福建省建瓯市芝华中学2021届高三上学期9月第一次模拟考试数学试题 （含答案）.docx

1、20202020- -20212021 高三第一次阶段考数学试卷高三第一次阶段考数学试卷 考试时间：120 分钟 满分：150 分 出卷人： 2020.9.20 一、单选择题（共 8 题，每题 5 分，共 40 分） 1、已知集合 2,1A ， |2Bx ax，若ABB，则实数a值集合为 A 1 B2 C 1,2 D 1,0,2 2、已知 1 3 1 i z i ，则z （ ） A 2 B2 C5 D3 3、设xR，则“ 2 50 xx”是“|1| 1x”的 A充分而不必要条件 B必要而不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 4、已知向量(2 1)10 | 5 2aa bab， ，则|

2、b （ ） A5 B10 C5 D25 5、函数 3 ( ) 1 x x f x e 的图象大致是（ ） A B C D 6、中国古代数学成就甚大，在世界科技史上占有重要的地位.“算经十书”是汉、唐千余年间陆续 出现的 10 部数学著作，包括周髀算经 、 九章算术 、 缀术等，它们曾经是隋唐时期国 子监算学科的教科书.某中学图书馆全部收藏了这 10 部著作，其中 4 部是古汉语本，6 部是现代译 本，若某学生要从中选择 2 部作为课外读物，至少有一部是现代译本的概率是（ ） A 13 15 B 2 3 C 8 15 D 1 3 7、 函数f（x）=sinx+2|sinx|，x0，2的图象与直线

3、y=k有且仅有两个不同的交点，则k的 取值范围是（ ） A .（0，1） B（0，3） C（1，3） D（0，2） 8、 已知数列 n a的各项均为正数， 且满足 1 2a ， 2 222 11 41210 nnnn n ananana ， 设 n S为数列 n a的前n项和，则 2019 S（ ） A 2020 2019 22 B 2020 2019 22 C 2020 2018 22 D 2020 2018 22 二、多项选择题（共 4 题，每题 5 分，共 20 分，全部选对得 5 分，有选错得 0 分，部分选对得 3 分） 9、已知 2 (21)4fxx，则下列结论正确的是( ) A(

4、3)9f B( 3)4f C 2 ( )f xx D 2 ( )(1)f xx 10 下列各式中，值为 1 2 的是（ ） A 22 cossin 1212 B 2 tan22.5 1 tan 22.5 C2sin195 cos195 D 1cos 6 2 11、设随机变量X服从正态分布 2 ( ,)N ，且X落在区间3, 1 内的概率和落在区间1,3内的 概率相等.若2P Xp，则下列结论正确的有（ ） A0 B2 C 1 (02) 2 PXp D21P Xp 12下列说法中正确 的是（ ） A 0ABBA+= uuu ruu u rr B若ab rr 且a/b，则ab C若a、b非零向量且

5、abab，则ab D若a/b，则有且只有一个实数，使得b a 三、填空题（共 4 题，每题 5 分，共 20 分） 13、曲线2 x yxe在点0,2处的切线方程为_. 14 6 2 1 (2 ) x x 的展开式中的常数项为_。 15、已知，则sin的值为_ 16、已知等差数列的前项和为， 且， 数列满足， 记 的前项和为，的最小值为 ，若，则的最小值为_ 13 5 )cos(, 4 3 tan n an n s14, 6 935 aaa n b ns b n n 1 n b n n T n Tt)0,(yxtyx yx 41 四、解答题（共 6 题，共 70 分） 17、 （10 分）已知

6、函数 2 1 ( )cos3sin()cos() 2 f xxxx求函数( )f x在 0，上的单调递减区间； 18、 （12 分）已知数列an的前n项和为Sn，且Sn2 n1(nN*) (1)求数列an的通项公式； (2)设bnlog4an1，求bn的前n项和Tn. 19（12 分）的内角所对的边分别为， 已知 （1）求的大小； （2）若，且的面积为，求 20、（12 分）已知函数 （1）讨论函数f（x）在定义域内的极值点的个数； （2）若函数f（x）在x1处取得极值，x（0，），f（x）bx2 恒成立，求实数 b的最大值 ABC , ,A B C, ,a b c 22 ()2 3sinac

7、babC B 8bacABC3 3a )(ln1)(Raxaxxf 21、 （12 分）已知某单位甲、乙、丙三个部门的员工人数分别为 24，16，16现采用分层抽样的方 法从中抽取 7 人，进行睡眠时间的调查 (1)应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取多少人？ (2)若抽出的 7 人中有 4 人睡眠不足，3 人睡眠充足，现从这 7 人中随机抽取 3 人做进一步的身 体检查 （i）用X表示抽取的 3 人中睡眠不足 的员工人数，求随机变量X的分布列与数学期望； （ii）设A为事件“抽取的 3 人中，既有睡眠充足的员工，也有睡眠不足的员工” ，求事件A发 生的概率 22、 （12 分）已知函数 l

8、n1 x f xemx，mR. （1）设0 x是 f x的极值点，求m，并讨论 f x的单调性； （2）若4m，证明 f x有且仅有两个不同的零点.（参考数据： 15.15 e e ） 20202020- -20212021 高三第一次阶段考数学试卷高三第一次阶段考数学试卷( (答案）答案） 考试时间：120 分钟 满分：150 分 出卷人： 2020.9.20 一、单选择题（共 8 题，每题 5 分，共 40 分） 1、已知集合 2,1A ， |2Bx ax，若ABB，则实数a值集合为 A 1 B2 C 1,2 D 1,0,2 【解析】ABBBA, 2,1A 的子集有 ,2 , 1 ,2,1

9、 ， 当B时，显然有0a ；当2B 时，221aa； 当 1B 时，122aa ； 当2 , 1B ， 不存在a， 符合题意， 实数a值集合为1,0,2， 故选 D. 2、已知已知 1 3 1 i z i ，则，则z （ ） A 2 B2 C5 D3 【答案】【答案】C 3、设xR，则“ 2 50 xx”是“|1| 1x”的 A充分而不必要条件 B必要而不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 【答案】B 4、已知向量(2 1)10 | 5 2aa bab， ，则|b （ ） B5 B10 C5 D25 【答案】C 5、函数函数 3 ( ) 1 x x f x e 的图象大致是（的图象大

10、致是（ ） AB C D 【答案】【答案】C 6、中国古代数学成就甚大，在世界科技史上占有重要的地位中国古代数学成就甚大，在世界科技史上占有重要的地位.“算经十书 算经十书”是汉、唐千余年间陆续出是汉、唐千余年间陆续出 现的现的 10 部数学著作，包括周髀算经 、 九章算术 、部数学著作，包括周髀算经 、 九章算术 、 缀术等，它们曾经是隋唐时期国子、 缀术等，它们曾经是隋唐时期国子 监算学科的教科书监算学科的教科书.某中学图书馆全部收藏了这某中学图书馆全部收藏了这 10 部著作，其中部著作，其中 4 部是古汉语本，部是古汉语本，6 部是现代译本，部是现代译本， 若某学生要从中选择若某学生要从

11、中选择 2 部作为课外读物，至少有一部是现代译本的概率是（部作为课外读物，至少有一部是现代译本的概率是（ ） A 13 15 B 2 3 C 8 15 D 1 3 【答案】【答案】A 7、 函数 f（x）=sinx+2|sinx|，x0，2的图象与直线 y=k 有且仅有两个不同的交点，则 k 的取值 范围是（ ） A（0，1） B（0，3） C（1，3） D（0，2） 【答案】【答案】C 8、 已知数列 n a的各项均为正数， 且满足 1 2a ， 2 222 11 41210 nnnn n ananana ， 设 n S为数列 n a的前n项和，则 2019 S（ ） A 2020 2019

12、 22 B 2020 2019 22 C 2020 2018 22 D 2020 2018 22 【详解】 因为 2 222 11 41210 nnnn n ananana ， 所以有 11 2(1)2(1) 2(1)0 nnnnnn nananananana ， 所以 11 2(1)12(1)0 nnnn nananana ， 因为数列 n a的各项均为正数，所以 1 2(1)0 nn nana ， 即 1 2 1 nn aa nn ， 又因为 1 2a ， 所以数列 n a n 是以 1 2 1 a 为首项，以 2 为公比的等比数列， 所以2n n a n ，所以2n n an， 所以 1

13、2 1 22 22n n Sn ， 231 21 22 22n n Sn ， -得： 121111 2222222(1) 22 nnnnn n Snnn ， 所以 1 (1) 22 n n Sn， 所以 2020 2019 2018 22S， 故选：C. 二、多项选择题（共 4 题，每题 5 分，共 20 分，全部选对得 5 分，有选错得 0 分，部分选对得 3 分） 9、已知 2 (21)4fxx，则下列结论正确的是( ) A (3)9f B( 3)4f C 2 ( )f xx D 2 ( )(1)f xx 【解析】BD 10 下列各式中，值为 1 2 的是（ ） A 22 cossin 1

14、212 B 2 tan22.5 1 tan 22.5 C2sin195 cos195 D 1cos 6 2 【解析】BC 11、设随机变量 X 服从正态分布 2 ( ,)N ，且 X 落在区间3, 1 内的概率和落在区间1,3内的 概率相等.若2P Xp，则下列结论正确的有（ ） A 0 B 2 C 1 (02) 2 PXp D21P Xp 12下列说法中正确 的是（ ） A0 ABBA+= uuu ruu u rr B若ab rr 且a/b，则ab C若a a、b b非零向量且a bab，则a b D若a/b，则有且只有一个实数，使得ba 11、 【详解】 因为正态分布 2 ( ,)N 关于

15、x 对称， 又 X 落在区间3, 1 内的概率和落在区间1,3内的概率 相等，所以0，A正确； 因为正态分布 2 ( ,)N 关于x 对称， 所以 11 (0)(02)(0)(2) 22 P XPXP XP Xp，C 正确； 22P XP Xp，不确定，所以 B,D错误； 故选：AC 12、 【详解】 由,AB BA互为相反向量，则 0ABBA+= uuu ruu u rr ，故 A正确 由ab rr 且a/b，ab或a b rr ，故 B 错 由abab，则两边平方化简可得 0a b ，所以ab，故 C 正确 根据向量共线基本定理可知 D 错，因为要排除零向量 故选：AC 三、填空题（共 4

16、 题，每题 5 分，共 20 分） 13、曲线曲线2 x yxe在点在点0,2处的切线方程为处的切线方程为_. 【答案】【答案】320 xy 14 6 2 1 (2 ) x x 的展开式中的常数项为的展开式中的常数项为_。 【答案】【答案】240 17、已知 ,0 22 ， 3 tan 4 ， 5 cos 13 ，则sin的值为_ 【答案】 63 65 【解析】0，又因为0 13 5 cos，所以0 2 ， 13 12 sin， 因为 4 3 tan，所以 5 3 sin， 5 4 cos，而sinsin sincoscossin 3541263 51351365 ，故答案为： 65 63 四

17、、解答题（共 6 题，共 70 分） 17、（10 分）已知函数已知函数 2 1 ( )cos3sin()cos() 2 f xxxx求函数求函数( )f x在在0，上的上的 单调递减区间；单调递减区间； 【详解】由已知得： 2 1 ( )cos3sin cos 2 f xxxx 1cos231 sin2 222 x x sin(2) 6 x ，由222 262 kxxkx 剟，kZ，可得 63 kxx kx 剟kZ， 又 0 x ， ， 函数( )f x在0，的单调递减区间为0， 3 和 5 6 ， 18、（12 分）已知数列已知数列an的前的前 n 项和为项和为 Sn，且，且 Sn2n1(

18、nN*) (1)求数列求数列an的通项公式；的通项公式； (2)设设 bnlog4an1，求，求bn的前的前 n 项和项和 Tn. 解：解：(1)当当 n2 时，时，anSnSn12n 1， ， 当当 n1 时，时，a1211，满足，满足 an2n 1， ， 数列数列an的通项公式为的通项公式为 an2n 1(n N*) (2)由由(1)得，得，bnlog4an1n 1 2 ， 则则 bn1bnn 2 2 n 1 2 1 2， ， 数列数列bn是首项为是首项为 1，公差，公差 d1 2的等差数列， 的等差数列， Tnnb1n n 1 2 dn 2 3n 4 . 19（12 分）的内角 所对的边

19、分别为， 已知 （1）求的大小； （2）若，且的面积为，求 【答案】 （1）； （2） 【解析】 （1）由，得， 所以，即， 所以有， 因为，所以，所以， 即，所以， 又，所以，所以，即 ABC , ,A B C, ,a b c 22 ()2 3sinacbabC B 8bacABC3 3a 3 513 2 2 2 3sinacbabC 222 22 3sinacacbabC 222 22 3sinacbacabC 2cos12 3sinacBabC sincos13sinsinCBBC (0,)C sin0C cos13sinBB 3sincos2sin1 6 BBB 1 sin 2 6 B

20、 0B 5 666 B 6 6 B 3 B （2）因为，所以， 又， 所以，把代入到中，得 20、（12 分）已知函数 f（x）ax1ln x（aR） （1）讨论函数 f（x）在定义域内的极值点的个数； （2）若函数 f（x）在 x1 处取得极值，x（0，），f（x）bx2 恒成立，求实数 b 的 最大值 （1）f（x）的定义域为（0，）， 113 sin3 3 222 acBac12ac 2222 2cos()3bacacBacac 2 ()3664ac 10ac 10ca 12()acac 513a 21、（12 分）已知某单位甲、乙、丙三个部门的员工人数分别为 24，16，16现采用分层

21、抽样的方 法从中抽取 7 人，进行睡眠时间的调查 (1)应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取多少人？ (2)若抽出的 7 人中有 4 人睡眠不足，3 人睡眠充足，现从这 7 人中随机抽取 3 人做进一步的身 体检查 （i）用 X 表示抽取的 3 人中睡眠不足 的员工人数，求随机变量 X 的分布列与数学期望； （ii）设 A 为事件“抽取的 3 人中，既有睡眠充足的员工，也有睡眠不足的员工” ，求事件 A 发 生的概率 【解析】(1)由已知，甲、乙、丙三个部门的员工人数之比为 322，由于采用分层抽样的方法从 中抽取 7 人，因此应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取 3 人，2 人，2 人

22、(2)（i）随机变量X的所有可能取值为 0，1，2，3 3 43 3 7 CC () C kk P Xk (k=0，1，2，3) 所以，随机变量X的分布列为 X 0 1 2 3 P 1 35 12 35 18 35 4 35 随机变量X的数学期望 11218412 ()0123 353535357 E X （ii）设事件B为“抽取的 3 人中，睡眠充足的员工有 1 人，睡眠不足的员工有 2 人”；事件C 为“抽取的 3 人中，睡眠充足的员工有 2 人，睡眠不足的员工有 1 人”，则ABC，且B与 C互斥， 由（i）知，( )(2)P Bp X，( )(1)P CP X， 故 6 ( )()(2

23、)(1) 7 P AP BCP XP X 所以，事件A发生的概率为 6 7 22、（12 分）已知函数已知函数 ln1 x f xemx，mR. （1）设）设0 x是是 f x的极值点，求的极值点，求m，并讨论，并讨论 f x的单调性；的单调性； （2）若）若4m，证明，证明 f x有且仅有两个不同的零点有且仅有两个不同的零点.（参考数据：（参考数据：15.15 e e ） 【答案】【答案】 （1）1m， f x在1,0上单调递减，在0,上单调递增； （2）详见解析. 【解析】【解析】 （1）求出 fx，代入0 x可得m，进而利用导数求 f x的单调性即可； （2）求出 fx可得其在1, 上单

24、调递增，通过零点存在性定理得存在 0 0,1x ，使得 0 0fx，进而可得 f x在0,上的单调性，接着通过判断 0f， 1f， 2f的正负 值，即可得 f x的零点个数. 【详解】 （1）因为 1 x m fxe x ，0 x是 f x的极值点， 所以 0 00 0 1 m fe ，解得1m，即 1 1 x fxe x ， 又因为 x ye与 1 1 y x 在1, 上单调递增， 所以当10 x 时， 0fx ；当0 x时， 0fx ， 即 f x在1,0上单调递减，在0,上单调递增. （2）因为当4m时， 4 1 x efx x 在1, 上单调递增， 因为 0 0430fe ， 1 4 120 2 fee， 所以存在 0 0,1x ，使得 0 0fx， 即 f x在 0 0,x上单调递减，在 0, x 上单调递增， 另由 0 00fe， 1 14ln2lnln160 e fee，而 2 24 ln30fe ， 所存在 1 0,1x ， 2 1,2x ，使得 12 0f xf x， 即 f x有且仅有两个不同的零点.