不等式高级水平必备.pdf

1、第第 1 页页 不等式高不等式高级级水平必水平必备备 目目录录 Ch1. 伯努利不等式伯努利不等式 Ch2. 均均值值不等式不等式 Ch3. 幂幂均不等式均不等式 Ch4. 柯西不等式柯西不等式 Ch5. 切比雪夫不等式切比雪夫不等式 Ch6. 排序不等式排序不等式 Ch7. 琴生不等式琴生不等式 Ch8. 波波波波维维奇奇亚亚不等式不等式 Ch9. 加加权权不等式不等式 Ch10. 赫赫尔尔德不等式德不等式 Ch11. 闵闵可夫斯基不等式可夫斯基不等式 Ch12. 牛牛顿顿不等式不等式 Ch13. 麦克麦克劳劳林不等式林不等式 Ch14. 定定义义多多项项式式 Ch15. 舒舒尔尔不等式不等

2、式 Ch16. 定定义义序列序列 Ch17. 缪尔缪尔海德不等式海德不等式 Ch18. 卡拉卡拉玛玛塔不等式塔不等式 Ch19. 单调单调函数不等式函数不等式 Ch20. 个个对对称称变变量量法法 3pqr Ch21. 个个对对称称变变量量法法 3uvw Ch22. 法法 ABC Ch23. 法法 SOS Ch24. 法法 SMV Ch25. 拉格朗日乘数法拉格朗日乘数法 Ch26. 三角不等式三角不等式 Ch27. 习题习题与与习题习题解析解析 第第 2 页页 Ch1. 伯努利不等式伯努利不等式 1.1 若若实实数数（ （）各）各项项符号相同，且符号相同，且， ，则则： ： i xi1 2n

3、, ,., i x1 12n12n 1x1x1x1xxx()().().1( ) 式式为为伯努利不等式伯努利不等式. 1( ) 当当时时， ，式式变为变为： ： 12n xxxx.1( ) n 1x1nx()2( ) Ch2. 均均值值不等式不等式 2.1 若若为为正正实实数，数，记记： ： 12n a aa,., ， ，为为平方平均数平方平均数， ，简简称称平方均平方均值值； ； 222 12n n aaa Q n . ， ，为为算算术术平均数平均数， ，简简称称算算术术均均值值； ； 12n n aaa A n . ， ，为为几何平均数几何平均数， ，简简称称几何均几何均值值； ； n n

4、12n Ga aa. ， ，为为调调和平均数和平均数， ，简简称称调调和均和均值值. n 12n n H 111 aaa . 则则： ： nnnn QAGH3( ) 时时，等号成立，等号成立. （ （注：注：当且当且仅仅当当.） ） iff 12n aaa.iffifand only if 式称式称为为均均值值不等式不等式. 3( ) Ch3.幂幂均不等式均不等式 3.1 设设为为正正实实数序列，数序列，实实数数， ，则记则记： ： 12n aa aa(,.,) r0 1 rrr r 12n r aaa M a n . ( ) 4( ) 式的式的称称为为幂幂平均函数平均函数. 4( ) r M

5、 a( ) 3.2 若若为为正正实实数序列，且数序列，且实实数数， ，则则： ： 12n aa aa(,.,) r0 rs M aM a( )( ) 5( ) 当当时时， ，式式对对任何任何 都成立，即都成立，即关于关于 是是单调递单调递增函数增函数. rs 5( )r r M a( )r 式称式称为为幂幂平均不等式平均不等式， ，简简称称幂幂均不等式均不等式. 5( ) 3.3 设设为为非非负实负实数序列，且数序列，且，若，若为为正正 12n mm mm(,.,) 12n mmm1. 12n aa aa(,.,) 实实数序列，且数序列，且实实数数， ，则则： ： r0 第第 3 页页 1 m

6、rrr r r1122nn Mam am am a( )(.)6( ) 式称式称为为加加权幂权幂平均函数平均函数. 6( ) 3.4 若若为为正正实实数序列，且数序列，且实实数数， ，对对则则： ： 12n aa aa(,.,) r0 m r Ma( ) mm rs MaMa( )( ) 即：即： 11 rrrsss sr 1122nn1122nn m am am am am am a(.)(.)7 ( ) 当当时时， ，式式对对任何任何 都成立，即都成立，即关于关于 是是单调递单调递增函数增函数. rs 7 ( )r m r Ma( )r 式称式称为为加加权幂权幂平均不等式平均不等式， ，简

7、简称称加加权幂权幂均不等式均不等式. 7 ( ) Ch4. 柯西不等式柯西不等式 4.1 若若和和均均为实为实数，数，则则： ： 12n a aa,., 12n b bb,., 2222222 12n12n1122nn aaabbba ba ba b(.)(.)(.)8( ) 时时，等号成立，等号成立.（ （注：注：当且当且仅仅当当.） ） iff n12 12n aaa bbb .iffifand only if 式式为为柯西不等式柯西不等式. 8( ) 4.2 柯西不等式柯西不等式还还可以表示可以表示为为： ： 222222 212n12n1122nn aaabbba ba ba b nn

8、n . ()()() 9( ) 简简称：称：“平方均平方均值值两乘两乘积积，大于，大于积积均均值值平方平方” 我我们们将将简简称称为为积积均均值值， ，记记： ：. 1122nn a ba ba b n . 1122nn n a ba ba b D n . 则则： ：，即：，即： 224 nnn Q aQ bD ab( ) ( )() nnn Q a Q bD ab( )( )() 10() 4.3 推推论论 1：若：若为实为实数，数， ，则则： ： a b c x y z, , , , ,x y z0, , 2222 n12n12 12n12n aaaaaa bbbbbb (.) . . 1

9、1() 时时，等号成立，等号成立. iff n12 12n aaa bbb . 式是式是柯西不等式柯西不等式的推的推论论，称，称权权方和不等式方和不等式. 11() 4.4 推推论论 2：若：若和和均均为实为实数，数，则则： ： 12n a aa,., 12n b bb,., .(.)(.) 22222222 1122nn12n12n abababaaabbb12() 时时，等号成立，等号成立. iff n12 12n aaa bbb . 4.5 推推论论 3：若：若为为正正实实数，数，则则： ： a b c x y z, , , , , 第第 4 页页 xyz bccaab3 abbcca

10、yzzxxy ()()()() 13() Ch5. 切比雪夫不等式切比雪夫不等式 5.1 若若； ；，且均，且均为实为实数数.则则： ： 12n aaa. 12n bbb. 12n12n1122nn aaabbbn a ba ba b(.)(.)(.)14() 或或时时，等号成立，等号成立. iff 12n aaa. 12n bbb. 式式为为切比雪夫不等式切比雪夫不等式. 12() 由于有由于有， ，条件，即序列同条件，即序列同调调， ， 12n aaa. 12n bbb. 所以使用所以使用时时，常采用，常采用 WLOG 12n aaa. (注：注：不失一般性不失一般性) WLOGWitho

11、utLoss OfGenerality 5.2 切比雪夫不等式切比雪夫不等式常常表示常常表示为为： ： 12n12n1122nn aaabbba ba ba b nnn . ()()() 15() 简简称：称：“切比雪夫同切比雪夫同调调数，均数，均值积值积小小积积均均值值”. 即：即：对对切比雪夫不等式切比雪夫不等式采用同采用同单调单调性的两个序列表示性的两个序列表示时时，两个序列数的均，两个序列数的均值值之之积积不大于不大于 两个序列数各两个序列数各积积之均之均值值. 则则： ： 2 nnn A a A bD ab( )( )() 即：即： nnn A a A bD ab( )( )() 1

12、6() Ch6. 排序不等式排序不等式 6.1 若若； ；为实为实数，数，对对于于的任何的任何轮换轮换， ， 12n aaa. 12n bbb. 12n a aa(,.,) 12n xxx(,.,) 都有下列不等式：都有下列不等式： 1122nn1122nnn1n 121n a ba ba bx bx bx ba baba b. 17() 式称式称排序不等式排序不等式（也称（也称重排不等式重排不等式） ）. 17() 其中，其中，称正序和，称正序和，称反序和，称反序和， 1122nn a ba ba b. n1n 121n a baba b. 称乱序和称乱序和. 故故式可式可记为记为： ： 1

13、122nn x bx bx b.17() 正序和正序和乱序和乱序和反序和反序和 18() 6.2 推推论论：若：若为实为实数，数，设设为为的一个排序，的一个排序，则则： ： 12n a aa,., 12n xxx(,.,) 12n a aa(,.,) 222 12n1122nn aaaa xa xa x.19() Ch7. 琴生不等式琴生不等式 7.1 定定义义凸函数：凸函数：对对一切一切， ，若函数，若函数是是向下凸函数向下凸函数， ，则则： ： x ya b, , 0 1( , )fa bR: , 第第 5 页页 fx1yf x1f y() )( )() ( )20() 式是向下凸函数的定

14、式是向下凸函数的定义义式式. 20() 注：注：表示区表示区间间和函数和函数在在区区间间都是都是实实数数. fa bR: , a b , f x( )a b , 7.2 若若对对任意任意，存在二次，存在二次导导数数， ，则则在在区区间为间为向向fa bR:( , )xa b( , ) fx0( ) f x( )a b( , ) 下凸函数；下凸函数；时时，若，若， ，则则在在区区间为严间为严格格向下凸函数向下凸函数. iff xa b( , ) fx0( ) f x( )a b( , ) 7.3 若若在在区区间为间为向下凸函数向下凸函数， ，则则函数函数在在在在区区间对间对 12n fff,.,

15、a b( , ) 1122nn c fc fc f.a b( , ) 任何任何也是也是向下凸函数向下凸函数. 12n c cc0,.,( ,) 7.4 若若是一个在是一个在区区间间的向下凸函数，的向下凸函数，设设， ，为实为实fa bR:( , )a b( , )nN 12n 0 1,.,( , ) 数，且数，且， ，则对则对任何任何，有：，有： 12n 1. 12n xxxa b,.,( , ) 1122nn1122nn fxxxf xf xf x(.)()().()21() 式就是加式就是加权权的的琴生不等式琴生不等式. 21() 简简称：称：“对对于向下凸函数，均于向下凸函数，均值值的函

16、数的函数值值不大于函数的均不大于函数的均值值”. Ch8. 波波波波维维奇奇亚亚不等式不等式 8.1 若若是一个在是一个在区区间间的向下凸函数，的向下凸函数，则对则对一切一切，有：，有： fa bR: , a b , x y za b, , , xyzf xf yf z2xyyzzx ffff 333222 ( )( )( ) () ()()() 22() 式就是式就是波波波波维维奇奇亚亚不等式不等式. 22() 8.2 波波波波维维奇奇亚亚不等式不等式可以写成：可以写成： xyzf xf yf zxyyzzx ffff 33222 23 ( )( )( ) ()()()() 23() 简简称

17、：称：“对对于向下凸函数的三点情况，三点均于向下凸函数的三点情况，三点均值值的函数与函数的均的函数与函数的均值值之平均之平均值值，不小于，不小于 两点均两点均值值的函数的函数值值之平均之平均值值”. 8.3 若若是一个在是一个在区区间间的向下凸函数，的向下凸函数， ，则则： ： fa bR: , a b , 12n a aaa b,., , 12n12n f af af an n2 f an1f bf bf b()().()() ( )() ()().()24() 其中：其中：， ，（ （对对所有的所有的 ） ） 12n aaa a n . ij ij 1 ba n1 i 式是普遍的式是普遍的

18、波波波波维维奇奇亚亚不等式不等式. 24() 当当， ， ， ，时时， ， ， ， ， 1 ax 2 ay 3 az n3 xyz a 3 1 yz b 2 2 zx b 2 3 xy b 2 代入代入式得：式得： 23() 第第 6 页页 xyzyzzxxy f xf yf z3 f2 fff 3222 ( )( )( )() ()()() 即：即： xyzf xf yf z2xyyzzx ffff 333222 ( )( )( ) () ()()() 25() 式正是式正是式式. 25()22() Ch9. 加加权权不等式不等式 9.1 若若， ，（ （） ） ，且，且， ，则则： ： i

19、 a0( ,) i 0 1 , i1 2n, ,., 12n 1. n12 12n1122nn aaaaaa. 26() 式就是加式就是加权权的均的均值值不等式，不等式，简简称称加加权权不等式不等式. 26() 式形式直接理解式形式直接理解为为：几何均：几何均值值不大于算不大于算术术均均值值. 26() Ch10. 赫赫尔尔德不等式德不等式 10.1 若若实实数数， ，实实数数且且， ，则则： ： a b0, p q1, 11 1 pq pq ab ab pq 27() 时时，等号成立，等号成立. iff pq ab 式称式称为为杨杨氏不等式氏不等式. 27() 10.2 若若和和为为正正实实

20、数，数，且且， ，则则： ： 12n a aa,. 12n b bb,.p q1, 11 1 pq 11 pppqqqpq 1122nn12n12n a ba ba baaabbb.(.) (.)28() 式称式称为为赫赫尔尔德不等式德不等式. 28() 时时，等号成立，等号成立. iff ppp n12 qqq 12n aaa bbb . 10.3 赫赫尔尔德不等式德不等式还还可以写成：可以写成： 11 pppqqq pq1122nn12n12n a ba ba baaabbb nnn . () () 29() 即：即：，即：，即： 2 npq D abMa Mb()( )( ) pqn M

21、a MbD ab( )( )() 30() 简简称：称：“幂幂均均值值的几何均的几何均值值不小于不小于积积均均值值”. （ （注：赫注：赫尔尔德与切比雪夫的不同点：赫德与切比雪夫的不同点：赫尔尔德要求是德要求是， ，切比雪夫要求是同切比雪夫要求是同调调；赫；赫尔尔 11 1 pq 德的德的积积均均值值小，切比雪夫的小，切比雪夫的积积均均值值大大.） ） 10.4 若若、 、和和为为三个正三个正实实数序列，数序列，且且， ，则则： ： 12n a aa,. 12n b bb,. 12n m mm,.p q1, 11 1 pq 第第 7 页页 11 nnn pq pq iiiiiii i 1i 1

22、i 1 a b ma mb m 31() 式称式称为为加加权权赫赫尔尔德不等式德不等式. 31() 时时，等号成立，等号成立. iff ppp n12 qqq 12n aaa bbb . 10.5 若若(;)， ，为为正正实实数且数且， ，则则： ： ij ai1 2m, ,., j1 2n, ,., 12n ,., . 12n 1 ()() jj mmnn ijij j 1j 1i 1i 1 aa 32() 式称式称为为普遍的普遍的赫赫尔尔德不等式德不等式. 32() 10.6 推推论论：若：若， ， ， ，则则： ： 123 a aaN, 123 b b bN, 123 c ccN, 33

23、33333333 123123123111222333 aaabbbccca b ca b ca b c()()()()33() 简简称：称：“立方和的乘立方和的乘积积不小于乘不小于乘积积和的立方和的立方”. Ch11.闵闵可夫斯基不等式可夫斯基不等式 11.1 若若； ；为为正正实实数，且数，且， ，则则： ： 12n a aa,., 12n b bb,.,p1 111 nnn pppppp iiii i 1i 1i 1 abab() )()() 34() 时时，等号成立，等号成立. iff n12 12n aaa bbb . 式称式称为为第一第一闵闵可夫斯基不等式可夫斯基不等式. 34()

24、 11.2 若若； ；为为正正实实数，且数，且， ，则则： ： 12n a aa,., 12n b bb,.,p1 1 1 nnn p ppppp iiii i 1i 1i 1 abab()()() 35() 时时，等号成立，等号成立. iff n12 12n aaa bbb . 式称式称为为第二第二闵闵可夫斯基不等式可夫斯基不等式. 35() 11.3 若若； ； ；为为三个正三个正实实数序列，且数序列，且， ，则则： ： 12n a aa,., 12n b bb,., 12n m mm,.,p1 111 nnn pppppp iiiiiii i 1i 1i 1 abma mb m()()(

25、) 36() 时时，等号成立，等号成立. iff n12 12n aaa bbb . 式称式称为为第三第三闵闵可夫斯基不等式可夫斯基不等式. 36() 第第 8 页页 Ch12.牛牛顿顿不等式不等式 12.1 若若为为任意任意实实数，考数，考虑虑多多项项式：式： 12n a aa,., nn 1 12n01n 1n P xxaxaxac xc xcxc( )()().(). 37() 的系数的系数作作为为的函数可表达的函数可表达为为： ： 01n c cc,., 12n a aa,., ； ； 0 c1 ； ； 112n caaa. ；（；（） ） 21213n 1nij ca aa aaaa

26、 a. ijn ；（；（） ） 3ijk ca a a ijkn . n12n ca aa. 对对每个每个，我，我们们定定义义 k1 2n, ,., k kkk n cknk pc Cn !()! ! 38() 则则式式类类似于二似于二项项式定理，系数式定理，系数为为： ：. 37() k knk cC p 12.2 若若为为正正实实数，数，则对则对每个每个有：有： 12n a aa,.,k1 2n1, ,., 2 k 1k 1k ppp 39() 时时，等号成立，等号成立. iff 12k aaa. 式称式称为为牛牛顿顿不等式不等式. 39() Ch13.麦克麦克劳劳林不等式林不等式 13.

27、1 若若为为正正实实数，按数，按定定义义， ，则则： ： 12n a aa,.,38() 111 kn2 12kn pppp.40() 时时，等号成立，等号成立. iff 12k aaa. 称称麦克麦克劳劳林不等式林不等式. 40() Ch14.定定义义多多项项式式 14.1 若若为为正正实实数序列，并数序列，并设设为为任意任意实实数数. 12n xxx,., 12n ,., 记记： ：； ； n12 12n12n F xxxxxx(,.,). 为为所有可能的所有可能的积积之和，遍及之和，遍及的所有的所有轮换轮换. 12n T,., 12n F xxx(,.,) 12n ,., 14.2 举举

28、例例说说明明 ：表示共有：表示共有个参数的所有个参数的所有积积之和，共有之和，共有项项.第第 个参数的指数是个参数的指数是 ，第，第T 1 0 0 , , 336! 11 和第和第个参数的指数是个参数的指数是. 230 故：故：. , , ()! ()() 100100100 T 1 0 031x y zy x zz y x2 xyz 第第 9 页页 ：表示共有：表示共有个参数的所有个参数的所有积积之和，共有之和，共有项项.第第 个和第个和第个参数的指数个参数的指数T 1 1 , 222! 12 是是 . 1 故：故：. , ()! () 11 T 1 121x y2xy ：表示共有：表示共有

29、个参数的所有个参数的所有积积之和，共有之和，共有项项.第第 个参数的指数是个参数的指数是 ，第，第T 1 2 , 222! 112 个参数的指数是个参数的指数是. 2 故：故：. , ()! () 121222 T 1 221x yy xxyx y ：表示共有：表示共有个参数的所有个参数的所有积积之和，共有之和，共有项项.第第 个参数的指数是个参数的指数是 ，第，第T 1 2 1 , , 336! 11 个参数的指数是个参数的指数是，第，第个参数的指数是个参数的指数是 . 2231 故：故：. , , () 222 T 1 2 12 xy zx yzxyz 即：即： , , , , T 1 2

30、 1T 2 1 1 ：表示共有：表示共有个参数的所有个参数的所有积积之和，共有之和，共有项项.第第 个参数的指数是个参数的指数是，第，第T 2 1 0 , , 336! 12 个参数的指数是个参数的指数是 ，第，第个参数的指数是个参数的指数是. 2130 故：故：. 222222 T 2 1 0 x yx zy xy zz xz y , , ：表示共有：表示共有个参数的所有个参数的所有积积之和，共有之和，共有项项.第第 个参数的指数是个参数的指数是，第，第T 3 0 0 , , 336! 13 个和第个和第个参数的指数是个参数的指数是. 230 故：故：. 333 T 3 0 02 xyz ,

31、 , () ：表示共有：表示共有个参数的所有个参数的所有积积之和，共有之和，共有项项.第第 个参数的指数是个参数的指数是，第，第 , , T a b c336! 1a 个参数的指数是个参数的指数是，第，第个参数的指数是个参数的指数是 . 2b3c 故：故：. , , abcacbbcabaccabcba T a b cx y zx y zx y zx y zx y zx y z 由于由于表达式比表达式比较较多，多， , , , , , , , , , , .T a b cT b c aT c a bT c b aT b a c 所以我所以我们规们规定：定：（ （） ）. , , T a b c

32、abc Ch15.舒舒尔尔不等式不等式 15.1 若若，且，且， ，则则： ： R0 , , , T20 0T2T0 ()41 式称式称为为舒舒尔尔不等式不等式. ()41 15.2 解析解析式式 ()41 ； ； , , () 222 T20 02 xyz ； ； ,()T2 x y zx y zx y z , T0 xyx yyzy zx zxz 第第 10 页页 将上式代入将上式代入式得：式得： ()41 222 xyzx y zx y zx y z xyx yyzy zx zxz 即：即： 222 yx y zzx yxzx y z yx yyzxyxz0zx z 即：即： ()()

33、22 xxy zx yx zyyx zx yy z () 2 zzx yy zx z0 即：即： ()()()()()()xxyxzyyzyxzzxzy0 ()42 式与式与式等价，称式等价，称为为舒舒尔尔不等式不等式. ()42()41 15.3 若若实实数数， ，设设， ，则则： ： , ,x y z0 tR ()()()()()() ttt xxyxzyyzyxzzx zy0()43 或或及及轮换轮换，等号成立，等号成立. iffxyz,xy z0 按照按照式写法，即：式写法，即：， ， ，则则： ： ()41t1 , , , , , , T t2 0 0T t 1 12T t1 1 0

34、()44 式是我式是我们们最常最常见见的的舒舒尔尔不等式不等式形式形式. ()43 15.4 推推论论： ：设实设实数数， ，实实数数且且或或， ，则则： ： , ,x y z0 , ,a b c0 abcabc ()()()()()()a xyxzb yzyxc zx zy0()45 式中，式中， ， ，就得到，就得到式式. ()43 t xa t yb t zc ()45 15.5 推推论论： ：设实设实数数， ，则则： ： , ,x y z0 ()()() 333 333 222 3xyzxyz2 xyyzzx()46 15.6 推推论论：若：若， ，则对则对于一切于一切，有：，有： (

35、 , k0 3 , ,a b cR ()()() 2 222 k 3kk abcabc2 abbcca()47 Ch16. 定定义义序列序列 16.1 设设存在两个序列存在两个序列和和，当，当满满足下列条件：足下列条件： ()(,.,) n i i 112n ()(,.,) n i i 112n . 12n12n 且且 . 12n . 12n . 12s12s 第第 11 页页 对对一切一切， ，式都成立式都成立. , s1 n 则则： ：就是就是的的优优化化值值， ，记记作：作：. ()n i i 1 ()n i i 1 ()() ii 注：注：这这里的序列只有定性的比里的序列只有定性的比较

36、较，没有定量的比，没有定量的比较较. Ch17.缪尔缪尔海德不等式海德不等式 17.1 若若为为非非负实负实数序列，数序列，设设和和为为正正实实数序列，且数序列，且， ，则则： ： ,., 12n xxx() i () i ()() ii ii TT()48 或或时时，等号成立，等号成立. iff()() ii . 12n xxx 式就式就缪尔缪尔海德不等式海德不等式. ()48 17.2 解析解析式式 ()48 若若实实数数， ，实实数数，且，且满满足足， ， ， 123 aaa0 123 bbb0 11 ab 1212 aabb ； ；设设， ，则则： ：满满足序列足序列条件，条件， 12

37、3123 aaabbb, ,x y z0 (,)(,) 123123 b bbaaa 则则： ： , 333333121221211221 bbbbbbbbbbbbbbbbbb 123 T b bbxy zxy zxy zxy zxy zxy z , 333333121221211221 aaaaaaaaaaaaaaaaaa 123 T aaaxyzxyzxy zxyzxy zxyz 即即式式为为： ： ()48, 123123 T b bbT aaa 用通俗的方法表达即：用通俗的方法表达即： 331212 abaabb symsym xyzxy z ()49 式就式就缪尔缪尔海德不等式海德不

38、等式的常用形式的常用形式. ()49 17.3 例例题题： ：设设为为非非负变负变量序列，考量序列，考虑虑和和. ( , , )x y z( , , )2 2 1( , , )3 1 1 由由 16.1 中的序列中的序列优优化得：化得： ( , , )( , , )2 2 13 1 1 由由缪尔缪尔海德不等式海德不等式式得：式得： ()48 , , , , T 2 2 1T 3 1 1 , , () 22222 2 T 2 2 12 x y zx yzxy z , , () 333 T 3 1 12 x yzxy zxyz 将将代入代入得：得： 22222 2333 x y zx yzxy z

39、x yzxy zxyz 即：即： 222 xyyzzxxyz 由柯西不等式：由柯西不等式： ()()() 2222222 xyzyzxxyyzzx 即：即： ()() 222 22 xyzxyyzzx 即：即： 222 xyzxyyzzx 式式式等价，式等价，这这就就证证明了明了式是成立的，而式是成立的，而缪尔缪尔海德不等式海德不等式直接得到直接得到式是成立式是成立 第第 12 页页 的的. 式可以用式可以用来表示，来表示，这这正是正是缪尔缪尔海德不等式海德不等式的的式式. , , , , T 2 0 0T 1 1 0 ()48 Ch18.卡拉卡拉玛玛塔不等式塔不等式 18.1 设设在在实实数

40、区数区间间的函数的函数为为向下凸函数，且当向下凸函数，且当（ （）两个序列）两个序列IR f, ii a bI , ,.,i1 2n 和和满满足足， ，则则： ： ()n i i 1 a ()n i i 1 b ()() ii ab ()().()()().() 12n12n f af af af bf bf b()50 式称式称为为卡拉卡拉玛玛塔不等式塔不等式. ()50 18.2 若函数若函数为严为严格向下凸函数，即不等取等号，格向下凸函数，即不等取等号，且，且， ，则则： ： f()() ii ab ()() ii ab ()().()()().() 12n12n f af af af

41、bf bf b()51 若函数若函数为严为严格向上凸函数，格向上凸函数，则则卡拉卡拉玛玛塔不等式塔不等式反向反向. f Ch19.单调单调函数不等式函数不等式 19.1 若若实实数函数数函数在区在区间间对对一切一切为单调为单调增函数，增函数，则则当当:( , )fa bR( , )a b,( , )x ya b xy 时时，有，有；若；若在区在区间间对对一切一切为严为严格格单调单调增函数，当增函数，当( )( )f xf y f( , )a b,( , )x ya b xy 时时，有，有. ( )( )f xf y 19.2 若若实实数函数数函数在区在区间间对对一切一切为单调为单调减函数，减函

42、数，则则当当:( , )fa bR( , )a b,( , )x ya b xy 时时，有，有；若；若在区在区间间对对一切一切为严为严格格单调单调减函数，当减函数，当( )( )f xf y f( , )a b,( , )x ya b xy 时时，有，有. ( )( )f xf y 19.3 若若实实数函数数函数在区在区间间为为可可导导函数，当函数，当对对一切一切， ， ，则则:( , )fa bR( , )a b( , )xa b ( )fx0 在区在区间间为单调递为单调递增函数；当增函数；当对对一切一切， ， ，则则在区在区间间为为f( , )a b( , )xa b ( )fx0 f(

43、, )a b 单调递单调递减函数减函数. 19.4 设设两个函数两个函数和和满满足下列条件：足下列条件： : , fa bR: , ga bR 函数函数和和在在区区间间是是连续连续的，且的，且； ； fg , a b( )( )f ag a 函数函数和和在在区区间间可可导导； ； fg , a b 导导数数对对一切一切成立，成立， ( )( )fxgx ( , )xa b 则对则对一切一切有：有： ( , )xa b ( )( )f xg x ()52 式就是式就是单调单调函数不等式函数不等式. ()52 Ch20.个个对对称称变变量量法法 3pqr 20.1 设设， ，对对于具有于具有变变量

44、量对对称形式的不等式，采用下列称形式的不等式，采用下列变变量代量代换换： ： , ,x y zR ； ； ；， ，则则. pxyzqxyyzzxrxyz , ,p q rR 第第 13 页页 代代换换后的不等式后的不等式，很容易看出其，很容易看出其满满足的不等式关系，足的不等式关系，这样证这样证明不等式的方法明不等式的方法( , , )f p q r 称称为为法法. pqr 20.2 常用的代常用的代换换如下：如下： 22 cyc xp2q () 32 cyc xp p3q3r 222 cyc x yq2pr ()()()xyyzzxpqr ()() 2 cyc xyyzpq () cyc x

45、y xypq3r ()()()1x 1y 1z1pqr ()() cyc 1x 1y32pq ()() 2 cyccyc xyzxy xypq3r 20.3 常用的常用的法的不等式法的不等式 pqr 若若， ，则则： ： , ,x y z0 3 pqr4 pq pq9r 2 p3q 3 p27r 32 q27r 2 q3pr 3 2p9r7 pq 32 2p9r7 pqr 22 p q3pr4q Ch21.个个对对称称变变量量法法 3uvw 第第 14 页页 21.1 在在的不等式中，采用下列的不等式中，采用下列变变量代量代换换： ： , ,a b cR ； ； ；. 3uabc 2 3vab

46、bcca 3 wabc 上述上述变换强变换强烈含有烈含有“平均平均”的意味：的意味： 对应对应“算算术术平均平均值值”； ；对应对应“积积均均值值”； ；对应对应“几何平均几何平均值值”. uvw 21.2 当当时时， ，则则： ： , ,a b c0 uvw()53 式称式称为为傻瓜不等式傻瓜不等式. ()53 即：即：“算算术术平均平均值值”“积积均均值值”“几何平均几何平均值值”. 21.3 若若， ，则则 , ,a b c0 , 23 u vw0 ()54 式称式称为为正正值值定理定理. ()54 21.4 若若，任，任给给， ，则则当且当且仅仅当当， ， , 23 u vwR , ,a b cR 22 uv 且且时时， ， () ,() 32