2022届梅州市“三校联考”数学试题.doc

1、 1 20222022 届梅州市“三校联考”数学试题届梅州市“三校联考”数学试题 一、单项选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题 目要求的 l已知角 的顶点与原点重合，始边与 x 轴非负半轴重合，终边过点，则 A. 5 3 B. 5 3 C. 5 4 D. 5 4 2已知2log 2 . 0 a， 2 . 0 2 . 0b， 2 . 0 3c，则（ ） A abc B acb C cab D bca 3已知向量2,2AB ，,1ACt，若2AB BC ，则t （ ） A. 5 B. 4 C. 3 D. 2 4在等比数列 n a中， 1

2、1a ，公比1q .若 12345m aa a a a a，则m=（ ） A9 B10 C11 D12 5某产品的广告费用 x 与销售额 y 的统计数据如下表 广告费用 x（万元） 4 2 3 5 销售额 y（万元） 49 26 39 54 根据上表可得回归方程 ybxa中的b为 9.4，据此模型预报广告费用为 6 万元时销售额为（ ） A63.6 万元 B65.5 万元 C67.7 万元 D72.0 万元 6已知直线: 21 110lkxkykR 与圆 22 1225xy交于A，B两点，则弦长 AB的取值范围是（ ） A4,10 B3,5 C8,10 D 6,10 7刘徽（约公元 22529

3、5 年） ，魏晋期间伟大的数学家，中国古典数学理论的奠基人之一他在割圆术 中提出的“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失 矣”， 这可视为中国古代极限观念的佳作， 割圆术的核心思想是将一个圆的内接正n边 形等分成n个等腰三角形（如图所示） ，当n变得很大时，这n个等腰三角形的面积之 和近似等于圆的面积。若运用割圆术的思想，则得到 2sin的近似值为（ ） A 90 B 180 C 270 D 360 8在四棱锥PABCD中，底面ABCD是边长为 4 的正方形，PAD 是一个正三角形，若平面PAD 平面ABCD，则该四棱锥的外接球的表面积为（ ） A14 3 B 28

4、 3 C 56 3 D112 3 2 二、多项选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分在每小题给出的选项中有多项符合题目要求全 部选对的得 5 分，部分选对的得 3 分，有选错的得 0 分 9记函数xxxfln)(的零点为 0 x，则关于 0 x的结论正确的为（ ） A 2 1 0 0 x B1 2 1 0 x C0 0 0 xe x D0 0 0 xe x 10已知 0,0ab， 2ab，则下列不等式恒成立的是（ ） A. 1ab B. 2ab C. 22 2ab D. 11 2 ab 11已知函数) 2 , 0, 0()sin()( AxAxf的最大值为2，其图象相邻两条对称

5、轴之间 的距离为 2 且)(xf的图象关于点)0 , 12 ( 对称，则下列判断错误的是( ) A. 函数)(xf的图象关于直线 12 5 x对称 B. 要得到函数)(xf的图象，只需将xy2cos2的图象向右平移 6 个单位 C. 当 66 ，x时，函数)(xf的最小值为2 D. 函数)(xf在 36 ，上单调递减 12已知三棱锥PABC中，O为AB中点，PO平面ABC，90APB，2PAPB，则下 列说法中正确的是( ) A若O为ABC的外心，则2PC B若ABC为等边三角形，则APBC C当90ACB时，PC与平面PAB所成角的范围为0, 4 D当4PC 时，M为平面PBC内动点，若OM

6、/平面PAC，则M在三角形PBC内的轨迹长度为2 三、填空题（每题 5 分，其中第 14 题第一空 3 分、第二空 2 分，共 20 分） 13已知函数 3 log (1)2, 0 ( ) (3), 0 xx f x f xx ，则)7(f 14 九章算术“竹九节”问题；现有一根 9 节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面 4 节的容 积共 10 升，下面 3 节的容积共 24 升，则自上而下的第 1 节的容积为 升，这 9 节竹子的总容积为 升 15已知函数 2 ( )ln(1) 1f xxx，若正实数 ab,满足(4 )(1)2faf b，则 11 ab 的最小 值 3 16已知函数

7、 2 ( )f xx，( )1g xa x，a 为常数，若对于任意 1 x， 2 x 0，2，且 1 x 2 x，都有 1212 ( )()( )()f xf xg xg x，则实数 a 的取值范围为 四、解答题： （本大题共 6 小题，共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17(本小题满分 10 分)已知集合 22 |430Ax xaxa，集合 |(3)(2)0Bxxx （1）当1a 时，求,AB AB； （2）设0a，若“xA”是“xB”的必要不充分条件，求实数a的取值范围 18(本小题满分 12 分)设数列 n a的前n项和为 n S，且 1 1a ， 1 21 nn a

8、S ， * Nn （1）求数列 n a的通项公式； （2）设 21 n n n c a ，求数列 n c的前n项和 n T 19(本小题满分 12 分)ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知ABC的面积为 2 3sin a A (1)求sinsinBC； (2)若6coscos1BC ，3a ，求ABC的周长 20全世界越来越关注环境保护问题，某监测站点于2016 年 8 月某日起连续n天监测空气质量指数 AQI，数据统计如下： 空气质量指数 3 /g m 0 50 51 100 101 150 151 200 201 250 空气质量等级 空气优 空气良 轻度污染 中度污染 重度

9、污染 天数 20 40 m 10 5 （1）根据所给统计表和频率分布直方图中的信息求出, n m的值，并完成頻率分布直方图： 4 （2）由頻率分布直方图，求该组数据的平均 数与中位数； （3）在空气质量指数分别为51 100和 151 200的监测数据中，用分层抽样的方法 抽取5天， 从中任意选取2天， 求事件A “两 天空气都为良”发生的概率. 21(本小题满分 12 分)已知平行四边形ABCD，4AB ，2AD ，60oDAB，E为AB的中点， 把三角形ADE沿DE折起至 1 ADE位置，使得 1 4AC ，F是线段 1 AC的中点 （1）求证： 1 /BFADE面； （2）求证：面 1

10、ADE 面DEBC； （3）求二面角 1 ADCE的正切值 22(本小题满分 12 分)如图，在直角坐标系xOy中，圆O： 22 4xy与x轴负半轴交于点A，过点A 的直线AM，AN分别与圆O交于M，N两点，设直线AM、AN的斜率分别为 1 k、 2 k （1）若 1 2k ， 2 1 2 k ，求AMN的面积； （2）若 12 2k k ，求证：直线MN过定点 梧州高中梧州高中 2020-2021 学年上学期段考试题学年上学期段考试题 高二数学（理科）参考答案高二数学（理科）参考答案 一一. 选择题选择题 D C B A E C D A1 F BE 5 题号题号 1 2 3 4 5 6 7

11、8 9 10 11 12 答案答案 B A A B A D D A B D C D 二、填空题：本题共二、填空题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分。分。 13.2 14.2150 xy 15.2 2 16. 1 1 2 a 1.【详解】解析由左焦点为 F1(4,0)知 c4,又 a525m216,解得 m3 或3,又 m0 故 m3. 2. 【详解】解析改变原命题中的三个地方即可得其否定, “”改为“”,x0改为 x,否定结论即 ln xx 1. 3.【详解】解析由(z2i)(2i)5 得 z 5 2i2i 2i 5 2i23i,选 A 4.【详解】解析：因为假

12、设 nk(k2 为偶数),故下一个偶数为 k2,故选 B.答案：B 5. 【详解】 解析： 由约束条件作出可行域如图所示,由图可知,目标函数在点 A 处取得最小值.联立 xy1 yx1 , 解得 x0 y1 ,A(0,1),所以 z2xy 在点 A 处取得最小值为 2 011. 6.【详解】解析：直线 ykx1 恒过(0,1)点,若 5m,则 m1,若 50 时,y2 x4 x 22x 4 x2.当且仅当 x 4 x,x2 时取等号.答案： 2 14.【详解】解析 设弦的两个端点分别为 A(x1,y1),B(x2,y2),则 x214y214,x224y224, 两式相减得(x1x2)(x1x

13、2)4(y1y2)(y1y2)0. 因为线段 AB 的中点为 P(8,1),所以 x1x216,y1y22.所以y1y2 x1x2 x1x2 y1y2 2. 所以直线 AB 的方程为 y12(x8)代入 x24y24 满足 0.即直线方程为 2xy150. 15.【详解】解析：由图可知, 图形面积 S 5 4 4 (sin xcos x)dx(cos xsin x) 5 4 4 cos5 4 sin5 4 cos 4sin 4 2( 2)2 2. 16. 【详解】 解析： 因为 f(x)1ln x x ,x0,所以 f(x)ln x x2 .当 0x0； 当 x1 时,f(x)0)上存在最大值

14、,所以 a1 ,解得1 2a1. 三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。. 17.【详解】解析：(1) 2121 110 33 xx xx 4304 04 330 xx x x xx 或3x 7 不等式的解集为,34, (2) 2 34 3120 xx 令3 ,0 x tt 2 412006ttt 即 3 036log 6 x x 不等式的解集为 3 ,log 6 18.【详解】解析：(1)由已知及正弦定理得，2cos C(sin Acos Bsin Bcos A)sin C， 即 2cos Csin(AB)sin C故 2sin Ccos Csin C，可得 co

15、s C1 2，所以 C 3. (2)由已知得，1 2absin C 3 3 2 .又 C 3，所以 ab6.由已知及余弦定理得，a 2b22abcos C7，故 a2 b213，从而(ab)225，所以 ab5.所以 ABC 的周长为 5 7. 19.【详解】解析：(1)f (x)ex(axab)2x4. 由已知得 f(0)4,f(0)4.故 b4,ab8.从而 a4,b4. (2)由(1)知,f(x)4ex(x1)x24x,f(x)4ex(x2)2x44(x2)(ex1 2). 令 f(x)0,得 xln 2 或 x2. 从而当 x(,2)(ln 2,)时,f(x)0；当 x(2,ln 2)

16、时,f(x)0. 故 f(x)在(,2),(ln 2,)上单调递增,在(2,ln 2)上单调递减. 当 x2 时,函数 f(x)取得极大值,极大值为 f(2)4(1e 2). 20.【详解】解析：(1)由 y24x， y2xm， 4x24(m1)xm20, 由根与系数的关系得 x1x21m,x1 x2m 2 4 , |AB| 1k2x1x2 24x1x2 122 m 24 m2 4 2m. 由|AB|3 5,即2m3 5m4. (2)设 P(a,0),P 到直线 AB 的距离为 d,则 d |2a04| 22 2 2|a2| 5 , 又 S ABP1 2|AB| d,则 d 2 S ABP |

17、AB| , 2|a2| 5 2 9 3 5|a2|3a5 或 a1, 故点 P 的坐标为(5,0)或(1,0). 21.【详解】(1)证明：由 f(x)xcos xsin x 得 f(x)cos xxsin xcos xxsin x. 因为在区间(0, 2)上 f(x)xsin x0 时,“sin x x a”等价于“sin xax0”；“sin x x b”等价于“sin xbx0 对任意 x(0, 2)恒成立. 当 c1 时,因为对任意 x(0, 2),g(x)cos xc0,所以 g(x)在区间0, 2上单调递减.从而对 g(x)g(0)0 对任 意 x(0, 2)恒成立. 当 0cg(

18、0)0.进一步,“g(x)0 对任意 x(0, 2)恒成立”当且仅当 g( 2) 1 2c0,即 00 对任意 x(0, 2)恒成立； 当且仅当 c1 时,g(x)0 对任意 x(0, 2)恒成立. 所以,若 asin x x b0), 椭圆的一个顶点恰好在抛物线 x28y 的准线 y2 上,b2, 又c a 3 2 ,a2b2c2,a4,c2 3, 椭圆 C 的标准方程为x 2 16 y2 41. (2)为定值.理由如下：设 A(x1,y1),B(x2,y2),APQBPQ,直线 PA,PB 的斜率互为相反数, 可设直线 PA 的斜率为 k,则直线 PB 的斜率为k,直线 PA 的方程为 y

19、 3k(x2), 联立 y 3kx， x24y216， 消去 y,得(14k2)x28k( 32k)x4( 32k)2160, x128k k 3 14k2 ,同理可得 x228k 2k 3 14k2 8k k 3 14k2 , x1x216k 24 14k2 ,x1x216 3k 14k2 ,kABy1y2 x1x2 kx1x24k x1x2 3 6 ,即直线 AB 的斜率为定值 3 6 . 9 20222022 届梅州市“三校联考”数学试题答案届梅州市“三校联考”数学试题答案 题号题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案答案 A A B C B D A D BC A

20、C AC ACD 13 1 141 45 （第一空第一空 3 分、第二空分、第二空 2 分分） 15 9 160，2 三、解答题（本大题共三、解答题（本大题共 6 小题小题,共共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17.【解析】 （1）当1a 时， 2 |430|13Ax xxxx，集合B | 23xx，2 2 分分 所以 |23, |13ABxxABxx 4 4 分分 （2）因为0a，所以|3Ax axa，B | 23xx，6 6 分分 因为“xA”是“x B”的必要不充分条件，所以集合 B 是集合 A 的真子集，8 8 分分 所以

21、2, 33, a a 解得：12a 1010 分分 18.解:（1）由 1 21 nn aS 可得 1 212 nn aSn ，1 1 分分 两式相减得 1 2 nnn aaa 即 1 32 nn aan 2 2 分分 又 21 213aS ，3 3 分分 所以 21 3aa4 4 分分 故 n a是首项为 1，公比为 3 的等比数列所以 1 3n n a 5 5 分分 （2）因为 1 21 3 n n n c ，6 6 分分 所以 0121 13521 3333 n n n T 7 7 分分 则 1231 11352321 333333n n n nn T ，8 8 分分 两式相减得： 21

22、 222221 1 33333 n nn n T 9 9 分分 所以 211 1211 33 2 32 33 n n nn nn T 1212 分分 19.【解析】 （1）由题设得 2 1 sin 23sin a acB A ，即 1 sin 23sin a cB A 2 2 分分 由正弦定理得 1sin sinsin 23sin A CB A 3 3 分分 故 2 sinsin 3 BC 5 5 分分 10 （2）由题设及（1）得 121 cos()coscossinsin 632 BCBCBC 6 6 分分 所以 2 3 BC，故 3 A 7 7 分分 由题设得 2 1 sin 23sin

23、 a bcA A ，即8bc 9 9 分分 由余弦定理得 22 9bcbc，即 2 ()39bcbc，得33bc1111 分分 故ABC的周长为3331212 分分 20.解析：(1) 20 0.004 50,100,2040105100,25nmm n ,2 2 分分 4025105 0.008;0.005;0.002;0.001 100 50100 50100 50100 50 .3 3 分分 4 4 分分 (2)平均数95 ，6 6 分分 中位数87.5. 8 8 分分 (3) 在空气质量指数为51 100和151 200的监测天数中分别抽取4天和1天，在所抽収的5天 中，将空气质量指数

24、为51 100的4天分别记为, , ,a b c d；将空气质量指数为151 200的1天记为 e，9 9 分分 从中任取2天的基本事件分别为： ,a ba ca da eb cb db ec dc ed e共10 种，1010 分分 其中事件A “两天空气都为良”包含的基本事件为 ,a ba ca db cb dc d共6 种，1111 分分 所以事件A “两天都为良”发生的概率是 63 105 P A .1212 分分 21.解：(1)证明：取 1 DA的中点G，连接FGGE、 F为 1 AC中点,/GFDC，且 1 2 GFDC 1 1 分分 E为平行四边形ABCD边AB的中点 11 C

25、D A1 F BE H /EBDC，且 1 2 EBDC ,/EB GF，且EBGF 四边形BFGE是平行四边形,/BFEG2 2 分分 EG 平面 1 ADE，BF 平面 1 ADE /BF平面 1 ADE 3 3 分分 （2）取DE的中点H，连接 1 AHCH、 4AB ，2AD ，60oDAB，E为AB的中点 DAE为等边三角形，即折叠后 1 DAE也为等边三角形 1 AHDE，且 1 3AH 4 4 分分 在DHC中，1DH ，4DC ，60oHDC 根据余弦定理，可得 22222 1 2cos60142 1 413 2 o HCDHDCDH DC 在 1 AHC中 ， 1 3AH ，

26、 13HC 1 4AC ， 222 11 ACAHHC，即 1 AHHC6 6 分分 又 1 1 AHDE AHHC DEDEBC HCDEBC DEHCH 面 面 ，所以 1 AHDEBC面7 7 分分 又 11 AHADE面 面 1 ADE 面DEBC 8 8 分分 （3）过H作HODC于O，连接 1 AOHO、9 9 分分 1 AHDEBC面 1 AHDC1010 分分 又 1 AHHOH 1 DCAHO面 1 ,DCAO DCHO CD A1 F BE H O 12 1 AOH是二面角 1 ADCE的平面角1111 分分 在 1 Rt AHO中， 1 3AH ， 33 sin601 2

27、2 o HODH ，故 1 3 tan2 3 2 AOH 所以二面角 1 ADCE的正切值为2 1212 分分 22.解:（1）由题知，得直线AM的方程为24yx，直线AN的方程为 1 1 2 yx 2 2 分分 所以，圆心到直线 AM 的距离 4 5 d ，所以， 164 5 2 4 55 AM ，3 3 分分 由题知 1 2 1k k ，所以ANAM， 8 5 5 AN ，4 4 分分 14 58 516 2555 S 5 5 分分 （2）方法一:由题知直线AM的方程 1 2ykx，直线AN的方程为 1 2 2yx k 6 6 分分 联立方程 1 22 2 4 ykx xy ，所以 22

28、11 21220 xkxk ，7 7 分分 得2x或 2 1 2 1 22 1 k x k 所以 2 11 22 11 224 , 11 kk M kk ，8 8 分分 同理， 2 11 22 11 288 , 44 kk N kk ，9 9 分分 所以直线MN为 11 222 1111 2222 1111 22 11 48 81428 222844 14 kk kkkk yx kkkk kk 1010 分分 即 2 111 222 111 8328 424 kkk yx kkk ，得 111 222 111 3232 2223 kkk yxx kkk ，1111 分分 所以直线MN恒过定点

29、2 ,0 3 1212 分分 方法二:由 12 2k k 知直线MN的斜率不为 0， 设直线MN的方程为(2)xtyn n ， 1122 ( ,),(,)M x yN xy6 6 分分 13 联立 22 4 xtyn xy 得 222 1240tytnyn7 7 分分 222222 44144 440t ntntn 且 12 2 2 1 tn yy t ， 2 12 2 4 1 n y y t 8 8 分分 12 2k k ， 12 12 2 22 yy xx 1212 2220 xxy y9 9 分分 又 11 xtyn， 22 xtyn 1212 2220tyntyny y 1010 分分 即 2 2 1212 2122220ty yt nyyn 2 2 2 22 42 2122220 11 ntn tt nn tt 1111 分分 化简整理得 2 3840nn，解得 2 3 n 或2n(舍去) 直线MN的方程为 2 3 xty，故直线MN恒过定点 2 ,0 3 1212 分分