安徽涡阳县育萃中学2020-2021学年高二第一学期第二次月考数学试卷 Word版含答案.docx

1、 1 高二年级月考数学试卷 1 命题“x 0，x2 x 0”的否定是( ) A. x 0，x2 x 0 B. x 0，x2 x 0 C. x 0，x2 x 0 D. x 0，x2 x 0 2.一个水平放置的三角形的直观图是一个边长为 1的正三角形，则原三角形的面积为： A. 6 4 B. 3 4 C. 3 2 D. 6 2 3. 方程10 化简结果是（ ） A B C D 4.已知两条平行线l1：3x + 4y 4 = 0与l2：ax + 8y + 2 = 0之间的距离是( ) A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 5.设直线l1，l2的斜率和倾斜角分别为k1，k2和1，2，则“k1 k2”

2、是“1 2”的( ) A. 必要不充分条件 B. 充分不必要条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 6已知直线 l 过点 P（1，0）且与线段 y2（2x2）有交点，设直线 l 的斜率为 k，则 k 的取值范围是（ ） A （，）（2，+） B，2 C （，2，+） D （，2） 7设 m，n 是空间两条不同的直线， 是空间两个不同的平面给出下列四个命题： 若 m，n，则 mn； 若 ，m，m，则 m； 若 mn，m，则 n； 若 ，l，m，ml，则 m 其中正确的是（ ） 8.下列命题中正确的个数是( ) 有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体叫棱柱 有一个面是多边形，其

3、余各面都是三角形的几何体叫棱锥 2 若有两个侧面垂直于底面，则该四棱柱为直四棱柱 圆台所有的轴截面是全等的等腰梯形 A. 1 个 B. 2 个 C. 3 个 D. 4 个 9如果对于任意实数 , x x表示不超过x的最大整数，那么“ =xy”是“1xy成立”的( ) A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 10椭圆x 2 25 + y2 16 = 1的左、右焦点分别为F1，F2，弦 AB过F1，若 ABF2的内切圆周长为，A，B 两点的坐标分别 为(x1,y1)，(x2,y2)，则|y1 y2|的值为( ) A. 5 3 B. 10 3 C. 20 3 D. 5

4、 3 11已知椭圆，点是椭圆上的一动点，则 的最小值为（ ） A B C D 12 已知椭圆+1， 若此椭圆上存在不同的两点A， B关于直线y4x+m对称， 则实数m的取值范围是 （ ） A （，） B （，） C （，） D （，） 13.已知两条直线l1:ax + y + 1 = 0与l2:x + ay + 1 = 0互相平行，则 a= _.a = 1 14椭圆，点，点为椭圆上一动点，则 的最大值为_. 15某几何体的三视图如图所示，体积为 _ 16已知椭圆x 2 a2 + y2 b2 = 1(a 0)的左右焦点分别为F1、F2，过点F1的直线与椭圆交于 P，Q 两点.若 PF2Q的内 2

5、2 1 2516 xy 3,0A2,1B MMAMB 62102112122 22 1 129 xy 1 0, 2 A PPA 3 切圆与线段PF2在其中点处相切，与 PQ相切于点F1，则椭圆的离心率为_ 17.已知命题：“11xxx ，都有不等式 2 xxm 成立”是真命题. （1）求实数m的取值集合B； （2）设不等式(3 )( 2)0 xa xa 的解集为A，若xA是xB的充分不必要条件，求实数a的取值范围. 18.如图，在直三棱柱ABC A1B1C1中，D为 AC 中点，AB = BC，A1D AC1.求证： (1)B1C/平面A1BD； (2)平面A1BD 平面AB1C1 19.在四

6、棱锥P ABCD中，底面 ABCD 是边长为 2 的菱形，ABC = 60 ，PA 平面 ABCD，PA = 2，E、F分别为 CD、PB的中点 (I)求证：EF/平面 PAD； (II)求二面角F DC A的大小 20.已知圆 M：(x a)2+ y2= 5与两条坐标轴都相交，且与直线x + 2y 5 = 0相切 (1)求圆 M 的方程； 4 (2)若动点 A 在直线x = 5上，过 A 引圆 M 的两条切线 AB，AC，切点分别为 B，C，求证：直线 BC恒过定点 21.已知点A(3,0)，B(3,0)，动点 P 满足|PA| = 2|PB| (1)若点 P 的轨迹为曲线 C，求曲线 C

7、的方程； (2)若点 Q在直线l1：x + y + 3 = 0上，直线l2经过点 Q 且与曲线 C只有一个公共点 M，当|QM|取最小值时，求直线 QM的方程 22已知椭圆 C：x 2 a2 + y2 b2 = 1(a 0)的两个焦点分别为F1，F2，离心率为1 2，过F1的直线 l与椭圆 C 交于 M，N 两点，且 MNF2的周长为 8 (1)求椭圆 C 的方程； (2)若一条直线与椭圆 C分别交于 A， B 两点， 且OA OB， 试问点 O 到直线 AB的距离是否为定值， 证明你的结论 1 命题“x 0，x2 x 0”的否定是( ) A. x 0，x2 x 0 B. x 0，x2 x 0

8、 C. x 0，x2 x 0 D. x 0，x2 x 0 5 解：命题“x 0，x2 x 0”是特称命题 否定命题为：x 0，x2 x 0 故选 C 2.一个水平放置的三角形的直观图是一个边长为 1的正三角形，则原三角形的面积为： A. 6 4 B. 3 4 C. 3 2 D. 6 2 解：由已知可得S直观图= 3 4 12= 3 4 ， 所以由 S直观图 S原图 = 2 4 得S原图= 3 4 4 2 = 6 2 故选 D 4. 方程10 化简结果是（ ） A B C D 解：方程10 表示动点 M（x，y）到两个定点（2，0）的距离之和为定值 10 2a，且 102+2，由题意的定义可得：

9、动点 M 的轨迹是椭圆，且 b2a2c2522221 可得椭圆的方程为： 故选：B 4.已知两条平行线l1：3x + 4y 4 = 0与l2：ax + 8y + 2 = 0之间的距离是( ) A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 解：由4a 3 8 = 0，解得a = 6 l2的方程6x + 8y + 2 = 0化为：3x + 4y + 1 = 0 两条平行线之间的距离d = |41| 32+42 = 1 故选：A 5.设直线l1，l2的斜率和倾斜角分别为k1，k2和1，2，则“k1 k2”是“1 2”的( ) A. 必要不充分条件 B. 充分不必要条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也

10、不必要条件 解：直线l1，l2的斜率和倾斜角分别为k1，k2和1，2， 当倾斜角均为锐角时，和均为钝角时，若“k1 k2”则“1 2”，若“1 2”则“k1 k2”， 当倾斜角一个为锐角一个为钝角时，若“k1 k2”则“1与2”的大小不能确定，若“1 2”则“k1与k2” 的大小也不能确定， 故则“k1 k2”是“1 2”的既不充分也不必要条件， 故选：D 6已知直线 l 过点 P（1，0）且与线段 y2（2x2）有交点，设直线 l 的斜率为 k，则 k 的取值范围是（ ） 6 A （，）（2，+） B，2 C （，2，+） D （，2） 解：如图，由于直线 l 与线段 y2（2x2）有交点，

11、 故 k2，或 k， 故选：C 7设 m，n 是空间两条不同的直线， 是空间两个不同的平面给出下列四个命题： 若 m，n，则 mn； 若 ，m，m，则 m； 若 mn，m，则 n； 若 ，l，m，ml，则 m 其中正确的是（ ） A B C D 解：由 m，n 是空间两条不同的直线， 是空间两个不同的平面知： 在中，若 m，n，则 m 与 n 相交、平行或异面，故错误； 在中，若 ，m，m，则由线面垂直的性质定理得 m，故正确； 在中，若 mn，m，则 n 与 平行或 n，故错误； 在中，若 ，l，m，ml，则由线面垂直的判定定理得 m，故正确 故选：C 8.下列命题中正确的个数是( ) 有两

12、个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体叫棱柱 有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体叫棱锥 若有两个侧面垂直于底面，则该四棱柱为直四棱柱 圆台所有的轴截面是全等的等腰梯形 7 A. 1 个 B. 2 个 C. 3 个 D. 4 个 解：如图，面ABC/面A1B1C1，但图中的几何体每相邻两个四边形的公共边并不都互相平行，故不是棱柱.不正 确； 棱锥是有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形即必须有一个公共顶点的几何体.如图，每个面都 是三角形但形成的几何体不是棱锥.不正确； 若有两个侧面垂直于底面，这两个侧面可鞥是平行的侧面， 则该四棱柱不一定为直四棱柱，故错误； 是正确的

13、 故选 A 9如果对于任意实数 , x x表示不超过x的最大整数，那么“ =xy”是“1xy成立”的( ) A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 解：若“ xy”，设 xa yaxabyac， 其中 01bc， ） 1xybcxy 即“ xy”成立能推出“1xy”成立 反之，例如1.22.1xy， 满足1xy但 12xy，即1xy成立，推不出 xy 故“ xy”是“|x-y|1”成立的充分不必要条件 故选 A 10椭圆x 2 25 + y2 16 = 1的左、右焦点分别为F1，F2，弦 AB过F1，若 ABF2的内切圆周长为，A，B 两点的坐标分别 为(x1,

14、y1)，(x2,y2)，则|y1 y2|的值为( ) A. 5 3 B. 10 3 C. 20 3 D. 5 3 【解析】解：椭圆：x 2 25 + y2 16 = 1，a = 5，b = 4， c = 3， 左、右焦点F1(3,0)、F2( 3,0)， ABF2的内切圆周长为，则内切圆的半径为r = 1 2， 而 ABF2的面积= AF1F2的面积+ BF1F2的面积= 1 2 |y1| |F1F2| + 1 2 |y2| |F1F2| = 1 2 (|y1| + |y2|) |F1F2| = 3|y2 y1|(A、B 在 x 轴的上下两侧) 又 ABF2的面积= 1 2 r(|AB| +

15、|BF2| + |F2A|) = 1 2 1 2(2a + 2a) = a = 5 所以3|y2 y1| = 5， |y2 y1| = 5 3 故选 A 8 11已知椭圆，点是椭圆上的一动点，则 的最小值为（ ） A B C D 解：由题意知为椭圆的右焦点，设左焦点为，由椭圆的定义知， 所以. 又， 如图，设直线交椭圆于，两点.当为点时，最小，最小值为. 故选：B 12 已知椭圆+1， 若此椭圆上存在不同的两点A， B关于直线y4x+m对称， 则实数m的取值范围是 （ ） A （，） B （，） C （，） D （，） 解：椭圆+1，即：3x2+4y2120， 设椭圆上两点 A（x1，y1）

16、、B（x2，y2）关于直线 y4x+m 对称，AB 中点为 M（x0，y0） ， 则 3x12+4y12120， 3x22+4y22120 得：3（x1+x2） （x1x2）+4（y1+y2） （y1y2）0，即 32x0 （x1x2）+42y0 （y1y2）0， y03x0，代入直线方程 y4x+m 得 x0m，y03m； 因为（x0，y0）在椭圆内部， 3m2+4 （3m）212，即 3m2+36m212，解得m 故选：B 13.已知两条直线l1:ax + y + 1 = 0与l2:x + ay + 1 = 0互相平行，则 a= _.a = 1 解：因为直线l1:ax + y + 1 =

17、0与l2:x + ay + 1 = 0的斜率存在， 又 l1/l2， a 1 = 1 a， a = 1或a = 1，两条 直线在 y轴是的截距不相等，a = 1舍去，所以a = 1满足两条直线平行 故答案为：a = 1 14椭圆，点，点为椭圆上一动点，则 的最大值为_. 22 1 2516 xy 3,0A2,1B MMAMB 62102112122 A 1 F 1 10MFMA 1 10MAMBMBMF 11 MBMFBF 1 BF 1 M 2 M M 1 M 1 MBMF 102 22 1 129 xy 1 0, 2 A PPA 9 解： 由椭圆，设点 P（） ，所以 当且仅当： 时，取等号

18、，因此最大值 故答案为： 15某几何体的三视图如图所示，体积为 _ 解：几何体是组合体，上部是个半径为 1 的球，下部是正方体的一半的三棱柱，正方体的棱长为 1，如图： 几何体的体积为：； 故答案为： 16已知椭圆x 2 a2 + y2 b2 = 1(a 0)的左右焦点分别为F1、F2，过点F1的直线与椭圆交于 P，Q 两点.若 PF2Q的内 切圆与线段PF2在其中点处相切，与 PQ相切于点F1，则椭圆的离心率为_ 解：可设 PF2Q的内切圆的圆心为 I，M 为切点，且为中点 可得三角形 PF2Q为等腰三角形，|QP| = |QF2|，如图所示： 设|PF1| = m，则根据圆的切线性质可知|

19、PM| = m， M为PF2中点，则|MF2| = m， 根据椭圆定义有m + 2m = 2a，则m = 2a 3 ， 根据椭圆定义有|PQ| + |QF2| + |PF2| = 4a， 又|PQ| = |QF2|，|PF2| = 4a 3 ， |PQ| = |QF2| = 4a 3 ，|QF1| = 2a 3 ， PQF2为边长为4a 3 的等边三角形， F1F2= 2c为该等边三角形的一条中线， 2c = 3 2 4a 3 ，即e = c a = 3 3 ， 22 1 129 xy 2 3cos ,3sin 2222 1491 |12cos(3sin)3sin3sin13 3(sin)13

20、 242 PA 1 sin 2 13 13 10 故答案为： 3 3 17.已知命题：“11xxx ，都有不等式 2 xxm 成立”是真命题. （1）求实数m的取值集合B； （2）设不等式(3 )( 2)0 xa xa 的解集为A，若xA是xB的充分不必要条件，求实数a的取值范围. 【答案】 （1）(2,)； （2） 2 ,) 3 . 【解析】（1）命题：“11xxx ，都有不等式 2 xxm 成立”是真命题， 得 2 xxm 在11x 时恒成立， 2 max ()mxx，得2m，即2(2,)Bm m. （2）不等式( 3 )(2)0 xa xa， 当32aa，即 1a 时，解集23Axaxa

21、， 若xA是xB的充分不必要条件，则A是B的真子集， 22a，此时1a ； 当32aa，即 1a 时，解集A，满足题设条件； 当32aa，即1a 时，解集32Ax axa， 若xA是xB的充分不必要条件，则A是B的真子集， 32a，此时 2 1 3 a. 综上可得 2 ,) 3 a 18.如图，在直三棱柱ABC A1B1C1中，D为 AC 中点，AB = BC，A1D AC1.求证： (1)B1C/平面A1BD； (2)平面A1BD 平面AB1C1 【答案】证明：(1)设A1B与AB1交于点 O，连接 OD，如图所示； 在平行四边形ABB1A1中，O为AB1中点，D为 AC 中点， 所以 OD

22、 为 AB1C的中位线， 所以OD/B1C， 又OD 平面A1BD，B1C 平面A1BD， 11 所以B1C/平面A1BD； (2)因为AB = BC，D 为 AC的中点，所以 BD为 ABC的底边上的中线，BD AC； 在直三棱柱ABC A1B1C1中，C1C 平面 ABC，BD 平面 ABC，所以BD C1C， 又BD AC，AC 平面ACC1A1，C1C 平面ACC1A1，AC C1C = C， 所以BD 平面ACC1A1； 又AC1平面ACC1A1，所以BD AC1； 又A1D AC1，BD 平面A1BD，A1D 平面A1BD，A1D BD = D， 所以AC1面A1BD； 又AC1平

23、面AB1C1， 所以平面A1BD 平面AB1C1 19.在四棱锥P ABCD中，底面 ABCD 是边长为 2 的菱形，ABC = 60 ，PA 平面 ABCD，PA = 2，E、F分别为 CD、PB的中点 (I)求证：EF/平面 PAD； (II)求二面角F DC A的大小 【答案】(1)证明：取 PA中点 M，连结FM、DM， 则FM/AB，且FM = 1 2AB，由DE = 1 2DC， 底面 ABCD是菱形， AB/DC，AB = DC， FM/AB，且FM = AB， FEDM是平行四边形， EF/DM，DM 平面 PAD，EF 平面 PAD， EF/平面 PAD 12 (2)解：取

24、AB中点 N，连结FN、NC、FC， 在 BNC中，BN = 1，BC = 2，ABC = 60 ， NC = 3，BN2+ NC2= BC2， BNC是直角三角形， BN NC，DC NC， 又F、N分别为PB、AB的中点， FN/PA， 又PA 平面 ABCD， FN 平面 ABCD， FN DC， 平面 FNC FC DC， FCN是二面角F DC A的平面角， tanFCN = FN NC = 1 3 = 3 3 ， FCN = 30 ， 即二面角F DC A的大小为 0 30 20.已知圆 M：(x a)2+ y2= 5与两条坐标轴都相交，且与直线x + 2y 5 = 0相切 (1)

25、求圆 M 的方程； (2)若动点 A 在直线x = 5上，过 A 引圆 M 的两条切线 AB，AC，切点分别为 B，C，求证：直线 BC恒过定点 【答案】解：(1)圆 M：(x a)2+ y2= 5的圆心坐标为(a,0)，半径为 5， 圆 M与直线x + 2y 5 = 0相切， |a5| 5 = 5，即a = 0或a = 10 又圆 M 与两条坐标轴都相交， a = 0 则圆 M 的方程为：x2+ y2= 5； 证明：(2)设A(5,m)，则 A，B，O，C四点共圆， AO的中点为(5 2, m 2)，|AO| = 25 + m 2， 则以 AO 为直径的圆的方程为(x 5 2) 2 + (y

26、 m 2) 2 = 1 4(25 + m 2)， 整理得：x2+ y2 5x my = 0 又圆 M：x2+ y2= 5， 两圆联立可得公共弦 BC所在直线方程为5x + my 5 = 0 直线 BC 恒过定点(1,0) 21.已知点A(3,0)，B(3,0)，动点 P 满足|PA| = 2|PB| (1)若点 P 的轨迹为曲线 C，求曲线 C 的方程； (2)若点 Q在直线l1：x + y + 3 = 0上，直线l2经过点 Q 且与曲线 C只有一个公共点 M，当|QM|取最小值时，求直线 13 QM的方程 【答案】解：(1)设 P 点的坐标为(x,y)， 因为两定点A(3,0)，B(3,0)

27、，动点 P 满足|PA| = 2|PB|， 所以(x + 3)2+ y2= 4(x 3)2+ y2， 即(x 5)2+ y2= 16 所以此曲线的方程为(x 5)2+ y2= 16 (2)因为(x 5)2+ y2= 16的圆心坐标为C(5,0)，半径为 4， 则圆心 M到直线l1的距离为|5+3| 2 = 42， 因为点 Q 在直线l1：x + y + 3 = 0上，过点 Q 的直线l2与曲线 C：(x 5)2+ y2= 16只有一个公共点 M， 所以|QM|的最小值为(42)2 42= 4 直线 CQ 的方程为x y 5 = 0， 联立直线l1：x + y + 3 = 0，可得Q(1,4)，

28、 设切线方程为y + 4 = k(x 1)，即kx y k 4 = 0， 故圆心到切线的距离d = |4k4| k2+1 = 4，得k = 0，切线方程为y = 4； 当切线斜率不存在时，切线方程为x = 1， 因此直线 QM 的方程x = 1或y = 4 22已知椭圆 C：x 2 a2 + y2 b2 = 1(a 0)的两个焦点分别为F1，F2，离心率为1 2，过F1的直线 l与椭圆 C 交于 M，N 两点，且 MNF2的周长为 8 (1)求椭圆 C 的方程； (2)若一条直线与椭圆 C分别交于 A， B 两点， 且OA OB， 试问点 O 到直线 AB的距离是否为定值， 证明你的结论 【答

29、案】解：(1)由题意知，4a = 8，则a = 2， 由椭圆离心率e = c a = 1 b2 a2 = 1 2，则b 2 = 3 椭圆 C的方程x 2 4 + y2 3 = 1; (2)由题意，当直线 AB的斜率不存在时，此时不妨设A(x0,x0)，B(x0,x0). 又 A，B两点在椭圆 C 上， x0 2 4 + x0 2 3 = 1,x0 2 = 12 7 ， 点 O 到直线 AB的距离d = 12 7 = 221 7 当直线 AB的斜率存在时，设直线 AB 的方程为y = kx + m.设A(x1,y1)，B(x2,y2)， 14 联立方程 y = kx + m x2 4 + y2

30、3 = 1 ，消去 y得(3 + 4k2)x2+ 8kmx + 4m2 12 = 0 由已知 0，x1+ x2= 8km 3+4k2，x1x2 = 4m212 3+4k2 ， 由OA OB，则OA OB = x1x2+ y1y2= 0，即x1x2+ (kx1+ m)(kx2+ m) = 0， 整理得：(k2+ 1)x1x2+ km(x1+ x2) + m2= 0， (k2+ 1) 4m212 3+4k2 8k2m2 3+4k2 + m2= 0 7m2= 12(k2+ 1)，满足 0 点 O 到直线 AB的距离d = 丨 m 丨 1+k2 = 12 7 = 221 7 为定值 综上可知：点 O到直线 AB的距离d = 221 7 为定值 1-5 CDBAD 6-10 CCAAA 11-12 BB 13. a = 1 14 15. 16. 3 3 13