1、考点考点1 1 椭圆的定义和标准方程椭圆的定义和标准方程 1.(2019课标,10,5分)已知椭圆C的焦点为F1(-1,0),F2(1,0),过F2的直线与C交于A,B两点.若|AF2|=2| F2B|,|AB|=|BF1|,则C的方程为( ) A.+y2=1 B.+=1 C.+=1 D.+=1 2 2 x 2 3 x 2 2 y 2 4 x 2 3 y 2 5 x 2 4 y 答案答案 B 设|F2B|=x(x0),则|AF2|=2x,|AB|=3x, |BF1|=3x,|AF1|=2a-2x, 由椭圆的定义知|BF1|+|BF2|=2a=4x,所以|AF1|=2x. 在BF1F2中,由余弦
2、定理得|BF1|2=|BF2|2+|F1F2|2-2|BF2| |F1F2|cosBF2F1,即9x2=x2+22-4x cosBF2F1, 在AF1F2中,由余弦定理可得|AF1|2=|AF2|2+|F1F2|2-2|AF2| |F1F2|cosAF2F1,即4x2=4x2+22+8x cosBF2 F1, 因为BF2F1+AF2F1=180, 所以由得x=,所以2a=4x=2,a=,所以b2=a2-c2=2.所以椭圆C的方程为+=1.故选B. 3 2 33 2 3 x 2 2 y 疑难突破疑难突破 利用余弦定理灵活解三角形是突破口.灵活利用椭圆的定义是解题的关键. 2.(2019课标,15
3、,5分)设F1,F2为椭圆C:+=1的两个焦点,M为C上一点且在第一象限.若MF1 F2为等腰三角形,则M的坐标为 . 2 36 x 2 20 y 答案答案 (3,) 15 解析解析 本题考查了椭圆的定义与几何性质;考查了学生的运算求解能力和数形结合的思想方法; 考查了数学运算的核心素养. 不妨设F1,F2分别是椭圆C的左,右焦点,由M点在第一象限,MF1F2是等腰三角形,知|F1M|=|F1F2|,又 由椭圆方程+=1,知|F1F2|=8,|F1M|+|F2M|=26=12, 所以|F1M|=|F1F2|=8,所以|F2M|=4. 设M(x0,y0)(x00,y00), 则 解得x0=3,y
4、0=,即M(3,). 2 36 x 2 20 y 22 00 22 00 (4)64, (-4)16, xy xy 1515 一题多解一题多解 依题意得|F1F2|=|F1M|=8,|F2M|=4,则cosMF1F2=,则tanMF1F2=. 所以直线MF1的方程为y-0=(x+4). 设M(6cos ,2sin ),因为M点在直线MF1上, 所以2sin =(6cos +4), 结合sin2+cos2=1且sin 0,cos 0得cos =,sin =,即M点的坐标为(3,). 222 88 -4 2 8 8 7 8 15 7 15 7 5 5 15 7 1 2 3 2 15 3.(2018
5、浙江,17,4分)已知点P(0,1),椭圆+y2=m(m1)上两点A,B满足=2,则当m= 时, 点B横坐标的绝对值最大. 2 4 x APPB 答案答案 5 解析解析 本题考查椭圆的标准方程,向量的坐标运算,二次函数的最值. 设B(t,u),由=2,易得A(-2t,3-2u). 点A,B都在椭圆上, 从而有+3u2-12u+9=0,即+u2=4u-3. 即有4u-3=mu=, +=m,t2=-m2+m-=-(m-5)2+4. 当m=5时,(t2)max=4,即|t|max=2, 即当m=5时,点B横坐标的绝对值最大. APPB 2 2 2 2 , 4 4 (3-2 ), 4 t um t u
6、m 2 3 4 t 2 4 t 3 4 m 2 4 t 2 (3) 16 m1 4 5 2 9 4 1 4 思路分析思路分析 (1)设出点B的坐标,利用向量的坐标运算得点A的坐标. (2)利用点A,B都在椭圆上得方程组,求得点B的横、纵坐标满足的关系式. (3)利用关系式及点B在椭圆上,把点B的横坐标的平方表示为关于m的二次函数. (4)利用二次函数的最值得结论. 4.(2019浙江,15,4分)已知椭圆+=1的左焦点为F,点P在椭圆上且在x轴的上方.若线段PF的中 点在以原点O为圆心,|OF|为半径的圆上,则直线PF的斜率是 . 2 9 x 2 5 y 答案答案 15 解析解析 如图,记椭圆
7、的右焦点为F,取PF中点为M, 由题知a=3,b=,c=2,连接OM,PF, 则|OM|=|OF|=2,又M为PF的中点, |PF|=2|OM|,PFOM, |PF|=4, 又P在椭圆上,|PF|+|PF|=6,|PF|=2, 在PFF中,|PF|=|FF|=4,|PF|=2,连接FM, 5 则FMPF,|FM|=, kPF=tanPFF=. 即直线PF的斜率为. 22 | -|FFFM16-115 | | | FM FM 15 15 一题多解一题多解 易知F(-2,0),设P(3cos ,sin ),设PF的中点为M,则M,|OM|=|OF|= 2, +=4,9cos2-12cos +4+5
8、sin2=16,又sin2=1-cos2, 4cos2-12cos -7=0,解得cos =-或cos =(舍去),sin2=, 又P在x轴上方,sin =, P,kPF=. 5 3cos -25sin , 22 2 3cos -2 2 2 5sin 2 1 2 7 2 3 4 3 2 315 -, 22 15 疑难突破疑难突破 试题中只出现了椭圆的一个焦点,需要作出另一个焦点,并将椭圆定义作为隐含条件直 接应用是求解本题的突破口.再由条件中的中点M联想到利用三角形中位线的性质求出PF的长度 是解决本题的关键. 5.(2020课标,20,12分)已知椭圆C:+=1(0m0,由题意知yP0. 由
9、已知可得B(5,0),直线BP的方程为y=-(x-5), 所以|BP|=yP,|BQ|=.因为|BP|=|BQ|, 所以yP=1,将yP=1代入C的方程,解得xP=3或-3. 由直线BP的方程得yQ=2或8. 所以点P,Q的坐标分别为P1(3,1),Q1(6,2);P2(-3,1),Q2(6,8). |P1Q1|=,直线P1Q1的方程为y=x,点A(-5,0)到直线P1Q1的距离为,故AP1Q1的面积为 =. |P2Q2|=,直线P2Q2的方程为y=x+,点A到直线P2Q2的距离为,故AP2Q2的面积为 =.综上,APQ的面积为. 2 25- 5 m15 4 25 16 2 25 x 2 25
10、 16 y 1 Q y 2 1 Q y 2 1 Q y 10 1 3 10 2 1 2 10 2 10 5 2 130 7 9 10 3 130 26 1 2 130 26 130 5 2 5 2 6.(2019江苏,17,14分)如图,在平面直角坐标系xOy中,椭圆C:+=1(ab0)的焦点为F1(-1,0),F2 (1,0).过F2作x轴的垂线l,在x轴的上方,l与圆F2:(x-1)2+y2=4a2交于点A,与椭圆C交于点D.连接AF1并延 长交圆F2于点B,连接BF2交椭圆C于点E,连接DF1.已知DF1=. (1)求椭圆C的标准方程; (2)求点E的坐标. 2 2 x a 2 2 y
11、b 5 2 解析解析 (1)设椭圆C的焦距为2c. 因为F1(-1,0),F2(1,0),所以|F1F2|=2,c=1. 又因为|DF1|=,AF2x轴,所以|DF2|=. 因此2a=|DF1|+|DF2|=4,从而a=2. 由b2=a2-c2,得b2=3. 因此,椭圆C的标准方程为+=1. (2)解法一:由(1)知,椭圆C:+=1,a=2. 因为AF2x轴,所以点A的横坐标为1. 将x=1代入圆F2的方程(x-1)2+y2=16,解得y=4. 因为点A在x轴上方,所以A(1,4). 又F1(-1,0),所以直线AF1:y=2x+2. 由得5x2+6x-11=0,解得x=1或x=-. 将x=-
12、代入y=2x+2,得y=-.因此B. 5 2 22 112 | -|DFFF 2 2 5 -2 2 3 2 2 4 x 2 3 y 2 4 x 2 3 y 22 22, ( -1)16 yx xy 11 5 11 5 12 5 11 12 -,- 55 又F2(1,0),所以直线BF2:y=(x-1). 由得7x2-6x-13=0,解得x=-1或x=. 又因为E是线段BF2与椭圆的交点,所以x=-1. 将x=-1代入y=(x-1),得y=-. 因此E. 解法二:由(1)知,椭圆C:+=1. 3 4 22 3 ( -1), 4 1 43 yx xy 13 7 3 4 3 2 3 -1,- 2 2
13、 4 x 2 3 y 如图,连接EF1. 因为|BF2|=2a,|EF1|+|EF2|=2a,所以|EF1|=|EB|, 从而BF1E=B. 因为|F2A|=|F2B|,所以A=B. 所以A=BF1E,从而EF1F2A. 因为AF2x轴,所以EF1x轴. 因为F1(-1,0),由解得y=. 又因为E是线段BF2与椭圆的交点,所以y=-. 因此E. 22 -1, 1 43 x xy 3 2 3 2 3 -1,- 2 7.(2018天津,19,14分)设椭圆+=1(ab0)的左焦点为F,上顶点为B.已知椭圆的离心率为, 点A的坐标为(b,0),且|FB| |AB|=6. (1)求椭圆的方程; (2
14、)设直线l:y=kx(k0)与椭圆在第一象限的交点为P,且l与直线AB交于点Q.若=sinAOQ (O为原点),求k的值. 2 2 x a 2 2 y b 5 3 2 | | AQ PQ 5 2 4 解析解析 本题主要考查椭圆的标准方程和几何性质、直线方程等基础知识.考查用代数方法研究圆 锥曲线的性质.考查运算求解能力,以及用方程思想解决问题的能力. (1)设椭圆的焦距为2c,由已知有=, 又由a2=b2+c2,可得2a=3b. 由已知可得,|FB|=a,|AB|=b, 由|FB| |AB|=6,可得ab=6,从而a=3,b=2. 所以,椭圆的方程为+=1. (2)设点P的坐标为(x1,y1)
15、,点Q的坐标为(x2,y2). 由已知有y1y20,故|PQ|sinAOQ=y1-y2. 又因为|AQ|=, 而OAB=,故|AQ|=y2. 由=sinAOQ,可得5y1=9y2. 由方程组消去x,可得y1=. 2 2 c a 5 9 2 2 2 9 x 2 4 y 2 sin y OAB 4 2 | | AQ PQ 5 2 4 22 , 1 94 ykx xy 2 6 94 k k 易知直线AB的方程为x+y-2=0, 由方程组消去x,可得y2=. 由5y1=9y2,可得5(k+1)=3,两边平方, 整理得56k2-50k+11=0,解得k=或k=. 所以,k的值为或. , -20 ykx
16、xy 2 1 k k 2 94k 1 2 11 28 1 2 11 28 方法归纳方法归纳 求椭圆标准方程的基本方法 (1)定义法:根据椭圆的定义,确定a2,b2的值,结合焦点位置写出椭圆方程; (2)待定系数法:这是求椭圆方程的常用方法,基本步骤为根据已知条件判断焦点的位置;根据 焦点的位置设出所求椭圆的方程;根据已知条件,建立关于a、b、c的方程组,注意c2=a2-b2的应 用;解方程组,求得a、b的值,从而得出椭圆的方程. 1.(2017江苏,17,14分)如图,在平面直角坐标系xOy中,椭圆E:+=1(ab0)的左、右焦点分别为 F1、F2,离心率为,两准线之间的距离为8.点P在椭圆E
17、上,且位于第一象限,过点F1作直线PF1的垂 线l1,过点F2作直线PF2的垂线l2. (1)求椭圆E的标准方程; (2)若直线l1,l2的交点Q在椭圆E上,求点P的坐标. 2 2 x a 2 2 y b 1 2 以下为教师用书专用 解析解析 本题主要考查直线方程、直线与直线的位置关系、椭圆方程、椭圆的几何性质等基础知 识,考查分析问题能力和运算求解能力. (1)设椭圆的半焦距为c. 因为椭圆E的离心率为,两准线之间的距离为8,所以=,=8,解得a=2,c=1,于是b=, 因此椭圆E的标准方程是+=1. (2)由(1)知,F1(-1,0),F2(1,0). 设P(x0,y0),因为P为第一象限
18、的点,故x00,y00. 当x0=1时,l2与l1相交于F1,与题设不符. 当x01时,直线PF1的斜率为,直线PF2的斜率为. 因为l1PF1,l2PF2,所以直线l1的斜率为-,直线l2的斜率为-, 从而直线l1的方程:y=-(x+1), 直线l2的方程:y=-(x-1). 由,解得x=-x0,y=, 1 2 c a 1 2 2 2a c 22 -a c3 2 4 x 2 3 y 0 0 1 y x 0 0-1 y x 0 0 1x y 0 0 -1x y 0 0 1x y 0 0 -1x y 2 0 0 -1x y 所以Q. 因为点Q在椭圆上,由对称性,得=y0,即-=1或+=1. 又P
19、在椭圆E上,故+=1. 由解得x0=,y0=;无解. 因此点P的坐标为. 2 0 0 0 -1 -, x x y 2 0 0 -1x y 2 0 x 2 0 y 2 0 x 2 0 y 2 0 4 x 2 0 3 y 22 00 22 00 -1, 1, 43 x y xy 4 7 7 3 7 7 22 00 22 00 1, 1, 43 xy xy 4 7 3 7 , 77 2.(2016北京,19,14分)已知椭圆C:+=1(ab0)的离心率为,A(a,0),B(0,b),O(0,0),OAB的面 积为1. (1)求椭圆C的方程; (2)设P是椭圆C上一点,直线PA与y轴交于点M,直线PB
20、与x轴交于点N.求证:|AN| |BM|为定值. 2 2 x a 2 2 y b 3 2 解析解析 本题考查椭圆的方程和直线与椭圆的位置关系;考查了学生的运算求解能力和数形结合思 想. (1)由题意得 解得a=2,b=1. 所以椭圆C的方程为+y2=1. (2)证明:由(1)知,A(2,0),B(0,1). 设P(x0,y0),则+4=4. 当x00时,直线PA的方程为y=(x-2). 令x=0,得yM=-,从而|BM|=|1-yM|=. 直线PB的方程为y=x+1. 令y=0,得xN=-,从而|AN|=|2-xN|=. 222 3 , 2 1 1, 2 , c a ab abc 2 4 x
21、2 0 x 2 0 y 0 0-2 y x 0 0 2 -2 y x 0 0 2 1 -2 y x 0 0 -1y x 0 0-1 x y 0 0 2 -1 x y 所以|AN| |BM|= = = =4. 当x0=0时,y0=-1,|BM|=2,|AN|=2, 所以|AN| |BM|=4. 综上,|AN| |BM|为定值. 0 0 2 -1 x y 0 0 2 1 -2 y x 22 000000 0000 44-4-84 -22 xyx yxy x y xy 0000 0000 4-4-88 -22 x yxy x y xy 一题多解一题多解 (2)点P在椭圆+=1上,不妨设P(2cos
22、,sin ),当k且k+(kZ)时,直线 AP的方程为y-0=(x-2),令x=0,得yM=; 直线BP的方程为y-1=(x-0),令y=0,得xN=. |AN| |BM|=2 =2=22=4(定值). 当=k或=k+(kZ)时,M、N是定点,易得|AN| |BM|=4.综上,|AN| |BM|=4. 2 2 x 2 1 y 2 sin 2(cos -1) sin 1-cos sin -1 2cos 2cos 1-sin cos 1-1-sin sin 1-1-cos 2(1-sin )(1-cos ) (1-sin )(1-cos ) 2 考点考点2 2 椭圆的几何性质椭圆的几何性质 1.(
23、2019北京,4,5分)已知椭圆+=1(ab0)的离心率为,则( ) A.a2=2b2 B.3a2=4b2 C.a=2b D.3a=4b 2 2 x a 2 2 y b 1 2 答案答案 B 本题考查椭圆的标准方程及离心率;通过椭圆的几何性质考查学生的理解与运算能力; 考查的核心素养是数学运算. 由题意知=e2=,整理得3a2=4b2,故选B. 22 2 -a b a 1 4 2.(2017课标,10,5分)已知椭圆C:+=1(ab0)的左、右顶点分别为A1、A2,且以线段A1A2为 直径的圆与直线bx-ay+2ab=0相切,则C的离心率为( ) A. B. C. D. 2 2 x a 2 2
24、 y b 6 3 3 3 2 3 1 3 答案答案 A 本题考查椭圆的性质,直线与圆的位置关系. 以线段A1A2为直径的圆的方程为x2+y2=a2,该圆与直线bx-ay+2ab=0相切,=a,即2b= , a2=3b2,a2=b2+c2,=,e=. 22 |0-02| (- ) baab ba 22 ab 2 2 c a 2 3 c a 6 3 3.(2016课标,11,5分)已知O为坐标原点,F是椭圆C:+=1(ab0)的左焦点,A,B分别为C的左, 右顶点.P为C上一点,且PFx轴.过点A的直线l与线段PF交于点M,与y轴交于点E.若直线BM经过 OE的中点,则C的离心率为 ( ) A.
25、B. C. D. 2 2 x a 2 2 y b 1 3 1 2 2 3 3 4 答案答案 A 本题考查椭圆的几何性质,考查了学生的运算求解能力和对数形结合思想方法的运用. 解法一:设点M(-c,y0),OE的中点为N,则直线AM的斜率k=,从而直线AM的方程为y=(x+a),令x= 0,得点E的纵坐标yE=.同理,OE的中点N的纵坐标yN=. 因为2yN=yE,所以=,即2a-2c=a+c,所以e=.故选A. 0 - y a c 0 - y a c 0 - ay a c 0 ay ac 2 ac 1 -a c c a 1 3 又=,即=,a=3c,故e=. | | MF OE | 2| MF
26、 ON -a c a2 ac a c a 1 3 解法二:如图,设OE的中点为N,由题意知|AF|=a-c,|BF|=a+c,|OF|=c,|OA|=|OB|=a, PFy轴,=, =, | | MF OE | | AF AO -a c a | | MF ON | | BF OB ac a 4.(2018课标,12,5分)已知F1,F2是椭圆C:+=1(ab0)的左、右焦点,A是C的左顶点,点P在过 A且斜率为的直线上,PF1F2为等腰三角形,F1F2P=120,则C的离心率为( ) A. B. C. D. 2 2 x a 2 2 y b 3 6 2 3 1 2 1 3 1 4 答案答案 D
27、本题考查直线方程和椭圆的几何性质. 由题意易知直线AP的方程为y=(x+a), 直线PF2的方程为y=(x-c). 联立解得y=(a+c), 如图,过P向x轴引垂线,垂足为H,则PH=(a+c). 3 6 3 3 5 3 5 因为PF2H=60,|PF2|=|F1F2|=2c,|PH|=(a+c), 所以sin 60=,即a+c=5c,即a=4c,所以e=.故选D. 3 5 2 | | PH PF 3 () 5 2 ac c 3 2 c a 1 4 5.(2020课标,19,12分)已知椭圆C1:+=1(ab0)的右焦点F与抛物线C2的焦点重合,C1的中心 与C2的顶点重合.过F且与x轴垂直的
28、直线交C1于A,B两点,交C2于C,D两点,且|CD|=|AB|. (1)求C1的离心率; (2)设M是C1与C2的公共点.若|MF|=5,求C1与C2的标准方程. 2 2 x a 2 2 y b 4 3 解析解析 (1)由已知可设C2的方程为y2=4cx,其中c=. 不妨设A,C在第一象限,由题设得A,B的纵坐标分别为,-;C,D的纵坐标分别为2c,-2c,故|AB|= ,|CD|=4c. 由|CD|=|AB|得4c=,即3=2-2.解得=-2(舍去)或=. 所以C1的离心率为. (2)由(1)知a=2c,b=c,故C1:+=1. 设M(x0,y0),则+=1,=4cx0,故+=1. 由于C
29、2的准线为x=-c,所以|MF|=x0+c,而|MF|=5,故x0=5-c,代入得+=1,即c2-2c-3=0,解得 c=-1(舍去)或c=3. 所以C1的标准方程为+=1,C2的标准方程为y2=12x. 22 -a b 2 b a 2 b a 2 2b a 4 3 2 8 3 b a c a 2 c a c a c a 1 2 1 2 3 2 2 4 x c 2 2 3 y c 2 0 2 4 x c 2 0 2 3 y c 2 0 y 2 0 2 4 x c 0 4 3 x c 2 2 (5- ) 4 c c 4(5- ) 3 c c 2 36 x 2 27 y 6.(2020江苏,18,
30、16分)在平面直角坐标系xOy中,已知椭圆E:+=1的左,右焦点分别为F1,F2,点A 在椭圆E上且在第一象限内,AF2F1F2,直线AF1与椭圆E相交于另一点B. (1)求AF1F2的周长; (2)在x轴上任取一点P,直线AP与椭圆E的右准线相交于点Q,求的最小值; (3)设点M在椭圆E上,记OAB与MAB的面积分别为S1,S2,若S2=3S1,求点M的坐标. 2 4 x 2 3 y OPQP 解析解析 本题主要考查直线方程、椭圆方程、椭圆的几何性质、直线与椭圆的位置关系、向量数 量积等基础知识,考查推理论证能力、分析问题能力和运算求解能力. (1)设椭圆E:+=1的长轴长为2a,短轴长为2
31、b,焦距为2c,则a2=4,b2=3,c2=1. 所以AF1F2的周长为2a+2c=6. (2)椭圆E的右准线为x=4. 设P(x,0),Q(4,y), 则=(x,0),=(x-4,-y), =x(x-4)=(x-2)2-4-4, 在x=2时取等号. 所以的最小值为-4. 2 4 x 2 3 y OPQP OPQP OPQP (3)因为椭圆E:+=1的左,右焦点分别为F1,F2,点A在椭圆E上且在第一象限内,AF2F1F2,则F1(- 1,0),F2(1,0),A,所以直线AB:3x-4y+3=0. 设M(x,y),因为S2=3S1, 所以点M到直线AB的距离等于点O到直线AB的距离的3倍.
32、由此得=3, 则3x-4y+12=0或3x-4y-6=0. 由得7x2+24x+32=0,此方程无解; 由得7x2-12x-4=0,所以x=2或x=-. 代入直线l:3x-4y-6=0,对应分别得y=0或y=-. 因此点M的坐标为(2,0)或. 2 4 x 2 3 y 3 1, 2 |3 -43| 5 xy |3 0-4 03| 5 22 3 -4120, 1, 43 xy xy 22 3 -4 -60, 1, 43 xy xy 2 7 12 7 212 -,- 77 1.(2016江苏,10,5分)如图,在平面直角坐标系xOy中,F是椭圆+=1(ab0)的右焦点,直线y= 与椭圆交于B,C两
33、点,且BFC=90,则该椭圆的离心率是 . 2 2 x a 2 2 y b2 b 以下为教师用书专用 答案答案 6 3 解析解析 本题考查椭圆的几何性质,考查学生的运算求解能力和对数形结合的思想方法的运用. 由已知条件易得B,C, F(c,0),=,=, 由BFC=90,可得=0, 所以+=0,c2-a2+b2=0, 即4c2-3a2+(a2-c2)=0,亦即3c2=2a2, 所以=,则e=. 3 -, 22 b a 3 , 22 b a BF 3 ,- 22 b ca CF 3 -,- 22 b ca BFCF 3 - 2 ca 3 2 ca 2 - 2 b 3 4 1 4 2 2 c a
34、2 3 c a 6 3 方法点拨方法点拨 圆锥曲线中垂直问题往往转化为向量垂直,然后利用垂直向量的数量积为零转化为数 量关系. 2.(2016浙江,19,15分)如图,设椭圆+y2=1(a1). (1)求直线y=kx+1被椭圆截得的线段长(用a,k表示); (2)若任意以点A(0,1)为圆心的圆与椭圆至多有3个公共点,求椭圆离心率的取值范围. 2 2 x a 解析解析 (1)设直线y=kx+1被椭圆截得的线段为AP, 由得(1+a2k2)x2+2a2kx=0, 故x1=0,x2=-. 因此|AP|=|x1-x2|=. (2)假设圆与椭圆的公共点有4个,由对称性可设y轴左侧的椭圆上有两个不同的点
35、P,Q,满足|AP|=| AQ|. 记直线AP,AQ的斜率分别为k1,k2,且k1,k20,k1k2. 由(1)知,|AP|=,|AQ|=, 故=, 所以(-)1+a2(2-a2)=0. 由于k1k2,k1,k20得1+a2(2-a2)=0, 因此=1+a2(a2-2), 2 2 2 1, 1 ykx x y a 2 22 2 1 a k a k 2 1k 2 22 2| | 1 a k a k 2 1k 22 11 22 1 2| | 1 1 a kk a k 22 22 22 2 2| 1 1 a kk a k 22 11 22 1 2| | 1 1 a kk a k 22 22 22 2
36、 2| 1 1 a kk a k 2 1 k 2 2 k 2 1 k 2 2 k 2 1 k 2 2 k 2 1 k 2 2 k 2 1 k 2 2 k 2 1 1 1 k 2 2 1 1 k 因为式关于k1,k2的方程有解的充要条件是1+a2(a2-2)1, 所以a. 因此,任意以点A(0,1)为圆心的圆与椭圆至多有3个公共点的充要条件为1a, 由e=得,所求离心率的取值范围为0b0).由题意得ab=12,又=,a2=b2+c2,解得 a=4,b=3,所以椭圆C的方程为+=1.故选D. 2 2 x a 2 2 y b 12 c a 7 4 2 16 x 2 9 y 方法点拨方法点拨 对于椭圆
37、方程的求解一般需要先判断椭圆的焦点位置,进而设出椭圆的方程,从而利用 待定系数法求解出a,b的值,进而得出椭圆的方程. 2.(2020陕西西安重点中学4月模拟,10)如图,已知椭圆C的中心为原点O,F(-2,0)为C的左焦点,P 为C上一点,满足|OP|=|OF|,且|PF|=4,则椭圆C的方程为( ) A.+=1 B.+=1 C.+=1 D.+=1 5 2 25 x 2 5 y 2 45 x 2 25 y 2 30 x 2 10 y 2 36 x 2 16 y 答案答案 D 设椭圆的标准方程为+=1(ab0),焦距为2c,右焦点为F,连接PF,如图所示,因为F (-2,0)为C的左焦点,所以
38、c=2,由|OP|=|OF|=|OF|知FPF=90,即FPFP,在RtPFF中,由勾 股定理得|PF|=8,由椭圆的定义得|PF|+|PF|=2a=4+8=12,所以a=6,于是b2= a2-c2=36-20=16,所以椭圆C的方程为+=1,故选D. 2 2 x a 2 2 y b 55 22 | -|FFPF 22 (4 5) -4 2 36 x 2 16 y 3.(2019豫东豫北十校4月联考,8)椭圆C:+y2=1(a0)的左、右焦点分别为F1,F2,P为椭圆上异于端 点的任意一点,PF1,PF2的中点分别为M,N,O为坐标原点,四边形OMPN的周长为2,则PF1F2的周 长是( )
39、A.2(+) B.4+2 C.+ D.+2 2 2 x a 3 233 2323 答案答案 A 由于O,M,N分别为F1F2,PF1,PF2的中点,所以OMPF2,ONPF1,所以四边形OMPN为平行四边形,且 |OM|=|PF2|,|ON|=|PF1|,所以OMPN的周长为2(|OM|+|ON|)=|PF1|+|PF2|=2a=2,所以a=,又知 a2=b2+c2,b2=1,所以c2=a2-1=2,所以|F1F2|=2c=2,所以PF1F2的周长为2a+2c=2+2=2(+ ),故选A. 1 2 1 2 33 2322 3 4.(2020河南开封二模,15)已知F1,F2是椭圆E:+=1的左
40、,右焦点,点M在E上,且F1MF2=,则 F1MF2的面积为 . 2 2 x a 2 3 y2 3 答案答案 3 3 解析解析 设|MF1|=m,|MF2|=n,由椭圆的定义可知m+n=2a,在MF1F2中,cosF1MF2= =-,即m2+n2-4c2=-mn,(m+n)2-4c2=mn,即4a2-4c2=mn,mn=4b2=43=12,=|MF 1| |MF2| sinF1MF2=mnsin=12=3. 222 1212 12 | -| 2| MFMFFF MF MF 222 -4 2 mnc mn 1 2 1 2 MF F S 1 2 1 2 2 3 1 2 3 2 3 5.(2020课
41、标卷地区百校联盟4月联考,15)已知椭圆C:+y2=1的左、右焦点分别为F1、F2,过F2的 直线交椭圆C于A,B两点,且AF1B=90,圆M与F1A的延长线,F1B的延长线,直线AB都相切,则圆M的 半径为 . 2 2 x 答案答案 2 2 解析解析 本题主要考查直线与椭圆及圆的位置关系,几何性质以及椭圆的定义的应用,考查学生分析 问题、解决问题的能力,及转化与化归思想的应用,考查的核心素养为逻辑推理,数学运算. 设M的半径为r,M分别切AB,F1A的延长线,F1B的延长线于点P,Q,R,连接MQ,MR,则四边形F1 RMQ是正方形,而|F1R|=|F1B|+|BP|,|F1Q|=|F1A|
42、+|AP|,故|F1R|+|F1Q|=|F1A|+|F1B|+|AB|=4a=4|F1R|=r =2. 2 2 6.(2019广西玉林高中5月月考,14)已知点A(-2,0),B(2,0),点C在直线y=1上,满足ACBC,则以A、B 为焦点且过点C的椭圆方程为 . 答案答案 +=1 2 6 x 2 2 y 解析解析 设C(m,1).A(-2,0),B(2,0),ACBC,=0,即m2-4+1=0,m=, 设椭圆方程为+=1,ab0, 则解得a=,b=,椭圆方程为+=1. ACBC3 2 2 x a 2 2 y b 22 22 -4, 31 1, a b ab 62 2 6 x 2 2 y 考
43、点考点2 2 椭圆的几何性质椭圆的几何性质 1.(2020全国24省4月联考,11)已知椭圆E:+=1(ab0),直线x-2y=0与椭圆E交于点P,与直线 x=(c=)交于点Q,O为坐标原点,且=,则椭圆E的离心率为( ) A. B. C. D. 2 2 x a 2 2 y b 2 2 a c 22 -a bOQ2OP 1 2 1 4 3 4 3 2 答案答案 D 由题意知点P在第一象限,如图,作PAx轴,垂足为点A,设直线x=与x轴的交点为B,点 P(x0,y0),|OB|=,点Q在直线x-2y=0上,|BQ|=.又=,x0=,y0=,点P ,代入+=1(ab0)得+=1,化简得(4e2-3
44、)2=0,e=,故选D. 2 a c 2 a c 2 2 2 2 a c OQ2OP 2 2 a c 2 4 a c 22 , 42 aa cc 2 2 x a 2 2 y b 2 2 2 a c 4 22 16 a b c 3 2 2.(2020河南名校联盟尖子生3月联考,10)已知点M,N是椭圆C:+=1(ab0)上的两点,且线段 MN恰为圆x2+y2=r2(r0)的一条直径,A为椭圆C上与M,N不重合的一点,且直线AM,AN斜率之积为-, 则椭圆C的离心率为( ) A. B. C. D. 2 2 x a 2 2 y b 1 3 1 3 2 3 3 3 6 3 答案答案 D 由题意知点M,
45、N关于原点对称,设M(s,t),则N(-s,-t),设A(x0,y0),由题意有+=1,+= 1,相减可得=-,所以kAM kAN=-,所以=,所以椭圆C的离心率e= ,故选D. 2 2 s a 2 2 t b 2 0 2 x a 2 0 2 y b 22 0 22 0 - - ty s x 2 2 b a 0 0 - - t y s x 0 0 - - - - t y s x 22 0 22 0 - - ty s x 2 2 b a 2 2 b a 1 3 2 2 1- b a 6 3 方法总结方法总结 利用点差法解决斜率问题的基本步骤:(1)设点;(2)代点:将设出的点的坐标代入椭圆方 程
46、;(3)作差:将第(2)步得到的两个方程作差,从而构造出直线AB的斜率以及AB中点M与原点O连线 斜率之间的关系;(4)得出结果. 3.(2020山西运城一模,11)已知F1、F2为椭圆+y2=1的左、右焦点,P是椭圆上异于顶点的任意一 点,点Q是F1PF2内切圆的圆心,过F1作FMPQ于M,O为坐标原点,则|OM|的取值范围为( ) A.(0,1) B.(0,) C.(0,) D.(0,2) 2 4 x 233 答案答案 C 本题主要考查椭圆的方程及定义,几何性质,椭圆焦点三角形的内切圆,考查学生的运算 求解能力和逻辑思维能力. 延长F1M,PF2相交于点N,如图所示, 点Q是PF1F2内切
47、圆的圆心,PQ是F1PF2的平分线,又F1MPQ,|PF1|=|PN|,且M为F1N的中 点,又O是F1F2的中点,|OM|=|F2N|=(|PN|-|PF2|)=(|PF1|-|PF2|)b0)上一点,若PF1 PF2,tanPF2F1=2,则椭圆的离心率e=( ) A. B. C. D. 2 2 x a 2 2 y b 5 3 1 3 2 3 1 2 答案答案 A 依题意,设|PF2|=m,则有|PF1|=2m,|F1F2|=m,则椭圆的离心率e=.故 选A. 5 12 12 | | | FF PFPF 5 3 m m 5 3 5.(2019江西南康中学第二次大联考,10)椭圆G:+=1(ab0)的两个焦点为F1(-c,0),F2(c,0),M是 椭圆上的一点,且满足=0.则椭圆离心率e的取值范围为( ) A. B. C. D. 2 2
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