中学数学 路径轨迹问题 课件.pptx

1、第一部分第一部分 系统复习系统复习 专题10 路径轨迹问题 考点解读 路径轨迹问题在近五年的成都中考中都占据了重 要地位，都是在大题中结合题目的几何背景进行综合 考查，重在考查学生对知识的应用能力考查的基本 类型有：利用轨迹求最值、判断轨迹并求轨迹的长， 这些问题大都利用数形结合、转化思想，将几何问题 转化为代数问题进行求解. 方法提炼 1.轨迹问题分类(预测轨迹) (1)直线型 (2)圆弧型 2破解轨迹问题的方法：路径虽是“隐形”的，但可用“三 点”显其形(即起点、过程点和终点三点确定其形状)，分 五步解决问题 具体五步是： 一画：画出动点的起点、过程点和终点 二看：观察三点是否在一直线上

2、三猜想：在一直线上是线段，不在一直线上是圆弧 四验证：线段型常用中位线或垂直平分线等知识解决；圆 弧型常利用“对称性”和“90的圆周角所对弦是直径”等知 识确定圆心和半径 五计算：常用勾股定理、相似三角形等知识进行求解. 课堂精讲 例1 问题情境： 如图1，P是O外的一点，直线PO分别交O于点 A，B，则PA是点P到O上的点的最短距离 (1)探究： 请你结合图2给予证明 (2)归纳： 圆外一点到圆上各点的最短距离是：这点到连接 这点与圆心连线与圆交点之间的距离 (3)图中有圆，直接运用： 如图3，在RtABC中，ACB90，ACBC2， 以BC为直径的半圆交AB于点D，P是上的一个动点， 连接

3、AP，则AP的最小值是_ 图 1 图 2 图 3 课堂精讲 (4)图中无圆，构造运用： 如图4，在边长为2的菱形ABCD中，A60，M是AD边的中点 ，N是AB边上一动点，将AMN沿MN所在的直线翻折得到AMN， 连接AC，请求出AC长度的最小值 【解】由折叠知AMAM，又因M是AD的中点，可得MAMA MD，故点A在以AD为直径的圆上如图5，以点M为圆心，MA为 半径画M，过M作MHCD，垂足为H.(请继续完成下列解题过程) _ _ _ _ 课堂精讲 (5)迁移拓展，深化运用： 如图6，E，F是正方形ABCD的边AD上两个动点，满足AE DF.连接CF交BD于点G，连接BE交AG于点H.若正

4、方形的边 长为2，则线段DH长度的最小值是_ 图4 图5 图6 课堂精讲 【分析】(1)在O上任取一点C(不为点A，B)，连接 PC，OC，证得PAPC即可得到PA是点P到O上的点的最短 距离； (3)找到BC的中点E，连接AE，交半圆于P2，在半圆上 取P1，连接AP1，EP1，可见，AP1EP1AE，即AP2是AP的 最小值，再根据勾股定理求出AE的长，然后减去半径即可； (4)根据题意得出A的位置，进而利用锐角三角函数 关系求出AC的长即可； 课堂精讲 (5)根据正方形的性质可得 ABADCD，BADCDA， ADGCDG， 然后利用“边角边”证明ABE 和DCF 全等， 根据全等三角形

5、对应角相等可得ABEFCD，利用“SAS” 证明ADG 和CDG 全等，根据全等三角形对应角相等可得 FCDGAD， 从而得到ABEGAD， 然后求出AHB90， 取 AB 的中点 O，连接 OH，OD，根据“直角三角形斜边上的中 线等于斜边的一半”可得 OH1 2AB1， 利用勾股定理列式求出 OD，然后根据三角形的三边关系可知当 O，D，H 三点共线时， DH 的长度最小 课堂精讲 【解】(1)证明：如图 2，在O 上任取一点 C(不为 点 A，B)，连接 PC，OC. POPCOC，POPAOA，OAOC， PAPC. PA 是点 P 到O 上的点的最短距离 (3) 51 课堂精讲 (4

6、)MA是定值，AC 长度取最小值时，即点 A在 MC 上 菱形 ABCD 边长为 2， A60， M 为 AD 中点， 2MDADCD2，HDM60. HMD30.HD1 2MD 1 2. HC5 2.HMDMcos 30 3 2 . MC HM 2CH2 7. ACMCMA 71. (5)51 课堂精讲 例2 如图，O的直径AB的长为12，长度为4的弦 DF在半圆上滑动，DEAB于点E，OCDF于点C，连接 CE，AF，则sinAEC的值是_，当CE的长取得 最大值时，AF的长是_ 课堂精讲 【解析】如图 1，连接 OD，DO1 2AB6. OCDF，OCD90，CDCF1 2DF2. 在

7、RtOCD 中，根据勾股定理得， OC OD 2CD24 2， sinODCOC OD 4 2 6 2 2 3 . DEAB，DEO90OCD. 点 O，C，D，E 在以 OD 为直径的圆上 AECODC. sinAECsinODC2 2 3 . 图 1 课堂精讲 如图 2，CD 是以 OD 为直径的圆中的弦，CE 要最大， 即 CE 是以 OD 为直径的圆的直径， CEOD6，COE90. OCDOED90， 四边形 OCDE 是矩形DFAB. 过点 F 作 FGAB 于 G， 易知，四边形 OCFG 是矩形， OGCF2，FGOC4 2. AGOAOG4. 在 RtAFG 中， 根据勾股定

8、理得， AF AG 2FG24 3. 图 2 课后精练 1 1如图，半径为 4 的O 中，CD 为直径，弦 ABCD 且过半径 OD 的中点，点 E 为O 上一动点，CFAE 于点 F.当点 E 从点 B 出发顺时针运动到点 D 时，点 F 所经过的 路径长为( ) 第 1 题图 A. 3 B. 3 2 C. 2 3 3 D. 3 3 C 课后精练 2 2如图，在矩形 ABCD 中，AB2，AD 3，点 E 为 AB 的中点， F 为 AD 边上从点 A 到点 D 运动的一个动点， 连 接 EF，将AEF 沿 EF 折叠，点 A 落在点 G 处，在运动的过 程中，点 G 运动的路径长为( )

9、A. 2 3 B. 3 C. 3 D1 第2题图 A 课后精练 【解析】如图，点 G 的运动轨迹是 . 在 RtAED 中，tanAEDAD AE 3， DEADEG60. AG 的长为120 1 180 2 3 . 故答案为：A. 答案图 课后精练 3 3如图，在平面直角坐标系中，O的半径 为4，弦AB的长为3，过O作OCAB于点C，则OC的 长度是_；O内一点D的坐标为(2，1)，当 弦AB绕O点顺时针旋转时，点D到AB距离的最小值 是_ 第3题图 课后精练 4 4如图，在RtABC中，ACB90，将ABC 绕顶点C逆时针旋转得到ABC，M是BC的中点，P 是AB的中点，连接PM.若BC2

10、，BAC30， 则线段PM的最大值是 第4题图 3 【提示】如图，连接PC.PMPCCM. 答案图 课后精练 5 5如图，在矩形纸片ABCD中，AB2，AD3，E是AB 的中点，F是AD边上的一个动点，将AEF沿EF所在直线翻 折，得到AEF，则AC的长的最小值是 第5题图 【提示】以点E为圆心，AE长度为半径作 圆，连接CE，当点A在线段CE上时， AC的长取最小值，如图 答案图 课后精练 6 6如图，正三角形ABC的边长为2，D，E分别 是边AC，BC上的动点，且ADCE，连接BD，AE交 于点G，则CG的最小值为_ 2 第6题图 课后精练 7 7如图，矩形ABCD，AB12，BC6，点E

11、 在AD边上，AE1，点F在AB边上运动，作一个矩 形EFGH，使点H落在CD边上，过点G作GIBC，垂 足为I，则GI的最大值为_ 第7题图 课后精练 8 8 如图， 等腰ABC 中， ACBC2 3.ACB120， 以 AB 为直径在ABC 另一侧作半圆， 圆心为 O， 点 D 为半 圆上的动点，将半圆沿 AD 所在直线翻折，翻折后的弧 AD 与直径 AB 交点为 F，当弧 AD 与 BC 边相切时，AF 的长为 _ 第 8 题图 课后精练 【解析】 如图， 作点O关于AD的对称点O， 连接OA， ACBC2 3，ACB120，AB6. OAOA3. 延长 BC 交O 于点 E， AB 是

12、O 的直径，E90. 设O与 BC 相切于点 G，则OGB90， EOGB.AEOG. ABC30，AB6，AEOG3. 四边形 OAEG 为平行四边形 AOBE.OABABC30. 作 OMAF 于 M， OA3，OAB30，AMMF3 3 2 . AF2AM3 3. 故答案为：3 3. 答案图 课后精练 9 9如图，点E为矩形ABCD的边AD上一点，点P从点B出发沿 BEEDDC运动到点C停止，点Q从点B出发沿BC运动到点C停止， 它们运动的速度都是1 cm/s点P，Q同时开始运动，设运动时间 为t(s)，BPQ的面积为y(cm2)，已知y与t之间的函数图象如图2 所示，给出下列结论：当0

13、t10时，BPQ是等腰三角形； SABE24 cm2；当14t22时，y1006t；在运动过 程中，使得ABP是等腰三角形的P点一共3个；当BPQ与 BEA相似时，t14.5.其中正确结论的序号是_ 图1 图2 第 9 题 图 课后精练 1010如图1，在ABC中，AB ，B45，BC7. (1)求边AC的长； (2)D为边AC的中点，过点D作DEAB交边BC于点E，将CDE绕C 点顺时针旋转，得到对应的三角形CDE，连接AD，BE， AD与BE交于M，连接MC. 求证：ACDBCE； ADC30时，求MC的长； (3)在CDE旋转的过程中，ADE的面积是否存在最大 值，若存在，请直接写出AD

14、E最大面积，若不存在，请说 明理由 图1 图2 课后精练 解：(1)过 A 作 AHBC，垂足为 H，如图 1. 在 RtABH 中，A45，AB4 2， AHBH4. 在 RtACH 中，AH4，CHBCBH3， 由勾股定理，得 AC AH 2CH25. 图 1 课后精练 (2)证明：D 为 AC 的中点，DEAB， DE 为CAB 的中位线 点 E 为 BC 的中点 CDE 旋转得到CDE， DCDECE， CDCD， CECE. AC CD BC CE 1 2. ACDBCE. 课后精练 过 C 作 CNAD，垂足为 N，如图 2， ADC30，CN1 2CD 1 2CD 5 4. AC

15、DBCE， ADCBEC30. 点 M，C，D，E四点共圆 MEDMCD180. DECDEC45， MEDDECMEC75. MCD105.MCN45. MC 2CN5 2 4 . (3)5 27 2 图2 课后精练 1111如图，点E，F分别在矩形ABCD的边AB，BC上，连接EF，将BEF 沿直线EF翻折得到HEF，AB8，BC6，AEEB31. (1)如图1，当BEF45时，EH的延长线交DC于点M，求HM的长； (2)如图2，当FH的延长线经过点D时，求tanFEH的值； (3)如图3，连接AH，HC，当点F在线段BC上运动时，试探究四边形 AHCD的面积是否存在最小值？若存在，求出

16、四边形AHCD的面积的最小值 ；若不存在，请说明理由 图1 图2 图3 课后精练 解：(1)当BEF45时，易知四边 形EBFH是正方形， AB8，AEEB31， AE6，EB2. CEBCBEM90， 四边形EBCM是矩形EMBC6. EHBE2. HM624. 课后精练 (2)如图 1，连接 DE. 在 RtEAD 中，A90，ADAE6， DE6 2. 在 RtEDH 中，DH DE 2EH22 17， 设 BFFHx，则 DFx2 17，FC6x， 在 RtDFC 中，DF 2DC2CF2， (2 17x) 282(6x)2， 解得 x 173. tanFEHFH EH 173 2 . 图 1 课后精练 (3)如图 2，连接 AC，作 EMAC 于 M. EAMBAC，AMEB90， AMEABC. AE AC EM BC，即 6 2 6 282 EM 6 . EM18 5 . S四边形 AHCDSACHSADC，SACD1 26824， 当ACH 的面积最小时，四边形 AHCD 的面积最小 当 EH 与 EM 重合时，点 H 到直线 AC 的距离最小，最小值18 5 28 5， ACH 的面积的最小值1 210 8 58. 四边形 AHCD 的面积存在最小值，且面积的最小值为 82432. 图 2