专题08 逐个击破考点八：二次函数应用（解析版）.docx

1、 专题专题 08 逐个击破考向逐个击破考向-第第八八周：周：二次函数应用二次函数应用 【考向分析考向分析】 通过分析对比，可以看出： 安徽中考数学填空压轴题的主要考向分为四类： 一是利润最大问题，一是利润最大问题， 二是面积最大问题，二是面积最大问题， 三是函数几何综合最值问题，三是函数几何综合最值问题， 四是实际问题建模四是实际问题建模。 其中利润最大问题考察最多，函数几何综合最值问题近些年也频繁出现，数学建模和面积 最大两个类型最少；但从整体来看，中考函数应用题的考向都是对最值的考察，也就是二次函 数配方法和顶点式的运用。 二次函数应用题型是在中考中每年必出的必考考点，难度比较难，但每种题

2、型都有对应的解题技巧和 固定的考察方向选择，掌握后就可快速计算答案，化难为易。 【真题再现真题再现】 年份：年份：2010 年年 考向：利润最大问题考向：利润最大问题 22. 春节期间某水库养殖场为适应市场需求，连续用 20 天时间，采用每天降低水位以减少捕捞成本的 办法，对水库中某种鲜鱼进行捕捞、销售 年份年份 二次函数应用题二次函数应用题 考向补充考向补充 2010 利润最大问题利润最大问题 2011 2012 实际问题建模实际问题建模 2013 利润最大问题利润最大问题 2014 综合题：最值问题综合题：最值问题 2015 面积最大问题面积最大问题 2016 综合题：最值问题综合题：最值

3、问题 2017 利润最大问题利润最大问题 2018 利润最大问题利润最大问题 2019 综合题：最值问题综合题：最值问题 九(1)班数学建模兴趣小组根据调查， 整理出第 x 天(1x20 且 x 为整数)的捕捞与销售的相关信息如下： 鲜鱼销售单价(元/kg) 20 单位捕捞成本(元/kg) 5x 5 捕捞量(kg) 95010 x (1)在此期间该养殖场每天的捕捞量与前一天的捕捞量相比是如何变化的？ (2)假定该养殖场每天捕捞和销售的鲜鱼没有损失， 且能在当天全部售出 求第 x 天的收入 y(元)与 x(天) 之间的函数关系式；(当天收入日销售额日捕捞成本) (3)试说明(2)中的函数 y 随

4、 x 的变化情况，并指出在第几天 y 取得最大值，最大值是多少？ 解：(1)该养殖场每天的捕捞量与前一天的捕捞量相比每天减少了 10 kg. .(5 分) (2)由题意，得 y20(95010 x)(5x 5)(95010 x)2x 240 x14250. .(7 分) (3)20，y2x240 x142502(x10)214450， .(9 分) 又 1x20，且 x 为整数， 当 1x10 时，y 随 x 的增大而增大； 当 10 x20 时，y 随 x 的增大而减小； 当 x10 时即在第 10 天，y 取得最大值，最大值为 14450 元 .(12 分) 年份：年份：2012 年年 考

5、向：实际问题建模考向：实际问题建模 23. 如图，排球运动员站在点 O 处练习发球，将球从 O 点正上方 2 m 的 A 处发出，把球看成点，其运 行的高度 y(m)与运行的水平距离 x(m)满足关系式 ya(x6)2h.已知球网与 O 点的水平距离为 9 m，高度 为 2.43 m，球场的边界距 O 点的水平距离为 18 m. (1)当 h2.6 时，求 y 与 x 的关系式(不要求写出自变量 x 的取值范围)； (2)当 h2.6 时，球能否越过球网？球会不会出界，请说明理由； (3)若球一定能越过球网，又不出边界，求 h 的取值范围 解：h2.6 时，ya(x6)22.6. 由其图象过点

6、(0，2)，得 36a2.62，解得 a 1 60. 所以 y 1 60(x6) 22.6； .(3 分) (2)解：当 x9 时，y 1 6092.62.45. 2.452.43， 可越过球网.(4 分) 当 x18 时，y 1 601442.60.2， 020， 球会出界； .(7 分) (3)解：若符合题意，则当 x9 时，y2.43. 当 x18 时，y0，(8 分) 抛物线过点 A(0，2)， 36ah2.即 a2h 36 . .(10 分) 即 2h 36 9h2.43 2h 36 144h0 ， 解不等式组得：h8 3. .(14 分) 年份：年份：2013 年年 考向：利润最大

7、问题考向：利润最大问题 22. 某大学生利用暑假 40 天社会实践参与了一家网店的经营，了解到一种成本为 20 元/件的新型商品 在第 x 天销售的相关信息如下表所示 销售量 p(件) p50 x 销售单价 q(元/件) 当 1x20 时，q301 2x 当 21x40 时，q20525 x (1)请计算第几天该商品的销售单价为 35 元/件？ (2)求该网店第 x 天获得的利润 y 关于 x 的函数关系式； (3)这 40 天中该网店第几天获得的利润最大？最大利润是多少？ (1)解：对于 q301 2x， 当 q35 时，301 2x35，解得 x10，在 1x20 范围内； 对于 q205

8、25 x ，当 q35 时，20525 x 35，解得 x35，在 21x40 范围内 综上所述，第 10 天或第 35 天该商品的销售单价为 35 元/件； .(3 分) (2)解：当 1x20 时，y(301 2x20)(50 x) 1 2x 215x500； 当 21x40 时，y(20525 x 20)(50 x)26250 x 525； .(6 分) (3)解：y1 2x 215x5001 2(x15) 2612.5， 由于1 20，抛物线开口向下，且 1x20， 所以当 x15 时，y最大612.5(元)； .(8 分) y26250 x 525，26250 x 越大(即 x 越小

9、)y 的值越大， 由于 21x40，所以当 x21 天时，y最大1250525725(元)， 612.5725， 第 21 天获得的利润最大， 综上所述，这 40 天中该网店第 21 天获得的利润最大，最大利润是 725 元.(12 分) 年份：年份：2014 年年 考向：综合题：最值问题考向：综合题：最值问题 22. 若两个二次函数图象的顶点、开口方向都相同，则称这两个二次函数为“同簇二次函数” (1)请写出两个为“同簇二次函数”的函数； (2)已知关于 x 的二次函数 y12x24mx2m21 和 y2ax2bx5，其中 y1的图象经过点 A(1，1)，若 y1y2与 y1为“同簇二次函数

10、”，求函数 y2的表达式，并求出当 0 x3 时，y2的最大值 (1)解： 本题是开放题，答案不唯一，符合题意即可如：y12x2，y2x2，顶点坐标都为(0，0)，且 二次项系数均为正数，故符合 .(4 分) (2)解：函数 y1的图象经过点 A(1，1)，则 24m2m211，解得 m1. y12x24x32(x1)21.(7 分) y1y2与 y1为“同簇二次函数”， 可设 y1y2k(x1)21(k0)， 则 y2k(x1)21y1(k2)(x1)2. 由题意可知函数 y2的图象经过点(0，5)， 则(k2)(1)25.k25. y25(x1)25x210 x5. 根据 y2的函数图象性

11、质可知：当 0 x1 时，y 随 x 的增大而减小；当 1x3 时，y 随 x 的增大而增 大， 故 0 x3 时，y2的最大值5(31)220. .(12 分) 【一题多解】y1y2与 y1是“同簇二次函数”， 则 y1y2(a2)x2(b4)x8(a20) b4 2（a2）1，化简得：b2a， 又32（a2）（b4） 2 4（a2） 1，将 b2a 代入其中， 解得 a5，b10.所以 y25x210 x5. 根据 y2的函数图象性质可知：当 0 x1 时，y 随 x 的增大而减小；当 1x3 时，y 随 x 的增大而增 大， 故 0 x3 时，y2的最大值532103520. 年份：年份

12、：2015 年年 考向：面积最大问题考向：面积最大问题 22. 为了节省材料， 某水产养殖户利用水库的岸堤(岸堤足够长)为一边， 用总长为 80 米的围网在水库中 围成了如图所示的三块矩形区域，而且这三块矩形区域的面积相等设 BC 的长度是 x 米，矩形区域 ABCD 的面积为 y 平方米 (1)求 y 与 x 之间的函数关系式，并注明自变量 x 的取值范围； (2)x 取何值时，y 有最大值？最大值是多少？ 第 22 题图 (1)解：设 AEa，由题意，得 AE AD2BE BC，ADBC， BE1 2a，AB 3 2a. .(3 分) 由题意，得 2x3a2 1 2a80，a20 1 2x

13、. .(4 分) BCx0，AEa201 2x0， 0x40， yAB BC3 2ax 3 2(20 1 2x)x， 即 y3 4x 230 x(0x40) .(8 分) (2)解：y3 4x 230 x3 4(x20) 2300， .(10 分) 当 x20 时，y 有最大值，最大值是 300 平方米 .(12 分) 年份：年份：2016 年年 考向：综合题：最值问题考向：综合题：最值问题 22. 如图，二次函数 yax2bx 的图象经过点 A(2，4)与 B(6，0) (1)求 a，b 的值； (2)点 C 是该二次函数图象上 A，B 两点之间的一动点，横坐标为 x(2x6)写出四边形 O

14、ACB 的面积 S 关于点 C 的横坐标 x 的函数表达式，并求 S 的最大值 第 22 题图 解：(1)二次函数 yax2bx 的图象经过点 A(2，4)与 B(6，0) 44a2b 036a6b，解得， a1 2 b3 ； .(5 分) (2)如解图，过点 A 作 x 轴的垂线，垂足为点 D(2，0)，连接 CD，过点 C 作 CEAD，CFx 轴，垂 足分别为点 E，点 F，则 SOAD1 2ODAD 1 2244， SACD1 2ADCE 1 24(x-2)2x4， SBCD1 2BDCF 1 24(- 1 2x 23x)-x26x， 则 SSOADSACDSBCD4(2x-4)(-x

15、26x)-x28x. S 关于 x 的函数表达式为 S-x28x(2x6) .(10 分) S-(x-4)216， 当 x4 时，四边形 OACB 的面积 S 取最大值，最大值为 16. .(12 分) 第 22 题解图 【一题多解】解法一：由(1)知 y1 2x 23x，如解图，连接 AB， 则 SSAOBSABC，其中 SAOB1 26412， 设直线 AB 解析式为 y1k1xb1，将点 A(2，4)，B(6，0)代入，易得 y1-x6， 过 C 作直线 lx 轴交 AB 于点 D， C(x，-1 2x 23x)，D(x，-x6)， SABCSADCSBDC1 2CD(x-2) 1 2CD(6-x) 1 2CD42CD， 其中 CD-1 2x 23x-(-x6)-1 2x 24x6， SABC2CD-x28x-12， SSABCSAOB-x28x-1212-x28x-(x-4)216(2x6)， 即 S 关于 x 的函数表达式为 S-x28x(2x6)， 当 x4 时，四边形 OACB 的面积 S 取最大值，最大值为 16. 第 22 题解图 解法二：点 C 在抛物线上 y-1 2x 23x 上， 点 C(x，-1 2x 23x)， 如解图，过点 A 作 ADx 轴，垂足为点 D，过点 C 作 CEx 轴，垂足为点 E，