2021年新课标（老高考）文数复习练习课件：第十三章 推理与证明.pptx

1、考点考点1 1 合情推理与演绎推理合情推理与演绎推理 1.(2019课标,5,5分)在“一带一路”知识测验后,甲、乙、丙三人对成绩进行预测. 甲:我的成绩比乙高. 乙:丙的成绩比我和甲的都高. 丙:我的成绩比乙高. 成绩公布后,三人成绩互不相同且只有一个人预测正确,那么三人按成绩由高到低的次序为( ) A.甲、乙、丙 B.乙、甲、丙 C.丙、乙、甲 D.甲、丙、乙 答案答案 A 本题主要考查逻辑推理,通过对“一带一路”知识测验成绩的预测,考查了学生的推理 论证能力;通过实际问题渗透了逻辑推理的核心素养. 三人成绩互不相同且只有一个人预测正确,有以下三种情况:(1)若乙预测正确,则丙预测也正确,

2、不 合题意;(2)若丙预测正确,甲、乙预测错误,即丙成绩比乙高,甲的成绩比乙低,则丙的成绩比乙和甲 都高,此时乙预测又正确,与假设矛盾;(3)若甲预测正确,乙、丙预测错误,可得甲成绩高于乙,乙成 绩高于丙,符合题意,故选A. 2.(2017课标,9,5分)甲、乙、丙、丁四位同学一起去向老师询问成语竞赛的成绩.老师说:你们四 人中有2位优秀,2位良好,我现在给甲看乙、丙的成绩,给乙看丙的成绩,给丁看甲的成绩.看后甲对 大家说:我还是不知道我的成绩.根据以上信息,则( ) A.乙可以知道四人的成绩 B.丁可以知道四人的成绩 C.乙、丁可以知道对方的成绩 D.乙、丁可以知道自己的成绩 答案答案 D

3、由题意可知,“甲看乙、丙的成绩,不知道自己的成绩”说明乙、丙两人是一个优秀一 个良好,则乙看了丙的成绩,可以知道自己的成绩,丁看了甲的成绩,也可以知道自己的成绩.故选D. 3.(2016课标,16,5分)有三张卡片,分别写有1和2,1和3,2和3.甲,乙,丙三人各取走一张卡片,甲看了 乙的卡片后说:“我与乙的卡片上相同的数字不是2”,乙看了丙的卡片后说:“我与丙的卡片上相 同的数字不是1”,丙说:“我的卡片上的数字之和不是5”,则甲的卡片上的数字是 . 答案答案 1和3 解析解析 丙的卡片上的数字之和不是5,则丙有两种情况:丙的卡片上的数字为1和2,此时乙的卡片 上的数字为2和3,甲的卡片上的

4、数字为1和3,满足题意;丙的卡片上的数字为1和3,此时乙的卡片 上的数字为2和3,甲的卡片上的数字为1和2,这时甲与乙的卡片上有相同的数字2,与已知矛盾,故情 况不符合,所以甲的卡片上的数字为1和3. 4.(2016山东,12,5分)观察下列等式: +=12; +=23; +=34; +=45; 照此规律, += . -2 sin 3 -2 2 sin 3 4 3 -2 sin 5 -2 2 sin 5 -2 3 sin 5 -2 4 sin 5 4 3 -2 sin 7 -2 2 sin 7 -2 3 sin 7 -2 6 sin 7 4 3 -2 sin 9 -2 2 sin 9 -2 3

5、 sin 9 -2 8 sin 9 4 3 -2 sin 21n -2 2 sin 21n -2 3 sin 21n -2 2 sin 21 n n 答案答案 4 (1) 3 n n 解析解析 观察前4个等式,由归纳推理可知+=n (n+1)= . -2 sin 21n -2 2 sin 21n -2 2 sin 21 n n 4 3 4 (1) 3 n n 5.(2017北京,14,5分)某学习小组由学生和教师组成,人员构成同时满足以下三个条件: (i)男学生人数多于女学生人数; (ii)女学生人数多于教师人数; (iii)教师人数的两倍多于男学生人数. 若教师人数为4,则女学生人数的最大值

6、为 ; 该小组人数的最小值为 . 答案答案 6 12 解析解析 设男学生人数为x,女学生人数为y,教师人数为z,由已知得且x,y,z均为正整数. 当z=4时,8xy4,x的最大值为7,y的最大值为6,故女学生人数的最大值为6. xyz,当x=3时,条件不成立,当x=4时,条件不成立,当x=5时,5yz,此时z=3,y=4. 该小组人数的最小值为12. , , 2, xy yz zx 2 x5 2 1.(2016北京,8,5分)某学校运动会的立定跳远和30秒跳绳两个单项比赛分成预赛和决赛两个阶段. 下表为10名学生的预赛成绩,其中有三个数据模糊. 在这10名学生中,进入立定跳远决赛的有8人,同时

7、进入立定跳远决赛和30秒跳绳决赛的有6人,则 ( ) A.2号学生进入30秒跳绳决赛 B.5号学生进入30秒跳绳决赛 C.8号学生进入30秒跳绳决赛 学生序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 立定跳 远(单 位:米) 1.96 1.92 1.82 1.80 1.78 1.76 1.74 1.72 1.68 1.60 30秒跳 绳(单 位:次) 63 a 75 60 63 72 70 a-1 b 65 以下为教师用书专用 D.9号学生进入30秒跳绳决赛 答案答案 B 因为这10名学生中进入立定跳远决赛的有8人,故立定跳远成绩排名最后的9号和10号 学生就被淘汰了. 又因为同时进入立定跳

8、远决赛和30秒跳绳决赛的有6人, 则18号学生中必有2人被淘汰,因为a-1a, 其余数字最小的为60, 故有以下几种情况: 若a-163,此时淘汰的不止2人,故此种情况不可能; 若a-1a60,此时被淘汰的为2号和8号; 若60a-1j),在an中都存在一项am,使得=am; 对于an中任意一项an(n3),在an中都存在两项ak,al(kl),使得an=. (1)若an=n(n=1,2,),判断数列an是否满足性质,说明理由; (2)若an=2n-1(n=1,2,),判断数列an是否同时满足性质和性质,说明理由; (3)若an是递增数列,且同时满足性质和性质,证明:an为等比数列. 2 i

9、j a a 2 k l a a 解析解析 (1)若an=n(n=1,2,),则数列an不满足性质,可以举反例验证.=N*,在数列an 中不能找到一项am(mN*),使得am=. (2)若an=2n-1(n=1,2,),则数列an能同时满足性质和性质. 对于an中任意两项ai,aj(ij), =22i-j-1=a2i-j. 令m=2i-j即可, 所以对于an中任意两项ai,aj(ij),在an中存在一项am(m=2i-j),使得=am, 故满足性质. 对于an中任意一项an=2n-1,下面寻求an中另外两项ak,al(kl),使得an=,即2n-1=22k-l-1,即n=2 k-l,可令l=n-

10、2,k=n-1(n3), 则此时an=2n-1=,故满足性质. 故数列an能同时满足性质和性质. (3)证明:(1)当n=3时,由性质可知存在两项ak,al,使a3=(kl), 2 3 2 a a 2 3 2 9 2 9 2 2 i j a a -1 2 -1 (2 ) 2 i j 2 -2 -1 2 2 i j 2 i j a a 2 k l a a -1 2 -1 (2) 2 k l 2 -4 -2-1 2 2 n n 2 k l a a 2 k l a a 又因为an是递增数列,所以a3akal,即3kl,所以k=2,l=1,此时=a3,满足a1,a2,a3为等比数列, 即n=3时命题成

11、立. (2)假设n=k(kN*,k3)时,命题成立,即an是以q=为公比的各项为正数的等比数列, 由性质,可取数列中的两项ak,ak-1,则数列中存在一项am= ak,所以am=qak, 下面用反证法证明当n=k+1时命题也成立,即am=ak+1. 假设ak+1am,因为an是递增数列,所以am=qakak+1,即有akak+1qak, 则a1qk-1ak+1t),即ak+1=asat,所以k+1st,符合条件, 所以as=a1qs-1,at=a1qt-1, 所以=a1q2s-t-1,所以a1qk-1a1q2s-t-1a1qk, 所以k-12s-t-1k,而k,s,tN*,所以不存在这样的一组

12、数k,s,t,所以am=ak+1,即n=k+1时,命题也成立. 由(1)(2)可知,an是等比数列. 2 2 1 a a 2 1 a a 2 -1 k k a a -1 k k a a 2 -1 k k a a 2 s t a a 2 s t a a 2 s t a a 方法技巧方法技巧 证明中寻找由k到k+1的变化规律是难点,突破难点的关键是掌握由k到k+1的证明方法. 在运用归纳假设时,应分析P(k)与P(k+1)的差异和联系,利用拆、添、并、放、缩等方法,从P(k)出 发拼凑出P(k+1),或从P(k+1)中分离出P(k),再进行局部调整. 2.(2016浙江,20,15分)设函数f(x

13、)=x3+,x0,1.证明: (1)f(x)1-x+x2; (2), 所以f(x). 综上,得f(x),从而问题得证. 1 1x 23 (1-)(1) 1 xx xx x 4 1- 1 x x 1 1x 1 1x 1 1x 1 1x 1 1x 3 2 3 2 ( -1)(21) 2(1) xx x 3 2 3 2 1 2 19 24 3 4 3 4 (2016江苏,20,16分)记U=1,2,100.对数列an(nN*)和U的子集T,若T=,定义ST=0;若T=t1,t2, ,tk,定义ST=+.例如:T=1,3,66时,ST=a1+a3+a66.现设an(nN*)是公比为3的等比数 列,且当

14、T=2,4时,ST=30. (1)求数列an的通项公式; (2)对任意正整数k(1k100),若T1,2,k,求证:ST0,nN*, 所以STa1+a2+ak=1+3+3k-1=(3k-1)3k. 因此,STak+1. (3)下面分三种情况证明. 若D是C的子集,则SC+SCD=SC+SDSD+SD=2SD. 若C是D的子集,则SC+SCD=SC+SC=2SC2SD. 若D不是C的子集,且C不是D的子集. 令E=CUD,F=DUC, 则E,F,EF=. 于是SC=SE+SCD,SD=SF+SCD,进而由SCSD得SESF. 设k为E中的最大数,l为F中的最大数,则k1,l1,kl. 由(2)知

15、,SEak+1.于是3l-1=alSFSEak+1=3k,所以l-12;设a为 实数, f(x)=x2+ax+a,求证|f(1)|与|f(2)|中至少有一个不大于,由反证法证明时可假设|f(1)|,且|f(2)| ,以下说法正确的是( ) A.与的假设都错误 B.与的假设都正确 C.的假设正确,的假设错误 D.的假设错误,的假设正确 1 2 1 2 1 2 答案答案 C 用反证法证明时,应假设结论不成立,所以正确; 设a为实数, f(x)=x2+ax+a,求证|f(1)|与|f(2)|中至少有一个不大于,用反证法证明时假设应为|f(1)| 且|f(2)|,所以错误.故选C. 1 2 1 2 1

16、 2 4.(2018安徽六安第一中学适应性考试,8)设函数f(x)=ln x,若a,b是两个不相等的正数且p=f(),q= f,r=f,v=f(a)+f(b),则下列关系式中正确的是( ) A.p=qvr B.p=vqr C.p=vrq D.pvqln =p, v=f(a)+f(b)=(ln a+ln b), 故p=vq, 又r=f=ln,2q=2ln=lnln,所以p=vqr.故选B. abab 1 2 1 2 2 ab 2 ab ab 1 2 1 2 1 2 1 2 22 2 ab 2 ab 2 () 4 ab 22 2 ab 一、选择题(每小题5分,共25分) B B组组 专题综合题组专

17、题综合题组 (时间：40分钟 分值：45分) 1.(2020宁夏二模,10)数学老师给出一个定义在R上的函数f(x),甲、乙、丙、丁四位同学各说出了 这个函数的一条性质: 甲:在(-,0)上函数单调递减; 乙:在0,+)上函数单调递增; 丙:函数f(x)的图象关于直线x=1对称; 丁:f(0)不是函数的最小值. 老师说:你们四个同学中恰好有三个人说法正确,则说法错误的同学是( ) A.甲 B.乙 C.丙 D.丁 答案答案 B 本题主要考查逻辑推理能力,函数的单调性、对称性和最值,属于基础题. 先假设甲、乙正确,由此判断出丙、丁错误,与已知矛盾,故甲、乙两人有一人说法错误,丙、丁正 确.而乙、丙

18、说法矛盾,由此确定乙说法错误.故选B. 2.(2020河南鹤壁线上第四次模拟,6)用“算筹”表示数是我国古代计数方法之一,计数形式有纵式 和横式两种,如图1所示.金元时期的数学家李冶在测圆海镜中记载:用“天元术”列方程,就 是用算筹来表示方程中各项的系数.所谓“天元术”,即是一种用数学符号列方程的方法,“立天 元一为某某”,意即“设x为某某”.如图2所示的天元式表示方程a0 xn+a1xn-1+an-1x+an=0,其中a0,a 1,an-1,an表示方程各项的系数,均为筹算数码,在常数项旁边记一“太”字或在一次项旁边记一 “元”字,“太”或“元”向上每层减少一次幂,向下每层增加一次幂. 图1

19、 图2 图3 试根据上述数学史料,判断图3天元式表示的方程是( ) A.x2+286x+1 743=0 B.x4+27x2+84x+163=0 C.1 743x2+286x+1=0 D.163x4+84x3+27x+1=0 答案答案 C 本题以数学文化为背景,考查数学阅读及理解能力,充分理解“算筹”法表示数和“天 元术”列方程的概念是解题的关键,属于中档题. 由题意可得,题图3中从上至下三个数字分别为1,286,1 743,由“元”对应一次项,且向上每层减少 一次幂,向下每层增加一次幂,可得天元式表示的方程为1 743x2+286x+1=0.故选C. 3.(2020河南适应性测试,11)现有灰

20、色与白色的卡片各八张,分别写有数字1到8.甲、乙、丙、丁四 个人每人面前摆放四张,并按从小到大的顺序自左向右排列(当灰色卡片和白色卡片数字相同时, 白色卡片摆在灰色卡片的右侧).如图,甲面前的四张卡片已经翻开,则写有数字4的灰色卡片是(填 写字母)( ) A.H B.J C.K D.P 答案答案 C 由图可知,灰色卡片E代表的数字为1,灰色卡片J代表的数字为2,则I为1,显然H、Q大于 4,则K或P为数字4. 若K为数字4,则存在F=5,G=6,H=7,L=8,M=3,N=4,P=5,Q=6,满足条件.若P为数字4,则M,N均小于4,显 然不符合题意.故选C. 4.(2019江西吉安教学质量检

21、测,9)斐波那契数列,又称黄金分割数列,指的是这样一个数列:1,1,2,3, 5,8,13,21,34,55,89,在数学上,斐波那契数列an定义为:a1=1,a2=1,an+2=an+an+1,斐波那契数列有种 看起来很神奇的巧合,如根据an+2=an+an+1可得an=an+2-an+1,所以a1+a2+an=(a3-a2)+(a4-a3)+(an+2-an+ 1)=an+2-a2=an+2-1,类比这一方法,可得+=( ) A.714 B.1 870 C.4 895 D.4 896 2 1 a 2 2 a 2 10 a 答案答案 C 将an+1=an+2-an两边同乘an+1,可得=an

22、+2an+1-an+1an, 则+=+(a2a3-a2a1)+(a3a4-a2a3)+(a10a11-a9a10)=1-a2a1+a10a11=1-1+5589=4 895.故选C. 2 1n a 2 1 a 2 2 a 2 10 a 2 1 a 思路分析思路分析 将an+1=an+2-an两边同乘an+1可得=an+2 an+1-an+1an,据此可得+=+(a2a3-a2a1)+ (a3a4-a2a3)+(a10a11-a9a10),计算可得答案. 2 1n a 2 1 a 2 2 a 2 10 a 2 1 a 5.(2019安徽合肥一中、马鞍山二中等六校教育研究会第二次联考,12)设AB

23、C的内角A,B,C所对 边的长分别为a,b,c,则下列命题正确的是( ) (1)若a2+b2;(2)若abc2,则C; (3)若a3+b3=c3,则C(a+b)c,则C; (5)若(a2+b2)c22a2b2,则C. A.(1)(2)(3) B.(1)(2)(5) C.(1)(3)(4) D.(1)(3)(5) 2 3 2 2 3 答案答案 D 对于(1),由a2+b2c2,可以得出cos C=,故正确; 对于(2),abc2cos C=,得出Ca3+b3,与a3+b3=c3矛盾,故正确; 对于(4),取a=b=2,c=1,满足2ab(a+b)c,利用余弦定理得C,故错误; 对于(5),因为2

24、abc2(a2+b2)c22a2b2, 所以c2=, 所以C0), 两边平方得,12+=t2,即12+t=t2, 则t2-t-12=0,解得t=4或t=-3(舍去). 7.(2020甘肃陇南二诊,16)定义p(n)为正整数n的各位数字中不同数字的个数,例如p(555)=1,p(93)= 2,p(1 714)=3.在等差数列an中,a2=9,a10=25,则an= ,数列p(an)的前100项和为 . 答案答案 2n+5;227 解析解析 在等差数列an中,a2=9,a10=25,公差d=2,an=9+2(n-2)=2n+5. a1=7,a100=205,an为奇数, an=7,9,11,33,

25、55,77,99,111时,p(an)=1. an=101,113,115,117,119,121,131,133,141,151,155,161,171,177,181,191,199时,p(an)=2. 在an中,小于100的项共有47项,这47项中满足p(an)=2的共有47-7=40项, 故数列p(an)的前100项和为18+2(40+17)+3(100-8-40-17)=227. 25-9 10-2 思路分析思路分析 在等差数列an中,a2=9,a10=25,求出公差d后利用通项公式可得an. an为奇数,通过分类 讨论:满足p(an)=1,p(an)=2,p(an)=3的项,即可得

26、出答案. 8.(2019辽宁鞍山一中一模,14)如下分组的正整数对:第1组为(1,2),(2,1),第2组为(1,3),(3,1),第3 组为(1,4),(2,3),(3,2),(4,1),第4组为(1,5),(2,4),(4,2),(5,1),则第40组的第21个数对为 . 答案答案 (22,20) 解析解析 由题意可得第1组数对中的各数的和为3,第2组数对中各数的和为4,第3组数对中各数的和 为5,第4组数对中各数的和为6, 第n组数对中各数的和为n+2,且各个数对中无重复数字, 可得第40组数对中各数的和为42, 则第40组的第21个数对为(22,20). 9.(2018豫南九校第六次质

27、量考评,15)已知函数f(x)=+,由f(x-1)=+是奇函数, 可得函数f(x)的图象关于点(-1,0)对称,类比这一结论,可得函数g(x)=+的图象关 于点 对称. 1 x 1 1x 1 2x 1 -1x 1 x 1 1x 2 1 x x 3 2 x x 7 6 x x 答案答案 7 -,6 2 解析解析 由题意得g(x)-6=-1+-1+-1+-1+-1+-1=+ +, 则g-6=+, 令g-6=+=h(x),h(-x)=+ =-h(x),h(x)是奇函数,函数g(x)=+的图象关于点对称. 2 1 x x 3 2 x x 4 3 x x 5 4 x x 6 5 x x 7 6 x x

28、1 1x 1 2x 1 3x 1 4x 1 5x 1 6x 7 - 2 x 1 7 -1 2 x 1 7 -2 2 x 1 7 -3 2 x 1 7 -4 2 x 1 7 -5 2 x 1 7 -6 2 x 7 - 2 x 1 5 - 2 x 1 3 - 2 x 1 1 - 2 x 1 1 2 x 1 3 2 x 1 5 2 x 1 5 - - 2 x 1 3 - - 2 x 1 1 - - 2 x 1 1 - 2 x 1 3 - 2 x 1 5 - 2 x 2 1 x x 3 2 x x 7 6 x x 7 -,6 2 (2020 5 3原创题)给出一组函数:f1(x)=log2(x2+2x

29、+3), f2(x)=ln(2x2+5x+8), f3(x)=lg(3x2+8x+13), f4(x)=log 0.3(x 2+6.465 517x+11.931 034),请你通过研究以上所给的四个函数解析式具有的特征,写出一 个类似的函数解析式y=loga(Ax2+Bx+C)(a0,且a1): .(答案不唯一) 答案答案 y=log3(4x2+7x+10) 解析解析 由f1(x)=log2(x2+2x+3), f2(x)=ln(2x2+5x+8),f3(x)=lg(3x2+8x+13), f4(x)=log0.3(x2+6.465 517x+11.93 1 034),可知函数的定义域均为R,真数的各项系数成等差数列, 故y=loga(Ax2+Bx+C)(a0,且a1)只要满足即可, 函数y=log3(4x2+7x+10)即满足. 2 0, 2, -40 A BAC BAC 命题说明命题说明 这是一道开放性的题目,答案不唯一,通过对4个函数共同特点的研究,考查抽象概括能 力,题目新颖.