空间中平面与平面的垂直关系 教案（第九届全国高中青年数学教师优秀课展示与培训活动）.pdf

1、 1 / 10 2.3.22.3.2“平面与平面垂直的判定”“平面与平面垂直的判定”教学设计教学设计 人民教育出版社 普通高中课程标准实验教科书 A 版 必修 2 【授课内容】 平面与平面垂直的判定 【课时和课型】 1 课时 新授课 【教学内容分析】 本课时选自人民教育出版社，普通高中课程标准试验教科书必修 2 第二章第三节第 2 课时，是空间垂直关系的重难点内容，也是高考的考查热点，是“转 化”、 “降维”思想的又一重要体现。 前一节课已经学习了空间平行关系的判定和性质， 以及线面垂直的判定、 线面角。 平面与平面垂直需要“二面角”的概念， 二面角定量地反映了两个平面相交的位置关系，但是如何

2、来度量二面角的大小是一个难点。根据“异面直线所成角”和“直线与平面所成角”的学习经验，自 然想到用“平面化”的思想，进而通过给出动手实验得到二面角的平面角的概念。面面垂直是面面相交的特殊情况，生活中面面垂直的例子大量存在，引导 学生观察、结合实例，再用直二面角作为理论依据，很容易归纳出使面面垂直的必备条件，自然地就获得了面面垂直的判定定理。 【学情分析】 高中阶段的学生思维活跃，参与意识、语言表达和自主探究能力较强，故采用启发探究、讨论、实验多元结合的教学方法；通过一系列的问题及 2 个主要 的探究活动，引导学生进行主动的思考、探究。帮助学生实现从具体到抽象、从感性到理性的过度，从而完成定义的

3、建构和定理的发现。在必修 2 中从前 面线面平行、面面平行、线面垂直等知识的学习过程中，学生已经掌握了了学习研究立体几何的一般方法平面化，对线线、线面、面面间关系的转化 也已经比较熟练，但因本节内容的抽象性，对学生抽象概括能力、空间想象能力的要求较高，故采用多媒体辅助教学，在 PPT 课件中，融入视频、多个几 何画板制作的动画，可大幅降低学生在空间想象上的难度，因此学习本节知识不会有太大困难。 【教学目标设定】 根据本课教材的特点，新课标对本节课的教学要求，结合学生身心发展的合理需要，确定了以下教学目标： 1.知识与技能：理解二面角的概念与度量；掌握“平面与平面垂直的判定定理”；能应用判定定理

4、证明一些简单的面面垂直问题 2 / 10 2.过程与方法：直观感知空间中二面角的平面角和面面垂直现象，动手试验探究二面角的做法，经历平面与平面垂直的判定定理的形成过程；感受空间与 平面问题的类比和转化，提升知识迁移能力；亲历 “二面角的平面角”和“平面与平面垂直的判定定理”的探索过程，提高抽象概括能力，合作探究能力。 3.情感态度与价值观 从生活实例中抽象出数学问题、总结数学定理，提升发现问题、解决问题的能力，感受数学应用和数学文化的魅力，激发数学学习兴趣，提高数学素养。 【学情分析】 【教学重点、难点】 教学重点：二面角的相关概念和平面与平面垂直的判定定理 教学难点：平面与平面垂直的判定定理

5、的形成过程 【教学方法与手段】 教学方法：启发式教学法、讨论教学法、直观演示法、实验法、讲练结合法； 教学手段：投影仪，多媒体音频视频、PPT 课件，几何画板、学案等 【教学基本流程】 生活实例引入二 面角的概念 活动探究二面角 的平面角的概念 和做法 活动探究平面与 平面垂直的判定 定理 判定定理的简单 应用 课堂小结和作业 布置 3 / 10 【教学过程设计】 教学环节教学环节 教学内容教学内容 学生活动学生活动 教师活动教师活动 设计意图设计意图 情景引入，情景引入， 明确探究方向明确探究方向 由空间位置关系的学习主线引出本节的教学内容面面垂直的判 定； 引导对于新知识的学习要追求本质，

6、通过视频实例展示， 获得平面 相交的直观感受。类比线面垂直的学习，明确本节课的重要内容是定 义、并判定两平面垂直。 回忆上节内容 构建知识体系 观看视频 回答问题 用实例视频调动学生学习兴趣， 引导学生梳理前面的知识内容 和学习路径， 使学生的知识结构 更完整、知识体系更清晰，为本 节课的课堂探究埋好伏笔并指 明方向，引入的最后提出问题： 平面和平面可否定义成角 列举丰富的生活实例， 能增强课堂 的趣味性， 也为后面的探究活动打 伏笔；梳理前继知识，让学生感受 到空间位置关系学习的 “连贯性” 、 研究方法的 “相似性” ， 情景引入的 目的是使课堂探究活动有章可循、 有据可依、有的放矢。 因

7、因 势势 利利 导导 ， 构构 建建 二二 面面 角角 定定 义义 二面角的二面角的 相关概念相关概念 和表示和表示 选取视频中三个经典实例（门、书、电脑） ，借助多媒体课件，将实物 图型抽象成数学图形并清晰展示， 教师引导， 学生思考并回答出构成二 面角的要素， 通过多媒体课件， 动态演示平面内角的生成和空间里二面 角的生成过程， 在类比的情景下，由学生自然的概括出二面角的定义 和其它相关概念，教师补充二面角的作图规范和符号表示。 二面角： 从一条直线出发的两个半平面构成的空 间图形， 叫做二面角。 这条直线叫做二面角的 棱，两个半平面为二面角的面。 图形表示：平卧式、直立式； 符号表示：面

8、棱面. 归纳二面角要素 回答问题 观看动图演示 概括二面角定义 启发学生从构成要素上理性分 析图形， 将学生对二面角的直观 认知引向理性认知， 鼓励学生自 己概括定义，给与肯定，并补充 二面角的图形表达和符号语言 表达。 二面角概念不难，但要做到合理、 自然的生成并不简单， 为此有了如 下处理： 多媒体课件展示直观图形到数学 图形的抽象过程、 二面角图形的生 成过程，激发学生的理性思维，协 助学生循序渐进的构建二面角及 其相关定义。 选择平面上“角”的概念做类比， 削弱学生在概念抽象上的思维难 度。 通过类比和迁移使得概念的生 成更觉合理和不突兀。 4 / 10 l AB PABQ 二面角的二

9、面角的 平面角及平面角及 做法探究做法探究 二面角是空间图形， 结合线面角的学习经验， 可采取降维处理，空间问 题平面化，即找一个平面角（相交直线成角）来代替二面角。 探究活动探究活动 1 1：4 4 人一组，用空白纸折出一个二面角，讨论后画出一个平人一组，用空白纸折出一个二面角，讨论后画出一个平 面角来表示二面角的大小，并汇报小组讨论结果面角来表示二面角的大小，并汇报小组讨论结果. . 二面角的平面角：二面角的平面角： 以二面角的棱上任意一点为端点，在两个半 平面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线 所构成的角叫做二面角的平面角. 二面角的平面角的大小即是二面角的大小. 如图，AOB即为二

10、面角l 的平面角. 提醒注意：提醒注意： （1）二面角的平面角必须满足： 角的顶点在棱上； 角的两边分别在两个面内； 角的边都要垂直于二面角的棱； （2）二面角的平面角大小与顶点在棱上的位置无关. 折二面角 绘制平面角 小组讨论 汇报结果 分析错因 巡视小组讨论情况 发现典型的做角方法 邀请 2-3 个小组代表进行汇报 启发学生分析错因 对此问题中常出现的两种典型 的错误做法给出其不合理性的 说明，并用课件演示 统一做法后， 总结二面角平面角 的做法， 并提醒一些注意事项并 得到面面垂直的定义 二面角平面角的做法的合理性是 这一环节的重点， 因此一定要由学 生完成， 通过学生与学生之间的合 作

11、、讨论等互助学习过程，可使知 识生成的更合理， 学生之间的交流 甚至争论，加深对平面角的理解， 同时更能提高思维的严谨性。 将空 间问题平面化， 再度体现降维思想 在立体几何中的重要性。 B A A B P Q l A P B Q O M l B A O 5 / 10 （3）二面角的范围：0180 当两个半平面重合时，规定二面角的大小为0； 当两个半平面展开成一个平面时，规定二面角的大小为180； 面面垂直：面面垂直： 平面角是直角的二面角叫做直二面角此时，称两平面互相 垂直，记为 . 垂直平面的画法，如下图： 例题为桥例题为桥， 开启开启定理发现定理发现之旅之旅 在正方体中设置四个二面角的问

12、题 （课件上， 各个二面角问题连同图形 会逐一出现，待学生答完一题后，图形揭示答案） ，学生通过抢答的方 式找二面角的平面角， 借此巩固二面角及其平面角的相关概念， 并通过 后面两个直二面角的问题，引发对判定定理的期待. 例例 1 1：在正方体 1111 ABCDABC D中，找出下列二面角的平面角. （1）二面角 1 DABD和 1 CBDC； （2）二面角 1 AADC和 11 CABB. 读题 思考 抢答 发现垂直平面 感受用定义法判 定垂直的繁琐之 处并思考解决办 法 展示问题 组织抢答 答案和评价 二面角的平面角， 因其顶点的任意 性，给学生的认知带来阻碍，因此 必须及时的练习巩固；

13、 针对面面垂 直的情况， 学生切身感受到用定义 法， 要找面、 做角、 计算得到直角， 操作性有待改善， 联想其它位置关 系都有判定定理， 因而激发学生对 平面与平面垂直的判定定理的思 考和期待，至此，学生的自主探究 意识被激发， 思维方向也自然的转 变为判定定理是什么.这样的设 l 6 / 10 解析：平面角为 1 D AD， 1 COC； （2）均为直角 计， 最大程度上藏匿了教师的导向 作用， 体现学生在课堂教学中的主 体地位，学生自己发现问题，自己 去找解决之法， 教师似乎只是顺水 推舟就能开启下一个内容， 也就是 难点内容， 使得教学过程更流畅自 然。 乘乘 胜胜 追追 击击 ， 斩

14、斩 获获 判判 定定 探 究 面 面探 究 面 面 垂 直 的 判垂 直 的 判 定定理定定理 对于面面垂直，每次都找角、计算才能发现垂直，显然太过麻烦，我们 需要更具有操作性的判定定理。 开展探究活动， 形成面面垂直的判定定 理， 学生概括定理后， 教师补充该定理的图形表示、符号表示和结构说 明，与学生一起简单证明判定定理。 探究活动探究活动 2 2： 找到一个面面垂直的实例， 指出实例中哪两个平面互相垂： 找到一个面面垂直的实例， 指出实例中哪两个平面互相垂 直，说明使得该组平面垂直的原因，并尝试总结判定两平面垂直的一直，说明使得该组平面垂直的原因，并尝试总结判定两平面垂直的一 般方法，般

15、方法，4 4 人一组开展讨论人一组开展讨论. . 小组讨论 举例并说理 总结判定定理所 需的条件 小组汇报 同教师一起完成 定理证明 巡视各个小组的讨论情况 引导学生从选择实例、找到垂 面、说明原理、总结结论几个环 节开展讨论 发现讨论中贴切的实例 组织小组汇报 汇总学生成果并形成判定定理 强化对定理图形、符号、结构的 理解。 判定定理的发现是本节课的难点 内容， 如何自然而然水到渠成的突 破难点是个难题。 本节课教师将大 胆的将这个任务交给这个课堂的 主任学生，有前面例题的铺 垫，学生的探究热情高涨，引课时 的视频也刚好做了一些两平面垂 直的铺垫， 结合该阶段学生的思维 特征，必然可以举出精

16、彩、贴切的 O CD B A CD B A B1 A1 D1 C1C1 D1 A1 B1 O1 O CD B A CD B A C1 D1 A1 B1B1 A1 D1 C1 N M CD B A B1 A1 D1 C1 7 / 10 之之 法法 平面与平面垂直的判定定理：平面与平面垂直的判定定理： 一个平面过另一个平面的一条垂线，则这两个平面互相垂直. 图形表示图形表示 符号表示符号表示 m m 结构特征：线面垂直面面垂直； 垂直关系的转化：线线垂直线面垂直面面垂直 定理证明： 如图， 设l，,ml， ml， 设垂足为O，B为直线m上异于 O的点，则OBl，在平面内，过O作 OAl， 则AOB

17、即为二面角l 的 平面角. ,mOA，mOA，即OBOA， 90AOB，即二面角l 是直二面角， 实例； 前面花了较多时间刻画相关 定义，给学生备充足的理论基础， 可以透过垂直现象、发现本质原 因，并能用定义去证明垂直成立. 通过探究活动， 学生的抽象概括能 力、空间想象能力、逻辑推理能力 都将得到训练和提升。 8 / 10 应 用 定 理应 用 定 理 证 明 面 面证 明 面 面 垂直垂直 面面垂直定理的关键在于发现线面垂直， 并用严谨、 规范的数学语言给 与证明，在得到定理并证明定理后，设置例 2，改编自教材的一道题目 作为巩固定理只用. 例 2： 九章算术 中， 将四个面都是直角三角形

18、的四面体称之为 “鳖 臑” 。 如图所示， 鳖臑PABC中，PA平面ABC，ACBC. （1）写出该几何体各个面的直角？ （2）证明：平面PAC 平面PBC. 解： （1）90=PABPACACBPCB （2）证明：PA平面ABC，BC 平面ABC， PABC ACBC，且ACPAA BC平面PAC 又BC 平面PBC 平面PAC 平面PBC 思考 回答 提问 板演 巩固定理的必要性无需赘述， 本题 改编自教材上的例题， 将原例题的 立题背景 “鳖臑” 呈现给学生， 使学生感受到中国古代数学文化 对今日所学数学学习的影响。 （1） 和（2）是递进的关系，通过（1） 的铺垫， 引领学生发现图形中

19、所有 的垂直关系， 自然证明 （2） 就简单 了，通过教师对证明步骤的演示， 给学生一个更加严谨、 规范的证明 过程示范。 画龙点睛，画龙点睛， 综述鱼渔之得综述鱼渔之得 学生自己回忆总结课堂主要内容，教师给予评价，并适当补充，最后逐 条汇总在多媒体课件上. 1.1.知识收获：知识收获： 二面角、二面角的平面角的定义，面面垂直的判定定理； 垂直关系的相互转化：线线 判定 定义 线面 判定 面面； 2.2.方法收获方法收获： 回忆 总结 作答 启发 总结 补充 协助学生在学完本节知识后， 将其 纳入已有知识网络， 有利于学生正 确科学的构建空间位置关系的知 识体系。 B C A P 9 / 10

20、 判定面面垂直的两种方法 定义 面面垂直的判定定理 ； 研究位置关系的基本策略：定义判定性质. 3.3.数学思想：类比、转化降维：数学思想：类比、转化降维： 空间位置、数量关系 类比 平面位置、数量关系 分层作业，分层作业， 促进知能提升促进知能提升 必做必做 完成必修 2 第 73 页，习题 2.3 的4, 6, 1AAB； 选做选做 1.结合学习过的空间平行关系的判定定理、性质定理，空间垂直的判定定理，尝试发现其它判定面面垂直的命题，给出你的 结论和证明. 2.“平行关系图谱”已经完成，任意二者间都可以转化，你能尝试完成“垂直关系图谱”剩余的部分吗？ 必做内容的作用就是帮助所有学 生巩固当

21、堂所学， 可以检测学习效 果。 选做 1 是对本节课的纵向延伸， 选 做 2 是对后继内容的铺垫， 也是对 空间位置关系的横向整合。 选做内 容鼓励学生合作探究完成。 线线平行 线面平行面面平行 平面内两相交直线 分别平行于另一个 平面 面面平行则一个平面内任 意直线与另一个平面平行 线线垂直 线面垂直面面垂直 一个平面经过另一个 平面的垂线则两平面 垂直 ？ 10 / 10 【板书设计】 面面面面垂直的判定垂直的判定 1. 1. 二面角二面角 2 2. . 二面角二面角的平面角：的平面角： 3. 3. 面面垂直面面垂直的定义的定义 4. 4. 面面垂直面面垂直判定定理判定定理： 例例 2 2：证明：证明： （略）（略）