初中几何专题提高讲义整理（共12讲）.docx

1、 O D C B A 图 12图 E A B C D EF D C B A O O 图 12图 E A B C D E D C B A H G E F D C B A 第一章第一章 8 8 字模型与飞镖模型字模型与飞镖模型 模型模型 1 1 角的角的“8 8”字模型字模型 如图所示，AB、CD 相交于点 O， 连接 AD、BC。 结论：A+D=B+C。 模型分析模型分析 8 字模型往往在几何综合 题目中推导角度时用到。 模型实例模型实例 观察下列图形，计算角度： （1）如图，A+B+C+D+E= ； （2）如图，A+B+C+D+E+F= 。 热搜热搜精练精练 1（1）如图，求CAD+B+C+D

2、+E= ； （2）如图，求CAD+B+ACE+D+E= 。 2如图，求A+B+C+D+E+F+G+H= 。 D C B A M D C B A O 135 E F D C B A 105 O O 120 D C B A 模型模型 2 2 角的飞镖模型角的飞镖模型 如图所示，有结论： D=A+B+C。 模型分析模型分析 飞镖模型往往在几何综合 题目中推导角度时用到。 模型实例模型实例 如图，在四边形 ABCD 中，AM、CM 分别平分DAB 和DCB，AM 与 CM 交于 M。探究AMC 与B、D 间的数量关系。 热搜精练热搜精练 1如图，求A+B+C+D+E+F= ； 2如图，求A+B+C+D

3、 = 。 O D C B A O D C B A O C B A 模型模型 3 3 边边的的“8 8”字模”字模型型 如图所示，AC、BD 相交于点 O，连接 AD、BC。 结论：AC+BDAD+BC。 模型实例模型实例 如图，四边形 ABCD 的对角线 AC、BD 相交于点 O。 求证：（1）AB+BC+CD+ADAC+BD； （2）AB+BC+CD+ADBD+CD。 O C B A E D C B A 2 1 P A B C P 图 3 A B C P 图 2 1图 P C B A 模型实例模型实例 如图，点 O 为三角形内部一点。 求证：（1）2（AO+BO+CO）AB+BC+AC； （

4、2）AB+BC+ACAO+BO+CO. 热搜精练热搜精练 1如图，在ABC 中，D、E 在 BC 边上，且 BD=CE。 求证：AB+ACAD+AE。 2观察图形并探究下列各问题，写出你所观察得到的结论，并说明理由。 （1）如图，ABC 中，P 为边 BC 上一点，请比较 BP+PC 与 AB+AC 的大小， 并说明理由； （2）如图，将（1）中的点 P 移至ABC 内，请比较BPC 的周长与ABC 的周长的大小，并说明理由； （3）图将（2）中的点 P 变为 P1、P2，请比较四边形 BP1P2C 的周长与ABC 的周长的大小，并说明理由。 N M O A B P 2图 4 3 2 1 A

5、C P B D A B C 图 1 A B D C A B D C P 第二章第二章 角平分线四大模角平分线四大模型型 模型模型 1 1 角角平分线上的点向两边作垂线平分线上的点向两边作垂线 如图，P 是MON 的平分线上一点，过点 P 作 PAOM 于点 A，PBON 于点 B。 结论：PB=PA。 模型分析模型分析 利用角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等，构造模型， 为边相等、角相等、三角形全等创造更多的条件，进而可以快速找到解题的 突破口。 模型实例模型实例 （1）如图，在ABC 中，C=90，AD 平分CAB，BC=6，BD=4，那么点 D 到直线 AB 的距离是 ； （

6、2）如图，1=2，+3=4。 求证：AP 平分BAC。 热搜精练热搜精练 1如图，在四边形 ABCD 中，BCAB，AD=DC，BD 平分ABC。 求证：BAD+BCD=180。 2如图，ABC 的外角ACD 的平分线 CP 与内角ABC 的平分线 BP 交于点 P，若BPC=40，则CAP= 。 P O N M B A 图 2 D P A BCD C 1 图 P B A A BC D A B C D E D CB A 模型模型 2 2 截取构造对称全等截取构造对称全等 如图，P 是MON 的平分线上一点，点 A 是射线 OM 上任意一点，在 ON 上截取 OB=OA，连接 PB。 结论：OP

7、BOPA。 模型分析模型分析 利用角平分线图形的对称性，在角的两边构造对称全等三角形，可以得 到对应边、对应角相等。利用对称性把一些线段或角进行转移，这是经常使 用的一种解题技巧。 模型实例模型实例 （1）如图所示，在ABC 中，AD 是ABC 的外角平分线，P 是 AD 上异于点 A 的任意一点，试比较 PB+PC 与 AB+AC 的大小，并说明理由； （2）如图所示， AD 是ABC 的内角平分线，其他条件不变，试比较 PC-PB 与 AC-AB 的大小，并说明理由。 热搜精练热搜精练 1已知，在ABC 中，A=2B，CD 是ACB 的平分线，AC=16，AD=8。 求线段 BC 的长。

8、2已知，在ABC 中，AB=AC，A=108，BD 平分ABC。 求证：BC=AB+CD。 3如图所示，在ABC 中，A=100，A=40，BD 是ABC 的平分线，延 长 BD 至 E，DE=AD。求证：BC=AB+CE。 P O N M B A ED CB A 2 1 E D C B A E D C B A 模型模型 3 3 角平分线角平分线+ +垂线构造等腰三角形垂线构造等腰三角形 如图，P 是MO 的平分线上一点，APOP 于 P 点，延长 AP 于点 B。 结论：AOB 是等腰三角形。 模型分析模型分析 构造此模型可以利用等腰三角形的“三线合一”，也可以得到两个全等 的直角三角形，进

9、而得到对应边、对应角相等。这个模型巧妙地把角平分线 和三线合一联系了起来。 模型实例模型实例 如图，已知等腰直角三角形 ABC 中，A=90，AB=AC，BD 平分ABC， CEBD，垂足为 E。求证：BD=2CE。 热搜精练热搜精练 1如图，在ABC 中，BE 是角平分线，ADBE，垂足为 D。 求证：2=1+C。 2如图，在ABC 中，ABC=3C，AD 是BAC 的平分线，BEAD 于点 E。 求证：BE= 1 2 （AC-AB）。 Q P O N M F A E B C D 2 图 A E B D F C 1 图 F G E 图 3 D C N M B A A E B C N M F

10、D A E B C DA E B C 模型模型 4 4 角平分线角平分线+ +平行线平行线 如图，P 是MO 的平分线上一点，过点 P 作 PQON，交 OM 于点 Q。 结论：POQ 是等腰三角形。 模型分析模型分析 有角平分线时，常过角平分线上一点作角的一边的平行线，构造等腰三 角形，为证明结论提供更多的条件，体现了角平分线与等腰三角形之间的密 切关系。 模型实例模型实例 解答下列问题： （1）如图所示，在ABC 中，EFBC，点 D 在 EF 上，BD、CD 分别平分 ABC、ACB，写出线段 EF 与 BE、CF 有什么数量关系； （2）如图所示，BD 平分ABC、CD 平分ACG，D

11、EBC 交 AB 于点 E，交 AC 于点 F，线段 EF 与 BE、CF 有什么数量关系？并说明理由。 （3）如图所示，BD、CD 分别为外角CBM、BCN 的平分线，DEBC 交 AB 延长线于点 E，交 AC 延长线于点 F，直接写出线段 EF 与 BE、CF 有什 么数量关系？ 热搜精练热搜精练 1 如图，在ABC 中，ABC、ACB 的平分线交 于点 E，过点 E 作 EFBC，交 AB 于点 M，交 AC 于点 N。若 BM+CN=9，则线段 MN 的长为 。 2如图，在ABC 中，AD 平分BAC，点 E、F 分别在 BD、AD 上，EFAB， 且 DE=CD。求证：EF=AC。

12、 3 如图，梯形 ABCD 中，ADBC，点 E 在 CD 上， 且 AE 平分BAD，BE 平分ABC。 求证：AD=AB-BC。 3 2 HA B F E 1 G E F DCB A D C B A O G A B C D A B C D 第第三三章章 截长补短截长补短 模型模型 截长补短截长补短 如图，若证明线段 AB、CD、EF 之间存在 EF=AB+CD，可以考虑截长补短法。 截长法：如图，在 EF 上截取 EG=AB，再证明 GF=CD 即可。 补短法：如图，延长 AB 至 H 点，使 BH=CD， 再证明 AH=EF 即可。 模型分析模型分析 截长补短的方法适用于求证线段的和差倍

13、分关系。截长，指在长线段中 截取一段等于已知线段；补短，指将短线段延长，延长部分等于已知线段。 该类题目中常出现等腰三角形、角平分线等关键词句，可以采用截长补短法 构造全等三角形来完成证明过程。 模型实例模型实例 例例 1 1如图，已知在ABC 中，C=2B，AD 平分BAC 交 BC 于点 D。 求证：AB=AC+CD。 例例 2 2如图，已知 OD 平分AOB，DCOA 于点 C，A=GBD。 求证：AO+BO=2CO。 热搜精练热搜精练 1如图，在ABC 中，BAC=60，AD 是BAC 的平分线，且 AC=AB+BD。 求ABC 的度数。 O E A B C D E A B C D E

14、 A B C D F E A BC D E A B C D 2如图，在ABC 中，ABC=60，AD、CE 分别平分BAC、ACB。 求证：AC=AE+CD。 3如图，ABC+BCD=180，BE、CE 分别平分ABC、BCD。 求证：AB+CD=BC。 4如图，在ABC 中，ABC=90，AD 平分BAC 交 BC 于点 D，C=30， BEAD 于点 E。求证：AC-AB=2BE。 5如图，RtABC 中，AC=BC，AD 平分BAC 交 BC 于点 D，CEAD 交 AD 于 F 点，交 AB 于点 E。求证：AD=2DF+CE。 6如图，五边形 ABCDE 中，AB=AC，BC+DE=

15、CD，B+E=180。 求证：AD 平分CDE。 E A D B C E A D B C E D C B A 图 3 图 2 1 图 O HG A B C D FG H D E CB A 第第四章四章 手拉手模型手拉手模型 模型模型 手拉手手拉手 如图，ABC 是等腰三角形、ADE 是等腰三角形，AB=AC，AD=AE， BAC=DAE=。 结论：BADCAE。 模型分析模型分析 手拉手模型常和旋转结合，在考试中作为几何综合题目出现。 模型实例模型实例 例例 1 1如图，ADC 与EDC 都为等腰直角三角形，连接 AG、CE，相交于点 H， 问：（1）AG 与 CE 是否相等？ （2）AG 与

16、 CE 之间的夹角为多少度？ 例例 2 2如图，直线 AB 的同一侧作ABD 和BCE 都为等边三角形，连接 AE、 CD，二者交点为 H。求证： （1）ABEDBC； （2）AE=DC； （3）DHA=60； （4）AGBDFB； （5）EGBCFB； （6）连接 GF，GFAC； （7）连接 HB，HB 平分AHC。 F E C B A H D E C B A M P D E C B A B A D C P E 3 图图 B D A E C 图图2 1 图图 P D E C B A 热搜精练热搜精练 1如图，在ABC 中，AB=CB，ABC=90，F 为 AB 延长线上一点，点 E 在 B

17、C 上，且 AE=CF。 （1）求证：BE=BF； （2）若CAE=30，求ACF 度数。 2如图，ABD 与BCE 都为等边三角形，连接 AE 与 CD，延长 AE 交 CD 于点 H证明： （1）AE=DC； （2）AHD=60； （3）连接 HB，HB 平分AHC。 3在线段 AE 同侧作等边CDE（ACE120），点 P 与点 M 分别是线段 BE 和 AD 的中点。 求证：CPM 是等边三角形。 4将等腰 RtABC 和等腰 RtADE 按图方式放置，A=90，AD 边与 AB 边重合，AB=2AD=4。将ADE 绕点 A 逆时针方向旋转一个角度（0180），BD 的延长线交 CE

18、于 P。 （1）如图，证明：BD=CE，BDCE； （2）如图，在旋转的过程中，当 ADBD 时，求出 CP 的长。 C D E B A 图图2 1 图图 4 图图 B A E C D 图图3 C DE B A C D E B A E D C B A A B C O x y (-1,0) (0,3) 图图 21 图图 (0,3) (-2,0) y x O C B A 第第五章五章 三垂直全等模型三垂直全等模型 模型模型 三垂直全等模型三垂直全等模型 如图，D=BCA=E=90，BC=AC。 结论：RtBCDRtCAE。 模型分析模型分析 说到三垂直模型，不得不说一下弦图，弦图的运用在初中直角三

19、角形中 占有举足轻重的地位，很多利用垂直倒角，勾股定理求边长，相似求边长都 会用到从弦图中支离出来的一部分几何图形去求解。图和图就是我们经 常会见到的两种弦图。 三垂直图形变形如下图、图，这也是由弦图演变而来的。 模型实例模型实例 例例 1 1如图，ABBC，CDBC，AEDE，AE=DE。 求证：AB+CD=BC。 例例 2 2如图，ACB-90，AC=BC，BECE 于点 D，AD=2.5cm，BE=0.8cm。 求 DE 的长。 例例 3 3如图，在平面直角坐标系中，等腰 RtABC 有两个顶点在坐标轴上， 求第三个顶点的坐标。 A B C D E F c b a A B C D E A

20、 B PCP A B C E F E D C B A P H F G E D CB A 热搜精练热搜精练 1如图，正方形 ABCD，BE=CF。 求证：（1）AE=BF； （2）AEBF。 2直线l上有三个正方形 a、b、c， 若 a、c 的面积分别是 5 和 11， 则 b 的面积是 。 3已知，ABC 中，BAC-90，AB=AC，点 P 为 BC 上一动点（B PCP）， 分别过 B、C 作 BEAP 于点 E、CFAP 于点 F。 （1）求证：EF=CF-BE； （2）若 P 为 BC 延长线上一点，其它条件不变，则线段 BE、CF、EF 是否存在 某种确定的数量关系？画图并直接写出你

21、的结论。 4如图，在直角梯形 ABCD 中，ADBC，ABBC，AD=2，BC=3，设BCD=， 以 D 为旋转中心，将腰 DC 绕点 D 逆时针旋转 90至 DE。 （1）当=45时，求EAD 的面积； （2）当=30时，求EAD 的面积； （3）当 0AB，点 D 在 AC 上，AB=CD，E、F 分别是 BC、 AD 的中点，连接 EF 并延长，与 BA 的延长线交于点 G，若 EFC=60， 连接 GD，判断AGD 的形状并证明。 D C A B C A B 构造直角三角形斜边上的中线构造直角三角形斜边上的中线D M E C A B D F M C A B D 模型模型 4 4 已知直

22、角三角形斜边中点，可以考虑构造斜边中线已知直角三角形斜边中点，可以考虑构造斜边中线 模型模型分析分析 在直角三角形中，当遇见斜边中点时，经常会作斜边上的中线，利用直 角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，即 1 2 CDAB，来证明线段间的数 量关系，而且可以得到两个等腰三角形：ACD 和BCD，该模型经常会与中 位线定理一起综合应用。 模型实例模型实例 例例 1 1如图，在ABC 中，BE、CF 分别为 AC、AB 上的高，D 为 BC 的中点， DMEF 于点 M。求证：FM=EM。 热搜精练热搜精练 1如图，在ABC 中，B=2C，ADBC 于点 D，M 为 BC 的中点，AB=10。 求

23、 DM 的长度。 C M E A B D 3图图 A D B E M F C 图图2 M A D B E C F 1图图 E C A B D F M 2已知，ABD 和ACE 都是直角三角形，且ABD=ACE=90，连接 DE， M 为 DE 的中点，连接 MB、MC。求证：MB=MC。 3问题 1：如图，ABC 中，点 D 是 AB 边的中点，AEBC，BFAC，垂足 分别为点 E、F，AE、BF 交于点 M，连接 DE、DF。若DEkDF，则k的值 为 ； 问题 2：如图，ABC 中，CB=CA，点 D 是 AB 边的中点，点 M 在ABC 内部， 且MAC=MBC。过点 M 分别作 ME

24、BC，MFAC，垂足分别为点 E、F，连 接 DE、DF。若 DE=DF； 问题 3：如图，若将上面问题中的条件“CB=CA”变为“CBCA”，其它 条件不变，试探究 DE 与 DF 之间的数量关系，并证明你的结论。 F 4 123 O A E F B F E B A 321 O D CB A M N 图图 2 A M B D C N 1 图图 B A C D M N 第第九九章章 半角半角模型模型 模型模型 1 1 倍长中线或类中线（与中点有关的线段）构造全等三角形倍长中线或类中线（与中点有关的线段）构造全等三角形 已知如图： 2= 1 2 AOB； OA=OB。 连接 FB，将FOB 绕点

25、 O 旋转 至FOA 的位置，连接 FE、FE， 可得OEFOEF。 模型模型分析分析 （1）半角模型的命名：存在两个角度是一半关系，并且这两个角共顶点； （2）通过先旋转全等再轴对称全等，一般结论是证明线段和差关系； （3）常见的半角模型是 90含 45，120含 60。 模型实例模型实例 例例 1 1如图，已知正方形 ABCD 中，MAN=45，它的两边分别交线段 CB、DC 于点 M、N。 （1）求证：BM+DN=MN； （2）作 AHMN 于点 H，求证：AH=AB。 例例 2 2在等边ABC 的两边 AB、AC 上分别有两点 M、N，D 为ABC 外一点， 且MDN=60，BDC=6

26、0，BD=DC。探究：当 M、N 分别在线段 AB、AC 上移动时，BM、NC、MN 之间的数量关系。 （1）如图，当 DM=DN 时，BM、NC、MN 之间的数量关系是 ； （2）如图，当 DMDN 时，猜想（1）问的结论还成立吗？写出你的猜想 并加以证明。 A F E B C D A B C D M N 2 图图 A DBE C 图图1 D C E B A 例例 3 3如图，在四边形 ABCD 中，B+ADC=180，E、F 分别是 BC、CD 延长 线上的点，且EAF= 1 2 BAD。求证：EF=BE-FD。 热搜精练热搜精练 1如图，正方形 ABCD，M 在 CB 延长线上，N 在

27、DC 延长线，MAN=45。 求证：MN=DN-BM。 2已知，如图，在 RtABC 中，BAC=90，AB=AC，点 D、E 分别为线段 BC 上两动点，若DAE=45。探究线段 BD、DE、EC 三条线段之间的数量 关系。小明的思路是：把AEC 绕点 A 顺时针旋转 90，得到ABE， 连接 ED，使问题得劲解决。请你参考小明的思路探究并解决以下问题： （1）猜想 BD、DE、EC 三条线段之间的数量关系式，并对你的猜想给予证明； （2）当动点 E 在线段 BC 上，动点 D 运动到线段 CB 的延长线上时，如图， 其它条件不变，（1）中探究的结论是否发生改变？请说明你的猜想并给 予证明。

28、 A M C N O B AB M O C N 图图3 2 图图 图图1 A C B O M N A B D F EC 3已知，在等边ABC 中，点 O 是边 AC、BC 的垂直平分线的交点，M、N 分别在直线 AC、BC 上，且MON=60。 （1）如图，当 CM=CN 时，M、N 分别在边 AC、BC 上时，请写出 AM、CN、MN 三者之间的数量关系； （2）如图，当 CMCN 时，M、N 分别在边 AC、BC 上时，（1）中的结论是 否仍然成立？若成立，请你加以证明；若不成立，请说明理由； （3）如图，当点 M 在边 AC 上，点 N 在 BC 的延长线上时，请直接写出线段 AM、CN

29、、MN 三者之间的数量关系。 4如图，在四边形 ABCD 中，B+D=180，AB=AD，E、F 分别是线段 BC、 CD 上的点，且 BE+FD=EF。求证：EAF= 1 2 BAD。 图图2 E A D B C F B 1 图图 D F E A C 5如图，已知四边形 ABCD，EAF 的两边分别与 DC 的延长线交于点 F，与 CB 的延长线交于点 E 连接 EF。 （1）若四边形 ABCD 为正方形，当EAF=45时，EF 与 DF、BE 之间有怎样 的数量关系？（只需直接写出结论） （2）如图，如果四边形 ABCD 中，AB=AD，ABC 与ADC 互补，当 EAF= 1 2 BAD

30、 时，EF 与 DF、BE 之间有怎样的数量关系？请写出结论并 证明； （3）在（2）中，若 BC=4，DC=7，CF=2，求CEF 的周长（直接写出结论即 可）。 A D B E C F O H G A D B E C F 第第十十章章 相似相似模型模型 模型模型 1 A1 A、8 8 模型模型 已知：1=2 结论：ADEABC 模型模型分析分析 如图，在相似三角形的判定中，我们常通过作平行线，从而得出 A 型或 8 型相似，在做题时，我们也常常关注题目中由平行线所产生的相似三角形。 模型实例模型实例 例例 1 1如图，在ABC 中，中线 AF、BD、CE 相交于点 O。 求证： 1 2 O

31、FOEOD OAOCOB 。 例例 2 2如图，点 E、F 分别在菱形 ABCD 的边 AB、AD 上，且 AE=DF，BF 交 DE 于 点 G，延长 BF 交 CD 的延长线于 H，若2 AF DF 。求 HF BG 的值。 反反8型型 8型型 反反A型型 A型型 1 2 A D B E C 1 2 A D B E C 1 2 A D B E C 2 1 B DE A C A D B E C O AD B E C F A D B E C F O A D B C A D B E C 热搜精练热搜精练 1 如图，D、E 分别是ABC 的边 AB、BC 上的点，且 DEAC，AE、CD 相交 于

32、点 O，若 SDOE：SCOA=1：25， 则 SBDE与 SCDEE的比是 。 2 如图所示，ABCD 中，G 是 BC 延长线上的 一点，AG 与 BD 交于点 E，与 DC 交于点 F，此图中的相似三角形共 有 对。 3如图，在ABC 中，中线 BD、CE 相交于点 O，连接 AO 并延长，交 BC 于点 F。求证：点 F 是 BC 的中点。 4在ABC 中，AD 是角平分线，求证： ABBD ACCD 。 5如图，ABC 为等腰直角三角形，ACB-90，D 是边 BC 的中点，E 在 AB 上，且 AE：BE=2：1。求证：CEAD。 D B C A D BC A D B C A BC

33、 A MN 模型模型 2 2 共边共角型共边共角型 已知：1=2 结论：ACDABC 模型模型分析分析 上图中，不仅要熟悉模型，还要熟记模型的结论，有时候题目中会给出 三角形边的乘积或比例关系，我们要能快速判断题中的相似三角形，模型中 由ACDABC，进而可以得到 2 ACAD AC。 模型实例模型实例 例例 1 1如图，D 是ABC 边 BC 上的一点，AB=4， AD=2，DAC=B，如果ABD 的面积为 15， 那么ACD 的面积为 。 例例 2 2如图，在 RtABC 中，BAC-90，ADBC 于 D。 （1）图中有多少对相似三角形？写出来； （2）求证： 2 ACAD AC 热搜精

34、练热搜精练 1如图所示，能判定ABCDAC 的有 ； B=DAC；BAC=ADC； 2 ACDC BC； 2 ADBD BC。 2已知AMN 是等边三角形，BAC=120。求证： （1） 2 ABBM BC； （2） 2 ACCN CB； （3） 2 MNBM NC。 2 1 D B C A D B C A O 2 图图 F A B D C 图图 1 D B C A O E 3如图，AB 是半圆 O 的直径，C 是半圆上的一点，过 C 作 CDAB 于 D， 2 10AC ，AD：DB=4：1。求 CD 的长。 4如图，RtABC 中，ACB-90，CDAB，我们可以利用ABCACD 证明 2

35、 ACAD AB，这个结论我们称之为射影定理，结论运用：如图， 正方形 ABCD 的边长为 6，点 O 是对角线 AC、BD 的交点，点 E 在 CD 上，过 点 C 作 CEBE，垂足为 F，连接 OF。 （1）试利用射影定理证明BOFBED； （2）若 DE=2CE，求 OF 的长。 图图3 B C A E D 图图2 B C A E D 1 图图 A B D C E O 60 A B D C E B C A P D 模型模型 3 3 一线三角型一线三角型 已知，如图中：B=ACE=D。 结论：ABCCDE 模型模型分析分析 在一线三等角的模型中，难点在于当已知三个相等的角的时候，容易忽

36、略隐含的其它相等的角，此模型中的三垂直相似应用较多，当看见该模型的 时候，应立刻能看出相应的相似三角形。 模型实例模型实例 例例 1 1如图在等边ABC 中，P 为 BC 上一点，D 为 AC 上一点，且APD=60， BP=1，CD= 2 3 ，则ABC 的边长为 。 例例 2 2如图，A=B=90，AB=7，AD=2，BC=3，在边 AB 上取一点 P，使得 PAD 民PBC 相似，则这样的 P 点共有 个。 A B D C E A B D C E 热搜精练热搜精练 1如图，ABC 中，BAC=90，AB=AC=1，点 D 是 BC 边上的一个动点 （不与 B、C 点重合），ADE=45。

37、 （1）求证：ABDDCE； （2）设 BD=x，AE=y，求y关于x的函数关系式； （3）当ADE 是等腰三角形时，求 AE 的长。 2如图，在ABC 中，AB=AC=10，点 D 是边 BC 上一动点（不与 B、C 重合）， ADE=B=，DE 交 AC 于点 E，且 4 cos 5 ，下列结论。 ADEACD；当 BD=6 时，ABD 与DCE 全等； DCE 为直角三角形时，BD 等于 8 或 12.5；0b，求 BD 的长。 C A B D B A C D B A C D 2 图图 图图 1 B C O A O D 模型模型 2 2 直角三角形共斜边模型直角三角形共斜边模型 模型分析

38、模型分析 （1）共斜边的两个直角三角形，同侧或异侧，都会得到四点共圆； （2）四点共圆后可以根据圆周角定理得到角度相等，完成角度等量关系的转 化，是证明角相等重要的途径之一。 模型实例模型实例 例例 1 1如图，AD、BE、CF 为ABC 的三条高，H 为垂心，问： （1）图中有多少组四点共圆； （2）求证：ADF=ADE。 E B C A D H F EB C A D F E B C A D GF E B C A D H F 例例 2 2如图，E 是正方形 ABCD 的边 AB 上的一点，过点 E 作 DE 的垂线交 ABC 的外角平分线于点 F。求证：EF=DE。 热搜精练热搜精练 1如图，锐角ABC 中，BD、CE 是高线，DGCE 于 G，EFBD 于 F。 求证：FGBC。 2如图，BE、CF 为ABC 的高，且交于点 H，连接 AH 并延长交 BC 于点 D。 求证：ADBC。 R Q P B C AD E B C A D HT 3如图，等边PQR 内接于正方形 ABCD，其中点 P、Q、R 分别在边 AD、AB、 DC 上，M 是 QR 的中点。求证：不论等边PQR 怎样运动，点 M 为不动点。 4如图，已知ABC 中，AH 是高，AT 是角平分线，且 TDAB，TEAC。 求证：AHD=AHE。