1、. 这或许是史上最全的极值点偏移系列文章 公众号部分文章目彔,关注后 word 分享到邮箱 1、极值点偏移问题专题一偏移新花样拐点偏移 PK 极值点偏移常规套路 2、极值点偏移问题专题二如何选择合理的函数 3、极值点偏移问题专题三变更结论处理偏移 4、极值点偏移问题专题四比值代换齐次消元 5、极值点偏移问题专题五对数平均显神威 6、极值点偏移问题专题六本质回归泰勒展开 7、极值点偏移问题专题七历年精选一题多解 23 例 其他相关文章 8、利用对数平均丌等式处理极值点偏移压轴难题 9、一题学懂极值点偏移五大处理套路 来源:微信公众号 中学数学研讨部落 作者:屈庆荣 编辑 王波 . 今天带来极值点
2、偏移系列 第一篇文章,供大家参考 一题弄懂极值点偏移 5 大套路 已知? ? 2 1 ln 2 fxxxmxx?,m?R若? ?f x有两个极值点 1 x, 2 x,且 12 xx?,求 证: 2 1 2 ex x ?(e为自然对数的底数) 解法一:齐次构造通解偏移套路 证法 1:欲证 2 1 2 ex x ?,需证 12 lnln2xx? 若? ?f x有两个极值点 1 x, 2 x, 即函数? ?fx?有两个零点 又? ?lnfxxmx?, 所以, 1 x, 2 x是方程? ?0fx?的两个丌同实根 于是,有 11 22 ln0 ln0 xmx xmx ? ? ? ? ,解得 12 12
3、lnlnxx m xx ? ? ? 另一方面,由 11 22 ln0 ln0 xmx xmx ? ? ? ? ,得? 2121 lnlnxxm xx?, 从而可得, 2112 2112 lnlnlnlnxxxx xxxx ? ? ? 于是, ? 22 212111 12 2 21 1 1ln lnln lnln 1 xx xxxxxx xx x xx x ? ? ? ? ? ? ? ? 又 12 0xx?,设 2 1 x t x ?,则1t ?因此, ? 12 1ln lnln 1 tt xx t ? ? ? ,1t ? 要证 12 lnln2xx?,即证:? ?1 ln 2 1 tt t ?
4、 ? ? ,1t ?即:当1t ?时,有 ?21 ln 1 t t t ? ? ? 设 函数? ? ?21 ln 1 t h tt t ? ? ? ,1t ?,则? ? ? ? ? ? 2 22 212111 0 11 ttt h t t tt t ? ? ? , 所以,? ?h t为?1.?上的增函数注意到,? ?10h?,因此,? ? ?10h th? 于是,当1t ?时,有 ?21 ln 1 t t t ? ? ? 所以,有 12 lnln2xx?成立, 2 1 2 ex x ? . 解法二 变换函数能妙解 证法 2: 欲证 2 1 2 ex x ?, 需证 12 lnln2xx? 若?
5、 ?f x有两个极值点 1 x, 2 x, 即函数? ?fx? 有两个零点又? ?lnfxxmx?,所以, 1 x, 2 x是方程? ?0fx?的两个丌同实根显 然0m ?,否则,函数? ?fx?为单调函数,丌符合题意 由? 11 1212 22 ln0 lnln ln0 xmx xxm xx xmx ? ? ? ? ? , 解法三 构造函数现实力 证法 3:由 1 x, 2 x是方程? ?0fx?的两个丌同实根得 ln x m x ?,令? ? ln x g x x ?, ? ? 12 g xg x?,由于? ? 2 1 ln x gx x ? ?,因此, ? ?g x在?1,e ?,?e,
6、? ? 设 12 1exx?, 需证明 2 1 2 ex x ?, 只需证明? 2 1 2 e 0,ex x ?, 只需证明? 2 1 2 e fxf x ? ? ? ? , 即? 2 2 2 e f xf x ? ? ? ? ,即? 2 2 2 e 0fxf x ? ? ? ? 来源: 微信公众号 中学数学研讨部落 即? ? ? ? 2 e 1,eh xf xfx x ? ? ? ? ,? ? ? 22 22 1 lne 0 e xx h x x ? ?, 故 ? ?h x在?1,e ?, 故? ? ?e0h xh?, 即? ? 2 e f xf x ? ? ? ? 令 1 xx?, 则?
7、? 2 21 1 e f xf xf x ? ? ? ? , 因为 2 x, . ? 2 1 e e, x ?,? ?f x在?e,? ?,所以 2 2 1 e x x ?,即 2 1 2 ex x ? 解法四 巧引变量(一) 证法 4:设? 11 ln0,1tx?,? 22 ln1,tx?,则由 11 22 ln0 ln0 xmx xmx ? ? ? ? 得 1 12 2 11 22 e e e t tt t ttm tmt ? ? ? ? ? ? ? ,设 12 0ktt?,则 1 e e1 k k k t ? ? , 2 e1 k k t ? ? 欲证 2 1 2 ex x ?, 解法五
8、 巧引变量(二) 证法 5:设? 11 ln0,1tx?,? 22 ln1,tx?,则由 11 22 ln0 ln0 xmx xmx ? ? ? ? 得 1 12 2 11 22 e e e t tt t ttm tmt ? ? ? ? ? ? ? ,设? 1 2 0,1 t k t ?,则 1 ln 1 kk t k ? ? , 2 ln 1 k t k ? ? 欲证 2 1 2 ex x ?,需 证 12 lnln2xx?,即只需证明 12 2tt?,即 ?1 ln2121 2lnln0 111 kkkk kk kkk ? ? ? ,设 ? ? ? ? 21 ln0,1 1 k g kkk
9、 k ? ? ? ,? ? ? ? 2 2 1 0 1 k g k k k ? ? ? ,故? ?g k在?0,1 ?,因此 ? ? ?10g kg? ,命题得证来源: 微信公众号 中学数学研讨部落 . 未完待续 ,历史文章更加精彩,欢迎关注微信公众号中学数学 探讨部落 下载其他历史文章 word 版 这或许是史上最全的极值点偏移系列文章 公众号部分文章目彔,关注后 word 分享到邮箱 1、极值点偏移问题专题一偏移新花样拐点偏移 PK 极值点偏移常规套路 2、极值点偏移问题专题二如何选择合理的函数 3、极值点偏移问题专题三变更结论处理偏移 4、极值点偏移问题专题四比值代换齐次消元 5、极值点偏移问题专题五对数平均显神威 6、极值点偏移问题专题六本质回归泰勒展开 7、极值点偏移问题专题七历年精选一题多解 23 例 其他相关文章 8、利用对数平均丌等式处理极值点偏移压轴难题 9、一题学懂极值点偏移五大处理套路 来源: 数学教师教研 QQ 群 54543319
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