1、. 2.常见不等式的解法常见不等式的解法 2.4 含参不等式含参不等式的解法的解法 本节属于选讲内容 本节内容视学生情况， 可以完全不讲， 也可只讲 1-2 个简单的例题， 重在让学生感受和巩固分类讨论的数学思想 课堂例题课堂例题 例例 1 解关于 x 的不等式 2 30xaxa? ?，其中a为参数 解解：这是一个二次不等式，对应二次函数 2 3yxaxa? ?（开口向上） ，不等式的解 集取决于图象与 x 轴的位置关系，这可由判别式? 2 4 326aaaa?的正负 来表征，故讨论其正负即可 （1）当0? ?即62a? ?时，x 可以是任意实数； （2）当0? ?即6a ? ?或2时，原不等
2、式即 2 0 2 a x ? ? ? ? ，所以 2 a x ? ?； （ 3 ） 当0? ?即6a ? ?或2a ?时 ， 解 方 程 2 30xaxa? ?得 2 412 2 aaa x ? ? ?，所以 2 412 2 aaa x ? ? ?或 2 412 2 aaa x ? ? ? 注：分类讨论的原因是有不确定的因素，找到不确定的因素，对症下药（讨论）即可 例例 2 已知关于 x 的不等式 2 320axx?的解集为1xxb?或 （1）求 a，b 的值； （2）解关于 x 的不等式? 2 0axac b x bc?，c为参数 解解： （1）由题设知方程 2 320axx?的两根为 1
3、和 b，将1x ?代入方程得 a1，则 原方程为 2 320xx?，解得1x ?或2，所以 b2 （2） 原不等式即? 2 220xcxc?20xx c?， 这里不确定的因素是c 与 2 的大小关系，自然分三类讨论如下 当2c ?时，原不等式的解集是2cx?； 当2c ?时，原不等式即? 2 20x?，无解； 当2c ?时，原不等式的解集是2xc? 例例 3 解关于 x 的不等式? 1 0a xax a ? ? ? ? ，其中a为参数 解解：首先0a ?，该不等式对应二次函数? 1 ya xax a ? ? ? ? ，系数a的正负不确定， 这决定了开口朝向；两根a与 1 a 的大小关系不确定，
4、这也影响解集的形式 . 本例的两点不确定因素已找齐备， 前者要讨论a与 0 的大小关系， 后者要讨论a与1?的 大小关系，0 与1?将实数（集）分为六个部分，依次讨论即可 （1）当1a ? ?时， 1 a a ?，原不等式即? 1 0xax a ? ? ? ? ，所以xa?或 1 x a ?； （2）当1a ? ?时，原不等式即? 2 10x?，所以1x ? ?； （3）当10a? ?时， 1 a a ?，原不等式即? 1 0xax a ? ? ? ? ，所以 1 x a ?或xa?； （4）当01a?时， 1 a a ?，原不等式即? 1 0xax a ? ? ? ? ，所以 1 ax a
5、?； （5）当1a ?时，原不等式即? 2 10x?，无解； （6）当1a ?时， 1 a a ?，原不等式即? 1 0xax a ? ? ? ? ，所以 1 xa a ? 例例 4 解关于x的不等式? 2 2120axax? ?，其中a为参数 解解：首先注意到，原不等式可用十字相乘法分解因式为?210xax?接下来我 们寻找不确定的因素： 二次项系数为a，得讨论它与 0 的大小关系； 在0a ?的前提下， 两根2与 1 a 的大小关系不确定，等价于讨论a与 1 2 的大小关系综合以上因素，讨论如下 （1）若0a ?，则原不等式即20x? ?，2x ?； （2）若0a ?，则原不等式即? 1
6、20xx a ? ? ? ? ，所以 1 x a ?或2x ?； （3）若0a ?，则原不等式即? 1 20xx a ? ? ? ? 当 1 0 2 a?时，得 1 2x a ?； 当 1 2 a ?时，原不等式即? 2 20x?，无解； 当 1 2 a ?时，得 1 2x a ? 结语结语 本节所举之例皆为含参的二次（型）不等式，这里不确定的因素往往有： （1）二次项系 数与 0 的大小关系， 这决定了不等式的类型及对应二次函数的开口方向；（2） 判别式的正负， 这决定了对应二次函数与x轴的交点个数，影响解集形式； （3）根的大小关系，影响解集形 式这些不确定的因素正是我们需要分类讨论的点，
7、是解题的核心 . 课课后作业后作业 1.解关于x的不等式： （1） 22 210xxa? ?； （2） 22 3210xxa? ? 分类讨论是数学 （也是生活中） 非常重要的思想， 是学生掌握起来比较困难的一种方法， 很考验思维的条理性与严谨性 本节课只是让学生初步感受， 在以后的数学学习中还会多次 遇到，还要反复练习 对高一新生来说， “分类讨论”的习得需要一个漫长的过程，笔者提出以下问题供读者 思考： 1讨论的原因是什么？是什么的不确定导致了分类？这是根基，是出发点； 2以什么为标准进行分类？分为几类？ 3按照分类讨论的格式执行解题过程，最后综述，解题到此结束！ 4解后反思（不一定必要） ：解题过程是否充分结合了已知条件？是否存在改进的“蛛 丝马迹”？能不能找到更优的标准以简化讨论？甚至避免讨论？
