湖北省武汉市三校联合体2019-2020学年高一下学期期中考试数学试题 Word版含解析.doc

1、高考资源网（） 您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 1 - 20192019- -20202020 学年度第二学期武汉市三校联合体期中考试学年度第二学期武汉市三校联合体期中考试 高一数学高一数学 考试时间：考试时间：20202020 年年 4 4 月月 2525 日日 8 8：0000- -1010：0000 试卷满分试卷满分 150150 分分. . 祝考试顺利祝考试顺利 注意事项：注意事项： 1.1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上. . 2.2.选择题的作答：每小题选出答案后，用选择题的作答：每

2、小题选出答案后，用 2 2B B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑. .如需如需 改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号. .答在试题卷、草稿纸上无效答在试题卷、草稿纸上无效. . 3.3.填空题和解答题的作答：用黑色墨水签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内填空题和解答题的作答：用黑色墨水签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内. .答在试题答在试题 卷、草稿纸卷、草稿纸上无效上无效. . 4.4.考生必须保持答题卡的整洁考生必须保持答题卡的整洁. .考试结束后，请将答题卡上交考试结束后，请将答题卡上交. . 一、

3、选择题： （本大题共一、选择题： （本大题共 1212 小题，每小题小题，每小题 5 5 分，共分，共 6060 分分. .在每小题给出的四个选项中，只有在每小题给出的四个选项中，只有 一项是满足题目要求的一项是满足题目要求的. .） 1.已知( ,3)ax，(3,1)b ，且 /ab，则x（ ） A. 9 B. 9 C. 1 D. 1 【答案】A 【解析】 【分析】 利用向量共线定理，得到90 x，即可求解，得到答案 【详解】由题意，向量( ,3)ax，(3,1)b ，因为向量 /ab，所以9 0 x，解得9x. 故选 A 【点睛】本题考查了向量的共线定理的坐标运算，其中解答中熟记向量的共线

4、定理的坐标运 算是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题 2.若|4,| 2ab，a 和b的夹角为 30，则a在b方向上的投影为（ ） A. 2 B. 3 C. 2 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】 高考资源网（） 您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 2 - 利用a在b方向上的投影公式即可得到答案 【详解】因为|4,| 2ab，a 和b的夹角为 30 所以a在b方向上的投影为cos,4 cos302 3aa b . 故答案选 C 【点睛】本题考查向量投影的公式，属于基础题 3.在ABC 中，a=3，b=5，sinA= 1 3 ，则 sinB=( ) A. 1 5 B

5、. 5 9 C. 5 3 D. 1 【答案】B 【解析】 试题分析：由正弦定理得 355 sin 1 sin9 3 B B ，故选 B 考点：正弦定理的应用 4.在各项都为正数的等比数列 n a中，首项 1 3a ，前 3 项和为 21，则 345 aaa( ) A. 84 B. 72 C. 33 D. 189 【答案】A 【解析】 分析：设等比数列 n a的公比为q，根据前三项的和为21列方程，结合等比数列 n a中，各 项都为正数，解得2q =，从而可以求出 345 aaa的值. 详解：设等比数列 n a的公比为q， 首项为 3，前三项的和为21， 2 33321qq ，解之得 2q =

6、或3， 在等比数列 n a中，各项都为正数， 公比q为正数， 2( 3q 舍去） ， 高考资源网（） 您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 3 - 2 345123 4 2184aaaqaaa ，故选 A. 点睛：本题考查以一个特殊的等比数列为载体，通过求连续三项和的问题，着重考查了等比 数列的通项，等比数列的性质和前n项和等知识点，属于简单题. 5.在ABC中，90A， 2,2ABk ， 2,3AC ，则k的值是（ ） A. 5 B. 5 C. 3 2 D. 3 2 【答案】A 【解析】 【分析】 由垂直关系可知数量积为零，由数量积坐标运算可构造方程求得结果. 【详解】90A，即ABAC

7、， 4260AB ACk ，解得：5k . 故选：A. 【点睛】本题考查根据向量的垂直关系求解参数值的问题，关键是明确两向量垂直，则数量 积为零. 6.已知ABC的三个内角, ,A B C所对边长分别是, ,a b c，若 sinsin3 sin BAac Cab ，则角 B的大小为（ ） A. 6 B. 3 C. 2 3 D. 5 6 【答案】D 【解析】 由正弦定理得 3baac cab ，化简得 222 3 cos 22 acb B ac ，故 5 6 B . 点睛：本题主要考查正弦定理的应用，考查利用正弦定理进行边角互化的方法.由于题目所给 已知条件一边是角的形式，另一边是边的形式，由

8、此我们考虑将两边同时化为边或者同时转 化为角的形式，考虑到正弦定理，故将角转化为边，然后利用余弦定理将式子转化为余弦值， 由此求得B的 大小. 7.下列命题正确的是（ ） 高考资源网（） 您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 4 - A. 若a b b c ，则ac； B. abab，则 0a b ； C. 若a与b是共线向量，b与c是共线向量，则a与c是共线向量； D. 若 0 a与 0 b是单 位向量，则 00 1a b. 【答案】B 【解析】 【分析】 由b为零向量可排除,A C；由向量数量积定义可知D错误；由向量数量积的运算律可知B正 确. 【详解】对于A，若b为零向量，则ac未必

9、成立，A错误； 对于B，若abab，则 22 abab， 22a ba b rr rr ，则 0a b ，B正确； 对于C，若b为零向量，则a与c未必是共线向量，C错误； 对于D，若 0 a与 0 b夹角不是0，则 00 1ab r r ，D错误. 故选：B. 【点睛】本题考查平面向量相关命题的辨析，涉及到向量相等、向量共线、平面向量数量积 的运算等知识，是对平面向量部分基础知识的综合考查. 8.如图， 在OAB中，P为线段AB上的一点，OPxOAyOB且 3BPPA ，则 （ ） A. 21 33 xy， B. 12 33 xy， C. 13 44 xy， D. 31 44 xy， 【答案】

10、D 【解析】 【分析】 高考资源网（） 您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 5 - 根据 3BPPA 得到 31 44 OPOAOB，根据题中条件，即可得出结果. 【详解】由已知 3BPPA 得3()OPOBOAOP， 所以 31 44 OPOAOB， 又OP xOAyOB uu u ruuruu u r ， 所以 31 44 xy， 故选 D. 【点睛】本题主要考查平面向量基本定理的应用，熟记平面向量基本定理即可，属于常考题 型. 9.已知ABC中，5a ， 3 A ， 2bcbc ，则ABC的面积为（ ） A 5 8 B. 3 4 C. 3 D. 5 3 8 【答案】D 【解析】 【

11、分析】 利用余弦定理可构造方程求得bc，代入三角形面积公式可求得结果. 【详解】由余弦定理得： 22 222 2cos3235abcbcAbcbcbcbc，解得： 5 2 bc ， 11535 3 sin 22228 ABC SbcA . 故选：D. 【点睛】本题考查余弦定理和三角形面积公式的应用，关键是能够利用余弦定理构造方程求 得bc，属于基础题. 10. 九章算术是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有女子善织， 日益功，疾，初日织五尺，今一月织九匹三丈（1 匹=40 尺，一丈=10 尺） ，问日益几何？”其 意思为：“有一女子擅长织布，每天比前一天更加用功，织布的速度也

12、越来越快，从第二天 高考资源网（） 您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 6 - 起，每天比前一天多织相同量的布，第一天织 5 尺，一月织了九匹三丈，问每天增加多少尺 布？”若一个月按 30 天算，则每天增加量为 A. 1 2 尺 B. 8 15 尺 C. 16 29 尺 D. 16 31 尺 【答案】C 【解析】 试题分析：将此问题转化为等差数列的问题，首项为，,求公差， ，解得：尺，故选 C. 考点：等差数列 11.一船向正北方向航行,看见正西方向有两个相距 10 海里的灯塔恰好与它在一条直线上,继 续航行半小时后, 看见一灯塔在船的南偏西 60方向上,另一灯塔在船的南偏西 75方向上

13、, 则这艘船的速度是 ( ) A. 5 海里/时 B. 5 3海里/时 C. 10 海里/时 D. 10 3海 里/时 【答案】C 【解析】 【分析】 在ACD中，计算得到15CADCDA ， 10CDCA，在Rt ABC计算得到 AB，得到答案. 高考资源网（） 您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 7 - 【详解】 如图依题意有60BAC ,75BAD , 15CADCDA ,从而10CDCA, 在Rt ABC中,求得5AB, 这艘船的速度是 5 10 0.5 (海里/时) 【点睛】本题考查了三角函数的应用，属于简单题. 12.已知函数 11 3sin 22 f xxx ，则 1220

14、18 201920192019 fff （ ） A. 2018 B. 2019 C. 4036 D. 4038 【答案】A 【解析】 【分析】 根据函数解析式可验证出 12f xfx，采用倒序相加法可求得结果. 【详解】 11 113sin 22 fxxx Q ， 12f xfx， 令 122018 201920192019 Sfff ， 则 20171 201920192 2018 019 Sfff ， 两式相加得：222018S ，2018S. 故选：A. 【点睛】本题考查倒序相加法求和的问题，解题关键是能够根据函数解析式确定 高考资源网（） 您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 8

15、- 1f xfx为常数. 第第卷（非选择题共卷（非选择题共 9090 分）分） 二、填空题： （本大题共二、填空题： （本大题共 4 4 小题，每小题小题，每小题 5 5 分，共分，共 2020 分分. .） 13.在ABC中，若abc，且 222 cab，则ABC为_三角形.（直角、锐角、 或钝角） 【答案】锐角 【解析】 【分析】 将已知不等式配凑成余弦定理的形式，得到cos0C ，从而确定C为锐角；根据三角形大边 对大角原则，可知C为最大内角，由此确定结果. 【详解】 222 cab， 222 0 2 abc ab ，即cos0C ， 0, 2 C ， 又abc，ABC，ABC为锐角三角

16、形. 故答案：锐角. 【点睛】本题考查利用余弦定理判断三角形形状的问题，涉及到三角形大边对大角原则的应 用. 14.若向量a、b满足2a，3b ，且a与b的夹角为 4 ，则 2 ab_. 【答案】13 6 2 【解析】 【分析】 根据平面向量数量积的定义可求得a b ，根据数量积的运算律可求得结果. 【详解】 2 cos2 33 2 42 a bab ， 2 22 246 2913 6 2abaa bb. 故答案为：13 6 2 . 【点睛】本题考查平面向量数量积的求解问题，涉及到平面向量数量积的定义和运算律的应 高考资源网（） 您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 9 - 用，属于基础题

17、. 15.数列 n a的前项的和Sn =3n2+ n+1，则此数列的通项公式a n=_. 【答案】 【解析】 试题分析：当1n 时 11 5aS， 当2n时 2 2 1 31311162 nnn aSSnnnnn ， 综上可知数列通项公式为 5,1 6 2,2 n n a nn 考点：数列求通项 16.已知平面上不重合的四点, , ,P A B C满足 0PA PBPC ，且AB ACm AP ，那么 实数m的值为_. 【答案】3 【解析】 【分析】 当, ,A B C三点不共线时，根据向量的线性运算可求得 2 3 APAD ，进而由 2ABACAD 可求得m；若, ,A B C三点共线，由

18、ABACPB PAAPPC 可求得m；综合两种情 况可得结果. 【详解】若, ,A B C三点不共线，构造成ABC，设BC中点为D， 2PBPCPD ， 2PAPD ， 2 3 APAD ， 3 223 2 ABACADAPAP ，3m； 若, ,A B C三点共线， 高考资源网（） 您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 10 - 则 223ABACABAPPCPB PAAPPCPAAPAPAPAP ， 3m； 综上所述：3m. 故答案为：3. 【点睛】本题考查平面向量的线性运算问题的求解，关键是能够利用已知等式得到向量数乘 运算的形式. 三、解答题： （本大题共六小题，共三、解答题： （

19、本大题共六小题，共 7070 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. .） 17.求与向量1,2a ，2,1b 夹角相等的单位向量c的坐标. 【答案】 22 , 22 c 或 22 , 22 c 【解析】 【分析】 设,cx y，由向量夹角运算和模长运算可构造方程组求得 , x y，进而求得结果. 【详解】设,cx y，则 22 1xy， c与, a b夹角相等，cos,cos,a cb c， 22 55 xyxy ， xy ，又 22 1xy， 2 2 2 2 x y 或 2 2 2 2 x y ， 22 , 22 c 或 22 , 22 c

20、. 【点睛】本题考查平面向量的坐标运算，涉及到向量的夹角运算和模长运算，属于基础题. 18.设ABC的内角A BC， ，所对边分别为abc， ，且有 2sinBcosA sinAcosC cosAsinC+ （1）求角A的大小； （2）若21bc ， ，D为BC中点，求AD的长 【答案】 （1）A 3 ； （2） 7 2 . 高考资源网（） 您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 11 - 【解析】 【分析】 （1）对等式右边使用正弦两角和公式，化简可得； （2）用余弦定理求出a,利用已知数据得 2 B ,在直角三角形中利用勾股定理求解. 【详解】解（1）由题设知，)2(sinBcosAsi

21、n ACsinB 因为0sinB ，所以 1 cos 2 A 由于0A，故 3 A （2）因为 222 1 24 1 2 2 13 2 abcbccosA创? ， 所以 222 acb ，所以 2 B . 因为D为BC中点，所以 3 1 2 BDAB， 所以 22 37 1() 22 AD =+= 【点睛】本题考查平面几何中解三角形问题. 其求解思路：(1)把所提供的平面图形拆分成若干个三角形，然后在各个三角形内利用正弦、 余弦定理、勾股定理求解； (2)寻找各个三角形之间的联系，交叉使用公共条件，求出结果 19.已知等差数列 n a 满足： 1 2a ，且 1 a ， 2 a， 5 a 成等

22、比数列. （1）求数列 n a 的通项公式； （2） 记 n S 为数列 n a 的前n 项和， 是否存在正整数n ， 使得60800 n Sn ？若存在， 求n 的最小值；若不存在，说明理由. 【答案】(1) 通项公式为2 n a 或42 n an;(2) 当2 n a 时，不存在满足题意的正整 数n ；当42 n an 时，存在满足题意的正整数n ，其最小值为41. 【解析】 【详解】 （1）依题意，2,2,24dd成等比数列， 高考资源网（） 您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 12 - 故有 2 22 24dd， 2 40dd，解得 4d 或0d . 21 442 n ann 或

23、2 n a . （2）当2 n a 时，不存在满足题意的正整数n ； 当42 n an， 2 242 2 2 n nn Sn . 令 2 260800nn，即 2 304000nn， 解得40n或10n（舍去） ， 最小正整数41n. 20.已知数列 n a满足 1 1 2 a ，且 1 2 2 n n n a a a . （1）求证：数列 1 n a 是等差数列； （2）若 1nnn baa ，求数列 n b的前n项和 n S. 【答案】(1)见解析(2) 4 n n 【解析】 试题分析：由 1 2 2 n n n a a a 得到 1 21 2 n nn a aa ，进而得到 1 111

24、2 nn aa ； 求出 n a，推出 n b，利用裂项法求解数列的和即可； 解析： （1） 1 2 2 n n n a a a ， 1 21 2 n nn a aa ， 1 111 2 nn aa ， 数列 1 n a 是等差数列. （2）由（1）知 1 1113 1 22 n n n aa ，所以 2 3 n a n ， 411 4 3434 n b nnnn ， 高考资源网（） 您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 13 - 111111 4 455634 n S nn 11 4 444 n nn 21.在ABC中，内角, ,A B C对边分别为, ,a b c，且 sinsinsi

25、n0acACbaB. （1）求C； （2）若2c ，2sin2sin 2sinABCC，求ABC的面积. 【答案】 （1） 3 C ； （2） 2 3 3 . 【解析】 【分析】 （1）利用正弦定理角化边可配凑出cosC，进而求得结果； （2） 利用诱导公式、 两角和差和二倍角公式可化简已知等式得到2sincoscossinAAAB， 分别在cos0A和cos0A的情况下求得ABC的面积，从而得到结果. 【详解】 （1）由正弦定理得： 222 0acacba bacbab， 222 abcab， 222 1 cos 22 abc C ab ， 0,C， 3 C ； （2）AB C，2BCAB，

26、CAB， 2sin2sin 22sin2sin2sin2sinsinABCAABAABC， 2sin2sinsinsinsinAABABABAB sincoscossinsincoscossin2cossinABABABABAB， 2sincoscossinAAAB， 当cos0A，即 2 A 时， 2 tan3 c C bb ， 2 3 3 b， 高考资源网（） 您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 14 - 112 32 3 2 2233 ABC Sbc ； 当cos0A时，2sinsinAB，由正弦定理得：2ab， 222222 2cos5234cababCaaa， 2 3 3 a，

27、则 4 3 3 b ， 112 34 332 3 sin 223323 ABC SabC ； 综上所述：ABC的面积为 2 3 3 . 【点睛】本题考查解三角形的相关知识，涉及到正弦定理角化边的应用、余弦定理解三角形 和三角形面积公式的应用；同时涉及到三角恒等变换中的两角和差公式和二倍角公式的应用， 属于常考题型. 22.己知各项均为正数数列 n a满足 22 11 20 nnnn aaaa (nN*),且 3 2a 是 24 ,a a的 等差中项. (I)求数列 n a的通项公式 n a; (II)若 112 2 log,., nnnnn baa Sbbb ,求使 1 250 n n Sn

28、成立的正整数n的最小值. 【答案】(I) 2n n a ；(II) 5 【解析】 【分析】 (I)根据递推公式 22 11 20 nnnn aaaa 化简即可证明数列 n a为等比数列,再求解通项公式 即可. (II)求得 n b再求得 n S后利用错位相减求解判断即可. 【详解】(I) 22 1111 2020 nnnnnnnn aaaaaaaa ,因为数列 n a各项均为正 数, 故 1 20 nn aa , 1 2 nn aa .所以 n a是以公比为 2 的等比数列. 又 3 2a 是 24 ,a a的等差中项,故 243 22aaa,即 1111 282 422aaaa. 高考资源网

29、（） 您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 15 - 故 1 2 22 nn n a (II) 11 22 log2 log 22 nnn nnn baan . 故 123 12 .1 22 23 2 .2n nn Sbbbn 所以 2341 21 22 23 2 .2n n Sn 得 12311 2 1 2 22 22 .222 1 2 n nnn n Snn 1 122 n n , 要 1 250 n n Sn 即 111 122250252 nnn nn ， 故使 1 250 n n Sn 成立的正整数n的最小值为 5. 【点睛】本题主要考查了数列的递推公式求解通项公式的方法以及错位相减的求和方法等,属 于中等题型. 高考资源网（） 您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 16 -