中学数学 因式分解 教案.doc

1、 第 1 页 共 6 页 因式分解的因式分解的 14 种方法种方法 因式分解没有普遍的方法，初中数学教材中主要介绍了提公因式法、公式法。而在竞 赛上，又有拆项和添减项法，分组分解法和十字相乘法，待定系数法，双十字相乘法，对 称多项式轮换对称多项式法，余数定理法，求根公式法，换元法，长除法，除法等。 注意三原则 1 分解要彻底 2 最后结果只有小括号 3 最后结果中多项式首项系数为正（例如：133 2 xxxx） 分解因式技巧分解因式技巧 1.分解因式与整式乘法是互为逆变形。 2.分解因式技巧掌握： 等式左边必须是多项式；分解因式的结果必须是以乘积的形式表示； 每个因式必须是整式，且每个因式的次

2、数都必须低于原来多项式的次数； 分解因式必须分解到每个多项式因式都不能再分解为止。 注：分解因式前先要找到公因式，在确定公因式前，应从系数和因式两个方面考虑。 基本方法基本方法 提公因式法提公因式法 各项都含有的公共的因式叫做这个多项式各项的公因式。 如果一个多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成两个 因式乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法。 具体方法：当各项系数都是整数时，公因式的系数应取各项系数的最大公约数；字母 取各项的相同的字母，而且各字母的指数取次数最低的；取相同的多项式，多项式的次数 取最低的。 如果多项式的第一项是负的，一般要提出“-”号，使括号

3、内的第一项的系数成为正数。 提出“-”号时，多项式的各项都要变号。 提公因式法基本步骤： （1）找出公因式； （2）提公因式并确定另一个因式： 第一步找公因式可按照确定公因式的方法先确定系数在确定字母； 第二步提公因式并确定另一个因式，注意要确定另一个因式，可用原多项式除以公 因式，所得的商即是提公因式后剩下的 一个因式，也可用公因式分别除去原多项式的每一项，求的剩下的另一个因式； 提完公因式后，另一因式的项数与原多项式的项数相同。 口诀：找准公因式，一次要提净；全家都搬走，留口诀：找准公因式，一次要提净；全家都搬走，留 1 把家守；提负要变号，变形看奇把家守；提负要变号，变形看奇 偶。偶。

4、例如：-am+bm+cm=-m(a-b-c)； a(x-y)+b(y-x)=a(x-y)-b(x-y)=(x-y)(a-b)。 注意：把 2 2 a + 2 1 变成 2( 2 a+ 4 1 )不叫提公因式 公式法公式法 如果把乘法公式反过来，就可以把某些多项式分解因式，这种方法叫公式法。 平方差公式： 2 a 2 b=(a+b)(a-b)； 完全平方公式： 2 a2ab 2 b2ba 注意：能运用完全平方公式分解因式的多项式必须是三项式，其中有两项能写成两个 数(或式)的平方和的形式，另一项是这两个数(或式)的积的 2 倍。 第 2 页 共 6 页 立方和公式： 33 ba =(a+b)(

5、2 a-ab+ 2 b)； 立方差公式： 33 ba =(a-b)( 2 a+ab+ 2 b)； 完全立方公式： 3 a3 2 ab3a 2 b 3 b =(ab) 2 公式： 3 a+ 3 b+ 3 c-3abc=(a+b+c)( 2 a+ 2 b+ 2 c -ab-bc-ca) 例如： 2 a+4ab+4 2 b =(a+2b) 2 。 分组分解法分组分解法 分组分解是解方程的一种简洁的方法，我们来学习这个知识。 能分组分解的方程有四项或大于四项，一般的分组分解有两种形式：二二分法，三一 分法。 比如： ax+ay+bx+by =a(x+y)+b(x+y) =(a+b)(x+y) 我们把

6、ax 和 ay 分一组，bx 和 by 分一组，利用乘法分配律，两两相配，立即解除了 困难。 同样，这道题也可以这样做。 ax+ay+bx+by =x(a+b)+y(a+b) =(a+b)(x+y) 几道例题： 1. 5ax+5bx+3ay+3by 解法：=5x(a+b)+3y(a+b) =(5x+3y)(a+b) 说明：系数不一样一样可以做分组分解，和上面一样，把 5ax 和 5bx 看成整体，把 3ay 和 3by 看成一个整体，利用乘法分配律轻松解出。 2. x 3-2 x+x-1 解法：=( x 3-2 x)+(x-1) = 2 x (x-1)+ (x-1) =(x-1)( 2 x+1

7、) 利用二二分法，提公因式法提出 x2，然后相合轻松解决。 3. 2 x-x-y 2 -y 解法：=( 2 x-y 2 )-(x+y) =(x+y)(x-y)-(x+y) =(x+y)(x-y-1) 利用二二分法，再利用公式法 a 2 -b 2 =(a+b)(a-b)，然后相合解决。 十字相乘法十字相乘法 这种方法有两种情况。 2 x+(p+q)x+pq 型的式子的因式分解 这类二次三项式的特点是：二次项的系数是 1；常数项是两个数的积；一次项系数是 常数项的两个因数的和。 因此， 可以直接将某些二次项的系数是 1 的二次三项式因式分解： 2 x+(p+q)x+pq=(x+p)(x+q) k

8、2 x+mx+n 型的式子的因式分解 第 3 页 共 6 页 如果有 k=ac，n=bd，且有 ad+bc=m 时，那么 kx 2 +mx+n=(ax+b)(cx+d) 图示如下： a d 例如：因为 1 -3 c d 7 2 -37=-21，12=2，且 2-21=-19， 所以 7 2 x-19x-6=(7x+2)(x-3) 十字相乘法口诀：首尾分解，交叉相乘，求和凑中十字相乘法口诀：首尾分解，交叉相乘，求和凑中 裂项法裂项法 这种方法指把多项式的某一项拆开或填补上互为相反数的两项 （或几项） ， 使原式适合 于提公因式法、运用公式法或分组分解法进行分解。这钟方法的实质是分组分解法。要注

9、意，必须在与原多项式相等的原则下进行变形。 例如：bc(b+c)+ca(c-a)-ab(a+b) =bc(c-a+a+b)+ca(c-a)-ab(a+b) =bc(c-a)+ca(c-a)+bc(a+b)-ab(a+b) =c(c-a)(b+a)+b(a+b)(c-a) =(c+b)(c-a)(a+b) 配方法配方法 对于某些不能利用公式法的多项式，可以将其配成一个完全平方式，然后再利用平方 差公式，就能将其因式分解，这种方法叫配方法。属于拆项、补项法的一种特殊情况。也 要注意必须在与原多项式相等的原则下进行变形。 例如： 2 x+3x-40 = 2 x+3x+2.25-42.25 =2 2

10、5 . 65 . 1x =(x+8)(x-5) 应用因式定理应用因式定理 对于多项式 f(x)=0，如果 f(a)=0，那么 f(x)必含有因式 x-a 例如：f(x)= 2 x +5x+6，f(-2)=0，则可确定 x+2 是 2 x+5x+6 的一个因式。(事实上， 2 x+5x+6=(x+2)(x+3) 注意：1、对于系数全部是整数的多项式，若 X=q/p（p,q 为互质整数时）该多项式值 为零，则 q 为常数项约数，p 最高次项系数约数； 2、对于多项式 f(a)=0,b 为最高次项系数，c 为常数项，则有 a 为 c/b 约数 换元法换元法 有时在分解因式时，可以选择多项式中的相同的

11、部分换成另一个未知数，然后进行因 式分解，最后再转换回来，这种方法叫做换元法。 注意:换元后勿忘还元. 例如在分解( 2 x+x+1)( 2 x+x+2)-12 时，可以令 y= 2 x+x,则 原式=(y+1)(y+2)-12 =y 2 +3y+2-12=y 2 +3y-10 =(y+5)(y-2) =( 2 x+x+5)( 2 x +x-2) =( 2 x+x+5)(x+2)(x-1) 求根法求根法 令多项式 f(x)=0,求出其根为 x1，x，x3，xn， 则该多项式可分解为 f(x)=(x-x1)(x-x2)(x-x3)(x-xn) 例如在分解 2x4+7x3-2x2-13x+6 时，

12、令 2x4 +7x3-2x 2 -13x+6=0， 第 4 页 共 6 页 则通过综合除法可知，该方程的根为 0.5 ，-3，-2，1 所以 2x4+7x3-2 2 x-13x+6=(2x-1)(x+3)(x+2)(x-1) 图象法图象法 令 y=f(x)，做出函数 y=f(x)的图象，找到函数图像与 X 轴的交点 x1 ,x2 ,x3 ,xn ， 则多项式可因式分解为 f(x)= f(x)=(x-x1)(x-x2)(x-x3)(x-xn) 与方法相比，能避开解方程的繁琐，但是不够准确。 例如在分解 x3 +2 2 x-5x-6 时，可以令 y=x3; +2 2 x -5x-6. 作出其图像，

13、与 x 轴交点为-3，-1，2 则 x3+2 2 x-5x-6=(x+1)(x+3)(x-2) 主元法主元法 先选定一个字母为主元， 然后把各项按这个字母次数从高到低排列， 再进行因式分解。 特殊值法特殊值法 将 2 或 10 代入 x，求出数 p，将数 p 分解质因数，将质因数适当的组合，并将组合后 的每一个因数写成 2 或 10 的和与差的形式，将 2 或 10 还原成 x，即得因式分解式。 例如在分解 x3+9 2 x+23x+15 时，令 x=2，则 x3 +9 2 x+23x+15=8+36+46+15=105， 将 105 分解成 3 个质因数的积，即 105=357 注意到多项式

14、中最高项的系数为 1，而 3、5、7 分别为 x+1，x+3，x+5，在 x=2 时的 值， 则 x3+9 2 x+23x+15 可能等于(x+1)(x+3)(x+5)，验证后的确如此。 待定系数法待定系数法 首先判断出分解因式的形式，然后设出相应整式的字母系数，求出字母系数，从而把多 项式因式分解。 例如在分解 x4-x3-5 2 x-6x-4 时，由分析可知：这个多项式没有一次因式，因而只能 分解为两个二次因式。 于是设 x4-x3-5 2 x-6x-4=( 2 x+ax+b)( 2 x+cx+d) =x4+(a+c)x3+(ac+b+d) 2 x+(ad+bc)x+bd 由此可得 a+c

15、=-1， ac+b+d=-5， ad+bc=-6， bd=-4 解得 a=1，b=1，c=-2，d=-4 则 x4-x3-5x 2 -6x-4=(x 2 +x+1)(x 2 -2x-4) 双十字相乘法双十字相乘法 双十字相乘法属于因式分解的一类，类似于十字相乘法。 双十字相乘法就是二元二次六项式，启始的式子如下: 第 5 页 共 6 页 ax 2 +bxy+cy 2 +dx+ey+f x、y 为未知数，其余都是常数 用一道例题来说明如何使用。 例：分解因式：x 2 +5xy+6y 2 +8x+18y+12 分析：这是一个二次六项式，可考虑使用双十字相乘法进行因式分解。 解： 原式=(x+2y+

16、2)(x+3y+6) 双十字相乘法其步骤为： 先用十字相乘法分解 2 次项，如十字相乘图中 x 2 +5xy+6y 2 =(x+2y)(x+3y)； 先 依 一 个 字母 （ 如 y） 的 一 次 系 数 分 数 常 数 项 。如 十 字 相 乘 图 中 6y 2 +18y+12=(2y+2)(3y+6)； 再按另一个字母（如 x）的一次系数进行检验，如十字相乘图，这一步不能省， 否则容易出错。 多项式因式分解的一般步骤 如果多项式的各项有公因式，那么先提公因式； 如果各项没有公因式，那么可尝试运用公式、十字相乘法来分解； 如果用上述方法不能分解，那么可以尝试用分组、拆项、补项法来分解； 分解

17、因式，必须进行到每一个多项式因式都不能再分解为止。 也可以用一句话来概括： “先看有无公因式，再看能否套公式。十字相乘试一试，分组 分解要合适。 ” 几道例题 1分解因式(1+y) 2 -2x 2 (1+y 2 )+x 4 (1-y) 2 解：原式=(1+y) 2 +2(1+y)x 2 (1-y)+x 4 (1-y) 2 -2(1+y)x 2 (1-y)-2x 2 (1+y 2 )（补项） =(1+y)+x 2 (1-y) 2 -2(1+y)x 2 (1-y)-2x 2 (1+y 2 )（完全平方） =(1+y)+x 2 (1-y) 2 -(2x) 2 =(1+y)+x 2 (1-y)+2x(

18、1+y)+x 2 (1-y)-2x =(x 2 -x 2 y+2x+y+1)(x 2 -x 2 y-2x+y+1) =(x+1) 2 -y(x 2 -1)(x-1) 2 -y(x 2 -1) =(x+1)(x+1-xy+y)(x-1)(x-1-xy-y) 2求证：对于任何实数 x,y，下式的值都不会为 33： 54322345 1241553yxyyxyxyxx 解：原式=(x5+3x4y)-(5x3y 2 +15x2y3)+(4xy4+12y5) =x4(x+3y)-5x 2 y 2 (x+3y)+4y4(x+3y) =(x+3y)(x4-5x 2 y 2 +4y4) =(x+3y)(x 2

19、 -4y 2 )(x 2 -y 2 ) =(x+3y)(x+y)(x-y)(x+2y)(x-2y) 当 y=0 时，原式=x5 不等于 33；当 y 不等于 0 时，x+3y，x+y，x-y，x+2y，x-2y 互 不相同，而 33 不能分成四个以上不同因数的积，所以原命题成立。 第 6 页 共 6 页 3.ABC 的三边 a、b、c 有如下关系式：-c 2 +a 2 +2ab-2bc=0，求证：这个三角形是 等腰三角形。 分析：此题实质上是对关系式的等号左边的多项式进行因式分解。 证明：-c 2 +a 2 +2ab-2bc=0， (a+c)(a-c)+2b(a-c)=0 (a-c)(a+2b

20、+c)=0 a、b、c 是ABC 的三条边， a2bc0 ac0， 即 ac，ABC 为等腰三角形。 4把-12x2nyn+18x(n+2)y(n+1)-6xny(n-1)分解因式。 解：-12x2nyn+18x(n+2)y(n+1)-6xny(n-1) =-6xny(n-1)(2xny-3x2y2+1) 四个注意 初中的数学主要是分代数和几何两大部分，两者在中考中所占的比例，代数略大于几 何 代数主要有以下几点代数主要有以下几点： 1.有理数的运算，主要讲有理数的三级运算（加减乘除和乘方开方）在这里要注意数 字和字母的符号意识，就是，不要受小学数字的影响，一看见字母就不会做题了。 2. 整式

21、的三级运算，注意符号意识的培养，还有就是因式分解，这和整式的乘法是互 换的，注意像平方差公式和完全平方公式的正用、逆用和变形用。 3. 方程，会一元一次、二元一次、三元一次、一元二次四种方程的解法和应用，记住， 方程是一种方法，是一种解题的手段。 4. 函数，会识别一次函数、二次函数、反比例函数的图像，记住他们的特征，要会根 据条件来应用。尤其要注意二次函数，这是中考的重点和难点。应用题里会拿它来出一道 难题的 几何主要有以下几点：几何主要有以下几点： 1.识别各种平面图形和立体图形，这你应该非常熟悉。 2.图形的平移、旋转和轴对称，这个考察你的空间想象的能力，多做一些题。 3.三角形的全等和相似，要会证明，注意要有完整的过程和严密的步骤，背过证明三 角形全等的五种方法和证明相似的四种方法；还有像等腰三角形、直角三角形和黄金三角 形的性质，要会应用，这在证明题中会有很大的帮助。 4.四边形，把握好平行四边形、长方形、正方形、菱形和梯形的概念，选择体里 会拿着它们之间的微小差异而大做文章，注意它们的判定和性质，证明题里也会考到。 5.圆，我这里没有细学，因为这里不是我们中考的重点，但是圆的难度会很大， 它的知识点很多、很碎，圆的难题就是由许许多多细小的点构成的。