2019-2020学年江苏省南通市如皋市高一下学期期末数学试题（解析版）.doc

1、第 1 页 共 20 页 2019-2020 学年江苏省南通市如皋市高一下学期期末数学试学年江苏省南通市如皋市高一下学期期末数学试 题题 一、单选题一、单选题 1直线直线310 xy 的倾斜角为的倾斜角为( ) ( ) A30 B60 C120 D150 【答案】【答案】D 【解析】【解析】求出斜率，根据斜率与倾斜角关系，即可求解. 【详解】 310 xy 化为 33 33 yx ， 直线的斜率为 3 3 ，倾斜角为 0 150. 故选:D. 【点睛】 本题考查直线方程一般式化为斜截式，求直线的斜率、倾斜角，属于基础题. 2记记 n S为等差数列为等差数列 n a的前的前n项和已知项和已知 4

2、 0S ， 5 10a ，则（，则（ ） A515 n an B35 n an C 2 28 n Snn D 2 4 n Snn 【答案】【答案】C 【解析】【解析】利用等差数列的通项公式求和公式即可得出 【详解】 解：设等差数列 n a的公差为d 4 0S ， 5 10a ， 1 460ad ， 1 410ad ， 解得： 1 6a ，4d ， 64(1)410 n ann 2 ( 6410) 28 2 n nn Snn 故选：C 【点睛】 本题考查了等差数列的通项公式求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题 第 2 页 共 20 页 3过点过点2,3作圆作圆 22 4xy的切线，则切

3、线的方程为（的切线，则切线的方程为（ ） A5 +1226 0 xy B512460 xy C5 +1226 0 xy 或或 2x D5 +12 260 xy 或或3y 【答案】【答案】C 【解析】【解析】首先，圆 22 4xy的圆心为原点，半径为 2，然后讨论：当过点( 2,3) 的直 线斜率不存在时，方程是2x，通过验证圆心到直线的距离，得到2x符合题意； 当过点( 2,3) 的直线斜率存在时，设直线方程为 3(2)yk x ，根据圆心到直线的距 离等于半径 2，建立关于k的方程，解之得k，进而得到直线的方程最后综合可得答 案 【详解】 圆 22 4xy的圆心为原点，半径为 2 （1）当过

4、点( 2,3) 的直线垂直于x轴时， 此时直线斜率不存在，方程是2x， 因为圆心 (0,0)O 到直线的距离为2dr，所以直线2x符合题意； （2）当过点( 2,3) 的直线不垂直于x轴时，设直线方程为 3(2)yk x ，即 230kxyk 直线230kxyk是圆 22 4xy的切线 点(0,0)O 到直线的距离为 2 |23| 2 1 k d k ，解之得 5 12 k 此时直线方程为 5 3(2) 12 yx ，即512260 xy 切线方程为512260 xy 或2x 故选：C 【点睛】 本题考查圆的切线方程，借助于求过圆外一个定点的圆的切线方程的问题，考查直线与 圆的位置关系、点到直

5、线的距离公式等知识点 4下列说法正确的是（下列说法正确的是（ ） A如果直线如果直线l不平行于平面不平行于平面，那么平面，那么平面不存在与 不存在与l平行的直线平行的直线 B如果直线如果直线/l平面平面，平面，平面/平面平面，那么直线 ，那么直线/l平面平面 第 3 页 共 20 页 C如果直线如果直线l与平面与平面相交，平面相交，平面/ 平面平面，那么直线，那么直线l与平面与平面也相交也相交 D如果平面如果平面平面平面，平面，平面面面，那么平面 ，那么平面/平面平面 【答案】【答案】C 【解析】【解析】 对于A， 当l时， 平面内存在与l平行的直线； 对于B， 直线/l平面 或直线l 平面；

6、对于C，由面面平行的性质得直线l与平面也相交；对于D， 平面与平面相交或平行 【详解】 解：对于A，如果直线l不平行于平面，那么当l时，平面内存在与l平行的 直线，故A错误； 对于B，如果直线/l平面，平面/平面，那么直线/l平面或直线l 平 面，故B错误； 对于C，如果直线l与平面相交，平面/平面，那么由面面平行的性质得直线l 与平面也相交，故C正确； 对于D，如果平面平面，平面平面，那么平面与平面相交或平行， 故D错误 故选：C 【点睛】 本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考 查空间想象能力，属于中档题 5在数列在数列 n a中，中， 1 2a ，

7、2 3a ， 2 6 n n a a ，则，则 2020 a（ ） A3 B2 C2 D3 【答案】【答案】B 【解析】【解析】利用已知条件，求出数列的周期，然后求解即可 【详解】 解：数列 n a中， 1 2a ， 2 3a ， 2 6 n n a a ， 第 4 页 共 20 页 可得 4 2 66 6 nn n n aa a a ，所以数列 n a的周期为 4， 4 2a ， 则 2020504 4 44 2aaa ， 故选：B 【点睛】 本题考查数列的递推关系式的应用， 数列项的求法， 判断数列是周期数列是解题的关键， 属于基础题 6关于关于x的不等式的不等式 2 2140 xmxm的

8、解集中恰有的解集中恰有 4 个正整数，则实数个正整数，则实数m的取的取 值范围是（值范围是（ ） A 5 ,3 2 B 5 ,3 2 C 1 1, 2 D 15 1,3 22 【答案】【答案】B 【解析】【解析】 不等式化为(2)(2 ) 0 xxm， 讨论22m和22m时， 求出不等式的解集， 从而求得m的取值范围 【详解】 原不等式可化为(2)(2 ) 0 xxm， 若1m，则不等式的解是2m，2， 不等式的解集中不可能有 4 个正整数， 所以1m ，不等式的解是2，2 m； 所以不等式的解集中 4个正整数分别是 2，3，4，5； 令5 26m，解得 5 3 2 m ； 所以m的取值范围是

9、 5 2 ，3) 故选：B 【点睛】 本题考查了一元二次不等式解法与应用问题，是中档题 7在正方体在正方体 1111 ABCDABC D中，中，E为棱为棱 11 AB的中点，则异面直线的中点，则异面直线AE与与 1 BD所成所成 第 5 页 共 20 页 角的余弦值为（角的余弦值为（ ） A 15 15 B 15 5 C 5 3 D 5 5 【答案】【答案】A 【解析】【解析】以D为原点，DA为x轴，DC为y轴， 1 DD为z轴，建立空间直角坐标系， 利用向量法能求出异面直线AE与 1 BD所成角的余弦值 【详解】 解：在正方体 1111 ABCDABC D中，E为棱 11 AB的中点， 以D

10、为原点，DA为x轴，DC为y轴， 1 DD为z轴，建立空间直角坐标系， 设正方体 1111 ABCDABC D中棱长为 2， 则(2A，0，0)， (2E ，1，2)， (2B ，2，0)， 1(0 D，0，2)， (0AE ，1，2)， 1 ( 2BD ，2，2)， 设异面直线AE与 1 BD所成角为， 则 1 1 |215 cos 15| |512 AE BD AEBD 异面直线AE与 1 BD所成角的余弦值为 15 15 故选：A 【点睛】 本题考查异面直线所成角的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知 识，考查运算求解能力，属于中档题 第 6 页 共 20 页 8设设0a

11、，0b，且，且21ab ，则 ，则 12a aab （ ） A有最小值为有最小值为 4 B有最小值为有最小值为2 2 1 C有最小值为有最小值为 14 3 D无最小值无最小值 【答案】【答案】B 【解析】【解析】0a，0b，且21ab ，可得1 2ba 代入 12a aab ，化简整理 利用基本不等式的性质即可得出 【详解】 0a，0b，且21ab ， 1 20ba ，解得 1 0 2 a 12122(1)121212 2(1)()232 1111 aaaa aa aabaaaaaaaa 12 212 21 1 aa aa ，当且仅当2 1a ，3 2 2b 时取等号 12a aab 有最小值

12、2 2 1 故选：B 【点睛】 本题考查基本不等式的性质、方程的解法，考查推理能力与计算能力 二、多选题二、多选题 9若若0ab，则下列结论正确的是（，则下列结论正确的是（ ） ） A 11 aab B ba ab C 22 11 ab D 22 aabb 【答案】【答案】AD 【解析】【解析】利用特殊值及不等式的性质计算可得； 【详解】 解：根据0ab，取2a ，1b，则可排除BC 0ab所以 2 aab，且 2 abb，即 22 aabb 第 7 页 共 20 页 0b 所以0a ba ，所以 11 aab 故选：AD 【点睛】 本题考查了不等式的基本性质，属于基础题 10已知已知l，m是

13、两条不同的直线，是两条不同的直线，是两个不同的平面，且是两个不同的平面，且l ，m ， 则下列命题中正确的是（则下列命题中正确的是（ ） A若若 / ，则 ，则/l m B若若，则，则lm C若若/m，则，则 D 若若lm，则，则 【答案】【答案】ABCD 【解析】【解析】直接利用直线与平面的平行和垂直的判定和性质的应用求出结果 【详解】 解：已知l，m是两条不同的直线，是两个不同的平面，且l，m， 故直线l和直线m相当于平面和的法线 故：当/ /时，且l，m，则/lm，正确 当，且l，m，则lm，正确 当/m，且l，m，则，正确 当lm，且l，m，则，正确 故选：ABCD 【点睛】 本题考查

14、的知识要点：直线与平面的平行和垂直的判定和性质的应用，法向量的应用， 主要考查学生对理论知识的运用，属于基础题 11 已知数列已知数列 n a是递增的等差数列，是递增的等差数列， 510 5aa， 69 14aa 12nnnn baaa ， 数列数列 n b的前的前n项和为项和为 n T，下列结论正确的是（，下列结论正确的是（ ） A320 n an B325 n an C当当4n时，时， n T取最小值取最小值 D当当 6n时，时， n T取最小值取最小值 【答案】【答案】AC 第 8 页 共 20 页 【解析】【解析】由已知求出数列 n a的首项与公差，得到通项公式判断A与B；再求出 n

15、T， 由 n b的项分析 n T的最小值 【详解】 解：在递增的等差数列 n a中， 由 510 5aa，得 69 5aa ， 又 69 14a a ，联立解得 6 2a ， 9 7a ， 则 96 7( 2) 3 963 aa d ， 16 525 317aad 173(1)320 n ann 故A正确，B错误； 12 (320)(317)(314) nnnn ba aannn 可得数列 n b的前 4 项为负，第 5项为正，第六项为负，第六项以后均为正 而 56 10820bb 当 4n时， n T取最小值，故C正确，D错误 故选：AC 【点睛】 本题考查等差数列的通项公式，考查数列的求和

16、，考查分析问题与解决问题的能力，属 于中档题 12 已知圆已知圆 22 111 :0MxyD xE yF与圆与圆 22 222 :0N xyD xE yF的的 圆心不重合， 直线圆心不重合， 直线 121212 :0lDDxEEyFF 下列说法正确的是 （ 下列说法正确的是 （ ） A若两圆相交，则若两圆相交，则l是两圆的公共弦所在直线是两圆的公共弦所在直线 B直线直线l过线段过线段MN的中点的中点 C过直线过直线l上一点上一点P（在两圆外）作两圆的切线，切点分别为（在两圆外）作两圆的切线，切点分别为A， ，B，则，则PAPB D直线直线l与直线与直线MN相互垂直相互垂直 【答案】【答案】AC

17、D 【解析】【解析】A.直接利用两圆方程相减得到公共弦所在直线方程判断；B. 表示出线段 MN 的中点判断是否在直线 l上即可；C.由切线长定理判断；D. 利用直线的斜率判断. 【详解】 第 9 页 共 20 页 A. 联立两圆方程得： 111222 D xE yFD xE yF整理得： 121212 0DDxEEyFF，为两圆的公共弦所在直线，故正确； B. 设圆 M的半径为 1 r，圆 N的半径为 2 r， 11 , 22 DE M , 22 , 22 DE N ， 线段 MN的中点为 1212 , 44 DDEE ，则 1212 121212 44 DDEE DDEEFF 2222 12

18、12 12 44 DDEE FF ， 2222 22 222111 22 44 44 DEFDEF rr ， 所以当两圆半径相等时成立，故错误； C.设 00 ,P x y，则 12012012 0DDxEEyFF， 由切线长定理得： 22 2222 111 0010101 4 | 4 DEF PAPMxyD xE yF ， 22 2222 222 0020202 4 | 4 DEF PBPNxyD xE yF ， 所以 22 |0PAPB，即PAPB，故正确； D. 因为 11 , 22 DE M ， 22 , 22 DE N ， 所以直线 MN的斜率 21 1 21 EE k DD ，直线

19、l的斜率为 21 2 21 DD k EE ， 则 1 2 1k k ，所以l直线MN相互垂直，故正确； 故选：ACD 【点睛】 本题主要考查圆与圆的位置关系，直线与圆的位置关系，切线长定理，还考查了转化求 解问题的能力，属于中档题. 第 10 页 共 20 页 三、填空题三、填空题 13 正三棱锥的侧棱长为正三棱锥的侧棱长为 1， 底面边长为， 底面边长为2， 则该棱锥的的外接球的表面积为， 则该棱锥的的外接球的表面积为_ 【答案】【答案】3 【解析】【解析】正棱锥的外接球的球心在顶点向底面做投影所在的直线上，先求底面外接圆的 半径，再由勾股定理求棱锥的高，由勾股定理求出外接球的半径，用球的

20、表面积公式求 出表面积. 【详解】 如图，正三棱柱SABC中，侧棱长1SASBSC， 底面边长 2ABACBC ， 过点S做SE 平面ABC于点E，E即为底面ABC的外心，记球心为O， 因为在正三棱柱SABC中，底面边长为 2，侧棱长为 1， 236 2 323 BE Q， 22 23 1 33 SESBBE 因为球心O到四个顶点的距离相等，均等于该正三棱柱外接球的半径R， OBR， 3 3 OER 在Rt OBE中， 222 OBBEOE 即 22 23 () 33 RR，解得 3 2 R ， 外接球的表面积为 2 43SR， 故答案为：3. 【点睛】 第 11 页 共 20 页 本题主要考

21、查正三棱柱的外接球与正三棱柱之间的关系，球表面积以及计算能力. 14 若圆若圆 22 2 :440Mxyrr上恰有两点到点上恰有两点到点1,0N的距离为的距离为 1， 则， 则r 的取值范围是的取值范围是_ 【答案】【答案】4,6 【解析】【解析】根据题意，设圆N，其圆心为 (1,0)N ，半径1R ；分析圆M的圆心与半径， 由圆与圆的位置关系分析可得圆M与圆N相交，必有 1 |1rMNr ，解可得r的 值，即可得答案 【详解】 解：根据题意，设圆N，其圆心为 (1,0)N ，半径1R ； 圆 222 :(4)(4)Mxyr，圆心(4,4)M，半径为r， 若圆 222 :(4)(4)(0)Mx

22、yr r上恰有两点到点 (1,0)N 的距离为 1，则圆M与圆 N相交， 必有 1 |1rMNr ，即 1 51rr ，解可得46r， 即r的取值范围为(4,6)； 故答案为：(4,6) 【点睛】 本题考查圆与圆的位置关系，注意将原问题转化为圆与圆相交的问题，属于基础题 15函数函数 43 2 39 0 xxx f xx x 的最小值为的最小值为_ 【答案】【答案】62 3 【解析】【解析】对解析式进行变形得 2 2 93 ( )f xxx xx ，再利用基本不等式，即可得答 案； 【详解】 2 2 93 ( )f xxx xx 292362 3 ， 等号成立，当且仅当3x ， 故答案为：62

23、 3. 【点睛】 本题考查基本不等式求最值，考查运算求解能力，求解时注意验证等号成立的条件. 第 12 页 共 20 页 16 对于任意对于任意一个偶数一个偶数m， 都存在奇数， 都存在奇数n及正整数及正整数t， 使得 ， 使得2tmn， 我们把， 我们把n称为称为m 的的“奇因子奇因子”若数列若数列 n a的通项公式为的通项公式为 22 22 nn n an ，则该数列的前，则该数列的前n项的项的“奇因奇因 子子”的倒数之和为的倒数之和为_ 【答案】【答案】 21 n n 【解析】【解析】将 22 22 nn n an 化简整理为 222 22241 nnn n ann ，可得奇因 子为 2

24、 41n ，然后用裂项求和法求 2 1 41n 的前n项和. 【详解】 因为 222 22241 nnn n ann ， 所以奇因子为 2 41n ， 所以奇因子”的倒数为 2 1 41n ，即 111 2 2121nn 其前n项和为 1 11111111 1 2 1335212122121 n nnnn ， 故答案为： 21 n n 【点睛】 本题主要考查了裂项相消求和，读懂题意最关键，属于基础题. 四、解答题四、解答题 17在长在长方体方体 1111 ABC DABCD中，中，ACBDO，E为棱为棱 1 CC的中点的中点 （1）求证：）求证： 1/ AC平面平面BDE； （2）若四边形）若

25、四边形ABCD为正方形，求证：为正方形，求证：BD 平面平面 11 A ACC 【答案】【答案】 （1）证明见解析； （2）证明见解析. 【解析】【解析】 （1）连结OE，推导出 1 / /OEAC，由此能证明 1/ / AC平面BDE 第 13 页 共 20 页 （2）推导出 1 CCBD，BDAC，由此能证明BD 平面 11 A ACC 【详解】 证明： （1）连结OE，在长方体 1111 ABC DABCD中， 四边形ABCD为矩形，O是AC中点， E为棱 1 CC的中点， 1 / /OEAC ， OE 平面BDE， 1 AC 平面BDE， 1/ / AC平面BDE （2）解：在长方体

26、1111 ABC DABCD中， 1 CC 平面ABCD， BDQ平面ABCD， 1 CCBD， 四边形ABCD是正方形，BDAC， AC 平面 1 ACC， 1 CC 平面 1 ACC， 1 ACCCC， BD平面 11 A ACC 【点睛】 本题考查线面平行、线面垂直的证明，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基 础知识，考查空间思维能力、运算求解能力，属于中档题 18在平面直角坐标系在平面直角坐标系xOy中，中，ABC的顶点的顶点A的坐标为 的坐标为4,2，AB边上的中线边上的中线 CM所在的直线方程为所在的直线方程为 10 xy ，AC边上的高线边上的高线BD所在的直线方程为所在的

27、直线方程为 220 xy 求直线求直线BC的方程的方程 【答案】【答案】94260 xy 【解析】【解析】 根据直线BD的方程设出点 ( ,22 )B bb ， 可得AB的中点M的坐标， 再把点M 的坐标代入CM所在的直线方程求出b的值，可得B的坐标，再用两点式求得BC的方 程 第 14 页 共 20 页 【详解】 解：因为AC边上的高线BD所在直线方程为220 xy， 所以直线AC的斜率为 1 2 ，又直线AC过点4,2A 所以直线AC的方程为280 xy 联立直线AC与MC的方程： 280 10 xy xy 解得 6 7 x y 所以C的坐标为6,7 因为B为直线220 xy上一点，所以设

28、 00 ,22B xx 又M为AB的中点，所以 0 0 4 ,2 2 x Mx 因为M点在直线10 xy 上，所以 0 2x ，即2, 2B 所以直线BC的方程为94260 xy 【点睛】 本题主要考查两条直线垂直的性质，用两点式求直线的方程，求两条直线的交点，属于 基础题 19已知数列已知数列 n a的前的前n项和为项和为 n S，满足，满足 1 23 nn Saa，且，且 123 33aaa （1）求数列）求数列 n a的通项公式；的通项公式； （2）记数列）记数列 1 n a 的前的前n项和为项和为 n T，求使得，求使得 492 985 n T 成立的成立的n的最大值的最大值 【答案】

29、【答案】 （1）3n n a ； （2）6. 【解析】【解析】 （1）根据 1 23 nn Saa，可得 n a 是等比数列，根据 123 33aaa，可 得 1 a的值，即可得数列 n a的通项公式. （2）由 n a的通项公式，可得 1 n a 的通项公式，再利用等比数列求和得 n T，令 492 985 n T ，解得n的范围，即可得n的最大值. 【详解】 第 15 页 共 20 页 （1）由已知 1 23 nn Saa，有 111 232 nn Saa n ， 两式相减得 1 233 nnn aaa ，即 1 3 nn aa ， 即 32 3aa，又因为 123 33aaa，所以 1

30、30a ， 所以数列 n a是以 3 为首项，3为公比的等比数列， 其通项公式为3n n a . （2）由（1）得， 11 3n n a ，所以 2 11 1 1111133 1 1 33323 1 3 n n nn T ， 因为 492 985 n T ，所以 1984 1 3985 n 即3 985 n ， 解得16n，所以使得不等式成立的n的最大值为 6 【点睛】 本题主要考查了由递推公式求通项公式，等比数列的通项公式，等比数列的前n项和公 式，解指数不等式，属于中档题. 20已知函数已知函数 1 01 k a f xx x 与与 2 1 01 1 ka g xx x ，其中，其中 1

31、k， 2 k， a均为常数，且 均为常数，且0,1a， 23 38 a f ， 3 1 4 ga （1）求）求 1 k， 2 k的值；的值； （2）若）若 9 20 f xg x对于任意对于任意0,1x恒成立，求实数恒成立，求实数a的取值范围的取值范围 【答案】【答案】 （1） 1 1 4 k ； 2 1 4 k ； （2） 1 4 , 5 5 . 【解析】【解析】 （1）分别根据 23 38 a f ， 3 1 4 ga 代入求值，求出 1 k， 2 k的值即 可； （2）问题转化为 19 15 aa xx 恒成立，根据基本不等式的性质得到关于a的不等式， 解出即可 【详解】 第 16 页

32、共 20 页 解： （1）因为 1 01 k a f xx x 且 23 38 a f ，0,1a，所以 1 1 4 k ； 又因为 2(1 ) 01 1 ka g xx x 且 3 1 4 ga ，0,1a，所以 2 1 4 k （2）因为 9 20 f xg x对于任意0,1x恒成立，即 19 15 aa xx 恒成立 又因为0,1x0,1a，所以 111 11121 11 axa xaa xxaa xxxx 即 9 121 5 aa 解得 14 55 a，所以实数a的取值范围为 1 4 , 5 5 【点睛】 本题考查了函数代入求值问题， 考查函数恒成立以及基本不等式的性质， 考查转化思想

33、， 属于中档题 21 四棱锥四棱锥PABCD中，中，PA 平面平面ABCD， 四边形 ， 四边形ABCD为菱形，为菱形， ADC60 ， 2PAAD，E为为AD的中点的中点 （1）求证：平面）求证：平面PCE 平面平面PAD； （2）求）求PC与平面与平面PAD所成的角的正切值；所成的角的正切值； （3）求二面角）求二面角A PD C的正弦值的正弦值 【答案】【答案】 （1）证明见解析； （2） 15 5 ； （3） 42 7 . 【解析】【解析】 （1）推导出DADC，CEAD，CEPA，从而EC 平面PAD，由 此能证明平面PCE 平面PAD （2）斜线PC在平面内的射影为PE，CPE是P

34、C与平面PAD所成角的平面角， 第 17 页 共 20 页 推导出PAAD，ECPE，由此能求出PC与平面PAD所成角的正切值 （3）过点E作EMPD，垂足为M，连结CM，推导出ECPD，PD 平面 EMC，PDCM，EMC是二面角A PD C的平面角，由此能求出二面角 A PD C的正弦值 【详解】 （1）因为四边形ABCD为菱形，所以DADC 又60ADC，所以ADC为等边三角形，即有CACD， 又在ADC中，因为E的AD中点，所以CEAD 因为PA 平面ABCD，CE 平面ABCD， 所以CEPA 又PAADA，PA平面PAD，AD 平面PAD 所以EC 平面PAD 又CE 平面PCE

35、所以平面PCE 平面PAD （2）因为EC 平面PAD，所以斜线PC在平面内的射影为PE， 即CPE为PC与平面PAD所成的角的平面角 因为PA 平面ABCD，AD 平面ABCD，所以PAAD 在Rt PAE中， 22 5PEPAAE 在Rt CED中， 22 3CECDED 因为EC 平面PAD，PE 平面PAD，所以ECPE 在RtCEP中，有 15 tan 5 CE CPE PE 所以PC与平面PAD所成的角的正切值为 15 5 （3）在平面PAD中，过E点作EMPD，垂足为M，连接CM 因为EC 平面PAD，PD 平面PAD，所以ECPD 又EMCMM，EM 平面EMC，CM 平面EM

36、C 所以PD 平面EMC 又CM 平面EMC 所以PDCM，即EMC为二面角A PD C的平面角 第 18 页 共 20 页 在RtEMD中，1ED ，45ADP，所以 2 2 EMMD 在Rt CMD中， 2 2 MD ，2CD ，所以 22 14 2 CMCDMD 在EMC中，3EC ，由余弦定理 222 17 3 1 22 cos 22147 2 22 MEMCEC EMC ME MC 所以二面角A PD C的正弦值为 42 7 【点睛】 本题考查面面垂直的证明，考查线面角的正切值、二面角的正切值的求法，考查空间中 线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查空间想象能力，属于中档题 2

37、2已知：已知：3,0A ， 3,0B，点，点C在在x轴上方，且轴上方，且 60ACB，ABC的的 外接圆的圆心为外接圆的圆心为M设设 00 ,P x y为圆为圆 22 1 : 4 O xy上的动点，且点上的动点，且点P在第一象限，在第一象限， 圆圆O在点在点P处的切线交圆处的切线交圆M于于 11 ,E x y， 22 ,F xy两点两点 （1）求）求ABC的外接圆的外接圆M的方程；的方程； （2）求）求EF的长度的取值范围；的长度的取值范围； （3）求）求 120 2xxx的最小值的最小值 【答案】【答案】 （1） 2 2 14xy； （2）15,4EF ； （3）-1. 【解析】【解析】 （

38、1）由A，B的坐标可得ABC的外接圆的圆心在线段AB的中垂线上，即 圆心M在y轴上， 因为C在x轴的上方， 所以M在y轴的正半轴上， 由60ACB， 所以120AMB， 所以可得60OMAOMB ， 在直角三角形中求出OM，MB的 值，进而求出圆M的方程； （2）由OPEF可得，由P的坐标可得直线OP的斜率，进而求出直线EF的斜率， 因为P为切点，求出直线EF的方程，过M作MHEF 可得，H为EF的中点，由 点到直线的公式，求出MH的值，所以 2 2 4EFMH ，再由P的纵坐标的范围求出 EF的范围； （3） 由 （2） 可得H为EF的中点可得H的坐标与E，F坐标的关系， 将直线EF，MH

39、第 19 页 共 20 页 的方程联立求出H的横坐标， 进而可得E，F的横坐标之和， 也P在圆 22 1 4 xy上， 由均值不等式可得 00 x y的范围，进而可得 120 ()2xxx 的最小值 【详解】 （1）在圆M中，因为60ACB，所以120AMB 因为圆M过点A、B，点C在x轴上方，所以圆心M在y轴的正半轴上， 即60MOAMOB 又在直角三角形MOB中，因为 3OB ，所以1OM ，2MB 所以ABC的外接圆M的方程为 2 2 14xy （2）设 00 ,P x y， 0 0 x ， 0 0y ，则 22 00 1 4 xy， 0 0 OP y k x 又因为OPEF，所以 0

40、0 EF x k y 又直线EF过点P，所以直线EF的方程为 00 1 0 4 x xy y 过M点MHEF，垂足为H， 则 0 1 2 4 MHy 所以 2 2 0 1 2 42 44 4 EFMHy 因为 0 1 0 2 y，所以 15,4EF （3）EF中点H的横坐标为 12 2 xx 因为/OP MH，所以 0 0 MH y K x ，即直线MH的方程为 000 0y xx yx 又直线EF的方程为 00 1 0 4 x xy y，联立方程组 000 4 H xxx y 12000 28xxxx y 因为 22 0000 1 2 4 xyx y（当且仅当 00 2 4 xy 时取等号）所以 00 1 8 x y 所以 12000 281xxxx y ，即 120 2xxx的最小值为1 第 20 页 共 20 页 【点睛】 本题考查求圆的方程及直线与圆的位置关系的应用，属于中档题