1、第一章第一章 导数及其应用导数及其应用 专题强化练专题强化练 1 导数几何意义的简单应用导数几何意义的简单应用 一、选择题 1.(2019 新疆乌鲁木齐高二月考,)设 f(x)存在导函数,且满足 - =2,则曲线 y=f(x)上点(1, f(1)处的切线的斜率为( ) A.4 B.-1 C.1 D.-4 2.()已知曲线 f(x)= x 2+2x 的一条切线的斜率是 4,则切点的横坐标为( ) A.-2 B.-1 C.1 D.2 3.()曲线 y=- 在点( - )处的切线方程是( ) A.y=x-2 B.y=x- C.y=4x-4 D.y=4x-2 二、填空题 4.()已知函数 y=ax 2
2、+b 的图象在点(1,3)处的切线的斜率为 2,则 = . 5.()已知函数 f(x)=x 3,过点 P( )作曲线 f(x)的切线,则其切线方程 为 . 三、解答题 6.()(1)求曲线 y=x 2+3x+1 在点(0,1)处的切线方程; (2)已知曲线 y=x 2+ +5 上一点 P( ),求曲线在点 P 处的切线方程. 7.()求曲线 y=3x-x 3过点 P(2,2)的切线方程. 8.()已知点 P 在曲线 y=x 2上,求分别满足下列条件的点 P 的坐标. (1)在点 P 处的切线平行于直线 y=4x-5; (2)在点 P 处的切线垂直于直线 2x-6y+5=0; (3)在点 P 处
3、的切线的倾斜角为 135 . 9.()已知函数 f(x)=ax 2+1(a0),g(x)=x3+bx.若曲线 y=f(x)与曲线 y=g(x)在 它们的交点(1,c)处具有公切线,求 a,b 的值. 答案全解全析答案全解全析 一、选择题 1.B - =2, 所以-2 - =2, 所以-2f(1)=2,解得 f(1)=-1. 2.D y=f(x+x)-f(x)= (x+x) 2+2(x+x)- x 2-2x=xx+ (x) 2+2x, 所以 =x+ x+2, 所以 f(x)= =x+2. 设切点坐标为(x0,y0),则 f(x0)=x0+2. 由已知得 x0+2=4,所以 x0=2. 3.C 因
4、为 y=- + = , 所以 = , 所以 = = ,即 y= , 所以曲线 y=- 在点( - )处的切线的斜率 k=y =4, 所以切线方程为 y+2=4( - ), 即 y=4x-4. 二、填空题 4.答案答案 2 解析解析 由题意知 a+b=3, 因为 y x=1= - =2a=2, 所以 a=1,b=2,故 =2. 5.答案答案 y=0 或 3x-y-2=0 解析解析 设切点为 Q(x0, ),由导数的定义得切线的斜率为 k=f(x 0)=3 , 切线方程为 y- =3 (x-x 0),即 y=3 x-2 . 因为切线过点 P( ),所以 2 -2 =0,解得 x0=0 或 x0=1
5、, 从而切线方程为 y=0 或 3x-y-2=0. 三、解答题 6.解析解析 (1)易验证点(0,1)在曲线 y=x 2+3x+1 上, y=(x+x) 2+3(x+x)+1-x2-3x-1 =(x) 2+(2x+3)x, =x+2x+3, y= =2x+3, y x=0=3, 即曲线 y=x 2+3x+1 在点(0,1)处的切线的斜率 k=3, 在点(0,1)处的切线方程为 y-1=3(x-0),即 y=3x+1. (2)切线的斜率 k=y x=2= -( ) = , 在点 P( )处的切线方程为 y- = (x-2),即 15x-4y+8=0. 7.解析解析 显然点 P(2,2)不在曲线上
6、,所以点 P 不是切点,设过点 P(2,2)的切线与 曲线 y=3x-x 3相切于点 Q(x 0,y0), 则 y0=3x0- , y= = - - =3-3x 2. Q(x0,y0)是切点, 在点 Q 处的切线的斜率为 y =3-3 , 切线方程为 y-(3x0- )=(3-3 )(x-x 0), 切线过点 P(2,2), 2-(3x0- )=(3-3 )(2-x 0), 解得 x0=1 或 x0=1 , 所求切线方程为 y=2 或 y=(-9+6 ) (x-2)+2 或 y=-(9+6 )(x-2)+2. 8.解析解析 设切点为 P(x0,y0).令 y=f(x),则 f(x)= - =
7、- =2x,所以 f(x0)=2x0. (1)切线与直线 y=4x-5 平行, 2x0=4,解得 x0=2, y0=4,即 P(2,4). (2)切线与直线 2x-6y+5=0 垂直, 2x0 =-1,解得 x0=- , y0= ,即 P(- ). (3)切线的倾斜角为 135 , 其斜率为-1, 即 2x0=-1,解得 x0=- , y0= ,即 P(- ). 9.解析解析 因为 f(x)= = - =2ax, 所以 f(1)=2a,即切线的斜率 k1=2a. 因为 g(x)= = - =3x 2+b, 所以 g(1)=3+b,即切线的斜率 k2=3+b. 因为在交点(1,c)处有公切线, 所以 2a=3+b. 又因为 c=a+1,c=1+b, 所以 a+1=1+b,即 a=b, 代入式,得
