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极值点偏移(老师版).docx

1、. 一、极值点偏移的含义一、极值点偏移的含义 众所周知,函数)(xf满足定义域内任意自变量x都有)2()(xmfxf?,则函数)(xf关于 直线mx?对称;可以理解为函数)(xf在对称轴两侧,函数值变化快慢相同,且若)(xf为单 峰函数,则mx?必为)(xf的极值点. 如二次函数)(xf的顶点就是极值点 0 x,若cxf?)(的两 根的中点为 2 21 xx ? ,则刚好有 0 21 2 x xx ? ? ,即极值点在两根的正中间,也就是极值点没有偏 移. 若相等变为不等,则为极值点偏移:若单峰函数)(xf的极值点为m,且函数)(xf满足定 义域内mx?左侧的任意自变量x都有)2()(xmfx

2、f?或)2()(xmfxf?,则函数)(xf极值 点m左右侧变化快慢不同. 故单峰函数)(xf定义域内任意不同的实数 21,x x满足)()( 21 xfxf?, 则 2 21 xx ? 与极值点m必有确定的大小关系: 若 2 21 xx m ? ?,则称为极值点左偏左偏;若 2 21 xx m ? ?,则称为极值点右偏右偏.来源:学_科_网 Z_X_X_K 如函数 x e x xg?)(的极值点1 0 ?x刚好在方程cxg?)(的两根中点 2 21 xx ? 的左边,我们称之为极 值点左偏. . 二、极值点偏移问题的一般题设形式:二、极值点偏移问题的一般题设形式: 1. 若函数)(xf存在两

3、个零点 21,x x且 21 xx ?, 求证: 021 2xxx?( 0 x为函数)(xf的极值点) ; 2. 若函数)(xf中存在 21,x x且 21 xx ?满足)()( 21 xfxf?, 求证: 021 2xxx?( 0 x为函数)(xf的 极值点); 3. 若函数)(xf存在两个零点 21,x x且 21 xx ?,令 2 21 0 xx x ? ?,求证:0)( 0 ?xf; 4. 若函数)(xf中存在 21,x x且 21 xx ?满足)()( 21 xfxf?,令 2 21 0 xx x ? ?,求证:0)( 0 ?xf. 三、问题初现,形神合聚三、问题初现,形神合聚 函数

4、 x aexxxf?12)( 2 有两极值点 21,x x,且 21 xx ?. 证明:4 21 ? xx. 所以)2()2(xhxh?, . 所以)4()2(2)2(2)()( 22221 xhxhxhxhxh?, 因为2 1? x,24 2 ? x,)(xh在)2 ,(?上单调递减 所以 21 4xx?,即4 21 ? xx. 已知函数xxfln)(?的图象 1 C与函数)0( 2 1 )( 2 ?abxaxxg的图象 2 C交于QP,, 过PQ的中 点R作x轴的垂线分别交 1 C, 2 C于点NM,, 问是否存在点R, 使 1 C在M处的切线与 2 C在N处 的切线平行?若存在,求出R的

5、横坐标;若不存在,请说明理由. 四、招式演练四、招式演练 过点 作曲线 的切线 (1)求切线 的方程; (2) 若直线 与曲线 交于不同的两点 , , 求证: 【答案】(1) (2)见解析 【解析】 试题分析:(1) 先根据导数几何意义求切线斜率 , 再根据点斜式求切线方程 . 因为 ,不妨设 , 设 ,则 , 当 时, , 在 单调递增, 来源:学*科*网 Z*X*X*K 所以 ,所以当 时, 因为 ,所以 , 从而 , 因为 , 在 单调递减, 所以 , 即 极值点偏移问题在近几年高考及各种模考,作为热点以压轴题的形式给出,很多学生对待 此类问题经常是束手无策,而且此类问题变化多样,有些题

6、型是不含参数的,而更多的题型又 是含有参数的. 其实,此类问题处理的手段有很多,方法也就有很多,下面我们来逐一探索! 来源:Z。xx。k.Com 来源:学,科,网 来源:163文库 . 一、极值点偏移的判定定理一、极值点偏移的判定定理 对于可导函数)(xfy ?,在区间),(ba上只有一个极大(小)值点 0 x,方程0)(?xf的解分 别为 21,x x,且bxxa? 21 , (1)若)2()( 201 xxfxf?,则 0 21 )( 2 x xx ? ? ,即函数)(xfy ?在区间),( 21 xx上极(小) 大值点 0 x右(左)偏; (2)若)2()( 201 xxfxf?,则 0

7、 21 )( 2 x xx ? ? ,即函数)(xfy ?在区间),( 21 xx上极(小) 大值点 0 x右(左)偏. 证明:(1)因为对于可导函数)(xfy ?,在区间),(ba上只有一个极大(小)值点 0 x,则 函数)(xf的单调递增(减)区间为),( 0 xa,单调递减(增)区间为),( 0 bx,由于bxxa? 21 , 有 01 xx ?,且 020 2xxx?,又)2()( 201 xxfxf?,故 201 2)(xxx?,所以 0 21 )( 2 x xx ? ? ,即 函数极(小)大值点 0 x右(左)偏; (2)证明略. 左左快右慢(极值点左偏快右慢(极值点左偏 2 21

8、 xx m ? ?) 左慢右快(极值点右偏左慢右快(极值点右偏 2 21 xx m ? ?) . 左快右慢(极值点左偏左快右慢(极值点左偏 2 21 xx m ? ?) 左慢右快(极值点右偏左慢右快(极值点右偏 2 21 xx m ? ?) 二、运用判定定理判定极值点偏移的方法二、运用判定定理判定极值点偏移的方法 1、方法概述: (1)求出函数)(xf的极值点 0 x; (2)构造一元差函数)()()( 00 xxfxxfxF?; (3)确定函数)(xF的单调性; (4)结合0)0(?F,判断)(xF的符号,从而确定)( 0 xxf?、)( 0 xxf?的大小关系. 口诀:极值偏离对称轴口诀:

9、极值偏离对称轴,构造函数觅行踪;四个步骤环相扣,两次单调紧跟随,构造函数觅行踪;四个步骤环相扣,两次单调紧跟随. 2、抽化模型 答题模板:若已知函数)(xf满足)()( 21 xfxf?, 0 x为函数)(xf的极值点,求证: 021 2xxx?. (1)讨论函数)(xf的单调性并求出)(xf的极值点 0 x; 假设此处)(xf在),( 0 x?上单调递减,在),( 0 ?x上单调递增.来源:Z,xx,k.Com (2)构造)()()( 00 xxfxxfxF?; 注:此处根据题意需要还可以构造成)2()()( 0 xxfxfxF?的形式.来源:163文库 (3) 通过求导)( xF讨论)(x

10、F的单调性, 判断出)(xF在某段区间上的正负, 并得出)( 0 xxf?与 )( 0 xxf?的大小关系; 假设此处)(xF在), 0( ?上单调递增,那么我们便可得出0)()()()( 000 ?xfxfxFxF, 从而得到: 0 xx ?时,)()( 00 xxfxxf?. (4)不妨设 201 xxx?,通过)(xf的单调性,)()( 21 xfxf?,)( 0 xxf?与)( 0 xxf?的大小关 系得出结论; 接上述情况,由于 0 xx ?时,)()( 00 xxfxxf?且 201 xxx?,)()( 21 xfxf?,故 )2()()()()( 2002002021 xxfxx

11、xfxxxfxfxf?,又因为 01 xx ?, 020 2xxx?且 )(xf在),( 0 x?上单调递减,从而得到 201 2xxx?,从而 021 2xxx?得证. . (5)若要证明0) 2 ( 21 ? ? xx f,还需进一步讨论 2 21 xx ? 与 0 x的大小,得出 2 21 xx ? 所在的单调区 间,从而得出该处函数导数值的正负,从而结论得证. 此处只需继续证明:因为 021 2xxx?,故 0 21 2 x xx ? ? ,由于)(xf在),( 0 x?上单调递减, 故0) 2 ( 21 ? ? xx f. 【说明】 (1)此类试题由于思路固定,所以通常情况下求导比较

12、复杂,计算时须细心; (2)此类题目若试题难度较低,会分解为三问,前两问分别求)(xf的单调性、极值点,证明 )( 0 xxf?与)( 0 xxf?(或)(xf与)2( 0 xxf?)的大小关系;若试题难度较大,则直接给出形如 021 2xxx?或0) 2 ( 21 ? ? xx f的结论,让你给予证明,此时自己应主动把该小问分解为三问逐 步解题.来源:Z。xx。k.Com 三、对点详析,利器显锋芒三、对点详析,利器显锋芒 已知函数)()(Rxxexf x ? ? . (1)求函数)(xf的单调区间和极值; (2)若 21 xx ?,且)()( 21 xfxf?,证明:2 21 ? xx. .

13、 1 2 ?x,12 2 ? x,)(xf在) 1 ,(?上单调递增, 21 2xx?,2 21 ? xx 函数 34 3 4 )(xxxf?与直线) 3 1 (?aay交于),( 1 axA、),( 2 axB两点. 证明:2 21 ? xx. 已知函数 2 ( )lnf xx x ?,若 1 x? 2 x,且)()( 21 xfxf?,证明:4 21 ? xx. 【解析】由函数 2 ( )lnf xx x ?单调性可知:若)()( 21 xfxf?,则必有 21 2xx?,。 所以24 1? ? x, 而)4ln( 4 2 ln 2 )4()( 1 1 1 1 11 x x x x xfx

14、f? ? ?, . 令)4ln(ln 4 22 )(xx xx xh? ? ?,则 0 )4( )2(8 )4( )4()4(2)4(2 4 11 )4( 22 )( 22 2 22 2222 22 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? xx x xx xxxxxx xxxx xh 所以函数)(xh在)2 , 0(为减函数,所以0)2()(? hxh, 所以0)4()( 11 ?xfxf即)4()( 11 xfxf?,所以)4()( 22 xfxf?,所以4 21 ? xx. 已知函数? ? 2 21 x fxxea x?有两个零点.设 12 ,x x是? ?f x的两个零点,证明: 1

15、2 2xx?. 四、招式演练四、招式演练 已知函数? ? 2 2 x a g xex?,其中,2.71828aR e?为自然对数的底数,? ?f x是? ?g x的导函 数. ()求? ?f x的极值; ()若1a ? ?,证明:当 12 xx?,且? ? 12 f xf x?时, 12 0xx?. 【答案】 (1) 当0a ?时, ? ?f x无极值; 当0a ?时, ? ?f x有极小值?lnlnfaaaa? ? ?;(2) 详见解析. . 【解析】试题分析:()求出函数的导数,解关于导函数的不等式,求出函数的单调区间, 从而求出函数的极值即可; ()求出函数 f(x)的导数,设函数 F(

16、x)=f(x)f(x),求出函数的导数,根据函 数的单调性证明即可 试题解析: ()? ? ? x f xg xeax?的定义域为?,? ?, ? ? x fxea? 当0a ?时, ? ?0fx?在?,x? ? ?时成立 ? ?f x? 在?,? ?上单调递增, ? ?f x无极值. 当0a ?时, ? ?0 x fxea?解得?lnxa? 由? ?0fx? 得?lnxa?;由? ?0fx? 得?lnxa? 所以? ?f x在?,lna?上单调递减,在?ln,a?上单调递增, 故? ?f x有极小值?lnlnfaaaa? ? ?. ()当1a ? ?时, ? ? x f xex?的定义域为?

17、,? ?, ? ?1 x fxe?, 由? ?10 x fxe? ?,解得0x ?.当x变化时, ? ?fx?, ? ?f x变化情况如下表: x ?,0? 0 ?0,? ? ?fx ? ? 0 + ? ?f x 单调递减 极小值 单调递增 12 xx?,且? ? 12 f xf x?,则 12 0xx?(不妨设 12 xx?) . 已知函数? ? 2 lnf xxax?,其中aR? (1)若函数? ?f x有两个零点,求a的取值范围; (2)若函数? ?f x有极大值为 1 2 ?,且方程? ?f xm?的两根为 12 ,x x,且 12 xx?,证明: 12 4xxa?. 【答案】(1) 1 0 2 a e ?;(2)见解析. (1)当0a ?时, ? ?0fx?函数? ?f x在?0,?上单调递增,不可能有两个零点 (2)当0a ?时, ? ? 1 0, 2 fxx a ? . x 1 0, 2a ? ? ? ? 1 2a 1 , 2a ? ? ? ? ? ? ?fx ? ? 0 - ? ?f x 极大值 ? ?f x的极大值为 111 ln 222 f aa ? ? ? ?

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