[高中数学]奥林匹克数学竞赛系列辅导材料赋值法在函数方程中的应用.doc

1、. 赋值法在函数方程中的应用赋值法在函数方程中的应用 赋值法是指给定的关于某些变量的一般关系式， 赋予恰当的数值或代数式后， 通过运算 推理，最后得出结论的一种解题方法。下面介绍它在函数方程中的应用。 一、判断函数的奇偶性一、判断函数的奇偶性 例 1 若f（xy）f（x）f（y）中令 xy0，得f（0）0。 又在f（xy）f（x）f（y）令 yx，f（xx）f（x）f（x） ， 即f（0）f（x）f（x） ，又f（0）0. 所以f（x）f（x） 。 由于f（x）不恒为零，所以f（x）是奇函数。 例 2 已知函数 yf（x） （xR， x0） ， 对任意非零实数 x1x2都有f（x1x2） f（

2、x1） f（x2） ，试判断f（x）的奇偶性。 解：取 x11，x21 得 f（1）= f（1）（1） ，所以f（1）=0 又取 x1=x2=1， 得f（1）=f（1）f（1） ， 所以f（1）=0 再取 x1=x，x2=1，则有f（x）= f（x） ，即f（x）=f（x） 因为f（x）为非零函数，所以f（x）为偶函数。 例 3对任意 x、yR，有（xy）f（xy）=2f（x） f（y） ，且f（0）0， 判断f（x）的奇偶性。 解：令 x=y=0 得f（0）f（0）=2f 2（0） ，因为 f（0）0，所以f（0）=1，又 令 x=0 得f（y）f（y）=2f（y） ，即f（y）=f（y）

3、。取 x=y，得f（x）=f （y）.所以函数 y=f（x） 。 二、讨论函数的单调性二、讨论函数的单调性 . 例 4 设f（x）定义于实数集 R 上，当 x0 时，f（x）1，且对任意 x，yR， 有f（xy）= f（x）f（y） ，求证f（x）在 R 上为增函数。 证明：由f（xy）=f（x）f（y）中取 x=y=0 得f（0）=f 2（0） 。 若f（0）=0，令 x0，y=0，则f（x）=0，与f（x）1 矛盾。 所以f（0）0，即有f（0）=1。 当 x0 时，f（x）10，当 x10，而0 )( 1 )(? xf xf ? ?，又 x=0 时，f（0）=0，所以f（x）R，f（x）

4、0。 设 x10，f（x2x1）1，所以f（x2）= fx1（x2x1）=f（x1） f （x2x1）f（x1） ，所以 y=（x）在 R 上为增函数。 三、求函数的值域三、求函数的值域 例 5 已知函数f（x）在定义域 xR 上是增函数，且满足 f（xy）=f（x）f（y） （x、yR ） ，求 f（x）的值域。 解：解：因为 x=y=1 时， （1）=2f（1） ，所以f（1）=0 又因为（x）在定义域 R上是增函数，所以 x1x20 时，令 x1=mx2（m1） ，则f（x1） f0。 得以对于 x1 有f（x）0。 又设 x1=mx20（00，使0 2 ? ? ? ? ? ?c f，求

5、证f（x）是周期函数。 证明：证明：令 2 c xa?， 2 c b ?，代入f（ab） f（ab）=2f（a）f（b）可 得： f（xc）=f（x） 。所以f（x2c）= f（xc）c= f（xc）= f（x） ， 即f（x2c）= f（x） 。 则f（x）是以 2c 为周期的函数。 例 7 若对常数 m 和任意 x，等式? )(1 )(1 xf xf mxf ? ? ?成立，求证f（x）是周期函数。 证明：证明：将已知式中的 x 换成 xm 得f（x2m）=f（xm）m )( 1 )(1 )(1 1 )(1 )(1 1 )(1 )(1 xf xf xf xf xf mxf mxf ? ?

6、? ? ? ? ? ? ? ? ?又将上式中 x2m 换成 x4m 可得 )( )2( 1 2)2()4(xf mxf mmxfmxf? ? ? 故f（x）是以 4m 为周期的函数 五、求函数的解析五、求函数的解析式式 例 8 设对满足| x |1 的所有实数 x，函数f（x）满足x x x f x x f? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 1 3 1 3 ，求 f（x）的解析式。 . 解：将 x 取为 1 3 ? ? x x 代入原等式，有? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 1 3 )( 1 3 x x xf x x f， （1） 将

7、x 取为 x x ? ? 1 3 代入原等式，有 x x x x fxf ? ? ? ? ? ? 1 3 1 3 )(。 （2） （1）（2） ，且将原等式代入即得) 1|(| 22 7 )( 2 3 ? ? ? ?x x xx xf 例 9 求函数 F（x） ，当 x0，x1 时有定义且满足x x x FxF? ? ? ? ? ? ?1 1 )(. 解：x x x FxF? ? ? ? ? ? ?1 1 )(， （1）中以 x x1? 代换 x 得 x x x x F x x F 1211? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? （2） 再在（1）中以 1 1 ? ? x 代换 x

8、 得 1 2 )( 1 1 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? x x xF x F， （3） （1）（2）（3）化简得 ) 1(2 1 )( 23 ? ? ? xx xx xF. 例 10 f（x）的定义域在非负实数集合上并取非负数值的函数，求满足下列所有条件 的f（x） ： （1）fxf（y）f（x）= f（xy） ； （2）f（2）=0； （3）当 0x0 的每一个内， x xf)( 是单调递增的。 解：令 x=y 得： f（xf（x）xf（x）=xf（x）xf（x） ， 又令 xf（x）xf（x）=t，则f（t）=t，在（1）中令 x=t 得 f（t22t）=ftf（t）tf（t）=tf（t）tf（t）=（t2）t=t22t. 若 t0，则（t2）tt0，但1 )2( )2()( ? ? ? ? tt ttf t tf ，与 x xf)( 在 x0 时单调递增矛盾。 同理，t0，亦导致矛盾。因此，对任x 恒有 xf（x）xf（x）=t=0. 从而 1 )( ? ? x x xf。 显然，这一函数满足题设条件。