等比数列的前n项求和公式教案(教学设计)（第九届全国高中青年数学教师优秀课展示与培训活动）.doc

1、自选自选课题：等比数列的前课题：等比数列的前 n 项和项和 宜昌市夷陵中学宜昌市夷陵中学 郭郭XX 一、教学设计一、教学设计 1教学内容解析教学内容解析 本节内容为现行人教 A 版必修 5的第二章的核心内容，它在普通高中数学课程标 准（2017 年版）中，被纳入“选择性必修课程”的函数主题之中 数列作为一类特殊的函数， 既是高中函数知识体系中的重要内容， 又是用来刻画现实世 界中一类具有递推规律的数学模型 在现行教材的编排中， 等比数列的前 n 项和处于等比数 列的单元内容之中， 是等比数列的概念与通项公式的后继学习内容， 它在完善数列单元的知 识结构体系，感受数列与函数的共性与差异，体会数学

2、的整体性等方面都是不可或缺，在提 升学生探究、应用和实践能力等方面，有着不可替代的作用和价值 课标要求： 学生经历等比数列前 n 项和公式的探索过程， 掌握等比数列前 n 项和公式及 推导方法，并能进行简单应用 等比数列前 n 项和公式的知识内容之所以被列为掌握层次， 主要是因为它与函数、 等差 数列的内在联系， 尤其是它在数学史上的历史印迹， 以及探索过程中所蕴含的丰富的数学思 想（如特殊到一般、类比、基本量、分类讨论、函数与方程、转化与化归等），所需要的数 学抽象、逻辑推理、数学建模和数学运算素养，都能充分发挥数学的育人功能。 基于以上分析，本节课的教学教学重重点点为：等比数列前 n 项和

3、公式的导出及其应用。 2. 学生学情分析学生学情分析 本节课的授课对象为宜昌市夷陵中学高一年级实验班， 夷陵中学是湖北省重点中学、 省 级示范高中，学生有较好的数学学科基础从学生的思维特点看，很容易把本节内容与等差 数列前 n 项和从公式的发现、特点等方面进行类比，这是积极因素，可因势利导然而，本 节公式的推导与等差数列前 n 项和公式的推导有着本质的不同， 对学生的思维能力提出很高 的要求另外，对于 q = 1 这一特殊情况，运用公式计算时学生往往容易忽视教学对象刚 进入高一不久，虽然逻辑思维能也初步形成，具有一定的分析问题和解决问题的能力，但由 于年龄的原因，缺乏深刻的理性思考。 基于以上

4、分析，本节课的教学难点教学难点为：等比数列前 n 项和公式的探究及其推导。 3. 教学目标设置教学目标设置 （1）学生通过课前自主查阅数学史料，课堂演绎历史短剧，了解等比数列前 n 项和公 式的来龙去脉，感受前人严谨的治学精神，体验数学的魅力和数学文化的熏陶。 （2）学生通过研究性学习和小组合作探究的方式，掌握等比数列前 n 项和公式的不同 推导方法，领悟公式的本质，并能运用公式解决简单问题。 （3）学生在经历等比数列前 n 项和公式的发生、发展、推导和证明的过程中，感悟特 殊到一般、方程与函数、划归与转化等数学思想，形成基本活动经验，重点提升数学抽象、 逻辑推理、数学建模、数学运算等核心素养

5、。 4. 教学策略分析教学策略分析 等比数列前 n 项和公式是高中数学的重要内容，普遍采用的推导方法是带有技巧性的 “错位相减法”，求和公式及其推导方法都是教材和教师直接“告知”，并非自然产生。有鉴于 此，本节课追寻历史足迹，借鉴历史规律，揭示知识之谐，展现方法之美，引发情感之悦， 营造不一样的课堂“让学习真正发生”，首先在于教师有“让”的意识，本节课为了做到 “教 师在后、学生在前”，教师先给充分的资料和空间让学生自学和互学，营造积极的探究氛围， 在课堂上展开小组谈论和交流，碰撞出思想与智慧的火花。 教学流程：教学流程： 5教学过程设计教学过程设计 环节一：演史剧，发现等比数列提出问题环节一

6、：演史剧，发现等比数列提出问题 学生表演国际象棋的传说（棋盘丢麦粒问题）并设计如下问题串： 问题 1：故事里每格棋盘上的麦粒依次构成一个什么数列？ 生 1：首项为 1，公比为 2 的等比数列 问题 2：铺满这 64 格棋盘需要的麦粒总数是多少？ 生 1：可以看成是首项为 1，公比为 2 的等比数列的前 64 项和即 263 1222 师： 263 1222等于多少，逐项相加吗？ 生 2：项数多，不太现实，我觉得可以和等差数列求和一样，从特殊到一般，找规律 师：如何找规律？请大家尝试一下. 生 3：我是这么想的，计算出 12345 1371531SSSSS，发现它们都是21 n 的 形式，因而我

7、猜想 64 64 21S. 【设计意图设计意图】 通过学生表演国际象棋的传说激发学生的兴趣和探究欲望， 通过一系列的 问题将故事情节与相关知识点联系起来，从情景中看到数学问题.通过结论的探求让学生学 会研究陌生问题，可采用特殊到一般的方法入手。 情境性“问题串”设计要体现情景性，一般来说要具备三个要素：（1）涉及未知领域， 能启动学生思维；（2）具有真实性，让学生觉得亲切、自然；（3）基于学生已有的知识水 平.这样的问题情境能激发学生学习新知识的好奇心和求知欲，引发学生自主探究，让学生 在解决问题中顿悟，提高学习新知的能力. 等比数列前 n 项求和公式 猜公式 证公式 用公式 环节二：环节二：

8、试猜想试猜想，提炼等比求和公式提炼等比求和公式 师：若将公比变为q，项数变为n，你觉得 21 1 n qqq 的结果是？ 生 4：1 n q 生 5：我觉得生 4 不对，很明显如果3q ，2n 时，结果就不对 师：说明我们仅由2q 的猜想太过片面，为了使得结果具有更加说服性，请大家完成 以下表格？ 21 1333n n X n 1 2 3 4 5 n X 21 1444n n Y n 1 2 3 4 5 n Y 师：根据大家所填的表格，你能够猜想出结论吗？ 生 6： 21 1 1 1 n n q qqq q L 师：大家都同意上述结果吗？有没有需要注意的地方？ 生 7：我觉得不能代表1q 时的

9、求和公式，当1q 时，由于相同数的累加即为乘法，很 容易得出结果为n. 师：若将首项改为 1 a，你能计算出 1 1 2 111 n n qaqaqaaS的结果吗？ 生8:可以观察发现每项都有 1 a提取公因式 1 a变为)1 ( 12 1 n n qqqaS即可转 化为刚刚的问题. 师：那么等比数列求和公式是什么？ 生 9：1q时数列的每一项都相等， 11111 naaaaaSn，当1q时， 1 1 2 111 n n qaqaqaaS 1 ) 1( )1 ( 1 12 1 q qa qqqa n n 师：我们可以将这两种情况写成什么样的形式？ 生 10：分段函数，即 1, 1 )1 ( 1

10、, 1 1 q q qa qna S n n 【设计意图】 本环节的目的是为了让学生合理的猜出数等比数列的前 n 项和公式 通过 对棋盘故事的深入探讨，从公比为 2，到公比为 3,4 直至公比为q，这样从具体到抽象，由 特殊到一般符合教学的一般规律， 让学生真正意义上参与到公式的猜想中去， 感受知识的生 成过程 环节三：巧变形，证明等比求和公式环节三：巧变形，证明等比求和公式 师：通过同学们的共同探索我们得到了等比数列前 n 项和公式（板书公式） 师： 猜想是创新能力的一部分， 同学们刚才的猜想思维活跃， 灵活有序， 表现太精彩了， 这个猜想你们觉得可靠吗？（齐答：不可靠）数学是一门严谨的学科

11、，任何公式的猜想都需 要严格的推导和证明 下面请同学们结合课前的预习， 将自主探究的成果在小组内分享和交 流，和组内成员一起来揭示这个公式的证明过程 （等待 1-2 分钟） 生 11：通过预习课本，我知道了错位相减法，这种方法是 18 世纪瑞士大数学家欧拉在 代数学基础中采用的 具体做法如下 1 1 2 1 2 111 nn n qaqaqaqaaS 两边同乘以q得 nn n qaqaqaqaqaqS 1 1 1 3 1 2 11 往后错一位相减可得 ) 1 1 )1 ( 1 q q qa S n n （其他小组有没有需要补充的或者存在疑惑的？ 生 12：我有点困惑，为什么想到两边同乘以 q

12、呢？ 生 11：因为根据等比数列的定义，后一项是前一项的 q 倍，乘以 q 后前一项就变成了 后一项，那中间很多项相同了，这样就可以达到消项的目的，只剩下很少的几项，就可以运 用累加法 生 13：根据等比数列定义，既然刚才能同乘以 q，那么我觉得两边同乘以 q 1 师：大家觉得行吗？还可以乘以什么 生 14：乘以q也可以. 师:很好，往前错位和往后错位本质都是一样的利用了等比数列的定义，来消掉了中间 的很多项，看来你们已经掌握了错位相减的本质，有没有其他不同的推导方法的？ 生 15：我用的是掐头去尾法，这种方法是 18 世纪法国数学家拉克洛瓦给出来的 具体做法如下： 2 111 1 1 2 1

13、11 n nn n n qaqaaaSqaqaqaaS， 发现)( 1nnn aSqaS化简可得) 1 1 )1 ( 1 11 q q qa q qaa S n n n （ 师：也很好，其他小组有没有需要补充的？ 学生 16：我们小组成员也另外一种不同做法，提取因式法，这种方法的原理古埃及人 和印度人早已掌握，但他们没有我们今天的代数符号，古埃及人未能获得求和公式受古人 原理的启发，我们的具体做法如下： 11 2 1111 1 1 2 111 )( n nn n qSa qaqaaqaqaqaqaaS 再利用 nnn aSS 1 相当于两个方程解两个未知数，可以得到)( 1nnn aSqaS从

14、 而求出 q qa q qaa S n n n 1 )1 ( 1 11 师：这个推导过程，有没有细节上的问题？ 生 17：第一个公比不能等于 1，还有证明中用到了 nnn aSS 1 要强调 n 大于等于 2. 师：方法巧妙，补充也很正确，同学们以后在书写过程中一定要特别注意细节还有没 有不同的想法的？ 生 18：我们小组经过讨论用的是等比定理法具体做法如下： 根据等比数列的定义)2 12 3 1 2 nq a a a a a a n n （，再利用合比定理可以得到 q aS aS q aaaa aaaa nn n n n 1 1321 432 可得 从而求出) 1 1 )1 ( 1 11 q

15、 q qa q qaa S n n n （ 我们惊喜的发现，这种方法古希腊数学家欧几里得在几何原本中用过 师：很好，观察很仔细同学们刚才展示了四种不同时期不同数学家的证明方法，请同 学们相互之间再交流下，你们觉得这四种证法都用了哪些数学思想？ 生 19：我觉得第 1 种方法用到了方程的思想，得到关于 1nn SS 与的两个方程来求 n S 生 20：我觉得后三种方法都用了等比数列的定义 师：同学总结的都很好，其实四种方法都用了等比数列的定义在数学发展史上一些伟 大的数学结论都来源一些经典的猜想和数学家呕心沥血，前仆后继的不断思考，探究和证 明 今天同学们的精彩表现展示了这一艰辛的历程， 所有数

16、学发现都为我们实际应用带来了 巨大的方便 【设计意图设计意图】本环节的目的是让学生收集资料证明公式，深入挖掘公式背后的隐性价 值让学生质疑，提炼本质，重视细节其中错位相减法这种消项的方法也是后面解决差比 型数列求和的一种有效方法， 而等比定理法也对合分比性质做了一个巩固， 当然这其中还有 很多的证明方法，如裂项等；并从中感受对公式变形的本源性思想。 环节四：适运用，解决等比求和问题环节四：适运用，解决等比求和问题 师：之前我们一起猜了公式，并且也证明了公式，下面我们一起来运用公式，让我们把 目光回到课堂开始提出的问题 1，体验一下求和公式的便利 生 21：64, 2, 1 1 nqa带入公式可

17、得12 21 21 64 64 n S 师：64 次方，同学们想知道这个值有多大吗？(齐答想)约为 19 1.8 10粒，约 7000 亿吨， 用这么多粒小麦能从地球到太阳铺设一条宽 10 米、厚 8 米的大道,按 2018 年世界粮食总产 量 25.87 亿吨来计算，是全世界粮食产量的 270 多倍. 显然国王兑现不了他的承诺 师：要求出和，从公式分析来看，你们觉得需要明确哪几个量. 生 22：:明确首项、公比和项数 师： 这刚好也是等比数列的基本量 其实在中国古代就有能人智士思考过这样的一个问 题 “远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一 座 7 层塔

18、共挂了 381 盏灯， 且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的 2 倍， 则塔的顶层共 有多少盏灯？ 师：请同学们计算看看塔尖究竟有几盏灯呢？ 生 23：这是一个数列求和的逆向问题，设塔尖有 1 a盏灯，由题意各层宝塔的红灯数依 次构成以 1 a为首项，2 为公比的等比数列将 q=2，n=7 带入等比数列求和公式可得 381 21 )21 ( 7 1 a 解得3 1 a，所以塔尖顶上有 3 盏灯 师：解答规范，结果准确和同学们在一起学习交流是愉快的，收获也很多，下面请同 学们对本节课做个小结可以从知识也可以从思想方法都行 生 24:本节课从知识上来讲我学习了等比数列的求和公式，运用公式时要注意

19、公式的应 用条件合理选择公式，还知道了公式的 4 种推导方法，还有公式可以正用和逆用从研究方 法上来看，可以从特殊到一般并且感受到数学问题源于生活，数学知识服务于生活 师：同学们的表现让我很激动，最后我有一段话送给大家 你从古埃及的文明中发端你从古埃及的文明中发端 在古希腊欧几里得的智慧中发展在古希腊欧几里得的智慧中发展 穿越中世纪的欧洲穿越中世纪的欧洲 闪耀着古老的中华之光闪耀着古老的中华之光 把一个个奇妙的数列故事把一个个奇妙的数列故事 演绎成符号公式的精灵演绎成符号公式的精灵 数学宝库中的明珠数学宝库中的明珠 为我们追求真理指引方向为我们追求真理指引方向 大胆猜想大胆猜想 严谨求证严谨求

20、证 科学运用科学运用 文化在传承中发扬文化在传承中发扬 思维在碰撞中解放思维在碰撞中解放 让我们在孜孜求索中勇敢摘取数学高峰之巅的王冠让我们在孜孜求索中勇敢摘取数学高峰之巅的王冠 【设计意图设计意图】 本环节的目的是让学生巩固并运用等比数列求和公式 数学家波利亚说过 “数学教学是解题的教学”，知识的呈现离不开问题，知识的巩固来自问题的解决；这一环节 第一个问题和情景引入的问题遥相呼应，使得整个教学过程流畅自然 6课后作业与研究性学习课后作业与研究性学习 （研究性学习（研究性学习 1）在棋盘的第一个格子里放上 1 颗麦粒，在第二个格子里放上格子序号 的 2 倍的麦粒， 在第三个格子里放上格子序号

21、的 4 倍的麦粒， 在第四个格子里放上格子序号 的 8 倍的麦粒，依次类推，直到第六十四个格子试给出足够的麦粒来实现上述要求 （习题（习题 2）如图是瑞典数学家科赫在 1906 年构造的能够描述雪花形状的图案图形的 作法是：从一个正三角形开始，把每条边分成三等份，然后以各边的中间一段为底边分别向 外作正三角形，再去掉底边反复进行这一过程，就得到雪花曲线 设原正三角形（如图 1）的边长为 1，把图 1，图 2，图 3，图 4，中图形的周长依次 记为 C1，C2，C3，Cn，求数列 n c的前 n 项和 二、教学反思二、教学反思 本课注重数列教学的整体性，以系统观为指导，在数列“一般观念”的指引下

22、，采取数列 公式教学应有的 “猜想” “证明”“应用”的教学模式除此之外，在新一轮课程改革中，力图 突出教学过程中学生的主体地位，渗透数学学科的核心素养，达到数学育人的根本任务，提 出了一种创新性设想，采取了研究性学习研究性学习这一教学模式.让学生在数学的历史长河中自由徜 徉与探索 整个教学情景线上教学情景线上围绕等比数列求和的发展历史进行展开： 以历史剧本为引， 发现数学 问题；以历史史实为例，提出等比数列求和问题；以历史名人为翼，分析并解决等比数列求 和问题； 教学流程上教学流程上遵照三个基本的教学环节围绕“猜公式”， “证公式”， “用公式”进行展开， 让学生在猜想中提炼，在证明中延伸，

23、在应用中升华；教学策略上教学策略上让学生课前收集材料，自 主学习，课间展示成果，质疑互学，课下探索实例，师生交流，让学生真正意义上做课堂的 主人 可取之处：可取之处：教学设计上打破常规的教学模式，采取研究性学习模式，以生为本，让学生 在数学史实中不断探索前进，而教师始终扮演“引路人”的角色，通过问题驱动，历史线索完 成本节课的教学目标，突出了数学源于生活，服务于生活，探索出公式课教学的一种新型有 效的教学模式让学生在以后的生活中，会用等比数列求和的眼光观察生活中数列问题（如 银行中的存款的复利），用数列的语言表达生活中的数列问题，用所学到的等比数列知识分 析生活中出现的等比数列求和知识 图 1

24、 图 2 图 3 图 4 改进之处：改进之处：本节课在公式猜想，归纳，证明，运用等都做了力所能及的工作但求和从 一定程度上是一种代数变形，求和的理论基础是等比数列的定义，求和的本质是消项，让学 生通过查史实忽略了对公式推导的过程， 尤其是其中涉及到的一些如错位相减这一常用求和 技巧认识不到位教学环节中应增设公式推导的本源性思考，如为什么要这么变形，求和的 本质是什么当然万事万物都有两面性，教学是解决教与学的矛盾，而我们也只能尽力解决 一些主要矛盾，不足之处需要在接下来的教学过程中逐步完善路漫漫其修远兮，吾将上下 而求索. 三、教学点评三、教学点评 本节课设计为“研究性学习课题”，突破了概念公式

25、新授课的常规做法，通过数学文化的 主线串通，配以诗歌或故事的动态画面，巧妙设置“猜、证、用”三个环节，采用立体化的方 式呈现本节课三位一体的探究式教学活动，环环相扣，层层递进，实现了预期的教学目标， 有效突破了本节课的重难点数学文化和教学活动互为交融，相得益彰，多彩纷呈 （一）演绎经典，启发想象“猜”公式 引入的设计充分体现了数学的文化价值， 采用学生课前演绎历史短剧的方式， 再现奖赏 国际象棋的发明者问题（以下简称“引例”），注意以情节化和悬念式相结合的形式展现探究 问题大胆放手让学生自主对公式的猜想探索，培养学生的想象力，激发学生的求知欲，磨 练学生勇于探索、敢于创新思维品质，在探究活动中

26、感受数学思维的奇异美、严谨美，数学 公式结构的对称美、形式的简洁美. （二）回望历史，激活思维“证”公式 巧妙引导学生的思维活动和自主探究在分组讨论“证”公式的过程中给学生想的时间、 说的机会以及展示思维过程的舞台；引导学生在证明公式的过程中学生从多角度、多侧面、 多方向去思考，培养学生的创新思维能力；在探究活动中鼓励学生主动参与学习,使课堂教 学真正做到让学生“动起来”,让课堂“活起来”，有效地提高了课堂教学的效率和容量. 利用多样化的学习方式激活学生的思维 运用了多种活动形式， 如独立思考， 同桌交流， 小组合作，成果展示等，活动形式的多样性使本节课变得生动有趣；设计了分层探究方式， 采用

27、类比、 开放、 合作等多种探究方式， 探究方式的多样化使学生的思维一直处于活跃状态， 使本节课成为思维活动的有效课堂. （三）品味文化，建构新知“用”公式 充分尊重学生的认知规律，学以致用合理构建知识一是呼应前面的麦粒数总和问题； 二是改编高考题逆向用公式； 通过题目背景融入数学文化的方式， 体现求和公式应用的史料 性和层次性 公式推出后， 又通过对公式特征的分析帮助学生弄清公式形式和本质， 明确其内涵和外 延，为灵活运用公式打下基础采用变式教学设计问题，深化学生对公式的认识和理解，通 过直接用公式、变式运用公式、研究公式特点这三个层次的问题解决，促进学生新的数学认 知结构的形成通过以上形式，让全体学生都参与教学，以此培养学生的参与意识 总之，整节课采取了“情境问题猜想论证”的教学模式，以实际问题作为背 景创设教学情境，能深刻体会到数学是生动的、有趣的；在具体问题上，抽象出解决一般问 题的方法，由“特殊到一般，再由一般到特殊”，大胆把课堂交给学生，带领学生经历知识的 形成、发生、发展的研究过程，顺势构建知识，激发学生的探索精神，培养数学核心素养