《空间向量的应用—距离》教学设计（第九届全国高中青年数学教师优秀课展示与培训活动）.docx

1、 第 1 页共 7 页 空间向量的应用空间向量的应用距离教学设计距离教学设计 一、一、教学内容解析教学内容解析 本节课是参照新课标高中数学人教 B 版数学选修 2-1 第三章空间量与立体几何 3.2.5 距离一 节 它是空间向量及其运算之后， 将其方法在立体几何中的应用， 属于概念性知识和程序性知识 本 课虽篇幅不长，但从学生的角度讲仍占有较高的地位，是对以往所学知识的梳理、归纳和提升，使 学生从另一个视角认识空间向量的应用 通过观察， 思考， 动手操作可使其深刻理解数学源于生活， 应用于生活，进而产生浓厚的数学学习兴趣，体会综合几何法和向量方法各自的优势，在学习的过 程中深刻体会类比思想、化

2、归思想等数学思想方法，让学生初步形成数学抽象，逻辑推理，数学建 模，直观想象，数学运算等学科核心素养这部分知识的学习，不仅对学生核心素养的形成起到巨 大的促进作用，更让学生深刻体会程序化思想，以及寻找一些问题的通性通法。 教学重点：四种距离的概念，点到平面距离的求法 二、二、教学目标设置教学目标设置 课程目标：课程目标：在必修课程学习的基础上，本主题将学习空间向量，并运用空间向量研究立体几何 图形中图形的位置关系和度量关系。 单元目标：单元目标：本单元的学习，可以帮助学生在学习平面向量的基础上，利用类比的方法理解空间 向量的概念、运算、基本定理和应用，体会平面向量和空间向量的共性和差异；运用向

3、量的方法研 究空间基本图形的位置关系和度量关系，体会向量方法和综合几何法的共性和差异；运用向量方法 解决简单的数学问题和实际问题，感悟向量是研究几何问题的有效工具。 课堂目标：课堂目标：通过本小节的教学，是学生达到以下要求： （1）理解图形 F1与图形 F2的距离的概念； （2）掌握四种距离的概念，会解决一些简单的距离问题 （3）学生能够独立用向量方法解决四类距离问题 （4）学生能够利用数学抽象的方法发现生活中的距离问题；利用类比的方法总结并推广向量基 本定理；利用化归的方法由点到平面的距离的向量解法推广到求直线与它平行平面、两平行平面的 距离 三、学生学情分析三、学生学情分析 教学主体学生是

4、普通高中二年级学生，已经掌握了立体几何初步以及空间向量与立体几何 的基本内容学生已经具有一定的观察、类比、化归、直观想象和逻辑推理的能力，具有初步的抽 象思维和科学探究能力学生在学习生活中可能已经遇到过求图形距离的相关事例，但对于空间向 第 2 页共 7 页 量求距离仍是比较陌生的通过教师引导可以将学生已学过的空间向量知识应用到求解几何图形的 距离上来，这是学生在老师的帮助下搭建图形距离与空间向量体系的桥梁。高中二年级学生正处于 高中学习的关键时期，新课程实施中，要求他们对数学选修课程做出较好理解，并将影响到他 们人生发展方向本节教学内容既有数学基础知识，又联系实际生活，学生通过观察体验、几何

5、直 观、逻辑推理及试验探究过程可以体会空间向量的应用，体会数学的发现美，简洁美，有助于学生 提高学科素养 教学难点：向量法求点到平面的距离学生已经掌握了求法向量的一般方法，并且能够熟练运 用。而本节课的难点在于理解参考向量与法向量的关系是如何决定点到平面距离的。在公式的得出 上需要教师下大力气引导学生独立完成。 四、教学策略分析四、教学策略分析 先由引例出发，创设情境，激发学生对图形间的距离问题的研究兴趣，学生是教学的主体，本 节课要给学生提供各种参与机会为了调动学生学习的积极性，使学生化被动为主动，唤起思维上 的活动，在讲授新课部分，通过结合多媒体教学、实际操作、软件辅助、小组讨论以及一系列

6、的课 堂探究活动，加深学生对图形间距离的认识，引导学生从实例中感悟图形间的距离，体会引入图形 间距离的必要性在教学重难点上，步步设问、启发学生的思维，通过课堂练习、探究活动、学生 讨论的方式来加深理解，更好地突破难点和提高教学效率最后通过课堂例题来巩固学生对四种距 离的定义和计算公式的掌握对不同认知的同学给予充分的关注，倾听他们的想法，指导思维上的 不足，提供相应的学习机会，让他们在这堂课中有巨大的收获。 五、五、教学过程设计教学过程设计 课堂教学过程课堂教学过程 创创 设设 情情 境境 引引 入入 课课 题题 多媒体多媒体 学生活动学生活动 教师活动教师活动 设计意图设计意图 一、创设情境导

7、入新课一、创设情境导入新课 ppt: 问题情境问题情境： 问题 1：下面我给出一个场景，大家 找找里面蕴藏哪些距离问题，这些问 题又可以抽象为哪些数学模型？ 学生：学生：大胆尝 试， 给出答案 教师教师：引导学生发 现问题，提出问 题 设 置 一 个 情 境，以学生为主体， 通过观察发现并提 出问题首先在学 生的思维里呈现距 离的概念并体会 如何从生活中的问 题 抽 象 到 数 学 模 型 第 3 页共 7 页 问题 2：进一步追问，图中又有哪些 图形与图形的距离呢？ 问题 3：如何定义图形间的距离？ 问题 4：试在手中的几何体中确定两 个点，并寻找一种方法求出两点之间 的距离。 问题 5：结

8、合例 1，探讨平行六面体 的体对角线怎么求？ 问题 6：如何表示未知向量 1 AC？根 据什么？ 学生：学生：提出猜 想，等待确定 答案 学生：学生：根据直 观感知，大胆 说出自己的答 案。 学生：学生：动手操 作，直观感知 几何体，结合 以往所学，寻 找方法。 学生：学生：通过观 察，和尝试感 悟综合几何法 与向量方法的 局限性。 学生：学生： 把AB、 AD、 1 AA， 看 做 一 组 基 底，线性表示 教师教师：引导学生注 意图形间的距离 和平面间距离的 区别 教师教师：根据学生的 提问从物理数学 两个视角距离，引 导学生刻画图形 间的距离。 教师：教师：引导学生体 会综合几何法和 向

9、量方法各自的 优势所在，帮助学 生梳理综合几何 法和向量方法。 教 师 ：教 师 ： 通 过 Geogebra 软件演 示平行六面体，并 作出辅助线，让学 生清晰认识综合 几何法和空间向 量坐标法的局限 性。 教师：教师：引导学生用 已知向量表示未 知向量。体会“基” 的思想。 将生活中的实 例抽象成具体的数 学模型，初步形成 图形间的距离的概 念，体会数学中发 现问题和提出问题 的过程与方法 这个过程让学 生深刻体会数学源 于生活，用最贴近 生活的实例，引导 学生建立严密的概 念。 动手操作帮助 学生积累基本操作 经验，建立图形直 观。 多方面引导学 生 认 识 平 行 六 面 体，体会综合

10、几何 法和向量方法的区 别。 体会基本定理 的重要性，着重引 导学生体会“基”的 思想 第 4 页共 7 页 问题 7：结合平行向量基本定理，平 面向量基本定理，空间向量基本定 理，对比讨论，围绕以下四个方面你 能得出哪些结论？ 1.未知向量的维度 2.已知基底的个数 3.基底所满足的条件 4.在其他学科的应用 1 AC。 根据空 间向量基本定 理。 学生：学生：小组讨 论，分享讨论 结果。 教师：教师：引导学生体 会“基”的思想。总 结提升向量基本 定理的地位和作 用。 体会基本定理 的重要性，着重引 导学生体会“基”的 思想。 活活 动动 探探 究究 ， 归归 纳纳 新新 知知 二、学习任

11、务二、学习任务 1：归纳：归纳四种四种距离距离的定义和计算公式的定义和计算公式 ppt： 归纳：归纳：如何定义点到平面的距离 形成概念：形成概念： 点到平面的距离的定义 方法探究：方法探究： 如何用向量方法求点到平面的距离 概念延伸：概念延伸： 如何定义直线与它平行平面的 距离 如何利用空间向量法求距离 如何定义两平行平面的距离 利用空间向量法求距离 学生：学生：根据图 形与图形的距 离的定义概括 出点到平面距 离的定义。 学生：学生：观察法 向量和参考向 量的关系，并 得到结论。 学生：学生：对比观 察，将这类问 题化归为点到 平面的距离， 再化归为点到 点的距离。 教师：教师：根据学生回

12、答情况分析进行 引导，进而让学生 尝试归纳出点到 平面距离的定义， 步入新课 教师：教师：引导学生观 察法向量和参考 向量的关系，并得 出参考向量在法 向量方向上的投 影。 教师：教师：引导学生给 出直线与它平行 平面的距离、两平 行平面的距离的 定义，体会其中转 化为两点间距离 的化归思想。 让学生充分体 会 概 念 的 形 成 过 程，同事感悟“计算 任何图形之间的距 离都可以转化为求 两点之间的距离” 这句话的含义。 通过多组参考 向量和法向量的作 图，引导学生直观 感知投影的威力。 让学生充分体会化 归的思想。 第 5 页共 7 页 三、课堂教学目标检测，学习任务三、课堂教学目标检测，

13、学习任务 2：空间向量空间向量的应用的应用 例题讲解例题讲解： 例1.已知平行六面体 ABCD-A1B1C1D1， AB=4 ， AD=3 ， AA1=5 ， BAD=90， BAA1= DAA1=60 ，求 AC1的长 例2.已知正方体ABCDA1B1C1D1的 棱长为 1， 求平面 A1BD 与平面 B1CD1 间的距离 学生：学生：综合几 何法与向量坐 标法两次尝试 未果，转向空 间向量基本定 理。 学生学生：独立完 成本题 教师教师：分析综合几 何法和向量坐标 法的难点所在，加 以引导学生转向 利用已知向量表 示未知向量 教师：教师：利用软件投 屏，让全体同学帮 助批改，注意书写 过程

14、。 通 过 相 互 讨 论，加强学生间的 交流与合作本题 能让学生充分体会 “基”的思想以及向 量法的优越性。 通过学生的批 改，让他们注意到 一 些 过 程 的 必 要 性，以及如何用数 学 的 语 言 表 达 世 界。 四、课堂小结四、课堂小结 请同学们总结求距离问题的程 序。 学生：学生：总结所 学知识 教师：教师：分析数学思 想方法，从中引导 学生体会通性通法 以及程序思想，总 结所学 进 一 步 达 到 学习目标，总结本 节课所用到的数 学思想方法，是本 课的升华 五、课后作业五、课后作业 第 6 页共 7 页 课课 后后 作作 业业 复习本节所学内容 完成书后测试题 牢固掌握基础

15、知识，熟练基本技 能。 板板 书书 设设 计计 距离距离 1.图形与图形的距离图形与图形的距离 2.点到平面的距离点到平面的距离 3.直线与它的平行平面的距离直线与它的平行平面的距离 = | | | | 4.两平行平面的距离两平行平面的距离 教教 学学 反反 思思 六、六、课堂教学目标检测课堂教学目标检测 已知四边形 ABCD 是边长为 4 的正方形， E， F 分别是边 AB， AD 的中点， CG 垂直于正方形 ABCD 所在的平面，且 CG2，求点 B 到平面 EFG 的距离 解 建立如图所示的空间直角坐标系 Cxyz，则 G(0,0,2)， E(4，2,0)，F(2，4,0)，B(4,0,0)，GE (4，2，2)，GF (2，4，2)，BE (0，2,0) 第 7 页共 7 页 设平面 EFG 的法向量为 n(x，y，z)由 GE n0， GF n0， 得 2xyz0， x2yz0， xy，z3y.取 y1，则 n(1,1，3) 点 B 到平面 EFG 的距离 d|BE n| |n| 2 11 2 11 11 . 班级 47 人，满分人数（12 分） 错误原因分析： 修正方案：