江苏省泰州市2021届第一学期期中调研测试高三数学试题（解析版）.docx

1、1 江苏省泰州市 2021 届第一学期期中调研测试 高三数学试题 202011 一、单项选择题（本大题共 8 小题，每小题 5 分，共计 40 分在每小题给出的 四个选项中，只有一个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上） 1设集合 M 2 log1xx ，集合 N21xx 则 MN A(0，1) B(2，2) C(0，2) D(2，1) 【答案】A 【考点】集合的交集运算 【解析】由题意 M 2 log1xx 20| xx，则 MN(0，1) ，故答案选 A. 2已知 a，bR，i 为虚数单位，则“ab0”是“a i b 为纯虚数”的 A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充分必要

2、条件 D既不充分也不必要条件 【答案】B 【考点】复数的运算、逻辑用语 【解析】由题意 a i b abi 为纯虚数，则 a=0，b0；而 ab0 表示 a=0 或 b=0，所以“ab0”是“a i b 为纯虚数”的必要不充分条件，故答案选 B. 3欧拉是瑞士著名数学家，他首先发现：ecosisin i （e 为自然对数的底 数，i 为虚数单位） ，此结论被称为“欧拉公式”，它将指数函数的定义域扩大 2 到复数集，建立了三角函数和指数函数的关系根据欧拉公式可知， i e A1 B0 C1 D1i 【答案】C 【考点】文化题：复数与三角函数的运算 【解析】由题意可知 i e 101sincosi

3、，故答案选 C. 4埃及金字塔是古埃及的帝王（法老）陵墓，世界七大奇迹之一，其中较为著 名的是胡夫金字塔令人吃惊的并不仅仅是胡夫金字塔的雄壮身姿，还有发 生在胡夫金字塔上的数字“巧合”如胡夫金字塔的底部周长除以其两倍的高 度，得到的商为 3.14159，这就是圆周率较为精确的近似值，金字塔底部形为 正方形，整个塔形为正四棱锥，经古代能工巧匠建设完成后，底座边长大约 230 米，因年久风化，顶端剥落 10 米，则胡夫金字塔现在的高度大约为 A128.4 米 B132.4 米 C136.4 米 D110.4 米 【答案】C 【考点】文化题：空间几何体的结构特征及简单运算 【解析】由题意可设胡夫金字

4、塔原来的高度为 h，则有14159. 3 2 4230 h ，解得 h=146.4 14159. 32 4230 （米） ，则胡夫金字塔现在的高度大约为 146.410=136.4， 故答案选 C. 5在平行四边形 ABCD 中，点 E，F 分别满足 1 BEBC 2 ， 1 DFDC 3 若 BDAEAF，则实数的值为 A 1 5 B 1 5 C 7 5 D 7 5 【答案】B 【考点】平面向量的基本定理 3 【解析】 由题意可设 bADaAB， 则在平行四边形ABCD中， 因为 1 BEBC 2 ， 1 DFDC 3 ，所以点 E 为 BC 的中点，点 F 在线段 DC 上，且 CF=2D

5、F， 所以 baAFbaAE 3 1 2 1 ， 又因为BDAEAF，且 abABADBD， 所以 bababaAFAEba 2 1 3 1 3 1 2 1 ， 所以 1 2 1 1 3 1 ，解得 5 9 5 8 ，所以 5 1 ，故答案选 B. 6函数 sin ( ) 33 xx xx f x 的图像大致为 A. B. C. D. 4 【答案】A 【考点】函数的图象与性质 【解析】由题意可知， xf xxxx xf xxxx 33 sin 33 sin ，即函数 xf为 奇函数， 函数图象关于原点对称， 所以排除 BD 选项； 因为当，0 x时， sinx0， 所以 sinx+x0， 当，

6、x时，11sin，x， 所以 sinx+x0， 又 ，0 x时， 033 xx ，则0 33 sin xx xx ，所以只有 A 选项符合，排除 C 选项，故答案选 A. 7电影流浪地球中反复出现这样的人工语音：“道路千万条，安全第一条， 行车不规范， 亲人两行泪”成为网络热句讲的是“开车不喝酒，喝酒不开 车”2019 年，公安部交通管理局下发关于治理酒驾醉驾违法犯罪行为的 指导意见 ，对综合治理酒驾醉驾违法犯罪行为提出了新规定，根据国家质量 监督检验检疫总局下发的标准，车辆驾驶人员饮酒后或者醉酒后驾车血液中 的酒精含量阅值见表。经过反复试验，一般情况下，某人喝一瓶啤酒后酒精 在人体血液中的变

7、化规律的“散点图”见图，且图表所示的函数模型 0.5 40sin() 13, 02 ( )3 90 e14, 2 x xx f x x 假设该人喝一瓶啤酒后至少经过 n(nN) 小时才可以驾车，则 n 的值为（参考数据：ln152.71，ln303.40） 车辆驾驶人员血液酒精含量阈值 驾驶行为类别 阈值（mg/100mL） 饮酒驾车 20，80) 醉酒驾车 80，) A5 B6 C7 D8 【答案】B 【考点】文化题：指数不等式的求解 5 【解析】由题意可知当酒精阈值低于 20mg/100mL 时，才可以开车，则可结合分 段函数建立不等式201490 5 . 0 x e，即 15 1 5 .

8、 0 x e，两边取自然对数可得 15 1 lnln 5 . 0 x e，即51ln5 . 0 x，则42. 5 5 . 0 71. 2 5 . 0 51ln x，取整数可得为 6h， 故答案选 B. 8若实数 a，b，c 满足 23 2loglog a bck，其中 k(1，2)，则下列结论正确 的是 A bc ab Bloglog ab bc Clogbac D ba cb 【答案】D 【考点】指对数运算、比较大小 【解析】由题意可知 a(0，1)，b(2，4)，c(3，9)，且 kk cb32，对于 A 选项，10 b a，1 c b可得到 cb ba ，故选项 A 错误；对于 B 选项

9、， 02log2loglog a k aa kb，03log3loglog b k bb kc，所以cb ba loglog， 故 B 选项错误；对于 C 选项，ac k b k 13log3loglog 2 2 ，故 C 选项错误； 对于 D 选项，bbba 1 ，cccb 1 ，而 cb，所以 ba cb，故 D 选项正确； 所以答案选 D. 二、 多项选择题（本大题共 4 小题，每小题 5 分， 共计 20 分在每小题给出的 四个选项中， 至少有两个是符合题目要求的， 请把答案添涂在答题卡相应位置上） 9已知向量a(3，2)，b(1，0)，则下列选项正确的有 A(ab)b4 B(a3b)

10、b C2abb D 22 4aba b 【答案】ABD 【考点】平面向量的坐标运算 6 【解析】 由题意， 对于选项 A，a+b(4， 2)， 所以(ab)b4(1)+0=4， 故 A 选项正确；对于选项 B，a3b(0，2)，所以(a3b)b0， 所以(a3b)b，故 B 选项正确；对于选项 C，a+b(2，2)， 2222 2 2 ba，1b ，所以 bba22，故 C 选项错误；对于选 项 D，1323 2 2 2 a ， 13013414 2 bab ， 即baba 4 22 ， 故 D 选项正确；所以答案选 ABD. 10已知函数 32 ( )(0)f xaxbxcx a的导函数(

11、)yfx的两个零点为 1，2， 则下列结论正确的有 Aabc0 B( )f x在区间0，3的最大值为 0 C( )f x只有一个零点 D( )f x的极大值是正数 【答案】BC 【考点】函数的极值、最值与导数的应用 【解析】由题意可知 cbxaxxf23 2 ，且 01 f ， 02 f ，所以 0412 023 cba cba ， 则联立化简为029 ba， 解得ab 2 9 ，ac6， 因为0a， 所 以00cb， 所 以 abc0 ， 所 以 A 选 项 错 误 ； 由0a， 可 知 cbxaxxf23 2 为开口向下的二次函数， 且零点为 1， 2， 则当21xx或时， 0 x f，当

12、21 x时， 0 x f，即( )f x在1 ，上单调递减，在21，上单 调递增，在，2上单调递减，所以 x=1 为极小值点，x=2 为极大值点，则( )f x 的极大值为 0262 2 9 482482 aaaacbaf，则选项 D 错误； 7 由函数( )f x的单调性可知，函数( )f x在10，单调递减，在21，上单调递增，在 32，上单调递减，而且 00 f， 022 af，所以( )f x在区间0，3的最大 值为 0，故选项 B 正确；函数( )f x在1 ，上单调递减，在21，上单调递增， 在，2上单调递减，且 00 f， 0 2 5 6 2 9 1 aaaacbaf， 022

13、af，所以( )f x只有一个零点 0，故选项 C 正确；所以答案选 BC. 11某港口一天 24h 内潮水的高度 S（单位：m）随时间 t（单位：h，0t24） 的变化近似满足关系式 5 ( )3sin() 126 S tt ，则下列说法正确的有 A( )S t在0，2上的平均变化率为 3 4 m/h B相邻两次潮水高度最高的时间间距为 24h C当 t6 时，潮水的高度会达到一天中最低 D18 时潮水起落的速度为 8 m/h 【答案】BD 【考点】导数的概念及几何意义、求导法则 【解析】 由题意， 对于选项 A， 2 3 6 5 sin30 S， 0 6 5 2 12 sin32 S， 所

14、以( )S t在0， 2上的平均变化率为 4 3 2 2 3 0 02 02 SS m/h， 故 A 选项错误； 对于选项 B，相邻两次潮水高度最高的时间间距为一个周期，而24 12 2 Th， 8 故 B 选项正确；对于选项 C，当 t6 时， 3 2 33 6 5 6 12 sin36 S， 所以潮水的高度会达到一天中最低为错误说法，即 C 选项错误；对于选项 D， 6 5 12 os 4126 5 12 os3 tctctS， 所以 86 5 18 12 os 4 18 cS， 则选项 D 正确；综上，答案选 BD. 12在棱长为 2 的正方体 ABCD-A1B1C1D1中，点 P 是棱

15、 BC 的中点，点 Q 是底 面 A1B1C1D1上的动点，且 APD1Q，则下列说法正确的有 ADP 与 D1Q 所成角的最大值为 4 B四面体 ABPQ 的体积不变 C AA1Q 的面积有最小值 2 5 5 D平面 D1PQ 截正方体所得截面面积不变 【答案】BCD 【考点】立体几何中的空间角、几何体的体积、侧面积、截面面积的求解等 【解析】由题意以 A1为坐标原点，A1B1、A1A、A1D1为 x、y、z 轴建立空间直角 坐标系，如图所示：则 A1(0，0，0)，D(0，2，2)，D1(0，2，0)，A(0，0，2)， B(2，0，2)，C(2，2，2)，则 P(2，1，2)，设 Q(x

16、0，y0，0)，则 AP=(2，1，0)， QD1=(x0，y02，0)，由 AP QD1，可得0 1 QDAP，即 2x0+y02=0，对于选 项 A，由 DP=(2，1，0)，可得 2 0 2 0 00 1 25 22 cos yx yx QDDP， 5 4 55 4 25 4 0 0 2 0 2 0 0 x x xx x ，为定值，所以选项 A 错误；对于 选项 B， 四面体 ABPQ 的体积 3 2 212 2 1 3 1 3 1 1 AASVV ABPABPQBPQA ， 为定值， 即体积不变 ，所以选项 B 正确； 对于选项 C， 因为 AA1A1Q， 且 A1Q= 9 2 0 2

17、 0 yx，所以 2 0 2 0 2 0 2 011 222 2 1 2 1 1 xxyxQAAAS QAA 5 4 5 4 5485 2 00 2 0 xxx，因为20 0 ，x，所以 5 52 5 4 1 QAA S，所以 选项 C 正确；对于选项 D，因为点 Q 满足 2x0+y02=0，即点 Q 在直线 2x0+y0 2=0 上运动，取 A1B1的中点为 E，即点 Q 在 D1E 上，则平面 D1PQ 截正方体 所得截面为 2 D1PE，因为点 P 到 D1E 的距离为 2，E(1，0，0)， ED1=(1，2， 0)，521 2 1 ED， 则截面面积为 2 D1PE=522 2 1

18、 2 1 ED， 为定值， 所以选项 D 正确，所以答案选 BCD. 三、填空题（本大题共 4 小题， 每小题 5 分，共计 20 分请把答案填写在答题 卡相应位置上） 13已知 1 tan() 43 ，则 cos2的值为 【答案】 3 5 【考点】三角恒等变换公式的应用 【 解 析 】 由 题 意 可 知 ， 3 1 t a n1 1t a n 4 t a n ， 解 得2t a n ， 则 5 3 t a n1 t a n1 s i nc o s s i nc o s 2c o s 2 2 22 22 ，故答案为 3 5 . 10 14乒乓球被称为中国的“国球”，目前国际比赛用球的直径为

19、4cm某厂家计划 生产乒乓球包装盒，包装盒为长方体，每盒装 6 个乒乓球，现有两种方案， 方案甲：6 个乒乓球放一排；方案乙：6 个乒乓球并排放置两排，每排放 3 个，乒乓球与盒子、以及乒乓球之间紧密接触，确保用料最省，则方案甲中 包装盒的表面积比方案乙中包装盒的表面积多 cm2 【答案】64 【考点】立体几何中的表面积 【解析】由题意，方案甲：6 个乒乓球放一排，每个球的直径为 4cm，长方体包 装盒的长为：64=24（cm） ，宽为 4cm，高为 4cm，所以方案甲中包装盒的表面 积为：2(244+244+44)=416cm2；方案乙：6 个乒乓球并排放置两排，每 排放 3 个，每个球的直

20、径为 4cm，长方体包装盒的长为：43=12（cm） ，宽为 4 2=8cm，高为 4cm，所以方案乙中包装盒的表面积为：2(128+124+8 4)=352cm2；所以方案甲中包装盒的表面积比方案乙中包装盒的表面积多 416352=64cm2 15已知正实数 x，y 满足 xy1，则 2y xxy 的最小值为 【答案】42 6 【考点】基本不等式的应用 【解析】由题意因为 xy1，所以 xyx y yyx xyx y xyx y2222 2 =， 4 22 4 22 1 4 22 1 22 1 222 x y y x x y x y y x y y x y y x y yyy yx xyy

21、y y 4624 32 24 32 x y y x x y y x ， 当且仅当 x y y x32 时取等号， 所以答案为 42 6. 16已知直三棱柱 ABCA1B1C1中，ABBC1，AC3，侧棱 AA12， 11 则该三棱柱外接球的体积为 【答案】 8 2 3 【考点】三棱柱外接球问题 【解析】由题意可知，在 ABC 中，因为 ABBC1，AC3，由余弦定理 可得 2 1 2 311 2 cos 222 BCAB ACBCAB B，则 2 3 cos1sin 2 BB，由正 弦定理可得r B AC 22 2 3 3 sin ，所以 ABC 的外接圆半径为 r=1，可设直三棱 柱外接球的

22、半径为 R， 则 2 1 22 2 AA rR， 化简得2 2 2 1 2 22 R， 解得2R， 所以直三棱柱外接球的体积为 3 28 2 3 4 3 4 3 3 RV，故答案为 8 2 3 . 四、解答题（本大题共 6 小题，共计 70 分请在答题卡指定区域内作答解答 时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17 （本小题满分 10 分） 设集合 A 1 0 2 x x x ，B 22 240 x xmxm （1）当 m2 时，求 AB； （2）若 ABB，求实数 m 的取值范围 【考点】集合的运算：交集、并集、子集；分式不等式的解法、含参的一元二次 不等式的解法 12 【解析】 解： 1

23、 0 =12 2 x Axxx x 2 分 22 240 =22Bx xmxmx mxm （1）当=2m时，04Bxx 4 分 所以 AB=|02ABxxI 6 分 （2）因为=AB BU，所以AB，有： 21 22 m m ，解得：01m ， 所以实数m的取值范围为0,1. 10 分 18 （本小题满分 12 分） 已知向量a(3cosx，1)，b(sinx，cos2x)，函数( )f xa b （1）求函数( )f x的单调递增区间； （2）求函数( )f x在区间 2 ，0上的最大值和最小值，并求出相应的 x 的值 【考点】三角函数的图象与性质；向量的数量积坐标公式运算 【解析】 解:(

24、1) 2 ( )= 3sin coscosf xa bxxx 3cos21 =sin2 222 x x 13 1 =sin2 coscos2 sin 662 xx 1 =sin 2) 62 x （ 4 分 由2, 262 kxkk Z22， 解得：, 63 kxkk Z ， 所以函数( )f x的单调递增区间为：, 63 kkk Z. 6 分 （2）因为0 2 x ，所以 7 2 666 x ， 8 分 所以 1 sin 2) 62 x -1（，即 31 sin 2)0 262 x -（， 10 分 当= 2 x 时，( )f x有最大值为 0; 当= 6 x 时, ( )f x有最小值为 3

25、 2 -. 12 分 19 （本小题满分 12 分） 已知 ABC 的内角 A，B，C 所对的边分别是 a，b，c，A 为锐角，在以下 三个条件中任选 一个：(b3c)cosAacosB0；sin2 BC 2 cos2A 1 9 ； 1 cosA 2sinB a b ；并解答以下问题： （1）若选 （填序号） ，求 cosA 的值； （2）在（1）的条件下，若 a2，求 ABC 面积 S 的最大值 14 【考点】开放性试题：解三角形、三角恒等变换 【解析】 解： （1）若选，因为3 )coscos0bcAaB（，由正弦定理有： sin3sin)cossincos0BCAAB（, 即sincos

26、cossin3sincosBABACA， 所以sin3sincosCCA，在中，sin0C ，所以 1 cos= 3 A. 6 分 若选, 9 1 2cos 2 sin 2 A CB ， 9 1 2cos 2 )cos(1 A CB ， ABC中，CBA, 9 1 2cos 2 cos1 A A ， 9 1 1cos2 2 cos1 2 A A ，07cos9cos36 2 AA, 3 1 cosA，或 12 7 cosA（舍）, 3 1 cosA. 6 分 若选，因为，由正弦定理有： sin1 cos sin2sin AA BB ，因为在中，sin0B，所以2sin =1 cosAA， 又

27、22 sincos=1AA，为锐角，解得 1 cos= 3 A. 6 分 （2）由（1）可知， 3 1 cosA ，由 22 sincos=1AA， 为锐角，得 2 2 sin= 3 A， 由余弦定理可知， 3 1 2 222 bc acb 15 2a，bccb21233 22 22 212336bcbcbc 3bc，当且仅当= 3bc时等号成立. 9 分 面积： 1 =sin2 2 SbcA. 所以面积S的最大值为2. 12 分 20 （本小题满分 12 分） 如图， 在四棱锥 P-ABCD 中， PD2， AB3， AD3， DAB90 ， BCD 为正三角形，E 是 CD 的中点，DEP

28、E，PDBC （1）求证：平面 PDE平面 PBC； （2）求二面角 P-BC-D 的余弦值； （3）求四棱锥 P-ABCD 的体积 【考点】立体几何的证明：面面垂直；用空间向量求空间角；空间几何体的体积 求解 【解析】 解： （1）因为为正三角形，E 是 CB 的中点， 所以 DEBC， 因为 PDBC，PDDE=D，PD平面 PDE，DE平面 PDE， 所以 BC平面 PDE， 因为 BC平面 PBC 所以平面 PDE平面 PBC 4 分 16 （2）由（1）中平面，则， 又，所以是二面角的平面角， 因为，所以， 因为， 所以， 即二面角的余弦值为 8 分 （3）在中，过作于， 由（1）中

29、得平面，又因为平面， 所以平面平面， 又平面， 故平面， 10 分 由为正三角形，得的面积， 的面积，四边形的面积 为 在中， 所以四棱锥的体积12 分 21 （本小题满分 12 分） 17 已知函数( )2xf x ，( )( )()g xf xf x （1）解不等式：(2 )(1)3fxf x； （2）当 x1， 1 2 时，求函数( )g x的值域； （3）若 1 x(0，)， 2 x1，0，使得 112 (2 )( )2 ()0gxag xg x成立， 求实数 a 的取值范围 【考点】指数不等式的解法；求函数值域；不等式的恒成立问题 【解析】 解： （1）由得， 即， 所以，又210

30、x 所以，即不等式的解集为； 3 分 （2）( )( )()22 xx g xf xfx， 当时， ； 当 1,0)x 时， ， 令，则， 即在上为减函数，故； 18 综上得：当时，函数( )g x的值域为2,2 2；7 分 （3）由题意得， 当，由（2）得，所以， 所以恒成立， 即恒成立， 10 分 又，当且仅当时取等号， 所以实数 的取值范围为 12 分 22 （本小题满分 12 分） 已知函数 2 ( )lnf xxx，( )g xkx （1）求函数( )f x的最小值； （2）若( )g x是( )f x的切线，求实数 k 的值； （3） 若( )f x与( )g x的图象有两个不同交

31、点 A( 1 x，1y)， B( 2 x， 2 y)， 求证：1 2 1x x 【考点】利用导数求函数的最值；导数的几何意义与函数的切线方程；利用构造 新函数解决极值点偏移问题 【解析】 解： （1） 2 ( )lnf xxx， 2 121 ( )2(0) x fxxx xx ， 19 当 2 (0,) 2 x时，( )0fx，( )f x在 2 (0,) 2 上单调递减； 当 2 (,) 2 x时，( )0fx，( )f x在 2 (,) 2 上单调递增 故函数( )f x的最小值为 2 22211 ()()lnln2 22222 f3 分 （2）若( )g x是( )f x的切线，设切点为

32、 00 (,()xf x， 则过点 00 (,()xf x的切线方程为 000 ()()()yfxxxf x， 即 2 0000 0 1 (2)()lnyxxxxx x ，即 2 000 0 1 (2)1 lnyxxxx x ， 由题意知 2 000 0 1 2,1 ln0 xkxx x ， 5 分 令 2 ( )1 ln (0)h xxx x ，则0 x时， 1 ( )20h xx x ， 2 ( )1 lnh xxx 在(0,)上单调递增，又(1)0h， 2 00 1 ln0 xx 有唯一的实根 0 1x ，则 0 0 1 22 1 1kx x 7 分 （3）由题意知 22 111222

33、ln,lnxxkx xxkx， 两式相加得 22 121212 ln()xxx xk xx， 两式相减得 22 2 2121 1 ln() x xxk xx x ，即 2 1 21 21 ln x x xxk xx ， 20 2 22 1 12122112 21 ln ln()() x x xxx xxxxx xx ，即 212 1212 211 ln2ln xxx x xx x xxx ， 不妨令 12 0 xx，记 2 1 1 x t x ，则 212 1212 211 ln2ln xxx x xx x xxx 1ln 1 t t t ， 令 2(1) ( )ln(1) 1 t F ttt t ，则 2 (1) ( )0 (1) t F t t t ， 2(1) ( )ln 1 t F tt t 在(1,)上单调递增，则 2(1) ( )ln(1)0 1 t F ttF t ， 2(1) ln 1 t t t ，因而 1212 ln2x xx x 11 2(1) ln2 111 ttt t ttt ， 令( )ln2G xxx， 则0 x时， 1 ( )20G x x ， ( )G x在(0,)上单调递增， 121212 ()ln22(1)G x xx xx xG， 12 1x x 12 分