不等式（组）二元一次不等式（组） 与简单的线性规划问题与简单的线性规划问题 第六章 不等式 考纲解读 1.了解二元一次不等式的几何意义，能用平面区域表示二元一 次不等式组(重点) 2从实际情境中抽象出一些简单的二元线性规划问题，并能加以解决(难 点) 考向预测 从近三年高考情况来看，本讲是高考必考内容预测2021年的 考查，主要命题方向为：在约束条件下求目标函数的最值或根据最值情况 求参数，同时能用线性规划解决实际问题试题以客观题形式呈现，

2、属中 档题型. 1 基础知识过关基础知识过关 PART ONE 1.二元一次不等式(组)表示的平面区域 不等式 表示区域 AxByC0 不包括01 _ AxByC0 直线 AxByC0 某一侧 的所有点组成的平面区域 包括02 _ 不等式组 各个不等式所表示平面区域的03 _ 边界直线 边界直线 公共部分 2线性规划相关概念 名称 意义 约束条件 由变量 x，y 组成的一次不等式 线性约束 条件 由 x，y 的01 _不等式(或方程)组成的不等式组 目标函数 欲求02 _或03 _的函数 线性目标 函数 关于 x，y 的04 _解析式 一次 最大值 最小值 一次 可行解 满足05 _的解 可行

3、域 所有06 _组成的集合 最优解 使目标函数取得07 _或08 _的可行解 线性规划 问题 在线性约束条件下求线性目标函数的09 _或10 _问题 线性约束条件 可行解 最大值 最小值 最大值 最小值 3重要结论 (1)直线定界：不等式中无等号时直线画成虚线，有等号时直线画成实 线； 特殊点定域：若直线不过原点，特殊点常选原点；若直线过原点，则特 殊点常选取(0,1)或(1,0)来验证 (2)利用“同号上，异号下”判断二元一次不等式表示的平面区域： 对于 AxByC0 或 AxByC0 时，区域为直线 AxByC0 的上方； 当 B(AxByC)0 表示的平面区域一定在直线 AxByC0 的

4、 上方( ) (2)线性目标函数取得最值的点一定在可行域的顶点或边界上( ) (3)线性目标函数的最优解可能是不唯一的( ) (4)目标函数 zaxby(b0)中，z 的几何意义是直线 axbyz0 在 y 轴上的截距( ) 答案 答案答案 2小题热身 (1)已知点(3，1)和(4，6)在直线 3x2ya0 的两侧，则实数 a 的取值范围为( ) A(7,24) B(，7)(24，) C(24,7) D(，24)(7，) 解析 由题意可知(92a)(1212a)0，所以(a7)(a24)0， 所以7a24. 解析解析 答案答案 (2)已知实数 x，y 满足 xy10， 2xy40， x0， 则

5、 zx2y 的最小值为 _ 5 解析 由题意可得可行域为如图所示(含边界)， zx2y， 即 y1 2x 1 2z， 则在点 A 处取得最小值， 联立 xy10， 2xy40， 解得 x1， y2， A(1,2) 代入 zx2y 得最小值 5. 解析解析 (3)(2018 全国卷)若 x，y 满足约束条件 x2y50， x2y30， x50， 则 zxy 的最大值为_ 9 解析 不等式组表示的可行域是以 A(5,4)，B(1,2)，C(5，0)为顶点的三 角形区域，如图所示，由图可知目标函数 zxy 的最大值在顶点 A 处取 得，即当 x5，y4 时，zmax9. 解析解析 2 经典题型冲关经

6、典题型冲关 PART ONE 1不等式组 xy2， 2xy4， xy0 所围成的平面区域的面积为( ) A3 2 B6 2 C6 D3 题型一题型一 二元一次不等式（组）表示的平面区域二元一次不等式（组）表示的平面区域 答案答案 解析 如图，不等式组所围成的平面区域为ABC，其中 A(2,0)，B(4， 4)，C(1,1)，所求平面区域的面积为 SABOSACO1 2(2421)3. 解析解析 2若不等式组 xy0， 2xy2， y0， xya 表示的平面区域的形状是三角形，则 a 的取值范围是( ) Aa4 3 B0a1 C1a4 3 D00，x，y 满足约束条件 x1， xy3， yax3

7、， 若 z2xy 的最小值为 1，则 a( ) A.1 2 B.1 3 C1 D2 答案答案 解析 作出不等式组表示的可行域，如图阴 影部分(含边界) 当直线 z2xy 过交点 A 时，z 取最小值， 由 x1， yax3， 得 x1， y2a， zmin22a1，解得 a1 2. 解析解析 角度 3 非线性目标函数的最值问题 3已知 xy20， xy40， 2xy50， 求： (1)zx2y210y25 的最小值； (2)z2y1 x1 的范围 解 作出可行域，如图阴影部分所示 通过联立方程，解得 A(1,3)，B(3,1)，C(7,9) 解解 (1)zx2(y5)2表示可行域内点(x，y)

8、到点 M(0,5)的距离的平方 过点 M 作 AC 的垂线，垂足为点 N， 故|MN| |052| 112 3 2 2 ，|MN|2 3 2 2 29 2. 故 z 的最小值为9 2. (2)z2 y 1 2 x1表示可行域内点(x， y)与定点 Q 1，1 2 连线斜率的 2 倍 因为 kQA7 4，kQB 3 8，所以 z 的范围是 3 4， 7 2 . 解解 求线性目标函数最值问题及线性规划应用题的解题策略 (1)求线性目标函数的最值线性目标函数的最优解一般在平面区域的 顶点或边界处取得，所以我们可以直接解出可行域的顶点，然后代入目标 函数以确定目标函数的最值如举例说明 1. (2)由目

9、标函数的最值求参数的基本方法有两种：一是把参数当成常数 用，根据线性规划问题的求解方法求出最优解，代入目标函数确定最值， 通过构造方程或不等式求解参数的值或取值范围；二是先分离含有参数的 式子，通过观察的方法确定含参的式子所满足的条件，确定最优解的位置， 从而求出参数 (3)求非线性目标函数最值问题的解题策略 解决此类问题时需充分把握好目标函数的几何意义，常见代数式的几 何意义有： 对形如 z(xa)2(yb)2型的目标函数均可化为可行域内的点(x， y)与点(a，b)间距离的平方的最值问题如举例说明 3. 对形如 zayb cxd(ac0)型的目标函数，可先变形为 z a c y b a x

10、 d c 的 形式，将问题化为求可行域内的点(x，y)与点 d c， b a 连线的斜率的a c倍的 取值范围、最值等如举例说明 3. 对 形 如z |Ax By C| 型 的 目 标 函 数 ， 可 先 变 形 为z A2B2 |AxByC| A2B2 的形式，将问题化为求可行域内的点(x，y)到直线 Ax ByC0 的距离的 A2B2倍的最值 1(2019 南昌模拟)已知实数 x，y 满足不等式组 xy30， 2xy0， y0， 则 z y3 x1的取值范围是_ 解析 作出不等式组所表示的可行域，如图中阴影部分所示目标函 数 zy3 x1表示可行域中的动点(x，y)与定点 P(1，3)连线

11、的斜率由图 可得，当直线经过点 A 时，斜率最小；当直线经过点 O 时，斜率最大 由 xy30， y0， 易得 A(3,0)，由 2xy0， y0， 易得 O(0，0)，故 kPA 03 31 3 4，kPO 03 013.所以 z y3 x1的取值范围是 3 4，3 . 解析解析 解析解析 2已知实数 x，y 满足 xy10， xy50， 4xy80， 若目标函数 zxay 取得最 小值的最优解有无数多个，则 zxay 的最大值为_ 解析 作出不等式组所表示的平面区域， 如图 中阴影部分所示，易得 A(3,2)，B(1,4)，C 9 5， 4 5 . 当 a0 时，y1 ax 1 az，作直

12、线 l0：y 1 ax， 平移 l0，易知当直线 y1 ax 1 az 与 4xy80 重合时，z 取得最小值的最优解有无数多个，此时 a 1 4，当直线过点 A 时，z 取得最大值，且 zmax3 1 2 7 2；当 a0 时，数 形结合知，目标函数 zxay 取得最小值的最优解不可能有无数多个综 上所述 zmax7 2. 解析解析 (2016 全国卷)某高科技企业生产产品 A 和产品 B 需要甲、乙两种新 型材料生产一件产品 A 需要甲材料 1.5 kg，乙材料 1 kg，用 5 个工时；生 产一件产品 B 需要甲材料 0.5 kg，乙材料 0.3 kg，用 3 个工时生产一件产 品 A

13、的利润为 2100 元，生产一件产品 B 的利润为 900 元 该企业现有甲材料 150 kg，乙材料 90 kg，则在不超过 600 个工时的条 件下，生产产品 A、产品 B 的利润之和的最大值为_元 题型三题型三 线线性性规划规划的的实际实际应用应用 216000 解析 设生产产品 A x 件，产品 B y 件，依题意，得 x0，y0， 1.5x0.5y150， x0.3y90， 5x3y600， 设生产产品 A，产品 B 的利润之和为 E 元，则 E 2100 x900y.画出可行域(如图)，易知最优解为 x60， y100， 则 Emax 216000. 解析解析 解析解析 线性规划解

14、决实际问题的一般步骤 (1)能建立线性规划模型的实际问题 给定一定量的人力、物力资源，问怎样运用这些资源，使完成的任 务量最大，收益最大； 给定一项任务，问怎样统筹安排，使完成这项任务耗费的人力、物 力资源最少 (2)解决线性规划实际问题的一般步骤 转化：设元，写出线性约束条件和目标函数，从而将实际问题转化 为数学上的线性规划问题； 求解：解决这个纯数学的线性规划问题； 作答：根据实际问题，得到实际问题的解，据此作出回答 某旅行社租用 A，B 两种型号的客车安排 900 名客人旅行，A，B 两种 车辆的载客量分别为 36 人和 60 人，租金分别为 1600 元/辆和 2400 元/辆， 旅行

15、社要求租车总数不超过 21 辆，且 B 型车不多于 A 型车 7 辆，则租金最 少为( ) A31200 元 B36000 元 C36800 元 D38400 元 答案答案 解析 设旅行社租用 A 型客车 x 辆，B 型客车 y 辆，租金为 z，则线性 约束条件为 xy21， yx7， 36x60y900， x，yN. 目标函数为 z1600 x2400y. 画出可行域，如图中阴影部分所示， 解析解析 可知目标函数过点 N 时，取得最小值， 由 yx7， 36x60y900， 解得 x5， y12， 故 N(5,12)， 故 zmin1600524001236800(元) 解析解析 3 课时作

16、业课时作业 PART THREE 1(2019 贵阳期中)不等式组 y3x12， x2y 表示的平面区域为( ) A组组 基础关基础关 答案答案 解析 选特殊点(0,6)检验，当 x0，y6 时，y3x12 成立，x2y 成立， 所以点(0,6)在不等式组 y3x12， x2y 表示的平面区域内， 另外注意 到边界线是虚线，故选 B. 解析解析 2不等式组 2xy60， xy30， y2 表示的平面区域的面积为( ) A4 B1 C5 D无穷大 解析解析 答案答案 解析 不等式组 2xy60， xy30， y2 表示的平面区域如图所示(阴影部分)， ABC 的面积即为所求求出点 A，B，C 的

17、坐标分别为 A(1，2)，B(2,2)，C(3,0)，则ABC 的面积为 S 1 2(21)21. 解析解析 3(2018 天津高考)设变量 x，y 满足约束条件 xy5， 2xy4， xy1， y0， 则目标函数 z3x5y 的最大值为( ) A6 B19 C21 D45 答案答案 解析 在平面直角坐标系中画出可行域 ABCD 以及直线 l：3x5y0， 平移直线l， 可知当直线z3x5y过点C(2,3)时， z取得最大值为3253 21. 解析解析 4设变量 x，y 满足约束条件 xy20， 2x3y60， 3x2y90， 则目标函数 z2x5y 的最小值为( ) A4 B6 C10 D1

18、7 答案答案 解析 如图，已知约束条件 xy20， 2x3y60， 3x2y90 所表示的平面区域为图 中所示的三角形区域 ABC(包含边界)，其中 A(0,2)，B(3，0)，C(1,3). 根据 目标函数的几何意义，可知当直线 y2 5x z 5过点 B(3,0)时，z 取得最小值 23506. 解析解析 5(2020 琼海摸底)若实数 x，y 满足 xy2， yx1， y0， 则 z2x 8y的最大值 是( ) A4 B8 C16 D32 答案答案 解析 先根据实数x，y满足 xy2， yx1， y0 画出可行域(如图阴影部分所示)， 由 xy2， yx1， 解得A 1 2， 3 2 ，

19、 当直线ux3y过点A时，u取得最大值 是1 23 3 25，则z2 x 8y2x3y的最大值为2532. 解析解析 6(2019 华中师范大学第一附中模拟)已知变量x，y满足约束条件 1xy2， x1， 则xy y 的取值范围是( ) A. 1 2， 2 3 B. 0，2 3 C. 1，1 3 D. 3 2，2 答案答案 解析 作出约束条件表示的可行域，如图中阴影部分由图可知k y x 在点A(1,3)处取得最小值3，且斜率k小于直线xy1的斜率1.故 3k1.所以1x y 1 3.故0 xy y 2 3. 解析解析 7若x，y满足约束条件 xy1， xy1， 2xy2， 且目标函数zax2y仅在点 (1,0)处取得最小值，则a的取值范围是( ) A4,2 B(4,2) C4,1 D(4,1) 答案答案 解析 作出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示，直线zax 2y的斜率为k a 2 ，从图中可以看出，当1 a 2 2，即4a0时，作直线l0：yaxz，平移l0可知，当yaxz与xy10 重合时，z取得最大值的最优解有无数个，此时a1. 当直线过B点时，z有最小值zmin0122； 当a0时，数形结合知，zyax取得最大值的最优解不可能无限多 综上可知zmin2. 解析解析 本课结束本课结束