2019-2020学年湖南省长沙市雨花区高一下学期期末数学试题（解析版）.doc

1、第 1 页 共 13 页 2019-2020 学年湖南省长沙市雨花区高一下学期期末数学试学年湖南省长沙市雨花区高一下学期期末数学试 题题 一、单选题一、单选题 1若若cos 0, tan0 ，则角，则角是（是（ ） A第一象限角第一象限角 B第二象限角第二象限角 C第三象限角第三象限角 D第四象限角第四象限角 【答案】【答案】A 【解析】【解析】根据余弦函数、正切函数的正负性的性质进行求解即可. 【详解】 因为cos0，所以角的终边可能位于第一或第四象限，也可能与横轴的正半轴重 合； 又因为tan0，所以角的终边可能位于第一或第三象限. 因为cos0, tan0同时成立，所以角的终边只能位于第

2、一象限. 于是角是第一象限角. 故选：A 【点睛】 本题考查了余弦函数和正切函数的正负性的性质，属于基础题. 2下列命题正确的是（下列命题正确的是（ ） A若若| 0a ，则，则 0a B若若| |ab，则，则a b C若若| |ab，则，则 /a b rr D若若 /a b rr ，则，则a b 【答案】答案】A 【解析】【解析】根据零向量的定义，可判断 A 项正确；根据共线向量和相等向量的定义，可 判断 B，C，D项均错. 【详解】 模为零的向量是零向量，所以 A项正确； | |ab时，只说明向, a b的长度相等，无法确定方向， 所以 B，C均错； ab时，只说明, a b方向相同或相反

3、，没有长度关系， 不能确定相等，所以 D 错. 第 2 页 共 13 页 故选：A. 【点睛】 本题考查有关向量的基本概念的辨析，属于基础题. 3函数函数 ( )sin(2) 3 f xx的最小正周期为的最小正周期为（ ） A4 B2 C D 2 【答案】【答案】C 【解析】【解析】由题意 2 2 T ，故选 C 【名师点睛】函数sin(0,0)yAxB A的性质： (1) maxmin = +yB AyBA，. (2)最小正周期 2 .T (3)由 2 xkkZ求对称轴. (4)由 2 2 22 kxkkZ求增区间;由 3 2 2 22 kxkkZ求减区间. 4 n S 是等差数列是等差数列

4、 n a 的前的前 n项和，如果项和，如果 10 120s ，那么，那么 110 aa 的值是的值是 ( ) A12 B24 C36 D48 【答案】【答案】B 【解析】【解析】由等差数列的性质：若 m+n=p+q,则 mnpq aaaa 即可得. 【详解】 10110 110 5120 24 Saa aa 故选 B 【点睛】 本题考查等比数列前 n项和的求解和性质的应用， 是基础题型， 解题中要注意认真审题， 注意下标的变化规律，合理地进行等价转化. 5下列结论下列结论正确的是（正确的是（ ） A若若acbc，则，则a b B若若 88 ab，则，则a b C若若ab，0c，则，则acbc

5、D若若ab，则，则a b 【答案】【答案】C 第 3 页 共 13 页 【解析】【解析】利用不等式的性质和特殊值法来判断各选项中结论的正误. 【详解】 对于 A选项，若0c，由acbc，可得ab，A选项错误； 对于 B选项，取2a ，1b，则 88 ab满足，但ab，B选项错误； 对于 C选项，若ab，0c，由不等式的性质可得acbc，C选项正确； 对于 D选项，若 ab ，则ab，D选项错误.故选 C. 【点睛】 本题考查利用不等式的性质来判断不等式的正误， 同时也可以利用特殊值法等一些基本 方法来进行判断，考查推理能力，属于基础题. 6已知点已知点 D，E，F分别是分别是 ABC各边的中点

6、，则下列等式中错误的（ 各边的中点，则下列等式中错误的（ ） AFD DAFA B 0FDDEEF CDE DAEC DDE DAFD 【答案】【答案】D 【解析】【解析】根据向量的线性运算法则，逐项判定，即可求解. 【详解】 由题意，根据向量的加法运算法则，可得FD DAFA ，故 A 正确； 由 0FDDEEFFEEF ，故 B 正确； 根据平行四边形法则，可得DE DADFEC ，故 C 正确，D不正确. 故选：D. 【点睛】 本题主要考查了向量的线性运算法则的应用，其中解答中熟记向量的加法、减法，以及 平行四边形法则是解答的关键，着重考查运算与求解能力. 7若若 1 tan 2 ， 1

7、 tan 3 ，则，则tan()（ ） A 5 7 B 5 7 第 4 页 共 13 页 C 1 7 D 1 7 【答案】【答案】C 【解析】【解析】根据tantan，的值，利用两角和的正切公式求得tan( ）的值 【详解】 1 tan 2 ， 1 tan 3 ， 则tan 11 tantan1 32 1 11tan ?tan7 1? 3 2 ， 故选：C 【点睛】 本题主要两角和的正切公式的应用，属于基础题 8已知向量已知向量a=（0，5） ，向量） ，向量b=（ （3，-1） ，若） ，若ab与与a b 垂直，则垂直，则（ ） A1 B1 C 1 2 D 1 4 【答案】【答案】D 【解析

8、】【解析】由向量垂直得到数量积为零，展开后利用坐标运算得到答案. 【详解】 因为向量a=（0，5） ，向量b=（3，-1） ，ab与a b 垂直， 所以()ab()0ab，即0a aa ba bb b ， 25(05)(05) 100 ， 所以 1 4 ， 故选：D. 【点睛】 本题考查向量的垂直坐标运算，公式要正确运用. 9在在 ABC中，已知中，已知 A，B，C成等差数列，且成等差数列，且 b=3，则 ，则 sinsinsin abc ABC =（ ） A3 B23 C3 D6 【答案】【答案】B 第 5 页 共 13 页 【解析】【解析】先算出B，再利用正弦定理可得2R，最后利用等比定理

9、可得所求的值. 【详解】 因为, ,A B C成等差数列且ABC， 所以3B即 3 B ，所以外接圆的直径 3 22 3 sin3 2 b R B ， 由正弦定理2 sinsinsin abc R ABC 可得22 3 sinsinsin abc R ABC ， 故选：B. 【点睛】 本题考查正弦定理，属于基础题. 10 将函数将函数 ( )sin2f xx 的图象向右平移的图象向右平移 6 个单位长度得到个单位长度得到 g x图象， 则函数的解析图象， 则函数的解析 式是（式是（ ） A sin 2 3 g xx B sin 2 6 g xx C sin 2 3 g xx D sin 2 6

10、 g xx 【答案】【答案】C 【解析】【解析】由题意利用三角函数的图象变换原则，即可得出结论 【详解】 由题意，将函数( )sin2f xx的图象向右平移 6 个单位长度， 可得 sin2()sin(2) 63 g xxx . 故选 C 【点睛】 本题主要考查三角函数的图像变换，熟记图像变换原则即可，属于常考题型. 11中国古代数学著作算法统宗中有这样一个问题：中国古代数学著作算法统宗中有这样一个问题：“ “三百七十八里关，初行健步三百七十八里关，初行健步 不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算

11、相还”其其 意思是意思是“有一个人走有一个人走 378378 里， 第一天健步行走， 从第二天起脚痛每天走的路程是前一天里， 第一天健步行走， 从第二天起脚痛每天走的路程是前一天 的一半，走了的一半，走了 6 6 天后到达目的地天后到达目的地”请问第三天走了（请问第三天走了（ ） A6060 里里 B4848 里里 C3636 里里 D2424 里里 【答案】【答案】B 【解析】【解析】根据题意得出等比数列的项数、公比和前n项和，由此列方程，解方程求得首 第 6 页 共 13 页 项，进而求得 3 a的值. 【详解】 依题意步行路程是等比数列，且 1 2 q ，6n， 6 378S ，故 1

12、6 1 1 2 378 1 1 2 a ，解 得 1 192a ，故 2 31 1 19248 4 aa q里.故选 B. 【点睛】 本小题主要考查中国古典数学文化， 考查等比数列前n项和的基本量计算， 属于基础题. 12在在ABC中，中， , ,a b c分别为 分别为, ,A B C的对边，的对边，60 ,1Ab ，这个三角形的面积，这个三角形的面积 为为3，则，则a（ ） A 2 B 10 C 2 3 D 13 【答案】【答案】D 【解析】【解析】根据三角形的面积公式可求得 c，再由余弦定理可求得 a，得出选项. 【详解】 依题意 11 sin1sin603 22 SbcAc ，解得4c

13、 ， 由余弦定理得 22 142 1 4cos6013a . 故选：D. 【点睛】 本题考查三角形的面积公式和余弦定理，属于基础题. 二、填空题二、填空题 13cos15 cos75sin15 sin75的值为的值为_. 【答案】【答案】 1 2 【解析】【解析】逆用两角差的余弦展开式可以得到答案. 【详解】 因为 1 cos15 cos75sin15 sin75cos(7515 )cos60 2 ， 故答案为： 1 2 . 【点睛】 第 7 页 共 13 页 本题考查两角和与差的余弦展开式，属于基础题. 14等比数列等比数列 n a中，中， 37 2,8,aa 则则 5 a= _ 【答案】【

14、答案】4 【解析】【解析】试题分析：由等比中项的性质，所以 【考点】等比中项的性质 15已知已知1a ， 2b ，向量，向量a，b的夹角为的夹角为 3 ，则，则baa =_. 【答案】【答案】2 【解析】【解析】直接利用平面向量数量积的定义与运算法则求解即可. 【详解】 由向量, a b满足1a ，2b ，且a与b的夹角为 3 ， 可得1 2cos1 3 a b ， 则 2 1 12aba baa ， 故答案为：2. 【点睛】 本题主要考查平面向量数量积的定义与运算法则，属于基础题. 16设设1x ，则函数，则函数 1 5 1 yx x 的最小值为的最小值为_ 【答案】【答案】8 【解析】【解

15、析】将解析式变形，再利用基本不等式即可得出 【详解】 1x Q， 函数 111 5(1)6 2 (1)68 111 yxxx xxx ，当且仅当2x时取等 号 因此函数 1 5 1 yx x 的最小值为 8 故选：A 【点睛】 本题查主要基本不等式的应用，解题过程注意等号成立的条件，属于基础题 三、解答题三、解答题 17已知平面向量已知平面向量a，b， 1,2a . . 第 8 页 共 13 页 （1 1）若）若 0,1b ，求，求2ab的值；的值； （2 2）若）若 2,bm，a与与a b 共线，求实数共线，求实数m的值的值. . 【答案】【答案】 （1）17； （2）4. 【解析】【解析】

16、 （1）结合已知求得：2(1,4)ab，利用平面向量的模的坐标表示公式计算 得解. （2）求得：( 1,2)m ab，利用a与ab共线可列方程 12 12 m ，解方程即 可. 【详解】 解： （1）2(1,2)(0,2)(1,4)ab， 所以 22 21417ab. （2）( 1,2)m ab， 因为a与ab共线，所以 12 12 m ，解得4m. 【点睛】 本题主要考查了平面向量的模的坐标公式及平面向量平行的坐标关系， 考查方程思想及 计算能力，属于基础题 18已知已知 1 cos 7 ，0,. （1）求）求 2 2 cos 的值；的值； （2）若）若 1 cos 2 ，, 2 ，求，求c

17、os的值的值. 【答案】【答案】 （1） 3 7 ； （2） 11 14 【解析】【解析】 （1）直接利用余弦倍角公式求得结果； （2）利用同角三角函数平方关系，结合角的范围，求得 4 3 sin 7 ， 3 sin 2 ，将角进行配凑 coscos ，利用差角余弦公式求 得结果. 【详解】 第 9 页 共 13 页 （1）由 2 cos2cos1 2 得： 2 1 cos3 cos. 227 （2） 1 cos 7 ，0,，, 2 . 2 4 3 sin1 cos 7 . 又, 2 ，,2， 2 3 sin1 cos 2 coscoscoscossinsin 1134 311 272714

18、【点睛】 该题考查的是有关三角恒等变换的问题，涉及到的知识点有同角三角函数关系式，余弦 的倍角公式，余弦的差角公式，在解题的过程中，注意角的配凑，属于简单题目. 19已知已知 2f xxax. . （1）当）当1a 时，求不等式时，求不等式 0f x 的解集；的解集； （2）解关于）解关于 x的不等式的不等式 0f x . . 【答案】【答案】 （1）,12,.（2）2a时，不等式无解；2a时，不等式的解 集为2,a；2a时，不等式的解集为,2a. 【解析】【解析】 （1）根据一元二次不等式的解的结果，直接得到答案； （2）对a与 2的大小关系分三种情况讨论，可得结果. 【详解】 （1）1a

19、时，不等式 0f x 化为120 xx， 解得1x或2x ， 不等式的解集为,12,. （2）关于 x 的不等式 0f x ，即20 xax； 当2a时，不等式化为 2 20 x，不等式无解； 当2a时，解不等式20 xax，得2xa； 当2a时，解不等式20 xax，得2ax； 综上所述，2a时，不等式无解， 第 10 页 共 13 页 2a时，不等式的解集为2,a， 2a时，不等式的解集为,2a. 【点睛】 本题考查了一元二次不等式的解法，考查了分类讨论思想，属于基础题. 20高铁是我国国家名片之一，高铁的修建凝聚着中国人的智慧与汗水高铁是我国国家名片之一，高铁的修建凝聚着中国人的智慧与汗

20、水.如图所示， 如图所示，B、 E、F为山脚两侧共线的三点，在山顶为山脚两侧共线的三点，在山顶 A处测得这三点的俯角分别为 处测得这三点的俯角分别为30、60、45， 计划沿直线计划沿直线 BF开通穿山隧道，现已测得开通穿山隧道，现已测得 BC、DE、EF三段线段的长度分别为三段线段的长度分别为 3、1、 2. （1 1）求出线段）求出线段 AE的长度；的长度； （2 2）求出隧道）求出隧道 CD的长度的长度. . 【答案】【答案】 （1）231 （2）4 3 【解析】【解析】 （1）由已知在AEF 中，由正弦定理即可解得 AE的值； （2）由已知可得BAE 90，在 RtABE中，可求 BE

21、 的值，进而可求 CDBEBCDE的值 【详解】 （1）由已知可得 EF2，F45，EAF604515， 在AEF中，由正弦定理得： AEEF sin Fsin EAF ， 即 2 4515 AE sinsin ， 解得231AE ； （2）由已知可得BAE180306090， 在 RtABE中，2431BEAE， 所以隧道长度4 3CDBEBCDE 第 11 页 共 13 页 【点睛】 本题主要考查了正弦定理在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于 基础题 21已知等差数列已知等差数列 n a的前的前n项的和为项的和为 n S，且，且 5 45S ， 6 60S . （1）求数列）

22、求数列 n a的通项公式；的通项公式； （2）若数列）若数列 n b满足满足 1nnn bba （nN）且）且 1 3b .设数列设数列 1 n b 的前的前n项和为项和为 n T， 求证：求证： 3 4 n T . 【答案】【答案】 （1）23 n an； （2）证明见解析. 【解析】【解析】 （1）首先根据题中所给的条件，结合等差数列求和公式列出等量关系式，求得 首项和公差，进而求得通项公式； （2）首先利用累加法求得 2 2 n bnn，得到 2 111 11 222 n bnnnn ，利用裂 项相消法求得 1111111111 1.1 232422212 n T nnnn ，从而 证得

23、结果. 【详解】 （1） 15 15504Sad， 16 615 60adS， 解得 1 5a ，2d ， 故23 n an. （2） 1 23 nnn bban ， 故 112211 . nnnnn bbbbbbbb 2 21 51 21 21 . 5332 2 nn nnnn ， 第 12 页 共 13 页 故 2 111 11 222 n bnnnn ， 故 11111111113 1.1 2324222124 n T nnnn . 【点睛】 该题考查的是有关数列的问题，涉及到的知识点有等差数列的求和公式的应用，等差数 列通项公式的求解，累加法求数列的通项公式，裂项相消法求和，属于简单题

24、目. 22 已知已知0 ，函数函数 2 3 ( )c o s ( 2)s i n 2 fxxx （）若）若 6 ，求，求( )f x的单调递增区间；的单调递增区间； （）若）若 ( )f x的最大值是 的最大值是 3 2 ，求，求的值的值 【答案】【答案】 （） 2 , 36 kk ,kZ;（） 2 . 【解析】【解析】 （）由 6 ，可先由两角和差正弦公式、二倍角公式将函数解析式化简为 11 cos 2 232 f xx ，再根据余弦函数 cosyx 的单调递增区间 2,2kkkZ，求出函数 f x的单调递增区间； （）利用两角和余弦公式、 二倍角公式整理得 3131 coscos2sin sin2 2222 f xxx ，由函数最大值 为 3 2 ，且对于sincosyaxbx型函数的最大值为 22 ab ，又0，从而 问题可得解. 试题解析： （）由题意 131 cos2sin2 442 f xxx 11 cos 2 232 x 由222 3 kxk ，得 2 36 kxk 所以单调 f x的单调递增区间为 2 , 36 kk ，kZ. （）由题意 3131 coscos2sin sin2 2222 f xxx ，由于函数 f x的 第 13 页 共 13 页 最大值为 3 2 ，即 22 313 cossin1 222 ， 从而cos0，又0， 故 2