9.极值点偏移终极套路.doc

1、. 9.9.极值点偏移终极套路极值点偏移终极套路 值点偏移问题在高考中很常见，此类问题以导数为背景考察学生运用函数与方程、数形结合、转换的思想 解决函数问题的能力，层次性强，能力要求较高.【来源：21世纪教育网】 下面给出引例，通过探究，归纳总结出解决此类问题的一般性方法. 例 1： 已知? ? 2 1 ln 2 fxxxmxx?，m?R 若? ?f x有两个极值点 1 x， 2 x， 且 12 xx?， 求证： 2 1 2 ex x ? （e为自然对数的底数） 解法一：齐次构造通解偏移套路解法一：齐次构造通解偏移套路 于是 又 12 0xx?，设 2 1 x t x ?，则1t ?因此， ?

2、 12 1ln lnln 1 tt xx t ? ? ? ，1t ? 要证 12 lnln2xx?，即证： ?1 ln 2 1 tt t ? ? ? ， 1t ?即：当1t ?时，有 ?21 ln 1 t t t ? ? ? 设函数 ? ? ?21 ln 1 t h tt t ? ? ? ，1t ?，则， 所以，? ?h t为?1.?上的增函数注意到，? ?10h?，因此，? ? ?10h th? 于是，当1t ?时，有 ?21 ln 1 t t t ? ? ? 所以，有 12 lnln2xx?成立， 2 1 2 ex x ? 解法二解法二 变换函数能妙解变换函数能妙解 . 证法证法 2 2：

3、 欲证 2 1 2 ex x ?， 需证 12 lnln2xx? 若? ?f x有两个极值点 1 x， 2 x， 即函数? ?fx?有两个零点 又 ? ?lnfxxmx ?，所以， 1 x， 2 x是方程? ?0fx?的两个不同实根显然0m ?，否则，函数? ?fx?为 单调函数，不符合题意21世纪*教育网 由? 11 1212 22 ln0 lnln ln0 xmx xxm xx xmx ? ? ? ? ? ， 解法三解法三 构造函数现实力构造函数现实力 证法证法 3 3：由 1 x， 2 x是方程? ?0fx?的两个不同实根得 ln x m x ?，令? ? ln x g x x ?，?

4、? 12 g xg x?，由于 ? ? 2 1 ln x gx x ? ?，因此， ? ?g x在?1,e ?，?e,? ? 设 12 1exx?，需证明 2 1 2 ex x ?，只需证明? 2 1 2 e 0,ex x ?，只需证明? ? 2 1 2 e f xf x ? ? ? ? ，即 ? 2 2 2 e f xf x ? ? ? ? ，即? 2 2 2 e 0f xf x ? ? ? ? 即? ? ? 2 e 1,eh xf xfx x ? ? ? ? ，? ? ? 22 22 1 lne 0 e xx h x x ? ?，故 ? ?h x在?1,e ?，故 ? ? ?e0h xh?

5、，即? ? 2 e f xf x ? ? ? ? 令 1 xx?，则? ? 2 21 1 e f xf xf x ? ? ? ? ，因为 2 x，? 2 1 e e, x ?， ? ?f x在?e,? ?，所以 2 2 1 e x x ?，即 2 1 2 ex x ? 解法四解法四 巧引变量（一）巧引变量（一） . 证法证法 4 4：设? 11 ln0,1tx?，? 22 ln1,tx?，则由 11 22 ln0 ln0 xmx xmx ? ? ? ? 得 1 12 2 11 22 e e e t tt t ttm tmt ? ? ? ? ? ? ? ，设 12 0ktt?，则 1 e e1

6、k k k t ? ? ， 2 e1 k k t ? ? 欲证 2 1 2 ex x ?， 解法五解法五 巧引变量（二）巧引变量（二） 证法证法 5 5：设? 11 ln0,1tx?，? 22 ln1,tx?，则由 11 22 ln0 ln0 xmx xmx ? ? ? ? 得 1 12 2 11 22 e e e t tt t ttm tmt ? ? ? ? ? ? ? ，设 ? 1 2 0,1 t k t ?，则 1 ln 1 kk t k ? ? ， 2 ln 1 k t k ? ? 欲证 2 1 2 ex x ?，需证 12 lnln2xx?， 即只需证明 12 2tt?， 即 ?1

7、ln2121 2lnln0 111 kkkk kk kkk ? ? ? ， 设? ? ? ? 21 ln0,1 1 k g kkk k ? ? ? ， 故? ?g k在?0,1 ?，因此? ? ?10g kg?，命题得证 . 例 2：已知函数 2 ( )(2)lnf xxaxax?，若方程( )f xc?有两个不相等的实数根 12 ,x x，求证： 12 ()0 2 xx f ? ?. 欲证： 12 ()0( ) 22 xxa ff ? ?，结合( )fx?的单调性， 即证： 12 22 xxa? ? 等价于证明： 22 1122 12 1122 22 lnln xxxx xx xxxx ?

8、? ? 令 1 2 ,(01) x tt x ? ?，构造函数 22 ( )ln,(01) 1 t g ttt t ? ? ? ? ， 求导由单调性易得原不等式成立，略. 法二：接后续解: 由得： 1 121212 2 ()()(2)()ln0 x xxxxaxxa x ? . 构造函数 2(1) ( )ln,(01) 1 t m ttt t ? ? ? ? ， 求导由单调性易得( )0m t ?在(0,1)t?恒成立， 又因为 12 0,0axx?，故 12 ()0 2 xx f ? ?成立. 法三：接后续解： 视 1 x为主元，设 2 222 2 22 222 2()4()1 ( )lnl

9、n,( )0 ()() xxxxx g xxxg x xxxxxxx ? ? ? 则( )g x在 2 (0,)xx?上单调递增，故 2 ( )()0g xg x?， 再结合 12 0,0axx?，故 12 ()0 2 xx f ? ?成立. 法四：构造函数( )()(),(0) 222 aaa h xfxfxx?， 则， . 从而( )h x在(0,) 2 a 上单调递增，故( )(0)0h xh?，即()() 22 aa fxfx? 对(0,) 2 a x?恒成立， 从而( )(),(0) 2 a f xf axx?，则 211 ()( )()f xf xf ax?， 由 21 ,(,)

10、2 a x ax?，且( )f x在(,) 2 a ?单调递增， 故 21 xax?， 即 12 22 xxa? ?，从而 12 ()0 2 xx f ? ?成立. 例 3：已知函数? ?ln,f xxax b a bR?有两个不同的零点 12 ,x x ? ?I求? ?f x的最值； ? ?II证明： 12 2 1 xx a ? 【答案】（1）? ?maxln1f xab? ?，无最小值 （2）见解析 . 【方法点睛】本题主要考查利用导数研究函数的单调性及不等式的证明，属于难题.不等式证明问题是近年 高考命题的热点，命题主要是和导数、绝对值不等式及柯西不等式相结合，导数部分一旦出该类型题往往

11、 难度较大，要准确解答首先观察不等式特点，结合已解答的问题把要证的不等式变形，并运用已证结论先 行放缩，然后再化简或者进一步构造函数利用导数证明.21 世纪教育网版权所有 . 例 4：已知函数? ? ? ? 2 a x g xxeaR ? ?， e为自然对数的底数. （1）讨论? ?g x的单调性； （2）若函数? ? ? 2 lnf xg xax?的图象与直线?ym mR?交于AB、两点，线段AB中点的横坐标为 0 x，证明： ? 0 0fx?（? ?fx?为函数? ?f x的导函数） 【答案】（1）见解析（2）见解析 （2） ? ? ? ? 222 lnln2(0) a x f xxeax

12、xa xaxx ? ?， ? ? ?2111 22 xax fxaax xx ? ? ?， 当0a ?时， ? ? ?0,fxyg x?在?0,?上单调递增，与直线ym?不可能有两个交点，故0a ? 令? ?0fx?，则 1 0x a ?；令? ?0fx?，则 1 x a ?，故? ?yg x?在 1 0, a ? ? ? ? 上单调递增，在 1 , a ? ? ? ? 上 单调递减不妨设? 12 ,A x m B x m，且 12 1 0xx a ?， 要证? 0 0fx?，需证 0 10ax ? ?， 即证? 0122121 1222 xxxxxf xfx aaaa ? ? ? ? ， 又

13、? ? 12 f xf x?，所以只需证? ? 11 2 f xfx a ? ? ? ? ，即证：当 1 0x a ?时， . ? ? 2 0fxf x a ? ? ? ? 设? ? ? 2 ln 2ln22F xfxf xaxaxax a ? ? ? ? ， 则? ? ? ? 2 211 20 22 axa Fxa axxxax ? ? ? ? ?， ? ? ? 2 F xfxf x a ? ? ? ? 在 1 0, a ? ? ? 上单调递减，又 1211 0Fff aaaa ? ? ? ? ， 故? ? ? 2 0F xfxf x a ? ? ? ? ，原不等式成立 . 例 5：已知函数

14、? ? 3 2 2 ln 3 f xaxx?的图象的一条切线为x轴.（1）求实数a的值；（2）令 ? ? ? ?g xfxfx? ?，若存在不相等的两个实数 12 ,x x满足? ? 12 g xg x?，求证： 1 2 1x x ?.21 教育网 【答案】（1） 0 1 2 3 x a ? ? （2）见解析 . 当1x ?时， 1 01 x ?， 记? ? ? ? ? ? 1111 G xg xgh xhf xfxff xxxx ? ? ? ? ? ?， 记函数? ?yfx?的导函数为? ?yfx?，则 ? ? ? ? 22 1111 G xfxfxff xxxx ? ? ? ? ? ? ?

15、 ? 2 222 111111 22 x xxx xxxxxx ? ? ? ? ? ? ? ? ? 2 11 10 2 xx x x xxx ? ?， 故? ?G x在?1,?上单调递增， 所以? ? ?10G xG?，所以? ? 1 0g xg x ? ? ? ? ， 不妨设 12 01xx? ?，则? ? 12 2 1 g xg xg x ? ? ? ? ， 而 1 01x?， 2 1 01 x ?，有单调性知 1 2 1 x x ?，即 1 2 1x x ?. . 例 6：已知函数? ? 2 1 ln 2 fxxaxbx?且函数? ?yf x?图象上点? ?1,1f处的切线斜率为0. （

16、1）试用含有a的式子表示b，并讨论? ?f x的单调性； （2）对于函数图象上的不同两点? 1122 ,A x yB x y如果在函数图象上存在点? 00012 ,M xyxx x? 使得点M处的切线lAB，则称AB存在“跟随切线”.特别地，当 12 0 2 xx x ? ?时，又称AB存在“中值 跟随切线”.试问：函数? ?f x上是否存在两点,A B使得它存在“中值跟随切线”，若存在，求出,A B的 坐标，若不存在，说明理由. 【答案】（1）见解析（2）不存在 令 1 2 ,(01) x tt x ? ?， 构造函数? ? ?21 ln,(01) 1 t g ttt t ? ? ? ? ，

17、 则， 则?0,1t?时，? ?0g t ?恒成立， 故? ?yg t?在?0,1上单调递增从而得出不存在 试题解析： 函数? ?yf x?的定义域为?0,?，且? ? 1 fxaxb x ?， 又? ? 10f?，整理得1ba?. . （1）? ? ?1111 1 axx fxaxbaxa xxx ? ? ? ?. 1）当0a ?时，易知?0,1x?， ? ?0,1,fxx?时? ?0fx ?， 故? ?yf x?在?0,1上单调递增，在?1,?上单调递减. 2）当0a ?地，令? ?0fx ?，解得1x ?或 1 x a ? ?，则 当 1 1 a ?，即1a ? ?时， ? ?0fx ?

18、 在?0,?上恒成立，则? ?yf x?在?0,?上递增. 当10a? ?时，? ?yf x?在?0,1及 1 , a ? ? ? ? 上单调递增：? ?yf x?在 1 1, a ? ? ? ? 上单调递减. 当1a ? ?时， ? ?yf x?在?0,?上递增. 当1a ? ?时， ? ?yf x?在 1 0, a ? ? ? ? 及?1,?上单调递增； ? ?yf x?在 1 ,1 a ? ? ? ? 上递减. . 点睛： 对于导数 问题，做题要特别注意在讨论时单调性受参数的影响，可以通过分析导数零点的大小来逐一分析，对于此 题第二问的类型，要注意函数的构造和假设，分析函数单调性求最值从而得出结论 . 例 7：已知函数? ? 2 lnf xx xaxxa aR? ?在其定义域内有两个不同的极值点. （1）求a的取值范围. （2）设? ?f x的两个极值点为 12 ,x x，证明 2 1 2 x xe?. 【答案】（1） 1 0 2 a e ? ? （2）见解析 试题解析： （1） 依题意，函数? ?f x的定义域为?0,?，所以方程? ?0fx?在?0,?有两个不同根.即方程 ln20xax?在?0,?有两个不同