2020-2021学年河北省唐山市高二上学期9月质量检测数学试题（解析版）.doc

1、第 1 页 共 16 页 2020-2021学年河北省唐山市高二上学期学年河北省唐山市高二上学期9月质量检测数学试月质量检测数学试 题题 一、单选题一、单选题 1已知向量已知向量4, 2a ， ,3bm，若，若 /a b rr ，则，则m（ ） A6 B6 C 3 2 D 3 2 【答案】【答案】A 【解析】【解析】利用向量平行的坐标表示即可求出m的值. 【详解】 向量4, 2a ，,3bm，若 /a b rr ， 则4 320m ， 解得：6m， 故选：A 【点睛】 本题主要考查了向量平行的坐标表示，属于基础题. 2在在ABC中，已知中，已知2 BC ，1AC ，45B ，则，则A （ ）

2、A45 B60 C90 D135 【答案】【答案】C 【解析】【解析】利用正弦定理即可求解. 【详解】 在ABC中， 2BC ，1AC ，45B ， 由正弦定理得： sinsin ACBC BA ，即 12 sin45sin A ，解得：sin1A， 所以A 90， 故选：C 【点睛】 本题主要考查了利用正弦定理解三角形，属于基础题. 3同时抛掷两颗均匀的骰子，得到的点数和为同时抛掷两颗均匀的骰子，得到的点数和为 6 的概率为（ 的概率为（ ） 第 2 页 共 16 页 A 1 12 B 1 9 C 1 6 D 5 36 【答案】【答案】D 【解析】【解析】掷两颗质地均匀的骰子，有6 636

3、种结果，每种结果等可能出现，求出向 上的点数之和为6的情况包含的结果，利用概率公式即可求解. 【详解】 抛掷两颗均匀的骰子， 有6 636 种结果，每种结果等可能出现，出现向上的点数之 和为6的情况有1,5、2,4、3,3、4,2、5,1有5种， 所以得到的点数和为6的概率为 5 36 P ， 故选：D 【点睛】 本题主要考查了利用古典概率模型求概率，属于基础题. 4已知等差数列已知等差数列 n a的前的前n项和为项和为 n S，若，若 10001021 1aa，则，则 2020 S（ ） A2020 B1021 C1010 D1002 【答案】【答案】C 【解析】【解析】利用等差数列的性质以

4、及等差数列的前n项和公式即可求解. 【详解】 由 10001021 1aa，则 12020 1aa， 所以 12020 2020 2020 1010 2 aa S . 故选：C 【点睛】 本题考查了等差数列的性质、等差数列的前n项和公式，需熟记公式，属于基础题. 5设设x，y满足约束条件满足约束条件 4 32 2 xy xy xy ，则，则3zxy的最大值为（的最大值为（ ） A4 B6 C8 D10 【答案】【答案】C 【解析】【解析】画出不等式表示的平面区域，3zxy表示斜率为3的平行直线系，平移直 线可得当直线经过4xy和2xy的交点时，取到最大值 第 3 页 共 16 页 【详解】 画

5、出不等式表示的平面区域如图所示 3zxy等价于3yxz，表示斜率为3的平行直线系，3zxy的最大值，即 直线纵截距的最小值，联立方程 4 2 xy xy ，解得 3 1 x y ，则3zxy过3,1时取 到最大值8 故选：C 【点睛】 本题考查线性规划的应用，考查二元一次不等式组表示的平面区域，考查学生数形结合 能力，属于基础题 6下图是一个边长为下图是一个边长为 2 的正方形区域，为了测算图中阴影区域的面积，向正方形区域的正方形区域，为了测算图中阴影区域的面积，向正方形区域 内随机投入质点内随机投入质点 600 次，其中恰有次，其中恰有 225 次落在该区域内，据此估计阴影区域的面积为次落在

6、该区域内，据此估计阴影区域的面积为 （ ） A1.2 B1.5 C1.6 D1.8 【答案】【答案】B 【解析】【解析】根据几何概型概率的估计可知落在阴影部分的概率即为面积之比，列出式子即 可计算. 【详解】 设阴影部分的面积为S， 由几何概型的概率公式可知 225 2 2600 S ， 1.5S . 第 4 页 共 16 页 故选：B. 【点睛】 本题考查几何概型的计算，属于基础题. 7已知已知0 x， 0y ， 2 2 M x xy ， 4 5 N xy ，则，则M和和N大小关系为（大小关系为（ ） AMN BMN CMN= D以上都有可能以上都有可能 【答案】【答案】A 【解析】【解析】

7、根据0 x，0y ，直接利用作差法比较. 【详解】 因为0 x，0y ， 所以 2 4 25 xyx xy MN ， 2 2 22 248 0 5252 xyyxxyy xyxy . 故选：A 【点睛】 本题主要考查比较大小以及作差法的应用，还考查了运算求解的能力，属于基础题. 8以下三个命题：以下三个命题： 对立事件也是互斥事件；对立事件也是互斥事件； 一个班级有一个班级有 50 人，男生与女生的比例为人，男生与女生的比例为 3：2，利用分层抽样的方法，每个男生被抽，利用分层抽样的方法，每个男生被抽 到的概率为到的概率为 3 5 ，每个女生被抽到的概率为，每个女生被抽到的概率为 2 5 ；

8、若事件若事件A，B，C两两互斥，则两两互斥，则 1P AP BP C . 其中正确命题的个数为（其中正确命题的个数为（ ） A0 B1 C2 D3 【答案】【答案】B 【解析】【解析】由对立事件的定义可判断；由分层抽样的定义可判断；由互斥事件的概率 理解可判断. 【详解】 对于，由对立事件的定义可知对立事件一定是互斥事件，故正确； 对应，可知该班有男生 30 人，女生 20 人，由于不知道需要抽取多少人，所以无法得 出概率，故错误； 第 5 页 共 16 页 对应，事件A，B，C不一定包含所有事件，故 1P AP BP C，故错 误. 故选：B. 【点睛】 本题考查考查对事件互斥、对立的理解，

9、考查对分层抽样的理解，属于基础题. 9已知已知0a，0b，且，且424abab ，则，则2ab的最小的最小值为（值为（ ） A2 B4 C6 D8 【答案】【答案】A 【解析】【解析】 由基本不等式得 2 2 42 2222 2 ab ababab ， 即可由此求出 2ab的最小值. 【详解】 由基本不等式可得 2 2 42 2222 2 ab ababab ， 令2ta b，0t ， 则 2 4 2 t t，即 2 280tt，解得4t （舍去）或2t ， 当且仅当2ab，即 1 ,1 2 ab时，2ab取的最小值为 2. 故选：A. 【点睛】 本题考查利用基本不等式求最值，属于基础题. 1

10、0 下图是某校随机抽取下图是某校随机抽取 100 名学生数学月考成绩的频率分布直方图， 据此估计该校本名学生数学月考成绩的频率分布直方图， 据此估计该校本 次月考数学成绩的总体情况（同一组中的数据用该组次月考数学成绩的总体情况（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表） ，下列说法区间的中点值为代表） ，下列说法 正确的是（正确的是（ ） A平均数为平均数为 74 B众数为众数为 60 或或 70 C中位数为中位数为 75 D 该校数学月考成绩该校数学月考成绩 80 以上的学生约占以上的学生约占 25% 第 6 页 共 16 页 【答案】【答案】D 【解析】【解析】根据平均数等于小矩形的面积乘以

11、各小矩形底边中点横坐标之和可判断 A；取 小矩形面积最大的底边中点横坐标作为众数可判断 B； 从左边开始将小矩形的面积之和 等于0.5的横坐标作为中位数可判断 C；将成绩 80以上的小矩形面积相加可判断 D. 【详解】 对于 A， 0.005 10 55 0.04 10 65 0.03 10 75x 0.02 10 85 0.005 10 9573，故 A不正确； 对于 B，由频率分布直方图可知众数为65，故 B不正确； 对于 C，设中位数为x，则0.005 100.04 100.03700.5x， 解得 2 71 3 x ，故 C不正确； 对于 D，数学月考成绩 80以上的学生约占 0.02

12、 10 0.005 100.25，即为 25% ，故 D正确； 故选：D 【点睛】 本题考查了频率分布直方图求平均数、众数、中位数，考查了基本运算求解能力，属于 基础题. 11如图，在如图，在ABC中，中，D为为BC中点，中点，E在线段 在线段AD上，且上，且2AEED，则，则BE （ ） A 12 33 ACAB B 12 33 ACAB C 21 33 ACAB D 21 33 ACAB 【答案】【答案】B 【解析】【解析】求得AD关于AB、AC的表达式，利用平面向量的减法法则可得出BE关于 AB、AC的表达式. 【详解】 第 7 页 共 16 页 DQ为BC的中点，则 111 222 A

13、DABBDABBCABACABABAC， 2AEED， 2 3 AEAD， 2112 3333 BEAEABADABABACABACAB. 故选：B. 【点睛】 本题考查平面向量的基底分解，考查了平面向量减法法则的应用，考查计算能力，属于 中等题. 12 某海域某海域A处的甲船获悉， 在其正东方向相距处的甲船获悉， 在其正东方向相距50 3nmile的 的B处有一艘渔船遇险后处有一艘渔船遇险后 抛锚等待营救抛锚等待营救.甲船立即前往救援，同时把信息通知在甲船立即前往救援，同时把信息通知在A南偏东南偏东 30 ，且与，且与A处相距处相距 25 3nmile的的C处的乙船处的乙船.那么乙船前往营救

14、遇险渔船时的目标方向线（由观测点看那么乙船前往营救遇险渔船时的目标方向线（由观测点看 目标的视线）的方向是北偏东多少度？（目标的视线）的方向是北偏东多少度？（ ） A30 B45 C90 D60 【答案】【答案】D 【解析】【解析】根据余弦定理求出BC，根据正弦定理求出ACB，从而可得答案 【详解】 解：如图所示，30MACNCA，则60CAB， 由题意可知，25 3,50 3ACAB， 由余弦定理得 222 (25 3)(50 3)2 25 3 50 3cos60BC ， 解得75BC ， 由正弦定理得 7550 3 sin60sinACB ， 解得90ACB， 第 8 页 共 16 页 所

15、以60NCB， 故选：D 【点睛】 此题考查正弦定理和余弦定理的应用，考查方位角问题，属于基础题 二、填空题二、填空题 13已知已知数列数列 n a为等比数列，为等比数列， 35 1aa，则，则 243546 2a aa aa a_. 【答案】【答案】1 【解析】【解析】 由等比数列的性质可得： 2 2 243546335535 2 22a aa aa aaa aaaa， 即可求解. 【详解】 因为等比数列 n a满足 35 1aa， 由等比数列的性质可得： 24354633553 2 22 5 221a aa aa aaa aaaa， 故答案为：1 【点睛】 本题主要考查了等比数列的性质，属

16、于中档题. 14已知已知0 x，则，则 2 1xx y x 的最小值为的最小值为_. 【答案】【答案】3 【解析】【解析】化简函数为 2 11 1 xx yx xx ，再利用基本不等式即可求出. 【详解】 0 x， 2 111 1213 xx yxx xxx ， 当且仅当 1 x x ，即1x 时等号成立， 第 9 页 共 16 页 故 2 1xx y x 的最小值为 3. 故答案为：3. 【点睛】 本题考查基本不等式的应用，属于基础题. 15已知向量已知向量3, 6a ，则与，则与a垂直的单位向量的坐标为垂直的单位向量的坐标为_. 【答案】【答案】 2 55 , 55 或 2 55 , 55

17、 【解析】【解析】 可设坐标为, x y， 根据条件建立方程 22 3, 6,360 1 x yxy xy 解出即可. 【详解】 设与a垂直的单位向量的坐标为, x y， 由题可得 22 3, 6,360 1 x yxy xy ， 解得 2 5 5 5 5 x y 或 2 5 5 5 5 x y ， 所以与a垂直的单位向量的坐标为 2 55 , 55 或 2 55 , 55 . 故答案为： 2 55 , 55 或 2 55 , 55 . 【点睛】 本题考查向量垂直的坐标表示，考查向量坐标的计算，属于基础题. 三、双空题三、双空题 16学校餐厅每天供应学校餐厅每天供应 1050 名学生用餐，每周

18、一有名学生用餐，每周一有 A， ，B两种套餐可供选择两种套餐可供选择.调查表明，调查表明， 凡凡是本周一选是本周一选 A套餐的， 下周一会有套餐的， 下周一会有 20%改选改选 B套餐； 而选套餐； 而选 B套餐的， 下周一会有套餐的， 下周一会有 30% 改选改选 A套餐套餐.用用 n a， n b分别表示第分别表示第n个周一选个周一选 A套餐的人数和选套餐的人数和选 B套餐的人数套餐的人数.第一个第一个 周一选周一选 A套餐的人数为套餐的人数为 1 a人人. （1）如果每个周一选）如果每个周一选 A套餐人数总相等，则套餐人数总相等，则 1 a _. 第 10 页 共 16 页 （2）若）若

19、 1 350a ，则从第，则从第_个周一开始，选个周一开始，选 A套餐人数首次超过选套餐人数首次超过选 B套套 餐的人数餐的人数. 【答案】【答案】630 3 【解析】【解析】 （1）由题可列出递推关系 1 43 510 +1050 nnn nn aab ab ，利用 1nn aa ，代入1n 即 可求出； （2）根据递推关系可得出630 n a 是首项为 1 630280a ，公比为 1 2 的等比数 列，进而求出 n a，再列出不等式即可求出. 【详解】 （1）由题意可得 1 43 510 +1050 nnn nn aab ab ， 如果每个周一选 A 套餐人数总相等，则 1nn aa ，

20、 则 111 11 43 510 +1050 aab ab ，解得 1 630a . （2）由 1 43 510 +1050 nnn nn aab ab 可得 1 43 1050 510 nnn aaa ， 整理得 1 1 315 2 nn aa ，则 1 1 630630 2 nn aa ， 630 n a是首项为 1 630280a ，公比为 1 2 的等比数列， 1 1 630280 2 n n a ，即 1 1 630280 2 n n a ， 令 nn ab，即1050 nn aa，即525 n a ， 由 1 1 630280525 2 n 可得 1 131 282 n ， 1 1

21、n ，即2n， 故从第 3个周一开始，选 A 套餐人数首次超过选 B套餐的人数. 故答案为：630；3. 【点睛】 第 11 页 共 16 页 本题考查数列的应用，属于中档题. 四、解答题四、解答题 17为了为了研究某种菜籽在特定环境下，随时间变化发芽情况，得如下实验数据：研究某种菜籽在特定环境下，随时间变化发芽情况，得如下实验数据： 天数天数t（天）（天） 4 5 6 7 8 发芽个数发芽个数y（千个）（千个） 2 2.5 4 5.5 6 （1）求）求y关于关于t的回归直线方程；的回归直线方程； （2）利用（）利用（1）中的回归直线方程，预测当）中的回归直线方程，预测当10t 时，菜籽发芽个

22、数时，菜籽发芽个数. 附：回归直线的斜附：回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为：率和截距的最小二乘法估计公式分别为： 1 2 1 n ii i n i i ttyy b tt ， a ybt 【答案】【答案】 （1）1.12.6yt； （2）8.4千个. 【解析】【解析】 （1）利用已知数据先求出 t和 y的平均数，代入到b 中，得到b 后，再代入到a 中，而线性回归方程为y bxa ，代入所有数据即可得到； （2）将8t 代入回归直线中即可得到所求. 【详解】 （1）由表中数据计算得6t ，4y ， 5 1 11 ii i ttyy ， 5 2 1 10 i i tt ， 1 2

23、1 1.1 n ii i n i i ttyy b tt ， 2.6aybt . 所以，回归方程为1.12.6yt. （2）将10t 代入（1）的回归方程中得112.68.4y . 故预测10t 时，菜籽发芽个数约为 8.4千个. 【点睛】 该题主要考查线性回归方程等基础知识，意在考查考生的分析问题解决问题的能力、运 算求解能力，属于简单题目. 第 12 页 共 16 页 18当当0a 时，解关于时，解关于x的不等式的不等式 2 1 330axa x . 【答案】【答案】答案见解析. 【解析】【解析】将所求不等式变形为130axx，对实数a的取值进行分类讨论，结 合二次不等式的求解方法可得出原

24、不等式的解集. 【详解】 由 2 1 330axa x ，可得130axx. 当0a时，原不等式即30 x ，解得3x； 当0a 时，130axx. 方程130axx的两根为 1 1 0 x a ， 2 3x . 当 1 3 a 时，原不等式即 21 30 3 x，即 2 30 x，解得xR； 当 1 0 3 a时， 1 3 a ，解原不等式得 1 x a 或3x； 当 1 3 a 时， 1 3 a ，解原不等式得3x或 1 x a . 综上，当0a时，原不等式的解集为3x x ； 当 1 3 a 时，原不等式的解集为R； 当 1 0 3 a时，原不等式的解集为3x x 或 1 x a ； 当

25、 1 3 a 时，原不等式的解集为 1 x x a 或3x . 【点睛】 本题考查含参二次不等式的求解，考查分类讨论思想的应用，属于中等题. 19街道办在小区东、西两区域分别设置街道办在小区东、西两区域分别设置 10 个摊位，供群众销售商品个摊位，供群众销售商品.某日街道办统计 某日街道办统计 摊主的当日利润（单位：元） ，绘制如下茎叶图摊主的当日利润（单位：元） ，绘制如下茎叶图. （1）根据茎叶图，计算东区）根据茎叶图，计算东区 10 位摊主当日利润的平均数，方差；位摊主当日利润的平均数，方差； （2）从当日利润）从当日利润 90 元以上的摊主中，选出元以上的摊主中，选出 2 位进行经验推

26、介，求选出的位进行经验推介，求选出的 2 位摊主恰好位摊主恰好 第 13 页 共 16 页 东、西区域各东、西区域各 1 位的概率位的概率. 【答案】【答案】 （1）平均数是 80，方差是 79.4； （2） 3 5 . 【解析】【解析】 （1）根据公式求样本的平均数与方差； （2）东区 2摊主分设为 A，B，西区 3摊主分设为 c，d，e. 求出从这 5 位摊主中随机 抽取 2 个包含的基本事件的个数，以及选出的 2 位摊主恰好东、西区域各 1位包含的基 本事件的个数，利用概率公式即可求解. 【详解】 （1）东区 10位摊主利润的平均数是 80，方差是 2222221 68806980758

27、073 8078808080 10 2222 89 8081 8092 8095 8079.4 （2）由题意可知，东区 2摊主分设为 A，B，西区 3摊主分设为 c，d，e. 再从这 5位摊主中随机抽取 2个，共包含： ,A B，,A c，,A d，,A e，,B c，,B d，,B e，, c d，, c e，,d e， 10 种等可能的结果； 其中东西两个区域各 1位摊主事件包含,A c，,A d，,A e，,B c，,B d， ,B e，共计 6种等可能的结果； 由古典概型计算公式可得，选出东、西两个区域各 1 位摊主的概率 63 105 P . 【点睛】 本题主要考查了由茎叶图求平均值

28、和方差， 以及利用古典概率公式求概率， 属于中档题. 20已知已知ABC的内角的内角 A，B，C所对的边分别为所对的边分别为 a， ，b，c，ABC的面积的面积 S满足满足 2 3 3 SAB AC . （1）求）求 A； （2）若）若coscosacbA aB，求，求ABC的周长的最大值的周长的最大值. 【答案】【答案】 （1）60A； （2）3. 【解析】【解析】 （1）由向量数量积公式、ABC的面积 S可求得 A； （2）由coscosacbA aB及正弦定理得1a ，再由余弦定理及基本不等式可得答 案. 【详解】 第 14 页 共 16 页 （1） cosAB ACcbA ， 由已知

29、2 31 sincos 32 bcAbcA，得tan3A . 因为0180A，所以60A. （2）由题设及正弦定理得sinsincossincosaCBAAB， 所以sinsinaCBA，即sinsinaCC， 由于0120C，sin0C ， 所以1a ， 由余弦定理 222 abcbc，得 所以 2 2 2 133bcbc bc ，当且仅当1bc时取等号， 解得2bc， 3abc ， 即ABC的周长的最大值为 3. 【点睛】 本题考查了向量与三角形结合，考查了正弦定理、余弦定理解三角形的问题. 21已知等差数列已知等差数列 n a的前的前n项和为项和为 n S，且，且 12 3a a ， 3

30、 6S . （1）求数列）求数列 n a的通项公式；的通项公式； （2）求数列）求数列 1 2 n n a 的前的前n项和项和 n T . 【答案】【答案】 （1） 1 1 2 n an； （2） 4 4 2 n n n T . 【解析】【解析】（1） 利用等差数列的通项公式和前n项和公式,将已知条件转化为关于 1 a和d的 方程，解出 1 a和d，即可求出通项； （2）由（1）知 1 2 22 n nn an ，利用乘公比错位相减即可求和. 【详解】 （1）由 3 6S 得， 2 2a ，代入到 12 3a a 得 1 3 2 a ， 1 2 d ， 所以 n a的通项公式为 1 1 2 n

31、 an. （2）由（1）知 1 2 22 n nn an ， 第 15 页 共 16 页 所以 21 3412 2222 n nn nn T ， 231 13412 22222 n nn nn T . 两式相减得 231 131112 222222 n nn n T 111 31124 12 22222 nnn nn 所以 4 4 2 n n n T ， 【点睛】 本题主要考查了求等差数列通项，以及乘公比错位相减求和，属于中档题. 22如图，某游乐园的平面图呈圆心角为如图，某游乐园的平面图呈圆心角为 120 的扇形 的扇形AOB，其两个出入口设置在点，其两个出入口设置在点 B 及点及点 C处，

32、 且园内有一条平行于处， 且园内有一条平行于AO的小路的小路CD.已知某人从已知某人从 C沿沿CD走到走到 D用了用了 8 分分 钟，从钟，从 D沿沿DB走到走到 B用了用了 6 分钟分钟.若此人步行的速度为每分钟若此人步行的速度为每分钟 50 米米. （1）求）求CDB的面积；的面积； （2）求该扇形的半径）求该扇形的半径OA的长的长. 【答案】【答案】 （1）30000 3平方米； （2）370 米. 【解析】【解析】 （1）利用三角形的面积公式可得 1 sin 2 SCDDBCDB，代入求解即可. （2）设扇形的半径为r，连结CO，可得60CDO，利用余弦定理即可求解. 【详解】 （1）由题意400CD（米） ，300DB（米） ，120CDB； CDB的面积 1 300 400 sin12030000 3 2 S （平方米） 所以CDB的面积为30000 3平方米. （2）设扇形的半径为r，连结CO， 第 16 页 共 16 页 由题意60CDO 在CDO中， 222 2cos60OCCDODCD OD， 即 2 22 1 4003002 400300 2 rrr ， 解得370r （米） 则该扇形半径OA的长为 370米. 【点睛】 本题考查了三角形的面积公式、余弦定理解三角形，考查了基本运算求解能力，属于基 础题.