1、第二章第二章 推理与证明推理与证明 2.3 综合拔高练综合拔高练 五年高考练五年高考练 考点考点 1 1 用数学归纳法证明不等式用数学归纳法证明不等式 1.(2019 浙江,20,15 分,)设等差数列an的前 n 项和为 Sn,a3=4,a4=S3.数列 bn满足:对每个 nN *,S n+bn,Sn+1+bn,Sn+2+bn成等比数列. (1)求数列an,bn的通项公式; (2)记 cn= ,nN *,证明:c 1+c2+cn2 ,nN *. 考点考点 2 2 归纳归纳猜想猜想证明证明 2.(2015 湖北,22(2),4 分,)已知数列an的各项均为正数,bn= ( ) a n(nN *
2、),e 为自然对数的底数.计算 , , ,由此推测计算 的公 式,并给出证明. 三年模拟练三年模拟练 一、选择题 1.(2019 东北育才学校高二期中,)用数学归纳法证明“4 2n-1+3n+1(nN*)能被 13 整除”的第二步中,当 n=k+1 时为了使用归纳假设,对 4 2k+1+3k+2变形正确的是 ( ) A.16(4 2k-1+3k+1)-13 3k+1 B.4 4 2k+9 3k C.(4 2k-1+3k+1)+15 42k-1+2 3k+1 D.3(4 2k-1+3k+1)-13 42k-1 2.(2019 辽宁沈阳铁路实验中学高二期中,)设 Sk= + + + ,则 Sk+1
3、=( ) A.Sk+ B.Sk+ + C.Sk+ - D.Sk+ - 二、解答题 3.(2020 江西南昌二中高二期末(理),)数列an的前 n 项和为 Sn,且满足 an=Sn+ -2(nN *). (1)求 S1,S2,S3,S4的值; (2)猜想数列Sn的通项公式,并用数学归纳法证明你的结论. 4.(2019 江苏江阴一中高二期中,)已知数列an和bn,其中 an=1+3+5+(2n+1),bn=1+2+2 n-1,当 nN*时,试比较 a n与 bn的大小,并用数学归 纳法证明你的结论. 答案全解全析答案全解全析 五年高考练五年高考练 1.解析解析 (1)设数列an的公差为 d,由题意
4、得 a1+2d=4,a1+3d=3a1+3d,解得 a1=0,d=2, 从而 an=2n-2,nN *, 所以 Sn=n 2-n,nN*. 由 Sn+bn,Sn+1+bn,Sn+2+bn成等比数列得 (Sn+1+bn) 2=(S n+bn)(Sn+2+bn), 解得 bn= ( -SnSn+2), 所以 bn=n 2+n,nN*. (2)证明:(证法一)cn= = - = - ,nN *. 我们用数学归纳法证明. 当 n=1 时,c1=02,不等式成立; 假设 n=k(kN *)时不等式成立, 即 c1+c2+ck2 , 那么,当 n=k+1 时,c1+c2+ck+ck+12 + 2 + 2
5、+ =2 +2( - ) =2 ,即当 n=k+1 时不等式也成立. 根据和,不等式 c1+c2+cn2 对任意 nN *成立. (证法二)cn= = - = - ,nN *. 我们用数学归纳法证明. 当 n=1 时,c1=02,不等式成立; 假设 n=k(kN *)时不等式成立, 即 c1+c2+c3+ck2 , 那么,当 n=k+1 时,只需证明 c1+c2+ck+ck+12 , 即证 2 + 2 , 即证 k(k+1), 所以 , 又 , 所以 . 即当 n=k+1 时,不等式也成立. 根据和,不等式 c1+c2+cnb1, 当 n=2 时,a2=9,b2=3,则 a2b2, 当 n=3
6、 时,a3=16,b3=7,则 a3b3, 当 n=4 时,a4=25,b4=15,则 a4b4, 当 n=5 时,a5=36,b5=31,则 a5b5, 当 n=6 时,a6=49,b6=63,则 a6b6, 当 n=7 时,a7=64,b7=127,则 a7bn, 猜想:当 nN *,n6 时,a nbn. 前一结论上面已用穷举法证明, 后一猜想用数学归纳法证明如下: 当 n=6 时,上面已证 a6b6. 假设当 n=k(kN *,k6)时,上述结论成立,即当 k6 时,(k+1)22k-1. 当 n=k+1 时,要证 ak+1bk+1, 只需证(k+2) 22k+1-1, 只需证(k+2) 22(k+1)2+1-1, 所以只需证(k+2) 22(k+1)2+1, 只需证 k 2+4k+41. 因为 k6,所以此式显然成立. 故当 n=k+1 时结论成立. 由可知,对任何 nN *,n6 结论都成立.
