专题01 逐个击破考点一：最值问题（原卷版）.docx

1、 专题专题 01 逐个击破考向逐个击破考向-第一周：最值问题第一周：最值问题 考察规律考察规律 题型总结题型总结 几何最值题型主要分为五类： 点到直线垂线段最短； 勾股定理最值； 三角形边角关系最值，隐形圆最值； 轴对称最值； 圆中所有弦中直径最长。 该类题型是 2013 年以后开始在中考中高频出现的热考考点，难度一般都比较大。 真题在线与解法总结真题在线与解法总结 年份：年份：2011 年年 考向：几何最值考向：几何最值:三角形边角关系三角形边角关系 22. 在ABC 中， ACB90 ， ABC30 ， 将ABC 绕顶点 C 顺时针旋转， 旋转角为 (0180)， 得到ABC. (1)如图

2、，当 ABCB时，设 AB与 CB 相交于点 D.证明：ACD 是等边三角形； (2)如图， 连接 AA、 BB， 设ACA和BCB的面积分别为 SACA和 SBCB.求证： SACASBCB1 年份年份 几何最值几何最值 最值考法补充最值考法补充 2010 2011 22 题：几何最值：三角形边角关系最值 2012 2013 几何最值：圆中所有的弦直径最长 2014 2015 20 题几何最值：勾股定理最值，点到直线最短 2016 几何最值：隐形圆最值 2017 几何最值：轴对称最值 2018 2019 几何最值：轴对称最值 3； (3)如图，设 AC 中点为 E，AB中点为 P，ACa，连

3、接 EP，当 _ 时，EP 长度最大，最 大值为_ 图 图 图 解法总结：解法总结： 三角形边角关系最值三角形边角关系最值 特征：单线段求最值（最大和最小均可） ，题目中存在旋转动态特征：单线段求最值（最大和最小均可） ，题目中存在旋转动态 做法：连接最值线段两端点到旋转点，构造旋转动态三角形做法：连接最值线段两端点到旋转点，构造旋转动态三角形 最值：另外两边之差最值：另外两边之差最值边最值边另外两边之和另外两边之和 年份：年份：2013 年年 考向：几何最值考向：几何最值:圆中所有弦中直径最长圆中所有弦中直径最长 10. 如图，点 P 是等边三角形 ABC 外接圆O 上的点在以下判断中，不正

4、确 的是( ) A. 当弦 PB 最长时，APC 是等腰三角形 B. 当APC 是等腰三角形时，POAC C. 当 POAC 时，ACP30 D. 当ACP30 时，BPC 是直角三角形 年份：年份：2015 年年 考向：几何最值考向：几何最值:勾股定理最值勾股定理最值 20. 在O 中，直径 AB6，BC 是弦，ABC30 ，点 P 在 BC 上，点 Q 在O 上，且 OPPQ. (1)如图，当 PQAB 时，求 PQ 长； (2)如图，当点 P 在 BC 上移动时，求 PQ 长的最大值 第 20 题图 解法总结：解法总结： 勾股定理最值勾股定理最值 特征：单线段求最值，两个端点都是动点，且

5、在一个动态三角形中特征：单线段求最值，两个端点都是动点，且在一个动态三角形中 做法：根据勾股定理：做法：根据勾股定理：a +b =c 最值：当一直角边固定时，若求另一直角边的最值，则转化为求斜边的最值，另一直角边越大则斜边最值：当一直角边固定时，若求另一直角边的最值，则转化为求斜边的最值，另一直角边越大则斜边 越大，另一直角边越小则斜边越小；越大，另一直角边越小则斜边越小； 当一斜边固定时，若求一直角边的最值，则转化为求另一直角边的最值，一直角边越大则另一直角边当一斜边固定时，若求一直角边的最值，则转化为求另一直角边的最值，一直角边越大则另一直角边 越小，一直角边越小则另一斜边越大。越小，一直

6、角边越小则另一斜边越大。 年份：年份：2016 年年 考向：几何最值考向：几何最值:隐形圆最值隐形圆最值 10. 如图， RtABC 中， ABBC， AB6， BC4， P 是ABC 内部的一个动点， 且满足PABPBC. 则线段 CP 长的最小值为( ) A. 3 2 B. 2 C. 8 13 13 D. 12 13 13 解法总结解法总结 一般隐形圆最值一般隐形圆最值 解题技巧：解题技巧： 特征：单线段求最值，端点一动一静，且在动点位置根据题目条件或观察图形存在或者易得直角特征：单线段求最值，端点一动一静，且在动点位置根据题目条件或观察图形存在或者易得直角 做法：以直角所对的固定斜边为直

7、径作圆做法：以直角所对的固定斜边为直径作圆 最值：最值线段的定点到圆心的长度减去半径最值：最值线段的定点到圆心的长度减去半径 年份：年份：2017 年年 考向：几何最值考向：几何最值:轴对称最值轴对称最值 10如图，在矩形 ABCD 中，AB5，AD3.动点 P 满足 SPAB1 3S 矩形ABCD.则点 P 到 A，B 两点距离之 和 PAPB 的最小值为（ ） A. 29 B. 34 C5 2 D. 41 解法总结：解法总结： 轴对称最值轴对称最值 特征：一直线特征：一直线(线段线段)上有一动点，在直线同侧，求动点连接的线段和的最小值上有一动点，在直线同侧，求动点连接的线段和的最小值 直观

8、特征：求线段和最短且两线段有公共端点直观特征：求线段和最短且两线段有公共端点 做法：以动点所在直线为对称轴，作两线段中任意一条线段另一端点的对称点做法：以动点所在直线为对称轴，作两线段中任意一条线段另一端点的对称点 最值：所做对称点到另外一条线段的端点的连线长度即为最小值最值：所做对称点到另外一条线段的端点的连线长度即为最小值 年份：年份：2019 年年 考向：几何最值考向：几何最值:轴对称最值轴对称最值 10.如图， 在正方形ABCD中， 点E，F将对角线AC三等分， 且AC=12.点P在正方的边上， 则满足PE+PF=9 的点 P 的个数是 ( ) A. 0 B.4 C.6 D. 8 对应

9、练习对应练习 1.如图，点 P 是AOB 内任意一点，AOB=30 ，OP=8，点 M 和点 N 分别是射线 OA 和射线 OB 上的 动点，则PMN 周长的最小值为_ 2.（2017 辽宁营口）如图，在ABC 中，AC=BC，ACB=90 ，点 D 在 BC 上，BD=3，DC=1，点 P P O B A M N 是 AB 上的动点，则 PC+PD 的最小值为( ) A4 B5 C6 D7 3.如图，在等边ABC 中，AB=6， N 为 AB 上一点且 BN=2AN， BC 的高线 AD 交 BC 于点 D，M 是 AD 上的动点，连结 BM，MN，则 BM+MN 的最小值是_ 4.（201

10、8 山东潍坊）如图，在 RtABC 中，ACB=90 ，AC=6AB=12，AD 平分CAB，点 F 是 AC 的中点，点 E 是 AD 上的动点，则 CE+EF 的最小值为( ) A3 B4 C3 3 D2 3 5.（2018 辽宁营口）如图，在锐角三角形 ABC 中，BC=4，ABC=60 ， BD 平分ABC，交 AC 于点 D，M、N 分别是 BD，BC 上的动点，则 CM+MN 的最小值是( ) P D C B A A BC D M N E A F CD B A3 B2 C2 3 D4 6.（2018 广西贵港）如图，在菱形 ABCD 中，AC=6 2，BD=6，E 是 BC 的中点

11、，P、M 分别是 AC、 AB 上的动点，连接 PE、PM，则 PE+PM 的最小值是( ) A6 B3 3 C2 6 D4.5 7.（2017 江苏南通）如图，矩形 ABCD 中，AB=10，BC=5，点 E、F、G、H 分别在矩形 ABCD 各边 上，且 AE=CG，BF=DH，则四边形 EFGH 周长的最小值为( ) A5 5 B10 5 C10 3 D15 3 8.（2018 滨州）如图，AOB=60 ，点 P 是AOB 内的定点且 OP=3，若点 M、N 分别是射线 OA、 OB 上异于点 O 的动点，则PMN 周长的最小值是( ) N M D C B A E P D C B A M

12、 H F G E DC BA A 3 6 2 B 3 3 2 C6 D3 9.（2017 湖北随州）如图，AOB 的边 OB 与 x 轴正半轴重合，点 P 是 OA 上的一动点，点 N（3,0） 是 OB 上的一定点， 点 M 是 ON 的中点， AOB=30 ， 要使 PM+PN 最小， 则点 P 的坐标为 10.如图， 在平面直角坐标系中， 矩形 ABCD 的顶点 B 在原点， 点 A、 C 在坐标轴上， 点 D 的坐标为 （6， 4） ，E 为 CD 的中点，点 P、Q 为 BC 边上两个动点，且 PQ=2，要使四边形 APQE 的周长最小，则点 P 的 坐示应为_ 11.如图，矩形 A

13、BCD 中，AD=2，AB=4，AC 为对角线，E、F 分别为边 AB、CD 上的动点，且 EFAC 于点 M，连接 AF、CE，求 AF+CE 的最小值 A B M O P N NM P O B A x y E y x B( ) Q A C D O P 12.（2017 四川德阳）如图，已知圆 C 的半径为 3，圆外一定点 O 满足 OC=5，点 P 为圆 C 上一动点， 经过点 O 的直线 l 上有两点 A、B，且 OA=OB，APB=90 ，l 不经过点 C，则 AB 的最小值为_ 13.（2014 成都中考）如图，在边长为 2 的菱形 ABCD 中，A=60 ，M 是 AD 边的中点，

14、N 是 AB 边上 的一动点，将AMN 沿 MN 所在直线翻折得到AMN，连接 AC，则 AC 长度的最小值是_ 14.（2016 淮安中考）如图，在 RtABC 中，C=90 ，AC=6，BC=8，点 F 在边 AC 上，并且 CF=2， 点 E 为边 BC 上的动点，将CEF 沿直线 EF 翻折，点 C 落在点 P 处，则点 P 到边 AB 距离的最小值是 _ A BC D E F M l P O C BA A N M AB C D 15.（2018 相城区一模）如图，矩形 ABCD 中，AB=4，BC=8，P、Q 分别是直线 BC、AB 上的两个动点， AE=2，AEQ 沿 EQ 翻折形

15、成FEQ，连接 PF、PD，则 PF+PD 的最小值是_ 16.已知正方形 ABCD 边长为 2，E、F 分别是 BC、CD 上的动点，且满足 BE=CF，连接 AE、BF，交点 为 P 点，则 PD 的最小值为_ 17.（2013 武汉中考）如图，E、F 是正方形 ABCD 的边 AD 上的两个动点，满足 AE=DF，连接 CF 交 BD 于点 G，连接 BE 交 AG 于点 H，若正方形边长为 2，则线段 DH 长度的最小值是_ 18.如图， AB 是半圆 O 的直径，点 C 在半圆 O 上，AB=5，AC=4D 是弧 BC 上的一个动点，连接 A B C E F P Q A BC D E

16、 F P E F A B C D P H G A BC D EF AD，过点 C 作 CEAD 于 E，连接 BE在点 D 移动的过程中，BE 的最小值为 19.如图，在 RtABC 中，ACB=90 ，BC=4，AC=10，点 D 是 AC 上的一个动点，以 CD 为直径作圆 O，连接 BD 交圆 O 于点 E，则 AE 的最小值为_ 20.（2019 苏州园区一模）如图，正方形 ABCD 的边长为 4，动点 E、F 分别从点 A、C 同时出发，以相 同的速度分别沿 AB、 CD 向终点 B、 D 移动， 当点 E 到达点 B 时， 运动停止， 过点 B 作直线 EF 的垂线 BG， 垂足为

17、点 G，连接 AG，则 AG 长的最小值为 21.如图，正方形 ABCD 的边长是 4，点 E 是 AD 边上一动点，连接 BE，过点 A 作 AFBE 于点 F，点 P 是 AD 边上另一动点，则 PC+PF 的最小值为_ O E D C BA O E D C B A G F E D CB A 22.如图，在 RtABC 中，ACB=90 ，B=30 ，AB=4，D 是 BC 上一动点，CEAD 于 E，EFAB 交 BC 于点 F，则 CF 的最大值是_ 23.如图，等边ABC 边长为 2，E、F 分别是 BC、CA 上两个动点，且 BE=CF，连接 AE、BF，交点为 P 点，则 CP 的最小值为_ AB CD E F P F E D C B A E F CB A P