辽宁省六校2021届高三上学期期中联考（数学）.doc

1、 - 1 - 辽宁省六校辽宁省六校 2021 届高三上学期期中联考届高三上学期期中联考 数数 学学 一、单项选择题：本大题共一、单项选择题：本大题共 8 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只分。在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的。有一项是符合题目要求的。 1已知,Ra b，则“ 20ab是“2 a b ”成立的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 2.已知函数 1 3 1 , 2 x f xx 那么在下列区间中含有函数 f x零点的是( ) A. 1 0, 3 B. 1 1 ,

2、 3 2 C. 1 2 , 2 3 D. 2 ,1 3 3. 8 1 2 2 x 的展开式中二项式系数最大的项是( ) A 2 35x B 2 20 x C 4 70 x D 4 35x 4. 数列 n a满足 1 1a ，对任意 * Nn的都有 1 1 nn aan ，则 1299 111 . aaa （ ） A. 99 98 B.2 C. 99 50 D. 99 100 5.设函数 2 log1,0 4 ,0 x xx f x x ，则 2 3log 3ff( ) A.9 B.11 C.13 D.15 6.设函数 1 ( )ln 1 x f xx x ,则函数的图像可能为( ) A. B.

3、 C. D. 7.17 世纪德国著名的天文学家开普勒曾经这样说过：“几何学里有两件宝，一个是勾股定理， 另一个是黄金分割。如果把勾股定理比作黄金矿的话，那么可以把黄金分割比作钻石矿。” 黄金三角形有两种， 其中底与腰之比为黄金分割比的黄金三角形被认为是最美的三角形， 它 是一个顶角为36的等腰三角形(另一种是顶角为 108 的等腰三角形)。例：五角星由五个黄 金三角形与一个正五边形组成，如图所示，在其中一个黄金ABC中， 51 2 BC AC 。根 - 2 - 据这些信息，可得sin234=（ ） A.1 2 5 4 B. 35 8 C. 51 4 D. 45 8 8.若=1,则 48xy z

4、 xy 的取值范围是( ) A.1,4 B.1, C.(2 2,) D.4, 二、多项选择题：本大题共二、多项选择题：本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分。在每小题给出的四个选项中，有分。在每小题给出的四个选项中，有 多项符合题目要求。全部选对的得多项符合题目要求。全部选对的得 5 分，部分选对的得分，部分选对的得 3 分，有选错的得分，有选错的得 0 分。分。 9 已知复数(i)(32i)()zaaR的实部为-1,则下列说法正确的是( ) A.复数z的虚部为-5 B.复数z的共轭复数15iz C.26z D.z在复平面内对应的点位于第三象限 10.南宋杨辉在他

5、1261 年所著的详解九章算术一书中记录了一种三角形数表，称之为“开 方作法本源”图， 即现在著名的“杨辉三角”.下图是一种变异的杨辉三角， 它是将数列 n a 各 项按照上小下大， 左小右大的原则写成的， 其中 n a 是集合22 0, st sts tZ且中所 有的数从小到大排列的数列, 12345 3,5,6,9,10aaaaa下列结论正确的是( ) A. 第四行的数是 17,18,20,24 B. 1 (1) 2 3 2n n n a C. (1) 1 2 21 n n an D. 100 16640a 11.一组数据 123 21,21,21,21 n xxxx 的平均值为 7,方差

6、为 4, 123 32,32,32,32 n xxxx 均值为 a,方差为 b,则（ ） A.7a B.11a C.12b D.9b 12.在单位圆 22 :1O xy 上任取一点 ,P x y ，圆O与x轴正向的交点是A，设将OA绕原 点O旋转到OP所成的角为，记, x y关于的表达式分别为 ,xfyg ，则下列 说法正确的（ ） A. xf 是偶函数， yg 是奇函数 B. xf 在 , 2 2 为增函数， yg 在 , 2 2 为减函数 - 3 - C. 1fg 对于 0 2 ，恒成立 D.函数 22tfg的最大值为 3 3 2 三、填空题：本大题共三、填空题：本大题共 4 个小题，每小

7、题个小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分 13随机变量 2 ,XN ,且(3)(1)0.2P XP X ,则11PX _. 14.将甲、乙等 5 位同学分别保送到北京大学、上海交通大学、浙江大学三所大学就读，则每 所大学至少保送一人的不同保送的方法数为 种.（用数字作答） 15.已知0,1aa，若函数 2 logaf xaxx在3,4是增函数，则的取值范围是_. 16.设,m nR，那么 22 ()() nm mene的最小值是_ 四、解答题：共四、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 17 （10 分）已知函数 2

8、1 ( )3sin cossin() 2 f xxxxxR （1）求函数 f x的单调递增区间； （2）设ABC 的内角 A,B,C 所对的边分别为,b,c,且 c=,f(C)=2,向量=(1,) 与向量 =(2,b)共线，求,b 的值. 18. （12 分）在平面直角坐标系xOy中，已知四边形OABC是等腰梯形，(6,0), (1, 3)AC， 点 M 满足=，点P在线段BC上运动(包括端点)，如图所示 （1）.求OCM的余弦值； （2）是否存在实数，使(-)？若存在,求出满足条件的实数的取值范围； 若不存在,请说明理由 19. （12 分）新高考取消文理科，实行“3+1+2”，成绩由语文、

9、数学、外语统一高考成绩和自 主选考的 3 门普通高中学业水平考试等级考试科目成绩构成.为了解各年龄层对新高考的了解 情况，随机调查 50 人（把年龄在15,45)称为中青年，年龄在45,75)称为中老年） ，并把调查 结果制成下表： 年龄（岁） 15,25) 25,35) 35,45) 45,55) 55,65) 65,75) 频数 5 15 10 10 5 5 了解 4 12 6 5 2 1 - 4 - （1）请根据上表完成答题纸上 2 2 列联表，并判断是否有 95%的把握认为对新高考的了解与 年龄 （中青年、中老年）有关？ 附： 2 2 () ()()()() n adbc K ab c

10、d ac bd . （2）现采用分层抽样的方法从中老年人中抽取 8 人，再从这 8 人中随机抽取 2 人进行深入调 查， 求事件A：“恰有一人年龄在 45,55 ”发生的概率. 20. （12 分）已知数列 n a的各项均为正数, 1 3a ,且对任意 * Nn,2 n a为 2 1 3 n a 和 1 的等比 中项,数列 n b 满足 2* 1(N ) nn ban (1)求证：数列 n b为等比数列,并求 n a通项公式； (2)若 2 log nn cb, n c的前n项和为 n T,求使 n T不小于360的n的最小值 21. （12 分）为了了解A地区足球特色学校的发展状况，某调查机

11、构得到如下统计数据： 年份 x 2014 2015 2016 2017 2018 足球特色学校 y (百个) 0.30 0.60 1.00 1.40 1.70 (1).根据上表数据，计算 y 与 x 的相关系数 r ，并说明 y 与 x 的线性相关性强弱 (已知：0.75 1r，则认为 y 与 x 线性相关性很强；0.3 0.75r ，则认为 y 与 x 线性相关性一般； 0.25r ，则认为 y 与 x 线性相关性较弱)； (2).求 y 关于 x 的线性回归方程， 并预测A地区 2019 年足球特色学校的个数(精确到个位数). 参考公式： 1 22 11 n ii i nn ii ii x

12、xyy r xxyy ， 2 1 10 n i i xx ， 2 1 1.3 n i i yy ， 133.6056 ， b n i1 xi x yi y n i1 xi x 2 ，a y b x 2 P Kk 0.050 0.010 0.001 k 3.841 6.635 10.828 - 5 - 22. （12 分）已知函数 f(x)=-8x+lnx (R) （1）当 x=1 时, f x取得极值,求a的值并判断 x=1 是极大值点还是极小值点 （2）当函数 f x有两个极值点 1212 ,x xxx,且 1 1x 时,总有 21 11 1 ln 43 1 ax txx x 成立, 求t

13、的取值范围. - 6 - 数学参考数学参考答案答案 一、单项选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。 1-8: B B C C B B C D 二、多项选择题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。 9：ACD； 10：ABD ； 11：BD； 12：ACD 三、填空题：本大题共 4 个小题，每小题 5 分，共 20 分。 13. 0.3 14. 150 15. （1，+） 16. 2 四、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 17.解：(1)函数 2 1 ( )3sin cossin,R 2 f xxxxx， 31 =sin2cos21

14、sin(2)1 226 f xxxx （ ） 令 2 22 262 kxk，解得 63 kxk 所以函数的单调递增区间为 , , 63 kkkZ （开闭区间都可以）-5 分 (2) sin(2)12 6 f CC ， sin(2)1 6 C ， 11 0,2,2 66662 CCC，解得 3 C 向量(1, ),(2, )ma nb共线，2ba 由余弦定理，得 22222 2cos,3 3 cabababab， 由得1,2ab 10 分 18.解：1.由题意，可得(6,0)OA，(1, 3)OC 1 (3,0) 2 OMOA， (2,3),( 1,3)CMCO 7 coscos, 14| CO

15、 CM OCMCO CM CO CM -6 分 2.设( , 3)P t，其中15t , 则(, 3 )OPt， ( 6,3 )O AO Pt 若()OAOPCM，则()0OAOPCM， 即12230t， (23)12t， 若 3 2 t ，则不存在；若 3 2 t ，则 12 23t 33 1, )( ,5 22 t ，+） 即满足条件的实数存在，实数的取值范围为. ，+）-12 分 19.解：（1）2 2 列联表如图所示 - 7 - 了解新高考 不了解新高考 总计 中青年 22 8 30 老年 8 12 20 总计 30 20 50 2 2 50 (22 128 8) 5.5563.841

16、 302020 30 K ，. 所以有 95%的把握判断了解新高考与年龄（中青年、中老年）有关联.-6 分 （2）由表格数据得到抽取的 8 人中：年龄在 45,55中的有 4 人，年龄在55,65中的有 2 人， 年龄在 65,75中的有2人. 从8人中抽取2人的方法有28种， 其中恰有一人年龄在45,55 被抽中的方法有 16 种. . 所以 164 ( )= 287 P A . -12 分 20.解： (1)对任意 * Nn,2 n a都为 2 1 3 n a 和 1 的等比中项, 所以 22 1 (2)(3) 1 nn aa ,即 22 1 (2)(3) 1 nn aa 也即 22 1

17、43 nn aa 所以 2222 1 143 1444(1) nnnn aaaa , 因为 2 1 nn ba,所以 1 4 nn bb , 所以数列 n b成等比数列,首项为 2 11 18ba ,公比为 4, 所以 12221 1 48 22 nnn n bb -4 分 所以 221 12 n n a , n a为正项数列,所以 21 21 n n a -6 分 (2) 21 22 loglog 221 n nn cbn 所以 12 .(2 1 1)(221).(21) nn Tcccn 2 (1) 2(123.)22 2 n n nnnnn -9 分 n T不小于360,即 2 2360

18、 n Tnn 即 2 23600nn, 也即(20)(18)0nn所以18n 或20n (舍去) 所以 n T不小于360的n的最小值为18 -12 分 21.解：答案：(1).2016,1xy， - 8 - 1 22 11 3.63.6 0.75 3.605610 1.3 n ii i nn ii ii xxyy r xxyy ， y 与 x 线性相关性很强. -4 分 (2). 5 1 5 2 1 20.710.41 0.420.7 0.36 41014 ii i i i xxyy b xx ，-6 分 1 2016 0.36724.76aybx ， -8 分 y 关于 x 的线性回归方程

19、是0.36724.76yx. 当2019x 时，0.36724.762.08yx，即A地区 2019 年足球特色学校有 208 个.12 分 22.解：1. 2 28 0 , 10 xxa fxxf x ,则 6a -2 分 从而 213 0 xx fxx x ,所以0,1x时, 0fx , f x为增函数; 1,3x时, 0fx , f x为减函数,所以1?x 为极大值点. -4 分 2.函数 f x的定义域为0,?,有两个极值点 1212 ,x xxx,则 2 280t xxxa在0,?上有两个不等的正实根, 所以08a, 由 12 12 12 4 2 xx a x x xx 可得 1 1

20、1 02 24 x axx -6 分 从而问题转化为在 1 02x,且 1 1x 时 21 11 1 ln 43 1 ax txx x 成立. 即证 1112 11 1 24ln 43 1 xxx txx x 成立. 即证 11 1 1 2ln 1 1 xx t x x 即证 11 1 1 2ln 10 1 xx t x x 亦即证 2 1 1 1 11 1 2ln0 1 t x x x xx .式 -8 分 令 2 1 2ln02 t x h xxx x ， 则 2 2 2 02 txxt h xx x - 9 - 1)当0t 时, 0h x,则 h x在0,2上为增函数且 10h,式在1,2上不成立. 2)当0t 时, 2 44t 若0,即1t 时, 0h x ,所以 h x在0,2上为减函数且 10h, 1 1 1 x x 和 2 1 1 1 1 2ln t x x x 在区间0,1及1,2上同号,故式成立. -10 分 若0,即10t 时, 2 2ytxxt的对称轴 1 1x t , 令 1 min,2a t ,则1xa时, 0h x ,不合题意. 综上可知: 1t 满足题意. -12 分