初中高中衔接第七讲 分式方程和无理方程的解法(选上).doc

1、. 第第七七讲讲 分式方程和无理方程的解法分式方程和无理方程的解法 初中大家已经学习了可化为一元一次方程的分式方程的解法本讲将要学习可化为一元二次 方程的分式方程的解法以及无理方程的解法并且只要求掌握(1)不超过三个分式构成的分式方程 的解法，会用”去分母”或”换元法”求方程的根，并会验根；(2)了解无理方程概念，掌握可化为一 元二次方程的无理方程的解法，会用”平方”或”换元法”求根，并会验根 一、一、可化为一元二次方程的分式方程可化为一元二次方程的分式方程 1去分母化分式方程为一元二次方程去分母化分式方程为一元二次方程 【例【例 1】解方程 2 142 1 224 x xxx ? ? 分析分

2、析：去分母，转化为整式方程 解：解：原方程可化为： 142 1 2(2)(2)2 x xxxx ? ? 方程两边各项都乘以 2 4x ?： 2 (2)42(2)4xxxx? 即 2 364xx?， 整理得： 2 320xx? 解得：1x ?或2x ? 检验：把1x ?代入 2 4x ?，不等于 0，所以1x ?是原方程的解； 把2x ?代入 2 4x ?，等于 0，所以2x ?是增根 所以，原方程的解是1x ? 说明：说明： (1) 去分母解分式方程的步骤： 把各分式的分母因式分解； 在方程两边同乘以各分式的最简公分母； 去括号，把 所有项都移到左边，合并同类项； 解一元二次方程； 验根 (2

3、) 验根的基本方法是代入原方程进行检验，但代入原方程计算量较大而分式方程可能产 生的增根，就是使分式方程的分母为 0 的根因此我们只要检验一元二次方程的根，是否使分式 方程两边同乘的各分式的最简公分母为 0若为 0，即为增根；若不为 0，即为原方程的解 2 2用换元法化分式方程为一元二次方程用换元法化分式方程为一元二次方程 【例【例 2】解方程 22 2 3 ()40 11 xx xx ? ? 分析：分析：本题若直接去分母，会得到一个四次方程，解方程很困难但注意到方程的结构特点， 设 2 1 x y x ? ? ，即得到一个关于y的一元二次方程最后在已知y的值的情况下，用去分母的方法 . 解方

4、程 2 1 x y x ? ? 解：解：设 2 1 x y x ? ? ，则原方程可化为： 2 340yy? 解得4y ?或1y ? ? (1)当4y ?时， 2 4 1 x x ? ? ，去分母，得 22 4(1)4402xxxxx?； (2)当1y ? ?时， 2 22 15 1110 12 x xxxxx x ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 检验：把各根分别代入原方程的分母，各分母都不为 0 所以，2x ?， 15 2 x ? ? ?都是原方程的解 说明：说明：用换元法解分式方程常见的错误是只求出y的值，而没有求到原方程的解，即x的值 【例【例 3】解方程 22 22 8(2 )

5、3(1) 11 12 xxx xxx ? ? ? 分析：分析：注意观察方程特点，可以看到分式 2 2 2 1 xx x ? ? 与 2 2 1 2 x xx ? ? 互为倒数因此，可以设 2 2 2 1 xx y x ? ? ? ，即可将原方程化为一个较为简单的分式方程 解：解：设 2 2 2 1 xx y x ? ? ? ，则 2 2 11 2 x yxx ? ? ? 原方程可化为： 2 33 811811301 8 yyyyy y ?或 (1)当1y ?时， 2 22 2 21 121 21 xx xxxx x ? ? ? ? ? ? ； (2)当 3 8 y ?时， 2 222 2 23

6、1 81633516303 851 xx xxxxxxx x ? ? ? ? ? 或 检验：把把各根分别代入原方程的分母，各分母都不为 0 所以，原方程的解是 1 2 x ? ?，3x ? ?， 1 5 x ? ? 说明：说明：解决分式方程的方法就是采取去分母、换元等法，将分式方程转化为整式方程，体现 了化归思想 . 二、二、可化为一元二次方程的无理方程可化为一元二次方程的无理方程 根号下含有未知数的方程，叫做无理方程 1 1平方法解无理方程平方法解无理方程 【例【例 4】解方程 71xx? 分析：分析：移项、平方，转化为有理方程求解 解：解：移项得：71xx? 两边平方得： 2 721xxx

7、? 移项，合并同类项得： 2 60xx? 解得：3x ? ?或2x ? 检验：把3x ? ?代入原方程，左边?右边，所以3x ? ?是增根 把2x ?代入原方程，左边 = 右边，所以2x ?是原方程的根 所以，原方程的解是2x ? 说明：说明：含未知数的二次根式恰有一个的无理方程的一般步骤： 移项，使方程的左边只保留含未知数的二次根式，其余各项均移到方程的右边；两边同 时平方，得到一个整式方程；解整式方程；验根 【例【例 5】解方程 3233xx? 分析：分析：直接平方将很困难可以把一个根式移右边再平方，这样就可以转化为上例的模式， 再用例 4 的方法解方程 解：解：原方程可化为：3233xx

8、? 两边平方得：329633xxx? 整理得：63142337xxxx? 两边平方得： 2 9(3)49 14xxx? 整理得： 2 23220xx?，解得：1x ?或22x ? 检验：把1x ?代入原方程，左边=右边，所以1x ?是原方程的根 把22x ?代入原方程，左边?右边，所以22x ?是增根 所以，原方程的解是1x ? 说明：说明：含未知数的二次根式恰有两个的无理方程的一般步骤： 移项，使方程的左边只保留一个含未知数的二次根式；两边平方，得到含未知数的二次 根式恰有一个的无理方程；一下步骤同例 4 的说明 2 2换元换元法解无理方程法解无理方程 【例【例 6】解方程 22 31525

9、12xxxx? ? 分析：分析：本题若直接平方，会得到一个一元四次方程，难度较大注意观察方程中含未知数的 . 二次根式与其余有理式的关系，可以发现： 22 31533(51)xxxx?因此，可以设 2 51xxy?，这样就可将原方程先转化为关于y的一元二次方程处理 解：解：设 2 51xxy?，则 2222 513153(1)xxyxxy? ? 原方程可化为： 2 3(1)22yy?， 即 2 3250yy?，解得：1y ?或 5 3 y ? ? (1)当1y ?时， 22 5115010xxxxxx? ? ? ?或； (2)当 5 3 y ? ?时，因为 2 510xxy?，所以方程无解 检

10、验：把1,0xx? ?分别代入原方程，都适合 所以，原方程的解是1,0xx? ? 说明：说明：解决根式方程的方法就是采取平方、换元等法，将根式方程转化为有理方程，体现了 化归思想 A 组组 1解下列方程： 练练 习习 . (1) 215 (1)(2)(2)(3) xx xxxx ? ? ? (2) 22 7 211211235 xx xxxx ? ? ? (3) 2 21 1 24yy ? ? (4) 2 152 1 24xx ? ? 2用换元法解方程： 2 2 4 4x x ? 3解下列方程： (1) 2xx? ? (2) 57xx? (3) 32xx? 4解下列方程： (1) 3141xx

11、? ? (2) 2451xx? 5用换元法解下列方程： (1) 120xx? (2) 22 336xxxx? B 组组 1解下列方程： (1) 22 2541 2324 x xxxx ? ? ? (2) 22 416 124 xx xxxx ? ? ? (3) 2 111 7(21)(7)231 x xxxxx ? ? ? (4) 2 124 0 111 xxx xxx ? ? ? 2用换元法解下列方程： (1) 2 524(1) 140 1(5) xxx xx x ? ? ? (2) 2 2 2(1)6(1) 7 11 xx xx ? ? ? (3) 422 2 211 2 xxx xx ?

12、 ? 3若1x ?是方程 1 4 x xaxa ? ? 的解，试求a的值 4解下列方程： (1) 2 2 3 241 23 xx xx ? ? (2) 2 22 36xxax xaxaax ? ? ? 5解下列方程： (1) 22 13xx? ? (2) 6 105 10 x x ? ? (3) 22 2432615xxxx? . 第七讲第七讲 分式方程和无理方程的解法答案分式方程和无理方程的解法答案 A 组组 1(1)1 ,(2)1,21,(3)0,1,(4)3,5xxxyyxx? ? ? ? ? 22x ? ? 3 53 (1)1,(2)6,(3) 2 xxx ? ? ? 4(1)5x ?(2) 20x ? 5(1)9,(2)1,4xxx? ? B 组组 1 1 (1)113,(2)3,(3)5,1,(4) 3 xxxxx? ? ? ? 2 317 (1)1,2,3,4,(2)12,(3)1 4 xxxxxxx ? ? ? ? ? ? 3 2 2 ? 4 23 21 (1)0,2,(2) 22 xxxxa ? ? ? 5(1)2,(2)26,(3)3,1xxxx? ? ?