2004-2013北大清华等自主招生考试数学试题汇编(word)(无答案).doc

1、. 2004-2013 北大清华等北大清华等自主招生考试自主招生考试数学数学试题试题 2004 年名牌大学自主招生考试试题(l) 适用高校：复旦大学 一、填空题(每题 8 分，共 80 分) 1设 84242 1(21)(1)xxxxax? ?，则 a= . 2已知|5x+3|+|5x?4|=7，则 x 的取值范围是 . 3.椭圆 22 1 169 xy ?内接矩形的周长最大值是 . 4.12 只手套(左右有区别)形成 6 双不同的搭配,要从中取出 6 只正好能形成 2 双,有 种取法 5已知等比数列? ? n a中 a1=3, ，且第 l 项至第 8 项的几何平均数为 9，则第 3 项为 .

2、 6若 2 (1)0xaxa?的所有整数解之和为 27，则实数 a 的取值范围是 . 7己知 22 (4) 1 49 xy? ?,则 22 49 xy ?的最大值为 . 8设 x1、x2是方程 2 x?xsin 3 5 ?cos 3 5 ?=0 的两个实数解，那么 arctanx1+ arctanx2= . 9.方程 3 zz?的非零解是 . 10方程 1 1 2 x x y ? ? ?的值域是 . 二、解答题(每题 15 分,共 120 分) 1.解方程: 5 log (3)1xx?. 2.已知 12 sin(), 13 ? 4 sin(), 5 ? ?且0,0, 2 ? ?求tan2?.

3、. 3已知过两抛物线 C1：x1=(y?1)2，及 C2： (y?1)2?4x?a+11 的一个交点的两条切线互相垂直， 求 a 的值 4 若存在 M,使任意 xD(D 为函数 f(x)的定义域)， 都有|f(x)|M 则称函数 f(x)有界,函数 f(x)= 11 sin xx 在 1 0, 2 x ? ? ? ? 上是否有界？ 5.求证: 333 111 13 23n ?. 6.已知 E 是棱长为 a 的正方体 1111 ABCDABC D?的棱 AB 的中点,求点 B 到平面 1 AEC 的距离. 7.比较 24 log25与 25 log26的大小,并说明理由. . 8.已知数列? ?

4、 ? ?, nn ab满足 1 2 , nnn aab ? ? ?且 1 66 nnn bab ? ?,又 1 2a ?, 1 4b ?, 求:(1) , nn a b;(2)1imlim n n n a b ? . 2004 年名牌大学自主招生考试试题(2) 适用高校：上海交通大学 一、填空题(每题 4 分,共 40 分) 1已知 x、y、z 是作负整数,且 x+y+z=10，x+2y+3z=30，则 x+5y+3z 的取值范围是 2长为 1 的钢丝折成三段与另一墙面围成封闭矩形，则矩形面积的最大值是 . 3函数sincos0 2 yxxx ? ? ? ? 的值域是 . 4已知三角形又边的长

5、 a、b、c 均为正整数，且 abc，b=n，则满足条件的三角形 r 的个数为 5设 x2+ax+b 和 x2+bx+c 的最大公因式为 x+1，最小公倍式为 x3+(c?1)x2+(b+3)x+d，则(a,b.c,d)= 6已知 12a?，则方程 22 2 |axx?的相异实根的个数是 . 7整数? ? 818 2004 736?的个位数是 . 8已知数列an满足 a1=l,a2=2,且 21 32 nnn aaa ? ?,则 2004 a= . 9在 n n 的正方格中,任意取得的长方形(长方形的边与正方格的边平行或重合)是正方形的概率 是 . 10已知67xyzabcabcxyz?，则x

6、yzabc ? . 二、解答题(本大题共 60 分) 1.已知矩形的长、宽分别为 a、b,现在把矩形翻折,使矩形的对顶点重合,求所得折痕的长. . 2.某二项式展开式中,相邻 a(a3,aN+)项的二项式系数之比为 1:2:3:?:a,求二项式的次数与 a 的值,以 及各项的二项式系数. 3.已知 f(x)= 432 (5 8 )69axxa xxa? ,证明: (1)恒有实数 x,使 f(x)=0, (2)存在实数 x，使 f(x)的值恒不为 0. 4.已知 f1(x)= 1 1 x x ? ? ,对于一切正整数 n,都有 11 ( )( ), nn fxf fx ? ? 且 366 ( )

7、( )fxfx?,求 28( ) fx. 5.对于两条垂直直线和一个椭圆,已知椭圆无论如何滑动都与两条直线相切,求椭圆中心的轨迹. 6已知 n a是公差为 6 的等差数列， 11nnn baa ? ?(nN+). (l)用 a1、b1、n 表示数 n a的通项公式； (2)若 a1b1=a，a27,33，求 an的最小值及取最小值时 n 的值 . 2005 年名牌大学自主招生考试试题(l) 适用高校：复旦大学 一、填空题(每题 5 分,共 50 分) 1已知集合 A= 2 2 |log (1)0,xxxxR?,B= 1 |221, xx xxR ? ?,则 A R B= . 2.设数 x 满足

8、 x 1 x =?1,则 300 300 1 x x ?= . 3圆?5 3sin?5cos?的圆心的极坐标为 ,其中0,2 )?. 4设抛物线 y=2x2+2ax+a2与直线 y=x+1 交于 A，B 两点, 当|AB|最大时,a . 5计算： 22 lim(11) n nnnn ? ? ?= . 6化简：l+3+6 (1) 2 n n? = . 7 一个班有 20 个学生， 其中有 3 个女生， 抽 4 个人去参观展览馆， 恰好抽到 l 个女生的概率为 . 8写出 31000在十进制中的最后 4 位 . 9设定义在 R 上的函数 f(x)满足 f(x)+2 2002 1 x f x ? ?

9、 ? ? =4015?x(x1), 则 f(2004)= . 10.函数 y 1 sin 2cos x x ? ? 的最大值是 . 二、解答(本大题共 70 分) 1.在四分之一个椭圆 22 22 1(0,0, ,0) xy xya b ab ?上取一点 P,使过点 P 椭圆的切线与坐标轴所成 的三角形的面积最小. 2.在ABC?中,已知tan:tan:tan1:2:3ABC ?,求 AC AB . . 3在单位正方体 ABCD? 1111 ABC D中, E、F、G 分别是 AD、A 1 A、 1 A 1 B的中点,求： (l)点 B 到面 EFG 的距离；(2)二而角 G?EF? 1 D的

10、平面角?. 4求方程 44 107xx?=3 的实数根 5.已知sincos(02)aa?,求sincos nn ?关于 a 的表达式. 6设直线 l 与双曲线 xy=l 交于 P、Q 两点，直线 l 与 x 轴交于点 A,与 y 轴交于点 B,求证：|AP|=|BQ|. . 7已知定义在 R 上的函数 f(x)= 4 42 x x ? , 121 n n Sfff nnn ? ? ? ? ,n=1,2,3?, (1)求 Sn；(2)是否存在常数 M0 对，对任意2n?,有 231 111 n M SSS ? ? 2005 年名牌大学自主招生考试试题(2) 适用高校：上海交通大学 一、填空题(

11、每题 5 分，共 50 分) 1.已知方程 2 2 1 2 xpx p ?=0(pR?)的两根 12 ,x x满足 44 12 22xx?,则 p= . 2.设 88 41 sincos,0, 1282 xxx ? ? ? ? ,则 x= . 3.已知,nZ?且 12004 11 11 2004 n n ? ? ? ? ? ,则 n= . 4如图，将 3 个 12cm 12cm 的正方形沿邻边的中点剪开，分成两部分，将这 6 部分接在一个边长为 62的正六边形上，若拼接后的图形是一个多面体的表面展开图则该多面体的体积为 . 第 4 题图 5已知2 3333 , ,xy x yQ?则(x,y)=

12、 . 6化简：? 12 2222 246812 n n ? ? ?= . . 7，若 3 z1，且z?C，则 3 z2 2 z2z+20= . 8一只蚂蚁沿 l 2 3 立方体表面爬,从一条对角线一端爬到另一端所爬过的最短距离为 . 9. 4封不同的信放人4个写好地址的信封中,全装错的概率为 ， 恰好只有一封信装错的率为 . 10已知等差数列an中,a3a7+a11+a19=44，则 a5+a9+a16 二、解答题(本大题共 50 分) 1.已知方程 x3+ax2+bxc0 的三根分别为 a、b、c，且 a、b、c 是不全为零的有理数,求 a、b、c 的值 2是否存在三边为连续自然数的三角形，

13、使得 (l)最大角是最小角的两倍？ (2)最大角是最小角的三倍？ 若存在，分别求出该三角形；若不存在，请说明理由 3已知函数 y= 2 2 8 1 axxb x ? ? 的最大值为 9，最小值为 1求实数 a、b 的值 4.已知月利率为 y,采用等额还款方式,若本金为 1 万元,试推导每月等额还款金额 m 关于 y 的函数关系 式(假设贷款时间为 2 年). 5对于数列? ? n a:1,3,3,3,5,5,5,5,5,?, 即正奇数 k 有 k 个 是否存在整数 r，s，t，使得对于任意正整数 n, 都有 n arnst?恒成立(x表示不超过 x 的最大整数)? 2006 年名牌大学自主招生

14、考试试题(l) . 适用高校：复旦大学 选择题(共 150 分，每题 5 分,答对得 5 分，答错例扣 2 分，不答得 0 分) 1在(x2? 1 x )10的展开式中系数最大的项是_. A第 4、6 项 B第 5、6 项 C第 5、7 项 D第 6、7 项 2设函数 y=? (x)对一切实数 x 均满足 ? (5+x)=?(5?x)，且方程 ? (x)=0 恰好有 6 个不同的实根，则这 6 个实根的和为_. A10 B12 C18 D30 3 若非空集合 X= xa+1x3a?5 ， Y= x1x16 ， 则使得 X?XY 成立的所有 a 的集合是_. A a0a7 B a3a7 C aa

15、7 D空集 4设 z 为复数，E=z(z?1)2=|z?1|2 ，则下列_ _是正确的 AE=纯虚数 BE=实数 C实数?E?复数 DE=复数 5把圆 x2+(y?1)2=1 与椭圆 x2+ 2 (1) 9 y? =1 的公共点，用线段连接起来所得到的图形为_. A线段 B等边三角形 C不等边三角形 D四边形 6在正三棱柱 ABCA1B1C1中，若 AB=2BB1，则 AB1与 C1B 所成的角的大小是_. A60 B75 C90 D105 7某厂拟用集装箱托运甲乙两种货物，每箱的体积、重量、可获利润以及托运所受限制如下表所示： 货物 体积 每箱(米 3) 重量 每箱(吨) 利润 每箱(百元)

16、 甲 20 10 8 乙 10 20 10 托运限制 110 100 在最合理的安排下，获得的最大利润是_百元. A58 B60 C62 D64 8若向量a+3b垂直于向量 7a?5b，并且向量a?4b垂直于向量 7a?2b，则向量a与b的夹角为 _ _. A 2 ? ； B 3 ? ； C 4 ? ； D 6 ? . 9复旦大学外语系某年级举行一次英语口语演讲比赛，共有十人参赛，其中一班有三位，二班有两 位，其它班有五位.若采用抽签的方式确定他们的演讲顺序，则一班的三位同学恰好演讲序号相连.问二班 的两位同学的演讲序号不相连的概率是_. A 1 20 B 1 40 C 1 60 D 1 90 10已知sin?，cos?是关于 x 的方程 x2?x+=0 的两个根，这里 R.则 3 sin ?+ 3 cos ?=_. A?1?2； B1+2； C?2+2 D2?2 . 11设 z1，z2为一对共轭复数，如果|z1?z2|=6且 1 2 2 z z 为实数，那么|z1|=|z2|=_. A2 B2 C3 D6 12若四面体的一条棱长是 x，其余棱长都是 1，体积是 V(x)，则函数 V(x)在其定义域上为_. A增函数但无最大值 B增函数且有最大值 C不是增函数且无最大值 D不是增函数但有最大值 13下列正确的不等式是_. A160 且 6|5|，Sn是前 n 项之和，则