1、 F 4 123 O A E F B F E B A 321 O D CB A M N 图图 2 A M B D C N 1 图图 B A C D M N 第第九九章章 半角半角模型模型 模型模型 1 1 倍长中线或类中线（与中点有关的线段）构造全等三角形倍长中线或类中线（与中点有关的线段）构造全等三角形 已知如图： 2= 1 2 AOB； OA=OB。 连接 FB，将FOB 绕点 O 旋转 至FOA 的位置，连接 FE、FE， 可得OEFOEF。 模型模型分析分析 （1）半角模型的命名：存在两个角度是一半关系，并且这两个角共顶点； （2）通过先旋转全等再轴对称全等，一般结论是证明线段和差关系
2、； （3）常见的半角模型是 90含 45，120含 60。 模型实例模型实例 例例 1 1如图，已知正方形 ABCD 中，MAN=45，它的两边分别交线段 CB、DC 于点 M、N。 （1）求证：BM+DN=MN； （2）作 AHMN 于点 H，求证：AH=AB。 例例 2 2在等边ABC 的两边 AB、AC 上分别有两点 M、N，D 为ABC 外一点， 且MDN=60，BDC=60，BD=DC。探究：当 M、N 分别在线段 AB、AC 上移动时，BM、NC、MN 之间的数量关系。 （1）如图，当 DM=DN 时，BM、NC、MN 之间的数量关系是 ； （2）如图，当 DMDN 时，猜想（1）
3、问的结论还成立吗？写出你的猜想 并加以证明。 例例 3 3如图，在四边形 ABCD 中，B+ADC=180，E、F 分别是 BC、CD 延长 A F E B C D A B C D M N 2 图图 A DBE C 图图1 D C E B A 线上的点，且EAF= 1 2 BAD。求证：EF=BE-FD。 热搜热搜精练精练 1如图，正方形 ABCD，M 在 CB 延长线上，N 在 DC 延长线，MAN=45。 求证：MN=DN-BM。 2已知，如图，在 RtABC 中，BAC=90，AB=AC，点 D、E 分别为线段 BC 上两动点，若DAE=45。探究线段 BD、DE、EC 三条线段之间的数
4、量 关系。小明的思路是：把AEC 绕点 A 顺时针旋转 90，得到ABE，连 接 ED，使问题得劲解决。请你参考小明的思路探究并解决以下问题： （1）猜想 BD、DE、EC 三条线段之间的数量关系式，并对你的猜想给予证明； （2）当动点 E 在线段 BC 上，动点 D 运动到线段 CB 的延长线上时，如图， 其它条件不变，（1）中探究的结论是否发生改变？请说明你的猜想并给予 证明。 3已知，在等边ABC 中，点 O 是边 AC、BC 的垂直平分线的交点，M、N 分别在直线 AC、BC 上，且MON=60。 （1）如图，当 CM=CN 时，M、N 分别在边 AC、BC 上时，请写出 AM、CN、
5、MN A M C N O B AB M O C N 图图3 2 图图 图图1 A C B O M N A B D F EC 三者之间的数量关系； （2）如图，当 CMCN 时，M、N 分别在边 AC、BC 上时，（1）中的结论是否 仍然成立？若成立，请你加以证明；若不成立，请说明理由； （3）如图，当点 M 在边 AC 上，点 N 在 BC 的延长线上时，请直接写出线段 AM、CN、MN 三者之间的数量关系。 4如图，在四边形 ABCD 中，B+D=180，AB=AD，E、F 分别是线段 BC、 CD 上的点，且 BE+FD=EF。求证：EAF= 1 2 BAD。 5如图，已知四边形 ABCD，EAF 的两边分别与 DC 的延长线交于点 F，与 CB 的延长线交于点 E 连接 EF。 （1）若四边形 ABCD 为正方形，当EAF=45时，EF 与 DF、BE 之间有怎样 的数量关系？（只需直接写出结论） （2）如图，如果四边形 ABCD 中，AB=AD，ABC 与ADC 互补，当 图图2 E A D B C F B 1 图图 D F E A C EAF= 1 2 BAD 时，EF 与 DF、BE 之间有怎样的数量关系？请写出结论并证 明； （3）在（2）中，若 BC=4，DC=7，CF=2，求CEF 的周长（直接写出结论即 可）。
