专题3经典的一阶递推方法.pdf

1、学习数学领悟数学秒杀数学学习数学领悟数学秒杀数学第二章数列 96 专题专题 3经典的一阶递推方法经典的一阶递推方法 秒杀秘籍：第一讲迭加迭乘迭代法 1迭加： nfaa nn 1 （一阶迭加） 【例 1】设数列 n a是首项为 3 8 1 a，满足,3,2 14 7 2 1 n n aa nn ，求 n a通项公式 2迭乘： nfaa nn 1 （一阶迭乘） 【例 2】已知数列 n a是首项为2 1 a，满足 1 1 5 n n n aa，求 n a通项公式 3迭代： 11 11 fanfanfa nn （一阶迭代之构造常数数列法） 【例 3】已知数列 n a满足：1 1 a，)(2 211nn

2、 aaana ，求 n a的通项公式 【例 4】已知数列 n a满足： 11 112 nnn ananna，31 21 aa，求 n a的通项公式 4迭代法之辅助数列模型： nhanha nh a nh a nh nh nf nh nh nf nn nn 1 11 1 1 1 ，则或 nh h aa h nh aahanha h a nh a nha nh a nnn n n n 1 1 1 1 111 1 或或，是常数数列或 注意：如果 11 111 1 1 1 1 1 nhnhanhnha nhnh a nhnh a nh nh nf nh nh nf nn nn ，则或 【例 5】设数列

3、 n a的前n项和 n S，若 1 32,2 nn Sana，求数列 n a的通项 有的时候需要添加一项，有的时候需要添加两项，具体题目按需要去添加 【例 6】设数列 n a的前n项和 n S，若 1 1, 231 nn aSnna，求数列 n a的通项 学习数学领悟数学秒杀数学学习数学领悟数学秒杀数学第二章数列 97 秒杀秘籍：第二讲 递推式 aanganfa nn 11 )()(， 迭代法之辅助数列模型： ) 1( )( )() 1() 1( ) 1( )( 1 nh ng nh a nh a nh nh nf nn ，则，再用迭加法求出 ) 1 ()2( ) 1 ( ) 1( )2(1

4、)( ) 1 ()2( ) 1 ( ) 1( )2( )( ) 1( )( 1 h a h g nh ng nh ng nha h a h g nh ng nh ng nh a n n 注意：如果 ) 1()( )( ) 1()() 1()() 1( ) 1( )( 1 nhnh ng nhnh a nhnh a nh nh nf nn ，则，再用迭加法求出 【例 7】已知数列 n a是首项为，4 1 a757 25 75 1 na n n a nn ，求 n a通项公式 【例 8】已知数列 n a是首项为1 1 a，9 23 43 1 nn a n n a，求 n a通项公式 秒杀秘籍：第三

5、讲 递推式) 1,0)( 1 knfkaa nn 递推式) 1,0)( 1 knfkaa nn 转化为 ngaknga nn 1 1 ， ng为待定系数 1当 Anf时， 11 1 k A ak k A a nn ，为公比的等比数列为首项，是以k k A a k A an 11 1 2当 n Aknf时，同除以 n k，得：A k a k a n n n n 1 1 数列 1n n k a 是以为公差的等差数列为首项，Aa1， 则 1 1 1 nAa k a n n 3当 )(qkAqnf n 时，可用待定系数法， n n n n xqakxqa 1 1 ，对比系数可知qkxA， 为公比的等比

6、数列为首项，是以数列k qk Aq aq qk A a n n 1 4 BAqnf n 转化成yxqakyxqa n n n n 1 1 即 Byky Axqkx 解出BA,；可得数列 yxqayxqa n n 1 是以为首项，k为公比的等比数列， 1 1 nn n kyxqayxqa 学习数学领悟数学秒杀数学学习数学领悟数学秒杀数学第二章数列 98 yxqkyxqaa nn n 1 1 5bankaa nn 1 转化成BAnakBnAa nn 1 1 即 bABkB aAkA 解出BA,；可得数列 BAaBAnan 1 是以为首项，k为公比的等比数列， 1 1 n n kBAaBAna BA

7、nkBAaa n n 1 1 了解更多，欢迎添加编委微信 6cbnankaa nn 2 1 转化成CBnAnakCnBnAa nn 22 1 11，即 cABCkC bABkB aAkA 2 解 出CBA,；可得数列CBAaCBnAnan 1 2 是以为首项，k为公比的等比数列， 1 1 2 n n kCBAaCBnAnaCBnAnkCBAaa n n 21 1 【例 9】已知数列 n a是首项为 3 2 1 a，满足, 2 , 1 1 2 1 n a a a n n n （1）求 n a通项公式；（2）求数列 n a n 的前n项和 n S 【例 10】设数列 n a是首项为1 1 a，满足

8、, 3 , 2523 1 nnaa nn ，求 n a通项公式 【例 11】设数列 n a是首项为3 1 a，且, 3 , 22753 2 1 naa n nn ，求 n a通项公式 学习数学领悟数学秒杀数学学习数学领悟数学秒杀数学第二章数列 99 【例 12】设数列 n a是首项为1 1 a，满足, 2 , 132 2 1 nnnaa nn （1）是否存在，使得数列nnan 2 成等比数列？若存在，求出，的值，若不存在，说明理由 （2）设数列 n b满足 1 2 1 n n n na b， n b的前n项和 n S，证明：当2n时， 65 1213 n n S nn 达标训练达标训练 1（2

9、018奎文模拟）已知数列 n a的首项 1 1a ，且满足 1 1 () () 2 n nn aanN ，如果存在正整数n，使得 1 ()()0 nn aa 成立，则实数的取值范围是（） A 1 ( 2 ，2)B 2 ( 3 ，1)C 1 ( 2 ，1)D 2 ( 3 ， 5) 6 2（2019新乡二模）已知数列 n a的首项 1 21a ，且满足 2 1 (25)(23)41615 nn nanann ，则 n a的 最小的一项是（） A 5 aB 6 aC 7 aD 8 a 3（2018辽宁期末）已知数列 n a的前n项和为 n S， 1 8a ， 2 1 (35)(32)92110 nn

10、 nanann ，若n， *mN，nm，则 nm SS的最大值为（） A10B15C18D26 学习数学领悟数学秒杀数学学习数学领悟数学秒杀数学第二章数列 100 4（2018沧州期末）已知数列 n a满足 1 1a ， * 1 32 () n nn aanN ， 1n n n a b a 设tZ，若对于 * nN ， 都有 n bt恒成立，则t的最大值为（） A3B4C7D9 5（2018广东二模）已知数列 n a的前n项和为 n S， 1 15a ，且满足 1 1 2325 nn aa nn ，已知n，mN， nm，则 nm SS的最小值为（） A 49 4 B 49 8 C14D28 6

11、（2018 春萍乡期末）已知数列 n a满足 1 1a ， 1 2(1) nn nana ，则它的前100项和 100 S 7 （2019深圳二模）已知数列 n a满足 1 2a ， 1 22(*) n nn aanN （1）判断数列2 n n a 是否为等差数列，并说明理由； （2）记 n S为数列 n a的前n项和，求 n S 8 （2019东河一模）已知数列 n a满足： 1 2a ， 1 (1)(1) nn nanan n （1）证明：数列 n a n 是等差数列，并求 n a的通项公式； （2）求数列 1 n a 的前 99 项和 学习数学领悟数学秒杀数学学习数学领悟数学秒杀数学第二

12、章数列 101 9 （2018薛城月考）在数列 n a中， 1 0a ， 1 34 nn aan （1）若存在常数，使得 n an是公比为 3 的等比数列，求，的值； （2）对于（1）中的，记()() nn cnan，求数列 n c的前n项和 n S 10已知正数数列 n a满足1 1 a， nn anSlglg2lg （1）求 n a的通项公式和 n S； （2）令 ! n S b n n ，数列 n b的前n项和 n T，当2n时，证明：2 1 2 n T n n 11已知数列 n a满足：0 21 ppaaa，其前n项和 n S，且 2 1 aan S n n （1）求a的值； （2）求

13、 n a的通项公式； （3）若, 1 2 2 1 n n n n n S S S S b数列 n b的前n项和 n T，证明：32 nTn 12已知数列 210 ,aaa中，0 10 aa，且naaa nnn 22 11 ，求 n a通项公式 学习数学领悟数学秒杀数学学习数学领悟数学秒杀数学第二章数列 102 （提示： 6 121 321 2222 nnn n） 13设数列 n a的前n项和 n S，若 1 1 ,54 nn aSnna，求数列 n a的通项 14已知数列 n a是首项为4 1 a，, 4 , 3 , 225 85 25 1 na n n a nn ，求 n a通项公式 15已

14、知数列 n a是首项为1 1 a，满足！21 1 nana nn ，求 n a通项公式 16已知数列1, 3 , 2 323 1 1 1 1 an a a a n n n n ，求 n a的通项公式 学习数学领悟数学秒杀数学学习数学领悟数学秒杀数学第二章数列 103 17已知数列 n a是首项为2 1 a， 3 5 2 3 1 1 naa nn （1）求 n a通项公式；（2）求数列 n a的前n项和 n S 18设数列 n a是首项为1 1 a，满足, 2 , 10 2 1 nnaa nn ，求 n a通项公式 19已知数列 n a， n b， n a的前n项和 n S，对于任意的*Nn，

15、n a n S是二次方程03 22 n bxnx的两 根 （1）求 n a和 n b通项公式； （2） n a的前n项和 n S 学习数学领悟数学秒杀数学学习数学领悟数学秒杀数学第二章数列 104 20设数列 n a是首项为1 1 a，满足, 2 , 132 2 1 nnnaa nn （1）是否存在，使得数列nnan 2 成等比数列？若存在，求出，的值，若不存在，说明理由； （2）设数列 n b满足, 2 1 1 n n n na b n b的前n项和 n S，证明：当2n时， 65 1213 n n S nn 21已知数列 n a的前n项和 n S，对于任意的*Nn满足3384 2 nn a

16、nS （1）求 n a通项公式； （2）设数列 n b满足22 nnnn aaab，证明：当 12 1113 6 n bbb 22已知数列 n a的前n项和 n S，对于任意的*Nn满足 nn anS 2 1 2 （1）求 n a通项公式； （2）是否存在实数a，使得不等式 122 321 1 1 1 1 1 2 21 na a aaa n 对于任意的*Nn都成立？若存在， 求出a的值，若不存在，说明理由 23已知数列 n a满足，1 1 a对于任意的 * Nn,都有 1321 2 11111 nnn aaaaaa 学习数学领悟数学秒杀数学学习数学领悟数学秒杀数学第二章数列 105 （1）求 32,a a的值； （2）求数列 n a的通项； （3）证明： n n nn a a aaaaaa 1 13221 . 24已知数列 n a满足：1 , 0 2 21 ttata，当tx 时，函数 2 2 1 1 2 1 nxaaxaaxf nnnn 取极 值 （1）求证： nn aa 1 是等比数列； （2）若,ln nnn aab 求数列 n b的前n项和 n T； （3）当 10 7 t时，数列 n b是否存在最大项？若存在，求出最大项是第几项；如果不存在，说明理由