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1、微观经济学完整教学课件微观经济学完整教学课件1 第一章第一章 最优化数学方法最优化数学方法 学习目标学习目标 集合与函数 单一变量函数的极大与及极小问题单一变量函数的极大与及极小问题 多变量函数在无限制条件下的最优化分析多变量函数在无限制条件下的最优化分析 等式限制条件下的最优化方法：拉格朗日等式限制条件下的最优化方法：拉格朗日 方法方法 不等式限制条件下的最优化方法：不等式限制条件下的最优化方法：Kuhn- Tucker conditions 集合与函数集合与函数 集合 (set) 就是一些元素 (element) 的集合，例如某校经济系教 师的集合，或中国人的集合等等。 序偶 (order

2、ed pair)：例如两个消费组合 (consumption bundle) 分别为，两个苹果与两条香蕉：(2, 2)，及一个苹果与三条香蕉： (1, 3)，则消费组合的集合为 A = 。 集合可以用来说明充分条件 (sufficient condition ) 与必要条件 (necessary condition) ： 3 , 1,2 , 2 集合与函数集合与函数 图图1-1 充分条件与必要条件充分条件与必要条件 集合与函数集合与函数 图图1-2 不同的充分条件不同的充分条件 (A或或C或或D) 都可能使必要条件都可能使必要条件 (B) 成立成立 集合与函数集合与函数 图图1-3 (a)函数

3、关系；函数关系； (b)非函数关系非函数关系 集合与函数集合与函数 使用实数值函数 (real-value function) 时，必须要接受实数系的性质：任意两个 实数 x, y 之间可以比较是大于 (x y)、小于 (x y 及 y z，则 x z)。 若某一个消费者的选择可以用实值函数来代表： 1 : uXR 则是假设了此消费者一定可以：(1) 比较任意两个消费组合的优劣；(2) 排列消费组 合的优先次序时不会颠倒 (若觉得 A 优于 B，B 优于 C，则绝不会有 C 优于 A 的情 形)；或称此人是具有理性的偏好 (rational preference)： (a) 完整性 (comp

4、leteness)：任意两个 A 与 B 消费组合，下列三种情形至 少有一种可以成立： AB， BA 或 AB (其 中 代表至少如.那么好， 代表 无差异)； (b) 递延性 (transitivity)： 任意三个 A， B 与 C 消费组合， 若 AB 及 BC， 则 AC。 无限制条件下单一变量函数最优化问题无限制条件下单一变量函数最优化问题 释例1 x 称为决策变数 (decision variable) 或内生变数 (endogenous variable)，参数3与2及6称为外生参数 (exogenous parameter)。内生变量是由目标函数 (objective func

5、tion)： 得到的解，因此它会是外生参 数的函数 (亦即当给定的参数3或2或6改变时，问题的解 会随之改变)。 xxxfyMinMax x 63)(/ 2 无限制条件下单一变量函数最优化问题无限制条件下单一变量函数最优化问题 * ( )0, x x fx 或 1066)( * xxxf (1-1) 上式我们称为存在极值的必要条件 (一阶条件)：若是目标函数有极值 (有最大或最 小值) 存在，则 ) 1( * xf 必定是该函数的极值； * x 又称为稳定点 (stationary point) 。 无限制条件下单一变量函数最优化问题无限制条件下单一变量函数最优化问题 二阶条件 (充份条件)：

6、 * 1 ( )60 x x fx (1-2) 亦即：当 1 * x 时，)(xf 有极小：3) 1 (6) 1 (3) 1 ( 2 f。 无限制条件下单一变量函数最优化问题无限制条件下单一变量函数最优化问题 二阶微分的导数可以判定由一阶条件 (式(1-1) 得到的解是极大或极小： 因为 * * * ) )( ( )( )( xx xx xx x dx xdf dx xf d xf 所以，如图 1-5(a)所示， 0 ) )( ( x dx xdf ：由 * x 往右至 0)()()(: * 11 xfxfxfx 0 * 1 xxx 由 * x 往左至 * 22 :( )()()0 xfxfx

7、fx * 2 0 xxx 无限制条件下单一变量函数最优化问题无限制条件下单一变量函数最优化问题 如图 1-5(b)所示，0 ) )( ( x dx xdf ：由 * x往右至0)()()(: * 11 xfxfxfx 0 * 1 xxx 由 * x往左至 * 22 :( )()()0 xfxfxfx * 2 0 xxx 如图 1-5(c)所示， (?) ) )( ( x dx xdf ：由 * x 往右至 0)()()(: * 11 xfxfxfx 0 * 1 xxx 由 * x 往左至 * 22 :( )()()0 xfxfxfx * 2 0 xxx 无限制条件下单一变量函数最优化问题无限制

8、条件下单一变量函数最优化问题 图图 1-5 (a) xxxf63)( 2 有极小值有极小值 ; (b) 2 ( )36g xxx 有极大值有极大值 (c) 3 )(xxh 无极值无极值 无限制条件下单一变量函数最优化问题无限制条件下单一变量函数最优化问题 规则： 若 )(xf 为一次与两次可微分，并且 , 0)( * xx xf (A)： 则 0)( * xx xf 代表 )( * xf 为极小； 0)( 0 x xf 代表 )( * xf 为极大。 若 )(xf 为一次与两次可微分，并且0)( * xx xf 及 (B)： )( * xf 为极大，则 0)( * xx xf； )( * xf

9、 为极小，则 0)(* xx xf。 无限制条件下单一变量函数最优化问题无限制条件下单一变量函数最优化问题 图图1-6 在求极值时函数正转换后的决策变量值仍不变在求极值时函数正转换后的决策变量值仍不变 无限制条件下的多变量函数最优化问题无限制条件下的多变量函数最优化问题 ),(/ 21 , 21 xxfyMinMax xx (1-4) 一阶条件可以表示为： 112 1 0 () f xx x x (1-4a) 221 2 0 () f xx x x (1-4b) 其中 )( 211 xxx 代表 1 x 为 2 x 的函数； )( 122 xxx 代表 2 x 为 1 x 的函数 (注意 并不

10、是代表 1 x 与 2 x 相乘)。 无限制条件下的多变量函数最优化问题无限制条件下的多变量函数最优化问题 式(1-4a)的意义为：在固定不同的 2 x 之下，求出 f 函数与这些固定的 12 00 xycx 平面的截面的极值 (其中 c 为一常数)， 0 tan 11 2 tconsx dx df x f 如图 1-7(a)所示， 当固定 2 x 为 22 xx 时， ),( 21 xxfy 与 122 00 xyxx 的 截面为： ),( 21 xxfy 12 ( ,)yf x x 122 00 xyxx 对 ),( 21 xxfy 中的 1 x 微分，并令其导数为零： 22 1212 1

11、12 11 (,)(,) 0 () xx df x xf x x xx x dxx 无限制条件下的多变量函数最优化问题无限制条件下的多变量函数最优化问题 我们也可以将式(1-4a)代入 ),( 21 xxfy 中，这就相当于求出 )( 211 xxx 与 ),( 21 xxfy 的截面，这时 f 函数将只是 2 x 的函数，然后再求解下列最优化的问 题： ),(/ 221 2 xxxfyMinMax x (1-5) 由式(1-5)的一阶条件： 0 ),( 2 221 x xxxf 得到的 * 2 x 及由 )( * 21 * 1 xxx 求得的 * 1 x 会等于由式(1-4a)及式(1-4b

12、)同时求解得到 的 * 1 x 及 * 2 x 。也就是说，一次性求解(式(1-4a)及式(1-4b)与两步骤求解(式(1-5)所 得到的答案会相同。 无限制条件下的多变量函数最优化问题无限制条件下的多变量函数最优化问题 图图1-7 一阶条件的几何意义一阶条件的几何意义 无限制条件下的多变量函数最优化问题无限制条件下的多变量函数最优化问题 由二阶条件来判定由一阶条件得到的解到底是极大还是极小。 令 ),( 21 xxfy ， 则 2211 dxfdxfdy，而一阶条件的 0)( 11 xff 及 0)( 22 xff 使得 * 1122 1122 , 0 xxxx dyf dxf dx 无限制

13、条件下的多变量函数最优化问题无限制条件下的多变量函数最优化问题 若是 1 0dx 则 22 222 ()d yfdx (若是 2 0dx 则 22 111 ()d yfdx)， 等于又回到如何 判定单一变量函数有极大或极小的问题，因此引用同样的判定规则： * * 11 11 * * 22 22 2 ()0 xx xx xx xx d dyd y 为极大存在的充分条件； * * 11 11 * * 22 22 2 ()0 xx xx xx xx d dyd y 为极小存在的充分条件。 无限制条件下的多变量函数最优化问题无限制条件下的多变量函数最优化问题 )()()( 22112211 2 dxf

14、ddxfddxfdxfdyd )()()()( 22221111 dxdfdxfddxdfdxfd 因为 1 dx 与 2 dx 为常数 (它们不是函数)，因此 0)()( 21 dxddxd ， 2 2222112 2 111 2 )()(2)(dxfdxdxfdxfyd 2 1 2212 1211 21 dx dx ff ff dxdx 无限制条件下的多变量函数最优化问题无限制条件下的多变量函数最优化问题 如何判定 * 2 x x d y 的正或负。我们先来看下面的一个二次函数： 2 221 2 121 883),(zzzzzzQ 2 1 21 84 43 z z zz 2 22 122

15、43 84 (3) ()() () 33 zzz 无限制条件下的多变量函数最优化问题无限制条件下的多变量函数最优化问题 22 1211 112 12222 ( ,)2Q z za za z za z 11121 12 12222 aaz zz aaz 2 2 11 2 122211 2 2 11 12 111 )()()()(z a aaa z a a za (1) 0 11 a 并且 0 11 2 122211 a aaa ，则不论 1 z 与 2 z 为何值， 0),( 21 zzQ ； (2) 0 11 a 并且 2 112212 11 0 a aa a ，则不论 1 z 与 2 z 为

16、何值， 0),( 21 zzQ 。 无限制条件下的多变量函数最优化问题无限制条件下的多变量函数最优化问题 令 1122111112122222 , , , , zdxzdxafafaf，并将 * 11 xx 及 * 22 xx 代入 ij f 中，则判断极值的规则 (充分条件) 为： 令 2212 1211 ff ff H， ),( * 2 * 1 * xxx ，以及 * * 111 () x x H xf (或 * 22 x x f )， * 1112* 2 1222 ()() x x ff HxH x ff (1) 若 * 1( )0H x 并且 * ()0H x，则 * 2 0 x x

17、d y ， ),( * 2 * 1 xxf 为极小； (2) 若 * 1( )0H x 并且 * ()0H x，则 * 2 0 x x d y ， ),( * 2 * 1 xxf 为极大。 无限制条件下的多变量函数最优化问题无限制条件下的多变量函数最优化问题 二阶条件是检验极值是否存在的充分条件，但不是必要条件，并且一阶 (必要) 条件得到的只是相对于 * x 附近点的极值 (是 local minimum 或 local maximum)。 我们若由一阶条件能得到 * x，并且也确定目标函数的图形是类似于图 1-6、图 1-7、图 1-9，则就不需要检验二阶条件，而一阶条件就成为函数极值存在

18、的充分 且必要条件，此时函数的极值 )( * xf 也是全面性的极值 (global minimum 或 global maximum)。 无限制条件下的多变量函数最优化问题无限制条件下的多变量函数最优化问题 定义凹函数 (concave function)： ( ), yf xx 为一向量，令 10 及函数 f 定义域中的任意两点：v, u 若 (1) )( )(1)( )fvuf vf u 其意义为： 函数上任意两点的连线 (类似弓的弓弦) 要小于函数的本身 (类似弓的弓 背)。 定义凸函数 (convex function)： ( ), yf xx 为一向量，令 01 及函数 f 定义域

19、中的任意两点：v, u 若 (1) )( )(1)( )fvuf vf u 其意义为： 函数上任意两点的联机 (类似弓的弓弦) 要大于函数的本身 (类似弓的弓 背)。 无限制条件下的多变量函数最优化问题无限制条件下的多变量函数最优化问题 1. 线性函数同时是凸函数也是凹函数 (但不为严格凸或凹函数)； 2. 若 f 函数为凹函数，则 f 为凸函数；反之亦然 (见图 1-5a 及图 1-5b)； 3. 若 f 与 g 函数为凹 (凸) 函数，则 fg 亦为凹 (凸) 函数；若 f 为严格 凹 (凸) 函数，而 g 为凹 (凸) 函数，则 fg 为严格凹 (凸) 函数。 无限制条件下的多变量函数最

20、优化问题无限制条件下的多变量函数最优化问题 释例 7 一厂商以两种生产投入：劳动 (L) 及资本 (K) 来生产产量 q = q(L, K)， 面对的是固定的产品价格 p，雇用劳动的单位价格为 w，雇用资本每单位价格 为 r，则厂商的利润最大化问题为： KrLwKLqpKLMax KL ),(),( , 一阶条件： * 0 ( , ,), ( , ,) 0 L K p qw L LL p r wKK p r w p qr K 二阶条件： LLLKLLLK KLKK LKKK p qp q H p qp q 无限制条件下的多变量函数最优化问题无限制条件下的多变量函数最优化问题 * L 与 * K

21、 都是齐次函数 (homogenous function)，并且是对 “wrp,” 零次的 齐次函数： 若 0,t 则 0* (,)( , , )( , , )L t p tw trtL p w rL p w rL 0* (,)( , , )( , , )K t p tw trtK p w rK p w rK 利润函数是对 ),(wrp 的一次齐次函数 (homogenous in , ,p r and w of degree one)： 0, (,. ),(,)()(,),(,)tL t p twtrK t p tw trt pq L t p tw trK t p tw tr ),()(),

22、()(trtwptKtrtrtwptLtw ),()(),()(),(),()(rwpKtrrwpLtwrwpKrwpLqpt ),(),( * rwptKLt 无限制条件下的多变量函数最优化问题无限制条件下的多变量函数最优化问题 定理 1-1),( 321n xxxxfy 是对 123 , n x xxx 的 次的齐次函数 1 12212 (,) nnn f xf xf xf x xx 证明： 这个定理又称为 Euler 定理，我们在此仅证明 ()： () 设若 1212 0, (,)(,), nn tf tx txtxtf x xx 则等式两边对 t 偏微分并在 t = 1 衡量之： 11

23、112 12 1 (,)(,)(,)()()() ()()() nnnn n t f txtxf txtxf txtxtxtxtx txttxttxt 1 12 1 (,) n t tf x xx 或 111 1212 12 (,)(,)(,) (,) nnn nn n f xxf xxf xx xxxf x xx xxx 无限制条件下的多变量函数最优化问题无限制条件下的多变量函数最优化问题 定理 1-2),( 321n xxxxfy 是对 123 , n x x xx 的 次的齐次函数 12 , , , n fff 是对 12 , n x xx 的 1 次齐次函数。 证明： 设若 1212

24、0, (,)( ,), nn tf tx txtxtf x xx 则等式两边对 i x 偏微分： 11 (,)()( ,) ()( ) nin iii f txtxtxf xx t txxx 或 1 11 (,)( ,) ()( ) nn ii f txtxf xx t txx 无限制条件下的多变量函数最优化问题无限制条件下的多变量函数最优化问题 比较静态 (comparative static)：想要知道外生参数 (, ,p r w) 其中之一变动时，对 内生变量 ),( * KL 的影响。 由一阶条件分析： * * * * ()()00 ()() 10 LKLL KKKL KL p qp

25、q rr KL p qp q rr * *2*2 ; ()() LKLL KKLLLKKKLLLK qqLK rrp qqqp qqq 无限制条件下的多变量函数最优化问题无限制条件下的多变量函数最优化问题 Hotelling 引理是包络定理 (Envelope theorem) 的一个例子。将 ),( * pwrKK 及 ),( * pwrLL 代入目标函数 ),(KL 中，再对 r, w 及 p 偏微分： * ( , ,) ( ,),( ,)( ,)( ,) p r w p q L r w p K r w pw L r w pr K r w p rrr * * qLqKLK ppwKr Lr

26、Krrr * * qLqK pwprK LrKr * K (其中 * , KL 满足一阶条件： * 0, 0 qq pwpr LK ) 无限制条件下的多变量函数最优化问题无限制条件下的多变量函数最优化问题 * * ( , ,)p r wqLqKLK qppwr LKpppppp * * qLqK pwprqq LKpp 由 Young 定理： rwwr *2*2 ，因此 r L w K * 等式限制条件下最优化问题等式限制条件下最优化问题 释例 8 12 22 121212 , /( ,)242064 x x Max Min zf x xxxxx 其中 12 5xx 上式可表示为： 12 22

27、 121212 , 12 /( ,)242064 5 x x Max Min zf x xxxxx Subject toxx 等式限制条件下最优化问题等式限制条件下最优化问题 将 21 5xx 代入 ),( 21 xxfz 中，这就相当于找出 ),( 21 xxfz 与 12 05xzx 的截面： 22 1212 12 242064 05 zxxxx xzx 所得到的 22 22222 ()(5)24(5)2064zf xxxxx 即为图 1-11 的截面投影 在 z 与 2 x 的平面上，亦即式(1-8)可改写为： )( 2 2 xfMax x 22 2222 (5)24(5)2064xxx

28、x 一阶条件： * 212 2 12 0 4, 5 33 df xxx dx (为图 1-11 的 B 点) 。 等式限制条件下最优化问题等式限制条件下最优化问题 图图1-11 无限制条件与等式限制条件下的极值无限制条件与等式限制条件下的极值 等式限制条件下最优化问题等式限制条件下最优化问题 以一般式表示为： cxxgts xxfzMinMax xx ),(. . ),(/ 21 21 , 21 (1-9) 其中 c 为常数。目标函数 12 (,)zf x x 与限制条件 cxxg),( 21 的截面是下列联 立方程式的解： cxxg xxfz ),( ),( 21 21 (1-10) 我们是

29、要在此截面上找出最优解。 等式限制条件下最优化问题等式限制条件下最优化问题 亦即找出 * 1 x 与 * 2 x 使得0 2211 dxfdxfdz，但其中的 1 dx 与 2 dx 必须要满 足： 1122 ( )0dgg dxg dxd c (换言之， 1 dx 与 2 dx 之中只有一个可以为自由变 量： 2 12 1 () g dxdx g 或 1 21 2 () g dxdx g )，并且 * 1 x 与 * 2 x 必须要满足 0, 0dzdg 及 cxxg),( 21，这就是下列联立方程式的解： 0 2 * 21 * 1 * dxfdxfdz (1-11a) 0 2 * 21 *

30、 1 * dxgdxgdg (1-11b) cxxg),( * 2 * 1 (1-11c) 等式限制条件下最优化问题等式限制条件下最优化问题 1 dx 与 2 dx 同时为零可以满足式(1-11a)与式(1-11b)， 但这并没有意义 (因为代 表没有改变 1 x 与 2 x 来寻找最适解)， 因此这两式子在 * 11 xx 及 * 22 xx 时应为 相依方程式： * * 2 * 2 * 1 * 1 * 2 * 1 * 2 * 1 0 g f g f gg ff 或 其中 * 为一常数。因此式(1-11a)至式(1-11b)可整理为： 11 * 2212 12 0 0 , , ( ,) fg

31、 fgxx g x xc (1-12) 等式限制条件下最优化问题等式限制条件下最优化问题 这就相当于将等式限制下的最优化问题式(1-9)改写为无条件限制下的最优化问 题： 12 1212 , /(,)(,) x x Max MinLf x xg x xc (1-13) 它的一阶条件就是式(1-12)(只是其中的 12 (,)0g x xc 成为 0),( 21 cxxg )，式 (1-13)又称为拉格朗日方法 (Lagrange-Multiplier method)， 其中的 称为拉氏乘数。 等式限制条件下最优化问题等式限制条件下最优化问题 式(1-9)的二阶充份条件也是需要检验 * 2 0

32、x d z 或 * 2 0 x d z (前者表示)( * xf 为 极小，后者表示 )( * xf 为极大)， 此时：(1) 1 dx 与 2 dx 只有一个可以为自由变量；(2) 1 dx 与 2 dx 必须满足 0 2211 dxgdxgdg 等式限制条件下最优化问题等式限制条件下最优化问题 若设 1 dx 为自由变数而 1 2 1 12 )()(dx g g dxhdx，则： 2 1122111222 12 0d gg dxg dxdxg dxg dxdx xx 122 11111212121 11 ()()()()() dxdx gdxgdxgdxdxgdx xx 122 12121

33、222222 22 ()()()()() dxdx gdxdxgdxgdxgdx xx (因为 1 dx 为常数， 11 12 ()() 0 dxdx xx ，而且 2 22 21222 12 ()() ()()() dxdx gdxdxgd x xx ) 2222 111121222222 0()2()()()()d ggdxgdxdxgdxgd x 或 222 111222 21122 222 ()2()()() ggg d xdxdxdxdx ggg (1-14) 等式限制条件下最优化问题等式限制条件下最优化问题 2 1122111222 12 d zf dxf dxdxf dxf dx

34、dx xx 222 111121222222 ()2()()()()fdxfdxdxfdxfd x 将式(1-14)代入上式： 222 222 1111112121222222 222 ()2() ()() fff d zfgdxfgdxdxfgdx ggg 22 11111212 22 1 12 2 22 12122222 22 ff fgfg ggdx dxdx dx ff fgfg gg (1-15) 等式限制条件下最优化问题等式限制条件下最优化问题 检验 * 2 x d z 是否大于或小于零： 2 * (,)(,) 1212 22 * * * * 2 1111112121222222

35、* 0 1122 d z xxxx fgdxfgdxdxfgdx g dxg dx 其中 (1-15) 等式限制条件下最优化问题等式限制条件下最优化问题 22 1211 112 122 ,2Q z za za z zz, 其中 1 122 0b zb z 将 1 1 2 2 b z z b 代入 12 ,Q z z 中： 2 22 1 1211 212 1 222 1 2 ,2 z Q z za ba bba b b 而 1211121 22 11 212 1 222 11111212222 2122212 0 2 0 bbaab a ba bba bbaaaabA baabb 因此 12 1

36、2 ,0 0 or 0 ,0 0 0 Q z zAA Q z zAA or 等式限制条件下最优化问题等式限制条件下最优化问题 令 11, zdx 22 ,zdx * 11, bg * 22, bg * 111111 - ,afg * 121212 - ,afg * 222222 - ,afg 及支配黑塞矩阵（boarded Hessian matrix） _ * ()H x 为： * 12 * * 22 111111212 * 22 * * 22 212122222 * 22 0 ()()() ()() gg ff H xgfgfg gg ff gfgfg gg * 12* 12 * * 11

37、 111111212111111212 * 11* 212122222 * * 11 212122222 * 11 0 0 ()()()() ()() ()() gg gg ff gfgfggfgfg gg gfgfg ff gfgfg gg 因此式(1-9)(或式(1-13)的二阶充分条件的判断规则为： (I) 若 * _ *2 ()0 ( 0) , x H xd z 则 * 12 (,)f xx 为极小； (II) 若 * _ *2 ()0 ( d0) , x H xz 则 * 12 (,)f xx 为极大。 等式限制条件下最优化问题等式限制条件下最优化问题 二阶条件也只是充分而非必要条件

38、 (也就是说即使 )( , 0 *2 * xfzd x 也有可能是 极值)，并且 )( * xf 只是相对于 * x 附近的点的极值 (relative constrained maximum or minimum)。 若能确定式(1-9)的目标函数是拟凹函数 (quasiconcave function)，则式(1-13)的一阶 条件就会是极值存在的充分与必要条件。 等式限制条件下最优化问题等式限制条件下最优化问题 定义 ), . ,( 1n xxfz 为拟凹函数，则： 令 10 及 v 与 u 为 f 函数定义域中任意两向量， 则 ( ) ( ) ( (1) ) ( )f vf ufuvf

39、 u (1-16) (将改为即为严格拟凹函数)。拟凹函数还有下列的性质： 令 10 ，则对任意常数 c ， : ( ) Sxf xc 为凸集合 (convex set) (1-16) 等式限制条件下最优化问题等式限制条件下最优化问题 (i) 线性函数是拟凹函数；(ii) 若 f 为凹函数，令 0 1 及 u 与 v 为 f 函数定义域中任意两向量： ( (1) ) ( )(1) ( ) fuvf uf v (若 ( )( )f vf u) ( )(1) ( )( ) f uf uf u 因此这个 f 函数亦是拟凹函数。 等式限制条件下最优化问题等式限制条件下最优化问题 图图1-12 (a) 拟

40、凹函数；拟凹函数；(b) 凹函数；凹函数；(c) 严格凹函数严格凹函数 等式限制条件下最优化问题等式限制条件下最优化问题 因为 * 1 x 与 * 2 x 为常数 c 的函数 (内生变量是外生参数的函数)，因此 * 121212 ( ), ( )( ), ( )( )( ), ( )ff x cx cLf x cx ccg x cx cc * * 1212 12 1212 (, )1 xxxxfLffgg g xxc ccxcxccxcxc * * 12 112212 (, ) xx fgfgg xxc ccc 因为 * 12 , , xx 是由一阶条件得到，因此： * * f c 0 * 则

41、代表当限制条件 cxxg) , ( 21 中的常数项 c 增加时，极值会上升。 若是 0 * 则代表 c 若微量上升，目标函数的值会下降。 不等式限制条件下最优化问题不等式限制条件下最优化问题 释例 10 12 22 121212 , 12 (, )242064 . . 5 x x Maxf xxxxxx stxx (1-17) 由于 12 22 121212 , 2420645 x x MaxLxxxxxx 一阶条件： , 0 3 8 , 3 13 , 3 2 0)5( 0204 042 * 2 * 1 21 2 2 1 1 xx xx L x x L x x L 0 * cf 代表微量放宽

42、限制条件：由 5 21 xx 改为 cxx5 21 (其 中 c 为非常小的正值)，拉格朗日方法的解会使得 f 函数值上升，因此 如图 1-13 所示， ) 3 13 , 3 2 (f 是式(1-17)的最优解 (极大值) 。 不等式限制条件下最优化问题不等式限制条件下最优化问题 图图1-13 由由 * 的正负号判定拉格朗日方法的解是否为极大值的正负号判定拉格朗日方法的解是否为极大值 不等式限制条件下最优化问题不等式限制条件下最优化问题 12 22 121212 , 12 ( , )242064 . . 8 x x Maxf xxxxxx stxx (1-18) 由拉格朗日方法： 12 22

43、121212 , 2420648 x x MaxLxxxxxx 一阶条件： 1 1 * 212 2 12 240 21-4 4200 2 , 5 , 0 , 333 (8)0 L x x L xxx x L xx 0 * cf 代表此时若微量放宽 8 21 xx 限制， 会使得 f 函数值下降 (见 图 1-13)。因此，此时应去掉式(1-18)的限制条件，以无限制条件下最优化方法求解。 不等式限制条件下最优化问题不等式限制条件下最优化问题 在不等式限制条件下最大化的一阶条件的规则： 1 1 ,., 1 z(, . , ) . . g( , . , ) n n xx n Maxf xx stxxc 改写为： 12 11 ,., ( , . , ) ( , . , ) n nn x xx MaxLf xxg xxc (i) 若一阶条件的 0 * ，则得到的 ) , . ,( * 1 * n xxx 为最优解； (ii) 若一阶条件的 0 * ，则去除限制条件： 1 (,