选修《4—4》直线的参数方程-教学设计终稿（第九届全国高中青年数学教师优秀课展示与培训活动）.doc

1、 1 直线直线的参数方程的参数方程教学设计教学设计 教材：人教教材：人教 A A 版选修版选修 4 44 4 执教人：冷天存执教人：冷天存 学校：云南师范大学实验中学学校：云南师范大学实验中学 邮箱：邮箱： 20182018 年年 1010 月月 1212 日日 2 直线的参数方程直线的参数方程 云南师范大学实验中学 冷天存 教材： 人教版普通高中课程标准实验教科书 数学（A 版） 选修 44 坐标系与参数方程 P35P39， 分两节课完成，本教案是第一节课，内容主要在 P35P37 教教材材内容解析内容解析 本节内容是人教 A 版选修 44 第二讲第三部分的内容直线是学生最熟悉的几何图形，在

2、教 材 必修 2 中学生已经学习了直线的五种方程.教科书先引导学生回顾了用倾斜角的正切表示的直 线的点斜式方程，这是为推导直线的参数方程做准备，从代数变换的角度看，教材 P35 的直线参 数方程 0 0 + cos , + sin . xxt t yyt （ 为参数）就是点斜式的变形在提出“如何建立直线的参数方程？”后，教 材引导学生借助向量工具探究直线的参数方程这一过程，教师引导学生通过类比、联想的思想方 法，将直线和单位方向向量联系起来，引入恰当的参数，从而建立直线的参数方程 学情分析学情分析 学生对事物的认识多是从直观到抽象， 从感性到理性 而对事物的理解多以自己的经验为基础 来建构或解

3、释现象，而并不是把知识从外界直接搬到记忆中高二学生的学习过程更是如此 之前圆锥曲线的参数方程学生已经熟悉， 也能够理解各种曲线的参数的几何意义， 但是直线的 参数方程还能否用角作为参数呢？这是完全不同的，应该选择那个量作为直线的参数呢?需要引入 “方向向量的概念” ，之前的必修教材从未学习过，所以，在讲本节课之前，提前对方向向量的知 识作了补充学习，为本节课的学习提前进行知识储备 教学方法与教学教学方法与教学手段手段 教学方法：启发探究式（教师设问引导，学生自主探究、合作解决） 教学手段：多媒体辅助教学（利用计算机和实物投影辅助教学） 教学目标教学目标 1利用直线的单位方向向量推导直线的参数方

4、程，体会直线的普通方程与参数方程的联系； 2理解并掌握直线的参数方程中参数t的几何意义； 3通过直线参数方程的探究，体会参数的形成过程，培养严密地思考和严谨推理的习惯； 4在学习过程中渗透类比、归纳、推理的数学思想方法，以及引领学生体会“根据几何性质 选取恰当的参数，建立参数方程”的几何问题代数化的解析思想 教学教学重点重点 1分析直线的几何条件，选择恰当的参数写出直线的参数方程； 2直线的参数方程中参数t的几何意义 教学教学难点难点 1直线的参数方程中参数t的几何意义； 2直线参数方程中参数t的几何意义的初步应用 3 教学过程教学过程 一一课题课题引入引入 问题问题 1 1已知直线10lxy

5、 ：与抛物线 2 yx交于A，B两点，求( 1,2)M 到A，B两点的距离 之积 解：解：解析解析法法 由 2 10 xy yx 可知两交点坐标分别为 15 35 (,) 22 A ， 15 35 (,) 22 B 所以 2222 15351+ 535 ( 1)(2)( 1)(2) 2222 MA MB (35) (35)=2 【设计意图】 通过几何法求解距离，让学生真切感受“计算过程”的繁琐，为引入本节课题做铺垫 问题问题 2 2有没有比这种方法更简便的算法？接着引入本节课题“直线的参数方程” 二二直线的参数方程直线的参数方程（直线的参数的发现与确定直线的参数的发现与确定） 探究探究 1 1

6、 一般地， 设直线l经过点 000 Mxy（ ， ）， 且倾斜角为， 动点M xy（ ， ）为直线上任意一点， 直线l的单位方向向量记作cossine （，）,0 ，那么 0 / /M Me，因此根据共线向量的充要条件可知，存在实数t，使得 0 =M M te， 即 00 cossinxxyyt（，）（，），于是，有 0 0 cos sin xxt t yyt （ 为参数） 因此， 把上面的方程叫做经过点 000 Mxy（ ， ）， 倾斜角为的直线l的 参数方程 直线参数方程的文字表述：直线上任意动点的纵横坐标等于定点相应坐标加上参数乘以倾斜直线参数方程的文字表述：直线上任意动点的纵横坐标等于

7、定点相应坐标加上参数乘以倾斜 角的正余弦角的正余弦 注意：直线上的任意一个点都唯一对应一个参数t 【设计意图】 通过教师引导和启发， 由学生自己独立或在小组合作的基础上， 借助直线的单位方向向量建立 起直线l的参数方程这是本节课的其中一个重点和关键 4 三三参数参数t的几何意义的几何意义 探究探究 2 2直线l的参数方程中参数t的几何意义是什么？ 因为单位方向向量cossine （，），所以1e ，又因为 0 =M Mte， 所以 0 =M Mtet et 于是得到参数参数t的几何意义的几何意义：直线：直线l上的动点上的动点M到定点到定点 0 M的距的距离离， 等于参数等于参数t的绝对值的绝对

8、值 探究探究 3 3参数t的符号又有什么意义呢？ 当0时，sin0，所以直线l的单位方向向量e的方向总是向上的 （1）若0t ，由 0 00 =0 sin yy tyyyy ，可知点M在点 0 M上方，则 0 M M的方向向上； （2）若0t ，由 0 00 =0 sin yy tyyyy ，可知点M在点 0 M下方，则 0 M M的方向向下； （3）若0t ，则 0 yy，从而点M点 0 M重合 【设计意图】 引导学生思考讨论后获取共识，直线的参数t具有两点意义：符号决定了动点相对于定点的位 置，绝对值表示动点到定点的距离为后面参数的应用做铺垫 问题问题 3 3如果直线水平放置，那么直线上的

9、定点和动点的关系可以和我们学过的那个知识联系 起来？ 【设计意图】 回顾数轴概念， 理解数轴上的任意一点对应一个实数， 点的坐标的绝对值刚好是对应的点到原 点的距离 问题问题 4 4数轴是怎样建立的？数轴上任意一点的坐标的几何意义是什么？ 规定了原点、单位长度和正方向的直线叫数轴。 已知数轴上两点A，B的坐标分别为 A x， B x，则线段AB的中点坐标为 + 2 AB xx ，A，B两点间 的距离为 AB ABxx 5 类似地，有向直线类似于x轴，则A，B两点间的距离为 AB ABtt，线段AB的中点对应 的参数为 + 2 AB tt 【设计意图】 教材中在有向直线上确定两点间的距离，以及两

10、点对应的参数，有些同学不能立刻理解，而用 数轴上两点间的距离以及线段中点的坐标来类比， 就可以帮助学生很好的理解， 这里类比思维起到 了重要作用 四四直线参数方程的应用直线参数方程的应用 例例 1 1已知直线l过点( 1,2)M ，倾斜角为 3 4 ，写出直线l的参数方程 解：因为直线l过点( 1,2)M ，且l的倾斜角为 3 4 ， 所以它的参数方程为 2 1, 2 2 2. 2 xt t yt （ 为参数） 变式变式 1已知直线l过点( 1,2)M ，斜率为1，写出直线l的参数方程 解：因为直线l过点( 1,2)M ，且l的斜率为1， 所以它的倾斜角为 3 4 ，从而直线的参数方程为 2

11、1, 2 2 2. 2 xt t yt （ 为参数） 变式变式 2 2已知直线l过点( 1,2)M ，斜率为1，且与抛物线 2 yx交于A，B两点求线段AB的长 和点( 1,2)M 到A，B两点的距离之积 解：解法一（解析法） ： 因为直线l过点( 1,2)M ，且l的斜率为1， 所以它的普通方程为2(1)yx ，即10 xy 6 由 2 10 xy yx 可知两交点坐标分别为 15 35 (,) 22 A ， 15 35 (,) 22 B 所以= 10AB，2MA MB 解法二（参数法（一） ） ： 将直线l的参数方程 2 1, 2 2 2. 2 xt t yt （ 为参数）代入抛物线方程得

12、 2 220tt 解之得 1 210 = 2 t ， 2 210 = 2 t 所以由参数t的几何意义得 12 =10ABMAMBtt， 121 2 2MA MBtttt 解法三（参数法（二） ） ： 将直线l的参数方程 2 1, 2 2 2. 2 xt t yt （ 为参数）代入抛物线方程得 2 220tt 所以由韦达定理可知 12 1 2 +2 2 tt t t 所以由参数t的几何意义得 2 1212121 2 =( + )410ABMAMBtttttttt， 121 2 2MA MBtttt 变式变式 3 3 已知直线l过点( 1,2)M ， 斜率为1， 且与抛物线 2 yx交于A， B两

13、点求线段AB中点Q的坐标 解： 由变式 2 的解法 2 可知，AB中点Q对应的参数 12 +2 = 22 tt t ， 7 所以 21 1, 22 23 2. 22 xt yt 即 1 3 (, ) 2 2 Q 【设计意图】 这是教材中的一道例题，做了适当的改动，变成两个问题求解，这样安排便于学生更容易熟悉 直线的参数方程，其次在变式 2 中，设计了三种方法求解，第一种刚好就是课题引入前的引例让 学生在自主解答的过程中去感受和体会引入参数的优越性，解析法容易想，但是不容易算，参数法 的引入就使问题的计算趋于简单化，这也是引入参数方程的目的所在 例题小结例题小结： （1）体会参数法在解决几何问题

14、时的方便性； （2）数轴任意一点对应的坐标x相当于直线上任意一点对应的参数t； （3）数轴上任意两点 1 x， 2 x之间的距离是 2 12121 2 = ( + )4xxxxx x，直线上任意两点间的距离 刚好等于A，B两点对应的参数之差的绝对值 2 12121 2 ( + )4ABtttttt 练习练习经过点(2,1)M作直线l，交椭圆 22 +1 164 xy 于A，B两点如果点M恰好为线段AB的中点， 求直线l的方程 解：解法一：点差法 设 11 ( ,)A x y， 22 (,)B xy，则由题意可知 12 12 4, 2. xx yy 又因为点 11 ( ,)A x y， 22 (

15、,)B xy在椭圆上，则有 22 11 2222 121212 22 12 22 +1 1 164 +0 1642 +1 164 xy xxyyyy xx xy 因此，直线l的方程为 1 2 2 yx 解法二：参数法 设过点(2,1)M的直线l的参数方程为 2cos , 1sin, xt t yt （ 为参数），将其代入椭圆方程整理得 8 22 (3sin1)4(cos2sin)80tt 所以 12 2 4(cos2sin) 3sin1 tt 因为点(2,1)M为线段AB的中点，所以 12 0 2 tt ，即 co s2 s i n0 于是直线l的斜率为 1 tan 2 k 因此，直线l的方程

16、为 1 2 2 yx 【设计意图】 这是教材 P37 的例 2，学生可能直接应用“点差法”进行求解，但是引入直线的参数方程后， 直线的斜率可以应用参数的几何意义计算， 这样可以是问题的解决更加简单方便 再次感受直线参 数方程参数的方便性 五五本课本课小结小结 1直线的参数方程 0 0 + cos , + sin . xxt t yyt （ 为参数）; 2直线参数方程中参数t的几何意义； 3何时选择直线的参数方程？ 直曲相交比较难； 只是计算有点繁； 已知直线过定点； 用参！ 六六作业作业 教材P39 习题 23 第 1，2，3，4 题 附：附：板书设计板书设计 直线的参数方程直线的参数方程 一直线的参数方程 四参数方程的应用 0 0 + cos , + sin . xxt t yyt （ 为参数） 例 1解法一、解法二、解法三 二参数t的几何意义 变式 1、变式 2、变式 3 五本课小结 三参数t的符号的意义 六作业布置