2021新高考数学二轮复习：专题七 7.3　直线、圆、圆锥曲线小综合题专项练.pptx

1、7.37.3 直线、圆、圆锥曲线小综合题专项练直线、圆、圆锥曲线小综合题专项练 第三部分第三部分 2021 内 容 索 引 01 02 必备知识必备知识 精要梳理精要梳理 考向训练考向训练 限时通关限时通关 必备知识必备知识 精要梳理精要梳理 1.直线与圆的位置关系根据圆心到直线的距离与圆的半径大小关系判定. 2.圆与圆的位置关系有五种,即内含、内切、相交、外切、外离.判定方法 是利用两圆心之间的距离与两圆半径的和、差关系. 3.焦半径公式 (1)设 M(x,y)是椭圆 2 2 + 2 2 =1(ab0)上的一点,其焦点为 F1(-c,0),F2(c,0),则 |MF1|=a+ex,|MF2|

2、=a-ex(其中 e 是离心率). (2)设 M(x,y)是双曲线 2 2 2 2 =1(a0,b0)上的一点,其焦点为 F1(-c,0),F2(c,0), e为双曲线的离心率. 点M(x,y)在右支上,|PF1|=ex+a,|PF2|=ex-a; 点M(x,y)在左支上,|PF1|=-(ex+a),|PF2|=-(ex-a). (3)已知抛物线 y2=2px(p0),C(x1,y1),D(x2,y2)为抛物线上的点,F 为焦点. 焦半径|CF|=x1+ 2; 过焦点的弦长|CD|=x1+x2+p; x1x2= 2 4 ,y1y2=-p2. 4.椭圆与双曲线中点弦斜率公式及其推论 (1)设 M

3、(x,y)是椭圆 2 2 + 2 2 =1(ab0)弦 AB(AB不平行于 y轴)的中点,则有 kAB kOM=- 2 2; (2)设 M(x,y)是双曲线 2 2 2 2 =1(a0,b0)弦 AB(AB不平行于 y轴)的中点,则 有 kAB kOM= 2 2. 5.过圆及圆锥曲线上一点的切线方程 (1)过圆x2+y2=r2上一点M(x0,y0)的切线方程为x0 x+y0y=r2; (2)过圆(x-a)2+(y-b)2=r2上一点M(x0,y0)的切线方程为(x0-a)(x-a)+(y0-b) (y-b)=r2; (3)过曲线C:Ax2+By2+Dx+Ey+F=0上的一点P(x0,y0)的切

4、线方程为 Ax0 x+By0y+D 0+ 2 +E 0+ 2 +F=0. 考向训练考向训练 限时通关限时通关 考向一考向一 圆锥曲线中的面积问题圆锥曲线中的面积问题 1.(2020 全国,文 11)设 F1,F2是双曲线 C:x2- 2 3 =1 的两个焦点,O 为坐标原点, 点 P 在 C 上且|OP|=2,则PF1F2的面积为( ) A.7 2 B.3 C.5 2 D.2 答案 B 解析 由题意知a=1,b= ,c=2.不妨设F1,F2分别为双曲线C的左、右焦点, 则F1(-2,0),F2(2,0). 因为|OP|=2,所以点P在以O为圆心,F1F2为直径的圆上,故PF1PF2,则 |PF

5、1|2+|PF2|2=(2c)2=16. 由双曲线的定义可知|PF1|-|PF2|=2a=2,所以|PF1|2+|PF2|2-2|PF1| |PF2|=4, 所以|PF1| |PF2|=6,所以PF1F2的面积为 |PF1| |PF2|=3. 3 1 2 2.(2020全国,理8)设O为坐标原点,直线x=a与双曲线C: =1 (a0,b0)的两条渐近线分别交于D,E两点.若ODE的面积为8,则C的焦距 的最小值为( ) A.4 B.8 C.16 D.32 2 2 2 2 答案 B 解析 由题意可知,双曲线的渐近线方程为 y= x. 因为直线 x=a与双曲线的渐近线分别交于 D,E两点,所以不妨

6、令 D(a,-b), E(a,b),所以|DE|=2b.所以 SODE=1 2 2b a=ab=8.所以 c2=a2+b22ab=16,当 且仅当 a=b=2 2时取等号.所以 c4,所以 2c8.所以双曲线 C的焦距的最 小值为 8.故选 B. 3.(2020全国,理11)设双曲线C: =1(a0,b0)的左、右焦点分别 为F1,F2,离心率为 .P是C上一点,且F1PF2P.若PF1F2的面积为4,则 a=( ) A.1 B.2 C.4 D.8 2 2 2 2 5 答案 A 解析 不妨设点P在第一象限,设|PF1|=m,|PF2|=n,则mn,依题意 得, = 5, 1 2 = 4, 2+

7、 2= 42, - = 2, 解得 a=1. 4.(2020 山东济宁一模,5)双曲线 C: 2 4 2 2 =1 的右焦点为 F,点 P 在 C 的一条 渐近线上,O 为坐标原点.若|PO|=|PF|,则PFO 的面积为( ) A.3 2 4 B.3 2 2 C.2 2 D.3 2 答案 A 解析 双曲线 C: 2 4 2 2 =1 的右焦点为 F( 6,0),渐近线方程为 y= 2 2 x, 设 P(x,y)在第一象限,由|PO|=|PF|,P 在直线 y= 2 2 x 上, 可得 2+ 2= (- 6)2+ 2,解得 x= 6 2 ,y= 3 2 ,即 P 6 2 , 3 2 . 所以P

8、FO 的面积为1 2 6 3 2 = 3 2 4 .故选 A. 5.(2020山东烟台一模,7)设P为直线3x-4y+4=0上的动点,PA,PB为圆C: (x-2)2+y2=1的两条切线,A,B为切点,则四边形APBC面积的最小值为( ) A. 3 B.2 3 C. 5 D.2 5 答案 A 解析 S四边形APBC=2SPBC=2 1 2BC PB=BC, 2-2 = 2-1, 圆心(2,0)到直线 3x-4y+4=0 的距离 d= |6+4| 32+42=2,所以 PC 的最小值是 d=2,所 以 S四边形APBC 22-1 = 3.故选 A. 考向二考向二 圆锥曲线中的弦长、线段长圆锥曲线

9、中的弦长、线段长(比值比值)问题问题 6.(2020山东,13)斜率为 的直线过抛物线C:y2=4x的焦点,且与C交于A,B 两点,则|AB|= . 3 答案 16 3 解析 如图所示,直线与抛物线交于A,B两点,设 A(x1,y1),B(x2,y2),F(1,0),准线方程为x=-1,作AA,BB 垂直于准线,交准线于点A,B,由抛物线的定义知 |AA|=|AF|,|BB|=|BF|. |AB|=|AF|+|BF|=|AA|+|BB|=x1+ 2+x2+ 2=x1+x2+p. 由 = 3(-1), 2= 4, 得 3x2-10 x+3=0,x1+x2=10 3 ,|AB|=10 3 +2=1

10、6 3 . 7.(2020河南广东等省4月联考,5)已知抛物线y2=4x的焦点为F,过点F和抛物 线上一点M(3,2 )的直线l交抛物线于另一点N,则|NF|NM|等于( ) A.12 B.13 C.14 D.1 3 3 答案 C 解析 F(1,0),M(3,2 3),直线 MF 的方程是 y= 3(x-1). 由 2 = 4, = 3(-1),解得 x 1=3,x2= 1 3. | | = 2+ 2 1+2+ = 1 3+1 3+1 3+2 = 1 4.故选 C. 8.(2020山东济南一模,6)已知抛物线y2=4x的焦点为F,直线l过F且与抛物线 交于A,B两点,过A作抛物线准线的垂线,垂

11、足为M,MAF的角平分线与抛 物线的准线交于点P,线段AB的中点为Q.若|AB|=8,则|PQ|=( ) A.2 B.4 C.6 D.8 答案 B 解析 由题意,直线AB的斜率必定存在. 抛物线y2=4x的焦点为F(1,0), 画出图形,可知PFAB,AM=AF,设 AB:y=k(x-1)与抛物线方程联立,可得 k2x2-(2k2+4)x+k2=0, 所以 x1+x2=2 2+4 2 ,x1x2=1,线段 AB的中点为 Q.若|AB|=8,即 x1+x2+p=8, 即2 2+4 2 +2=8,解得 k=1,不妨取 k=1.中点 Q的横坐标为 2+2 2 =3, 则 Q(3,2),直线 PF的斜

12、率为-1,过点 F(1,0),则其方程为 y=-x+1与 x=-1联立 解得 P(-1,2), 所以 PQ= (-1-3)2+ (2-2)2=4.故选 B. 9.(2020 山东泰安一模,8)抛物线 y2=2px(p0)的焦点为 F,准线为 l,A,B 是抛物 线上的两个动点,且满足AFB=2 3 ,设线段 AB 的中点 M 在 l 上的投影为 N, 则| | 的最大值是( ) A. 3 B. 3 2 C. 3 3 D. 3 4 答案 C 解析 如图,作BPl,AQl,垂足分别为P,Q.连接AF,BF,设|AF|=a,|BF|=b. 由抛物线定义,得|AF|=|AQ|,|BF|=|BP|.在梯

13、形ABPQ中, 2|MN|=|AQ|+|BP|=a+b, 即|MN|=+ 2 . 由余弦定理,得|AB|2=a2+b2. 2abcos 120=a2+b2+ab, 配方,得|AB|2=(a+b)2-ab. 又ab + 2 2 ,当且仅当 a=b时,等号成立. (a+b)2-ab(a+b)2-1 4(a+b) 2=3 4(a+b) 2,得到|AB| 3 2 (a+b). 所以| | 1 2(+) 3 2 (+) = 3 3 ,即| | 的最大值为 3 3 .故选 C. 10. (2020山东潍坊一模,8)如图,已知抛物线 C:y2=2px(p0)的焦点为 F,点 P(x0,2 3) 0 2 是抛

14、物线 C上一点.以 P为圆心的圆与线段 PF相交于点 Q,与过焦点 F且垂直于对称轴的直线交于点 A,B,|AB|=|PQ|,直线 PF与抛物 线 C的另一交点为 M,若|PF|= 3|PQ|,则 | |=( ) A.1 B. 3 C.2 D. 5 答案 B 解析 设圆的半径为r,则|AB|=|PQ|=|PB|=|PA|=r,PAB为正三角形, x0=+ 3 2 ,由抛物线的定义可知,|PF|=x0+ 2 = 2+ 3 2 , 又|PF|= 3|PQ|, 2+ 3 2 = 3r,化简得: = 3 2 . P + 3 2 ,2 3 ,F 2 ,0 , 直线 PF 的方程为 y=4 - 2 , 联

15、立 = 4 - 2 , 2= 2, 消去 y 可得 16 2 x2- 16 2 + 2 x+4 2 2 =0, 由韦达定理可知, x0 xM= 2 4 ,xM= 2 4 0 = 2 2(+ 3) = 2 + 3 = 6. 由抛物线的定义可知,|FM|=xM+ 2 = 2 3 , | | = 2 3 = 3 2 = 3 2 2 3 = 3. 故选 B. 考向三考向三 圆锥曲线的小综合问题圆锥曲线的小综合问题 11.(多选)(2020山东,9)已知曲线C:mx2+ny2=1.( ) A.若mn0,则C是椭圆,其焦点在y轴上 B.若 m=n0,则 C 是圆,其半径为 C.若 mn0,则C是两条直线

16、答案 ACD 解析 mx2+ny2=1, 2 1 + 2 1 =1.mn0, 1 1 0, C 是焦点在 y 轴上的椭圆,A 正确;m=n0,x2+y2=1 ,即 C 是圆, r= ,B 错误;由 mx2+ny2=1,得 2 1 + 2 1 =1,mn0 时,有 ny2=1,得 y2=1 ,即 y= ,表示两条直线,D 正确,故选 ACD. 12.(2020上海闵行模拟,15)已知抛物线的方程为 y2=4x,过其焦点 F的直线 交此抛物线于 M,N两点,交 y轴于点 E,若 =1 , =2 ,则 1+2=( ) A.-2 B.-1 2 C.1 D.-1 答案 D 解析 根据题意直线MN存在斜率

17、,易知F(1,0).设直线MN的方程为 y=k(x-1),M(x1,y1),N(x2,y2), 所以 E(0,-k),联立 = (-1), 2= 4, 整理可得 k2x2-(2k2+4)x+k2=0,则 x1+x2=2 2+4 2 ,x1x2=1,因为 =1 , =2 , 即(x1,y1+k)=1(1-x1,-y1),(x2,y2+k)=2(1-x2,-y2) 所以 1(1-x1)=x1,2(1-x2)=x2,即有 1= 1 1-1,2= 2 1-2. 所以 1+2= 1 1-1 + 2 1-2 = 1( 1-2) +2( 1-1) ( 1-1) ( 1-2) = 1+2-212 1-(1+2

18、)+12 = 22+4 2 -2 1-2 2+4 2 +1=-1. 13.(多选)(2020 山东聊城一模,10)若双曲线 C: 2 2 2 2 =1(a0,b0)的实轴长为 6,焦距为 10,右焦点为 F,则下列结论正确的是( ) A.C 的渐近线上的点到点 F 距离的最小值为 4 B.C 的离心率为5 4 C.C 上的点到点 F 距离的最小值为 2 D.过 F 的最短的弦长为32 3 答案 AC 解析 由题意可得 2a=6,2c=10,所以 a=3,c=5,b= 2-2=4,右焦点 F(5,0),渐 近线的方程为 4x-3y=0,所以 C的渐近线上的点到点 F距离的最小值为点 F 到渐近线

19、的距离,为 b=4,所以选项 A正确;离心率 e= = 5 3,所以选项 B不正 确;双曲线上的点为顶点时到相应焦点的距离最小,为 5-3=2,所以选项 C正 确;若过点 F的直线与双曲线的右支相交于两点,则当这条直线垂直于 x轴 时,弦长最短,为2 2 = 32 3 ;若过点 F的直线与双曲线的左、右两支相交于两 点,则当这 条直线与 x轴重合时,弦长最短,为 2a=6. 由于 60,a1)的图象恒过C的一个焦点 D.直线2x-3y=0与C有两个交点 答案 AC 解析 设 A(x0,y0),B(-x0,-y0),P(x,y),则 0 2 3 0 2 =1, 2 3 2 =1.两式相减得: 2

20、- 0 2 3 = 2-02 , 即(+ 0)(-0) 3 = (+0)(-0) , 3 + 0 + 0 = -0 -0 . |k1|+|k2|= -0 -0 + +0 +0 = 3 +0 +0 + +0 +0 2 3 , 又因为 t 的最大值为2 3 3 ,所以 2 3 = 2 3 3 ,所以 m=1. 故双曲线的方程为 2 3 -y2=1.故选项 A 正确; 双曲线的离心率 e= 2 3 ,故选项 B 错误;该双曲线的焦点为(2,0),函数 y=loga(x-1)的图象恒过点(2,0),故选项 C 正确;又双曲线的渐近线为 y= 3 3 x, 直线 2x-3y=0 的斜率2 3 3 3 ,且该直线过原点,所以直线与双曲线没有交点,故 选项 D 错误.故选 AC.