专题05 逐个击破考点五：解直角三角形（解析版）.docx

1、 专题专题 05 逐个击破考向：逐个击破考向：解直角三角形解直角三角形 考察规律考察规律 通过分析对比，可以看出： 安徽中考数学解直角三角形题的主要考向分为四类： 一是河流宽度模型， 二是塔高模型， 三是仰俯角模型， 四是航海问题（暂未出现） 。 需要注意的是，虽然在题目呈现上是以上四类题型，但从数学模型来看，所有解直角三角形题型均可 分为两大类： 一是钝角作垂线形，二是锐角作垂线形。 规律题型是在中考中每年必出的必考考点，难度比较简单，主要考察大家的基础知识点的掌握度以及 计算力，快速找到辅助线和掌握解题通法步骤是提高该题型速度和准确度的方向。 【真题再现真题再现】 年份：年份：2010 年

2、年 考向：河流宽度模型考向：河流宽度模型 16. 若河岸的两边平行，河宽为 900 米，一只船由河岸的 A 处沿直线方向开往对岸的 B 处，AB 与河岸 的夹角是 60 ，船的速度为 5 米/秒，求船从 A 处到 B 处约需时间几分(参考数据： 31.7) 年份年份 解直角三角形解直角三角形 考向补充考向补充 2010 河流宽度模型 2011 塔高模型 2012 河流宽度模型 2013 塔高模型 2014 河流宽度模型 2015 仰俯角 2016 河流宽度模型 2017 塔高模型 2018 仰俯角，塔高 2019 三角函数与圆综合 第 16 题图 【解析】如解图，过点 B 作 BC 垂直于河岸

3、，垂足为 C，则在 RtACB 中，有 AB BC sinBAC 900 sin60600 3. 因而时间 t600 3 5602 33.4(分) 即船从 A 处到 B 处约需 3.4 分 第 16 题解图 年份：年份：2011 年年 考向：塔高模型考向：塔高模型 19. 如图，某高速公路建设中需要确定隧道 AB 的长度已知在离地面 1500 m 高度 C 处的飞机上，测 量人员测得正前方 A、B 两点处的俯角分别为 60 和 45 .求隧道 AB 的长(参考数据： 31.73) 第 19 题图 【解析】由已知条件可知：COB 为等腰直角三角形， OBOC1500. .(3 分) 在 RtCO

4、A 中，ACO90 60 30 ， OAOC tan301500 3 3 500 3， .(7 分) ABOBOA1500500 315005001.73635. 所以隧道 AB 的长约 635 米 .(10 分) 年份：年份：2012 年年 考向：河流宽度模型考向：河流宽度模型 19. 如图，在 ABC 中，A30 ，B45 ，AC2 3.求 AB 的长 第 19 题图 【解析】如解图，作 CDAB 于 D 点 在 RtACD 中，A30 ，AC2 3， 所以 ADACcos302 3 3 2 3. .(5 分) CDACsin30 3. 在 RtBCD 中，B45 ，所以 BDCD 3，

5、ABADBD3 3. .(10 分) 第 19 题解图 年份：年份：2013 年年 考向：塔高模型考向：塔高模型 19. 如图， 防洪大堤的横断面是梯形 ABCD， 其中 ADBC， 坡角 60 ， 汛期来临前对其进行了加固， 改造后的背水面坡角 45 ，若原坡长 AB20 m，求改造后的坡长 AE.(结果保留根号) 第 19 题图 【解析】如解图，过点 A 作 AFCE 于点 F， 在 RtABF 中，AB20， sinAF AB，AF20 3 2 10 3. .(5 分) 在 RtAEF 中，sinAF AE， AE10 3 2 2 10 6(m) .(10 分) 第 19 题解图 年份：

6、年份：2014 年年 考向：河流宽度模型考向：河流宽度模型 18. 如图，在同一平面内，两条平行高速公路 l1和 l2间有一条“Z”型道路连通，其中 AB 段与高速公路 l1成 30 角，长为 20 km；BC 段与 AB、CD 段都垂直，长为 10 km；CD 段长为 30 km，求两高速公路间的距 离(结果保留根号) 第 18 题图 【解析】 如解图， 过点 A 作 AB 的垂线交 DC 延长线于点 E， 过点 E 作 l1的垂线与 l1、 l2分别交于点 H、 F，则 HFl2. 由题意知 ABBC，BCCD，又 AEAB， 四边形 ABCE 为矩形，AEBC，ABEC. 第 18 题解

7、图 DEDCCEDCAB50. 又 AB 与 l1成 30 角， EDF30 ，EAH60 . 在 RtDEF 中，EFDE sin30501 225，.(5 分) 在 RtAEH 中，EHAE sin6010 3 2 5 3， HFEFHE255 3. 即两高速公路间距离为(255 3) km. .(8 分) 年份：年份：2015 年年 考向：仰俯角模型考向：仰俯角模型 18. 如图，平台 AB 高为 12 米，在 B 处测得楼房 CD 顶部点 D 的仰角为 45 ，底部点 C 的俯角为 30 ， 求楼房 CD 的高度( 31.7) 第 18 题图 【解析】如解图，作 BECD 于点 E，则

8、 CEAB12. 在 RtBCE 中，BE CE tanCBE 12 tan3012 3. .(3 分) 第 18 题解图 在 RtBDE 中，DBE45 ，DEB90 ， BDE45 ，DEBE12 3， .(5 分) CDCEDE1212 332.4， 楼房 CD 的高度约为 32.4 米 .(8 分) 年份：年份：2016 年年 考向：河流宽度模型考向：河流宽度模型 19. 如图，河的两岸 l1与 l2相互平行，A、B 是 l1上的两点，C、D 是 l2上的两点某人在点 A 处测得 CAB90 ， DAB30 ， 再沿 AB 方向前进 20 米到达点 E(点 E 在线段 AB 上)， 测

9、得DEB60 ， 求 C、 D 两点间的距离 第 19 题图 【解析】DEB60 ，DAB30 ， ADE60 30 30 ， DABADE， DEAE20， .(3 分) 如解图，过点 D 作 DFAB 于点 F，则EDF30 ， 在 RtDEF 中，EF1 2DE10， .(6 分) AF201030， DFAB，CAB90 ， CADF， 又l1l2， 四边形 CAFD 是矩形， CDAF30， 答：C、D 两点间的距离为 30 米 .(10 分) 第 19 题解图 年份：年份：2017 年年 考向：塔高模型考向：塔高模型 17 如图， 游客在点 A 处坐缆车出发， 沿 ABD 的路线可

10、至山顶 D 处 假设 AB 和 BD 都是直线段， 且 ABBD600 m，75 ，45 ，求 DE 的长 (参考数据：sin750.97，cos750.26， 21.41) 第 17 题图 【解析】(方法一)在 RtBDF 中，由 sinDF BD可得， DFBD sin600sin45600 2 2 300 2423(m) .(3 分) 在 RtABC 中，由 cosBC AB可得， BCAB cos600cos756000.26156(m) .(6 分) DEDFEFDFBC423156579(m) .(8 分) (方法二)如解图，连接 AD，过点 B 作 BGAD，ABBD600 m，

11、 AGGD1 2AD，ABGDBG 1 2ABD， 又75 ，45 ，FBC90 ， ABD360 75 45 90 150 ， ABG75 ，DABBAC15 ，DAE30 ， 在 RtABG 中，sinABGAG AB， AGAB sinABG600sin756000.97582(m) 在 RtDEA 中，DAE30 ， DE1 2ADAG582(m) .(8 分) 第 17 题解图 年份：年份：2018 年年 考向：仰俯角模型，塔高模型考向：仰俯角模型，塔高模型 19. 为了测量竖直旗杆 AB 的高度，某综合实践小组在地面 D 处竖直放置标杆 CD，并在地面上水平放 置一个平面镜 E，使

12、得 B，E，D 在同一水平线上，如图所示该小组在标杆的 F 处通过平面镜 E 恰好观测 到旗杆顶 A(此时AEBFED)，在 F 处测得旗杆顶 A 的仰角为 39.3 ，平面镜 E 的俯角为 45 ，FD1.8 米，问旗杆 AB 的高度约为多少米？(结果保留整数) (参考数据：tan39.30.82，tan84.310.02) 第 19 题图 【解析】(解法一) 由题意知：AEBFED45 ， AEF90 ， 在 RtAEF 中，AE FEtanAFEtan84.310.02， 在ABE 和FDE 中，ABEFDE90 ，AEBFED， ABEEDF， AB FD AE FE10.02， AB

13、10.02FD18.03618(米) 答：旗杆 AB 的高度约为 18 米 (解法二)如解图，作 FGAB 于点 G，AGABGBABFDAB1.8， 第 19 题解图 由题意知：ABE 和FDE 均为等腰直角三角形， ABBE，DEFD1.8， FGDBDEBEAB1.8. 在 RtAFG 中，AG FGtanAFGtan39.3， 即AB1.8 AB1.80.82， 解得：AB18.218(米) 答：旗杆 AB 的高度约为 18 米 年份：年份：2019 年年 考向：三角函数结合圆综合考向：三角函数结合圆综合 19. 筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具.如图 1，明朝科学家徐光启在农政全

14、书中用图画描 绘了筒车的工作原理.如图 2，筒车盛水桶的运行轨迹是以轴心 O 为圆心的圆.已知圆心在水面上方，且圆被 水面截得的弦 AB 长为 6 米，OAB=41.3，若点 C 为运行轨道的最高点（C，O 的连线垂直于 AB） ，求点 C 到弦 AB 所在直线的距离. （参考数据：sin41.30.66，cos41.30.75，tan41.30.88） 【解析】连接 CO 并延长，交 AB 于 D，则 CDAB，所以 D 为 AB 中点，所求运行轨道的最高点 C 到弦 AB 所在直线的距离即为线段 CD 的长。 在 RtAOD 中，AD 1 2 AB3，OAD41.3 0， ODADtan4

15、1.3 030.88=2.64， OA 3 4 cos41.30.75 o AD CD=CO+OD=AO+OD=2.64+4=6.64。 答：运行轨道的最高点 C 到弦 AB 所在直线的距离约为 6.64 米。10 分 【技巧总结技巧总结】 当题目条件所得三角形一个角为当题目条件所得三角形一个角为 75、105的特殊角或者在条件中给给出三角函数值的一般角度值时，的特殊角或者在条件中给给出三角函数值的一般角度值时， 如图所示如图所示 【典型例题典型例题】 例 1. （2019河南9 分）数学兴趣小组到黄河风景名胜区测量炎帝塑像（塑像中高者）的高度如图所示， 炎帝塑像 DE 在高 55m 的小山

16、EC 上，在 A 处测得塑像底部 E 的仰角为 34，再沿 AC 方向前进 21m 到达 B 处，测得塑像顶部 D 的仰角为 60，求炎帝塑像 DE 的高度 （精确到 1m参考数据：sin340.56，cos340.83，tan340.67，1.73） 【分析】由三角函数求出 AC82.1m，得出 BCACAB61.1m，在 Rt BCD 中，由三角函 数得出 CDBC105.7m，即可得出答案 【解答】解：ACE90，CAE34，CE55m， tanCAE， AC82.1m， AB21m， BCACAB61.1m， 在 Rt BCD 中，tan60， CDBC1.7361.1105.7m，

17、DECDEC105.75551m， 答：炎帝塑像 DE 的高度约为 51m 【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，解答本题的关键是根据仰角和俯角构造直角三角形，利用三 角函数的知识求解，难度适中 例2.（2019天津10分）如图，海面上一艘船由向东航行，在A处测得正东方向上一座灯塔的最高点C的仰 角为31，再向东继续航行30m到达B处，测得该灯塔的最高点C的仰角为45.根据测得的数据，计算这座灯塔 的高度CD（结果取整数）. 参考数据：52. 031sin，cos310.86，tan310.60. 【解析】如图，根据题意，CAD=31，CBD=45，CDA=90，AB=30. 在Rt ACD，

18、tanCAD= AD CD ， AD= 31tan CD 在Rt BCD中，tanCBD= BD CD ， BD=CD CD 45tan 又AD=BD+AB 31tan CD 30+CD CD=45 60. 0-1 60. 030 31tan1 31tan30 答：这座灯塔的高度CD约为45m. 【对应练习对应练习】 1. （2019广西贺州广西贺州8 分） 如图， 在 A 处的正东方向有一港口 B 某巡逻艇从 A 处沿着北偏东 60方向巡逻， 到达 C 处时接到命令，立刻在 C 处沿东南方向以 20 海里/小时的速度行驶 3 小时到达港口 B求 A，B 间 的距离 （1.73，1.4，结果保

19、留一位小数） 【分析】过点 C 作 CDAB，垂足为点 D，则ACD60，BCD45，通过解直角三角形可求出 BD， AD 的长，将其相加即可求出 AB 的长 【解答】解：过点 C 作 CDAB，垂足为点 D，则ACD60，BCD45，如图所示 在 Rt BCD 中，sinBCD，cosBCD， BDBCsinBCD20342，CDBCcosBCD20342； 在 Rt ACD 中，tanACD， ADCDtanACD4272.7 ABAD+BD72.7+42114.7 A，B 间的距离约为 114.7 海里 【点睛】本题考查了解直角三角形的应用方向角问题，通过解直角三角形，求出 BD，AD

20、的长是解题 的关键 2. （2019甘肃省庆阳市甘肃省庆阳市8 分）图是放置在水平面上的台灯，图是其侧面示意图（台灯底座高度忽略 不计） ，其中灯臂 AC40cm，灯罩 CD30cm，灯臂与底座构成的CAB60CD 可以绕点 C 上下调节 一定的角度使用发现：当 CD 与水平线所成的角为 30时，台灯光线最佳现测得点 D 到桌面的距离为 49.6cm请通过计算说明此时台灯光线是否为最佳？（参考数据：取 1.73） 【分析】如图，作 CEAB 于 E，DHAB 于 H，CFDH 于 F解直角三角形求出DCF 即可判断 【解答】解：如图，作 CEAB 于 E，DHAB 于 H，CFDH 于 F C

21、EHCFHFHE90， 四边形 CEHF 是矩形， CEFH， 在 Rt ACE 中，AC40cm，A60， CEACsin6034.6（cm） ， FHCE34.6（cm） DH49.6cm， DFDHFH49.634.615（cm） ， 在 Rt CDF 中，sinDCF， DCF30， 此时台灯光线为最佳 【点睛】 本题考查解直角三角形的应用， 解题的关键是学会添加常用辅助线面构造直角三角形解决问题， 属于中考常考题型 3 （2019上海）图 1 是某小型汽车的侧面示意图，其中矩形 ABCD 表示该车的后备箱，在打开后备箱的过 程中，箱盖 ADE 可以绕点 A 逆时针方向旋转，当旋转角为

22、 60时，箱盖 ADE 落在 ADE的位置（如图 2 所示） 已知 AD90 厘米，DE30 厘米，EC40 厘米 （1）求点 D到 BC 的距离； （2）求 E、E两点的距离 【分析】 （1）过点 D作 DHBC，垂足为点 H，交 AD 于点 F，利用旋转的性质可得出 ADAD90 厘 米，DAD60，利用矩形的性质可得出AFDBHD90，在 RtADF 中，通过解直角三 角形可求出 DF 的长，结合 FHDCDE+CE 及 DHDF+FH 可求出点 D到 BC 的距离； （2）连接 AE，AE，EE，利用旋转的性质可得出 AEAE，EAE60，进而可得出AEE是等 边三角形，利用等边三角形

23、的性质可得出 EEAE，在 RtADE 中，利用勾股定理可求出 AE 的长度，结合 EEAE 可得出 E、E两点的距离 【解答】解： （1）过点 D作 DHBC，垂足为点 H，交 AD 于点 F，如图 3 所示 由题意，得：ADAD90 厘米，DAD60 四边形 ABCD 是矩形， ADBC， AFDBHD90 在 RtADF 中，DFADsinDAD90sin6045厘米 又CE40 厘米，DE30 厘米， FHDCDE+CE70 厘米， DHDF+FH（45+70）厘米 答：点 D到 BC 的距离为（45+70）厘米 （2）连接 AE，AE，EE，如图 4 所示 由题意，得：AEAE，EA

24、E60， AEE是等边三角形， EEAE 四边形 ABCD 是矩形， ADE90 在 RtADE 中，AD90 厘米，DE30 厘米， AE30厘米， EE30厘米 答：E、E两点的距离是 30厘米 【点睛】本题考查了解直角三角形的应用、矩形的性质、等边三角形的判定与性质以及勾股定理，解题的 关键是： （1）通过解直角三角形求出 DF 的长度； （2）利用勾股定理求出 AE 的长度 4 （2019遵义）某地为打造宜游环境，对旅游道路进行改造如图是风景秀美的观景山，从山脚 B 到山腰 D 沿斜坡已建成步行道，为方便游客登顶观景，欲从 D 到 A 修建电动扶梯，经测量，山高 AC154 米，步 行

25、道 BD168 米， DBC30， 在 D 处测得山顶 A 的仰角为 45 求电动扶梯 DA 的长 （结果保留根号） 【分析】作 DEBC 于 E，根据矩形的性质得到 FCDE，DFEC，根据直角三角形的性质求出 FC，得到 AF 的长，根据正弦的定义计算即可 【解答】解：作 DEBC 于 E， 则四边形 DECF 为矩形， FCDE，DFEC， 在 RtDBE 中，DBC30， DEBD84， FCDE84， AFACFC1548470， 在 RtADF 中，ADF45， ADAF70（米） ， 答：电动扶梯 DA 的长为 70米 【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用仰角俯角问题，掌握仰角

26、俯角的概念、熟记锐角三角函数的 定义是解题的关键 5 （2019西藏）由我国完全自主设计，自主建造的首艘国产航母于 2018 年 5 月成功完成首次海上试验任 务如图，航母由西向东航行，到达 B 处时，测得小岛 A 在北偏东 60方向上，航行 20 海里到达 C 点，这 时测得小岛 A 在北偏东 30方向上，小岛 A 周围 10 海里内有暗礁，如果航母不改变航线继续向东航行，有 没有触礁危险？请说明理由 【分析】过 A 作 ADBC 于点 D，求出CAD、DAB 的度数，求出BAC 和ABC，根据等边对等角得出 ACBC12，根据含 30 度角的直角三角形性质求出 CD，根据勾股定理求出 AD

27、 即可 【解答】解：如果渔船不改变航线继续向东航行，没有触礁的危险， 理由如下：过点 A 作 ADBC，垂足为 D， 根据题意可知ABC30，ACD60， ACDABC+BAC， BAC30ABC， CBCA20， 在 RtACD 中，ADC90，ACD60，sinACD， sin60， AD20sin60201010， 渔船不改变航线继续向东航行，没有触礁的危险 【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，解一般三角形，求三角形的边或高的问题一般可以转化为解直 角三角形的问题，解决的方法就是作高线 6 （2019永州）为了测量某山（如图所示）的高度，甲在山顶 A 测得 C 处的俯角为 45，D 处

28、的俯角为 30，乙在山下测得 C，D 之间的距离为 400 米已知 B，C，D 在同一水平面的同一直线上，求山高 AB （可 能用到的数据：1.414，1.732） 【分析】设 ABx，然后根据等腰直角三角形以及特殊角锐角三角函数的值即可求出答案 【解答】解：设 ABx， 由题意可知：ACB45，ADB30， ABBCx， BDBC+CDx+400， 在 RtADB 中， tan30， ， 解得：x546.4， 山高 AB 为 546.4 米 【点睛】本题考查解直角三角形，解题的关键是熟练运用锐角三角函数以及一元一次方程的解法，本题属 于中等题型 7 （2019鄂尔多斯）某校组织学生到恩格贝

29、A 和康镇 B 进行研学活动，澄澄老师在网上查得，A 和 B 分 别位于学校 D 的正北和正东方向，B 位于 A 南偏东 37方向，校车从 D 出发，沿正北方向前往 A 地，行驶 到 15 千米的 E 处时，导航显示，在 E 处北偏东 45方向有一服务区 C，且 C 位于 A，B 两地中点处 （1）求 E，A 两地之间的距离； （2）校车从 A 地匀速行驶 1 小时 40 分钟到达 B 地，若这段路程限速 100 千米/时，计算校车是否超速？ （参考数据：sin37，cos37，tan37） 【分析】（1） 作 CHAD 于 H 由题意HEC45， 可得 CHEH， 设 CHHEx 千米， 则

30、 AHCH （x+15） 千米，构建方程即可解决问题 （2）求出 BA 的长，再求出校车的速度即可判断 【解答】解： （1）如图，作 CHAD 于 H 由题意HEC45，可得 CHEH，设 CHHEx 千米， 点 C 是 AB 的中点，CHBD， AHHD（x+15）千米， 在 RtACH 中，tan37， ， x45， CH45（千米） ，AH60（千米） ，AD120（千米） ， EAADDE12015105（千米） （2）在 RtACH 中，AC75（千米） ， AB2AC150（千米） ， 15090 千米/小时， 90100， 校车没有超速 【点睛】本题考查解直角三角形的应用方向角，

31、解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解 决问题，属于中考常考题型 8 （2019湘潭）我国于 2019 年 6 月 5 日首次完成运载火箭海上发射，这标志着我国火箭发射技术达到了 一个崭新的高度如图，运载火箭从海面发射站点 M 处垂直海面发射，当火箭到达点 A 处时，海岸边 N 处 的雷达站测得点 N 到点 A 的距离为 8 千米，仰角为 30火箭继续直线上升到达点 B 处，此时海岸边 N 处 的雷达测得 B 处的仰角增加 15，求此时火箭所在点 B 处与发射站点 M 处的距离 （结果精确到 0.1 千米） （参考数据：1.41，1.73） 【分析】利用已知结合锐角三角函数关系得出

32、BM 的长 【解答】解： 如图所示：连接 MN，由题意可得： AMN90， ANM30，BNM45， AN8km， 在直角AMN 中，MNANcos3084（km） 在直角BMN 中，BMMNtan454km6.9km 答：此时火箭所在点 B 处与发射站点 M 处的距离约为 6.9km 【点睛】本题考查解直角三角形的应用仰角俯角问题，要求学生能借助仰角构造直角三角形并解直角三 角形 9 （2019娄底）如图，某建筑物 CD 高 96 米，它的前面有一座小山，其斜坡 AB 的坡度为 i1：1为了测 量山顶 A 的高度，在建筑物顶端 D 处测得山顶 A 和坡底 B 的俯角分别为 、已知 tan2，

33、tan4，求 山顶 A 的高度 AE（C、B、E 在同一水平面上） 【分析】作 AFCD 于 F设 AEx 米由斜坡 AB 的坡度为 i1：1，得出 BEAEx 米解 RtBDC，求 得 BC24 米，则 AFEC（x+24）米解 RtADF，得出 DFAFtan2（x+24）米，又 DF DCCFDCAE（96x）米，列出方程 2（x+24）96x，求出 x 即可 【解答】解：如图，作 AFCD 于 F设 AEx 米 斜坡 AB 的坡度为 i1：1， BEAEx 米 在 RtBDC 中，C90，CD96 米，DBC， BC24（米） ， ECEB+BC（x+24）米， AFEC（x+24）米

34、 在 RtADF 中，AFD90，DAF， DFAFtan2（x+24）米， DFDCCFDCAE（96x）米， 2（x+24）96x，解得 x16 故山顶 A 的高度 AE 为 16 米 【点睛】本题考查解直角三角形的应用仰角俯角问题，解直角三角形的应用坡度坡角问题，要求学生 能借助俯角构造直角三角形并解直角三角形解此题的关键是掌握数形结合思想与方程思想的应用 10 （2019陕西）小明利用刚学过的测量知识来测量学校内一棵古树的高度一天下午，他和学习小组的 同学带着测量工具来到这棵古树前，由于有围栏保护，他们无法到达古树的底部 B，如图所示于是他们先 在古树周围的空地上选择一点 D，并在点

35、D 处安装了测量器 DC，测得古树的顶端 A 的仰角为 45；再在 BD 的延长线上确定一点 G，使 DG5 米，并在 G 处的地面上水平放置了一个小平面镜，小明沿着 BG 方向 移动，当移动带点 F 时，他刚好在小平面镜内看到这棵古树的顶端 A 的像，此时，测得 FG2 米，小明眼 睛与地面的距离 EF1.6 米，测倾器的高度 CD0.5 米已知点 F、G、D、B 在同一水平直线上，且 EF、CD、 AB 均垂直于 FB，求这棵古树的高度 AB （小平面镜的大小忽略不计） 【分析】过点 C 作 CHAB 于点 H，则 CHBD，BHCD0.5解 RtACH，得出 AHCHBD，那么 AB A

36、H+BHBD+0.5 再证明EFGABG， 根据相似三角形对应边成比例求出 BD17.5， 进而求出 AB 即可 【解答】解：如图，过点 C 作 CHAB 于点 H， 则 CHBD，BHCD0.5 在 RtACH 中，ACH45， AHCHBD， ABAH+BHBD+0.5 EFFB，ABFB， EFGABG90 由题意，易知EGFAGB， EFGABG， 即， 解之，得 BD17.5， AB17.5+0.518（m） 这棵古树的高 AB 为 18m 【点睛】本题考查了解直角三角形的应用仰角俯角问题，相似三角形的应用，解题的关键是正确的构造 直角三角形并选择正确的边角关系解直角三角形，难度一般

37、 11 （2019内江）如图，两座建筑物 DA 与 CB，其中 CB 的高为 120 米，从 DA 的顶点 A 测得 CB 顶部 B 的 仰角为 30，测得其底部 C 的俯角为 45，求这两座建筑物的地面距离 DC 为多少米？（结果保留根号） 【分析】作 AEBC 于 E，设 BEx，利用正切的定义用 x 表示出 EC，结合题意列方程求出 x，计算即可 【解答】解：作 AEBC 于 E， 则四边形 ADCE 为矩形， ADCE， 设 BEx， 在 RtABE 中，tanBAE， 则 AEx， EAC45， ECAEx， 由题意得，BE+CE120，即x+x120， 解得，x60（1） ， AD

38、CEx18060， DC18060， 答：两座建筑物的地面距离 DC 为（18060）米 【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用仰角俯角问题，掌握仰角俯角的概念、熟记锐角三角函数的 定义是解题的关键 12 （2019本溪）小李要外出参加“建国 70 周年”庆祝活动，需网购一个拉杆箱，图，分别是她上 网时看到的某种型号拉杆箱的实物图与示意图，并获得了如下信息：滑杆 DE，箱长 BC，拉杆 AB 的长度都 相等，B，F 在 AC 上，C 在 DE 上，支杆 DF30cm，CE：CD1：3，DCF45，CDF30，请根据 以上信息，解决下列向题 （1）求 AC 的长度（结果保留根号） ； （2）求拉

39、杆端点 A 到水平滑杆 ED 的距离（结果保留根号） 【分析】 （1）过 F 作 FHDE 于 H，解直角三角形即可得到结论； （2）过 A 作 AGED 交 ED 的延长线于 G，根据等腰直角三角形的性质即可得到结论 【解答】解： （1）过 F 作 FHDE 于 H， FHCFHD90， FDC30，DF30， FHDF15，DHDF15， FCH45， CHFH15， ， CE：CD1：3， DECD20+20， ABBCDE， AC（40+40）cm； （2）过 A 作 AGED 交 ED 的延长线于 G， ACG45， AGAC20+20， 答：拉杆端点 A 到水平滑杆 ED 的距离为（20+20）cm 【点睛】此题考查了解直角三角形的应用，主要是三角函数的基本概念及运算，关键是用数学知识解决实 际问题